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न प्रतिवर्ती होने के लिए सभी विकर्ण युग्म मौजूद नहीं होने चाहिए। / Not reflexive means not all diagonal pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
न अप्रतिवर्ती होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म मौजूद होना चाहिए। / Not irreflexive means at least one diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण के लिए \(2^3-2\) चुनाव और बाकी (6) युग्मों के लिए \(2^6\) चुनाव हैं। / Diagonal choices are \(2^3-2\), and the (6) off-diagonal pairs give \(2^6\) choices.
A. हाँ, क्योंकि कोई distinct reverse pair साथ में नहीं है/Yes, because no distinct reverse pair appears together
Explanation
Simple Explanation
Antisymmetry को diagonal pairs से समस्या नहीं होती। समस्या तभी होती है जब \(a\neq b\) पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों। / Antisymmetry is not affected by diagonal pairs. It fails only when ((a,b)) and ((b,a)) both occur for \(a\neq b\).
यदि ((a,b)) और \(a\neq b\) हो, तो symmetry से ((b,a)) भी होगा, जो antisymmetry का विरोध करेगा। इसलिए केवल diagonal pairs संभव हैं। / If ((a,b)) with \(a\neq b\) occurs, symmetry forces ((b,a)), contradicting antisymmetry. Hence only diagonal pairs can occur.
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर कोई अविकर्ण युग्म नहीं आ सकता। केवल (5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can occur. Only the (5) diagonal pairs are free, so the count is \(2^5\).
प्रतिवर्तीता से सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हो जाते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए संख्या \(3^{10}\) है। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory. Each off-diagonal unordered pair has (3) choices, so the count is \(3^{10}\).
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र हैं। हर अविकर्ण अनियोजित जोड़े के लिए तीन विकल्प होते हैं, इसलिए \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\)। / The (n) diagonal pairs are free. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so the count is \(2^n3^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र रूप से लिए या छोड़े जा सकते हैं। हर अविकर्ण जोड़े के लिए तीन विकल्प हैं, इसलिए \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\)। / The (4) diagonal pairs may be included or excluded freely. Each off-diagonal unordered pair has three choices, so \(2^4\cdot3^{\binom{4}{2}}=2^4\cdot3^6\).
आत्म युग्मों के लिए \(2^3\) चुनाव और हर अलग जोड़े के लिए (3) चुनाव हैं। इसलिए संख्या \(2^3\cdot 3^3\) है। / Self-pairs give \(2^3\) choices and each distinct unordered pair gives (3) choices. Hence the number is \(2^3\cdot 3^3\).
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए। / The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Explanation
Simple Explanation
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता। / In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
सममित और विरोधी-सममित दोनों होने पर कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता। / If a relation is both symmetric and antisymmetric, no off-diagonal pair can be present.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (4) विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है। / Only the (4) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^4\) है। / Therefore, the number of such relations is \(2^4\).
A. कोई गैर-विकर्ण युग्म नहीं हो सकता/No off-diagonal pair can occur
Step 1
Concept
सममितता में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
विरोधी-सममितता कहती है कि यदि दोनों दिशाएँ हों तो (a=b) होना चाहिए। इसलिए \(a\ne b\) वाले युग्म संभव नहीं। / Antisymmetry says that if both directions are present, then (a=b). Hence off-diagonal pairs with \(a\ne b\) cannot occur.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुण साथ आएँ तो विकर्ण और गैर-विकर्ण का अलग विश्लेषण करें। / When both properties appear together, separate diagonal and off-diagonal cases.
(a<b) होने पर (b<a) नहीं होता, इसलिए सममितता नहीं है और विरोधी सममितता नहीं टूटती। / If (a<b), then (b<a) is false, so symmetry fails and antisymmetry is not violated.
केवल अपने युग्मों वाला संबंध सममित होता है, क्योंकि उल्टा युग्म वही रहता है। / A relation with only self-pairs is symmetric because each reverse is the same pair.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें असमान अवयवों के उल्टे युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / It has no reverse pairs between unequal elements, so it is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
असमान उल्टे युग्म साथ मिलते ही विरोधी सममितता टूटती है। / Antisymmetry fails when reverse pairs of unequal elements occur together.
विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। / In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। / So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें। / Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry.
सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair can be included.
Step 2
Why this answer is correct
केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / Only diagonal pairs may be chosen freely.
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्मों से \(2^4\) संबंध बनते हैं। / With (4) diagonal pairs, the count is \(2^4\).
(5) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (5) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements, each gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^5\cdot3^{10}\) होगी। / Hence the total number is \(2^5\cdot3^{10}\).
कुल संबंध \(2^9\) हैं और सममित संबंध \(2^6\) हैं। / Total relations are \(2^9\), and symmetric relations are \(2^6\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध \(2^3\cdot3^3\) हैं। दोनों गुण साथ होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जाते हैं, इसलिए \(2^3\) संबंध हैं। / Antisymmetric relations are \(2^3\cdot3^3\), and relations having both properties are \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
समावेशन-बहिष्करण से उत्तर \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\) है। / By inclusion-exclusion, the answer is \(2^9-2^6-2^3\cdot3^3+2^3\).
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में (6) गैर-विकर्ण विपरीत युग्म समूह स्वतंत्र होते हैं, इसलिए कुल \(2^6\) संबंध हैं। / Reflexive symmetric relations have (6) independent off-diagonal reverse-pair groups, so there are \(2^6\) such relations.
Step 2
Why this answer is correct
इनमें प्रतिसममित भी होने वाला केवल पहचान संबंध है। / Among these, only the identity relation is also antisymmetric.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममित नहीं वाले संबंध \(2^6-1\) होंगे। / Therefore the required number is \(2^6-1\).
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs are independently optional.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) जोड़ों में प्रत्येक के लिए तीन चुनाव होते हैं। / For \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) pairs of distinct elements, each pair gives three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(2^3\cdot3^3\) होंगे। / Hence the number of relations is \(2^3\cdot3^3\).
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर केवल विकर्ण युग्म चुने जा सकते हैं। / Being both symmetric and antisymmetric allows only diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^3\) संबंध बनते हैं। / With (3) diagonal pairs, there are \(2^3\) such relations.
Step 3
Exam Tip
इनमें एक संबंध पूरा पहचान संबंध है, जो प्रतिवर्ती है; उसे हटाने पर \(2^3-1\) बचते हैं। / One of them is the full identity relation, which is reflexive; removing it gives \(2^3-1\).
सममितता और प्रतिसममितता साथ हों तो अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं रखा जा सकता। / If symmetry and antisymmetry hold together, no off-diagonal pair between distinct elements can be included.
Step 2
Why this answer is correct
केवल विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / Only diagonal pairs are independently optional.
Step 3
Exam Tip
(4) विकर्ण युग्मों से कुल \(2^4\) संबंध बनेंगे। / With (4) diagonal pairs, the total number is \(2^4\).
(4) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (4) diagonal pairs can be chosen or not chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े के लिए तीन चुनाव होते हैं: पहला युग्म, उल्टा युग्म या कोई नहीं। ऐसे जोड़े \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) हैं। / For each pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the reverse direction, or none. There are \(\frac{4\cdot 3}{2}=6\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^4\cdot 3^6\) होगी। / Hence the total number is \(2^4\cdot 3^6\).
सममितता अलग युग्म के उल्टे युग्म को चाहती है। / Symmetry asks for reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए केवल स्वयं युग्म चुने जा सकते हैं। / Antisymmetry forbids two-way pairs between distinct elements, so only self-pairs may be chosen.
Step 3
Exam Tip
(4) स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / There are (4) free self-pairs, so the count is \(2^4\).
स्वपरकता के कारण सभी (4) स्वयं युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes all (4) self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
अलग तत्वों की \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) जोड़ियों में हर जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं। / For each of the \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) unordered distinct pairs, there are three choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(3^6\) होगी। / Therefore, the count is \(3^6\).
प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्म हों। / Antisymmetry fails when both directions exist for distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती। / So antisymmetry is not violated.
स्वपरकता के कारण तीन स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अलग तत्वों की जोड़ी के लिए तीन चुनाव हैं: पहला दिशा युग्म, दूसरा दिशा युग्म, या कोई नहीं। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: one direction, the other direction, or none.
Step 3
Exam Tip
ऐसी जोड़ियां (3) हैं, इसलिए संख्या \(3^3\) है। / There are (3) such pairs, so the number is \(3^3\).
सममितता अलग तत्वों के उल्टे युग्म मांगती है। / Symmetry asks for reverse pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म नहीं लिए जा सकते। / Antisymmetry forbids both directions between distinct elements, so no non-self pair can be included.
Step 3
Exam Tip
केवल तीन स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / Only the three self-pairs are free, giving \(2^3\) relations.
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.
B. विकर्ण से बाहर कोई विपरीत युग्म साथ नहीं हो सकता/no reverse pair can occur off the diagonal
Step 1
Concept
सममितता कहती है कि ((a,b)) हो तो ((b,a)) भी हो। / Symmetry says that if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता कहती है कि अलग (a,b) के लिए दोनों साथ नहीं हो सकते। / Antisymmetry says that for \(a\ne b\), both cannot be present together.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग अवयवों के बीच युग्म लेना हो तो सावधानी से केवल एक दिशा ली जा सकती है। / Therefore, for distinct elements, no two-way off-diagonal pair can occur.
A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं/Because ((1,2)) and ((2,1)) are both present while \(1\ne2\)
Step 1
Concept
प्रतिसममितता में अलग तत्वों के बीच दोनों दिशाओं के युग्म नहीं होने चाहिए। / In antisymmetry, pairs in both directions should not occur between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (1) और (2) अलग हैं फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / Here (1) and (2) are distinct, yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 3
Exam Tip
इसी कारण प्रतिसममितता टूट जाती है। / Therefore, antisymmetry fails.
प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग (a,b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) हों। / Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) exist for distinct (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती और संबंध प्रतिसममित है। / So antisymmetry is not violated, and the relation is antisymmetric.
प्रतिवर्ती संबंध में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation must contain all (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध अप्रतिवर्ती नहीं हो सकता, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / On a non-empty set, a reflexive relation cannot be irreflexive, so the count is \(2^{12}\).
अप्रतिवर्ती होने से विकर्ण युग्म नहीं रखे जा सकते। / Irreflexivity forbids all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के कारण अलग अवयवों के विपरीत युग्म समूहों को साथ चुनना होगा। / Symmetry makes each off-diagonal reverse-pair group chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
ऐसे समूह (\frac{n(n-1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\) है। / There are (\frac{n(n-1)}{2}) such groups, so the count is \(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\).
प्रतिवर्तीता सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य करती है। सममिति और प्रतिसममिति साथ होने से कोई अविकर्ण युग्म नहीं रह सकता, इसलिए केवल पहचान संबंध संभव है। / Reflexivity makes all diagonal pairs compulsory. Symmetry and antisymmetry together forbid off-diagonal pairs, so only the identity relation is possible.
A. नहीं, संक्रामिता अलग से जांचनी पड़ती है/No, transitivity must be checked separately
Explanation
Simple Explanation
प्रतिवर्तीता और प्रतिसममिति से संक्रामिता स्वतः नहीं मिलती। परीक्षा में हर गुण को उसकी परिभाषा से अलग जांचें। / Reflexivity and antisymmetry do not automatically imply transitivity. In exams, check each property separately from its definition.
अलग तत्वों (3) और (7) के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं हो सकता। यही प्रत्यासममितता की मुख्य जांच है। / For distinct elements (3) and (7), the reverse pair cannot occur together. This is the key test of antisymmetry.
A. \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be in (R)
Step 1
Concept
सममित संबंध की मुख्य शर्त यही है कि हर युग्म का उल्टा युग्म भी हो। / The main condition for a symmetric relation is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध में उल्टे युग्म साथ आ सकते हैं, पर तभी जब दोनों अवयव समान हों। / In an antisymmetric relation, reverse pairs can occur together only when the two elements are equal.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममित और प्रतिसममित को नाम से नहीं, उनकी शर्त से अलग करें। / In exams, separate symmetric and antisymmetric relations by their exact conditions, not by their names.
स्ववाचीता से (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the (3) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर अलग अवयवों की जोड़ी के लिए तीन विकल्प हैं: कोई दिशा नहीं, पहली दिशा, या उल्टी दिशा। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: no direction, one direction, or the opposite direction.
Step 3
Exam Tip
\({3 \choose 2}=3\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are \({3 \choose 2}=3\) such pairs, the count is \(3^3=27\).
प्रतिवर्तिता सभी विकर्ण युग्मों को अनिवार्य बनाती है। / Reflexivity forces all diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने से अलग अवयवों के बीच कोई युग्म नहीं हो सकता। / Symmetry together with antisymmetry allows no pair between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
केवल पहचान संबंध संभव है, इसलिए संख्या (1) है। / Only the identity relation is possible, so the number is (1).
प्रतिवर्ती होने के कारण सभी (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes all (5) diagonal pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
अलग अवयवों के प्रत्येक जोड़े पर प्रतिसममितता के कारण तीन चुनाव हैं। ऐसे जोड़े \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) हैं। / For every pair of distinct elements, antisymmetry gives three choices. There are \(\frac{5\cdot 4}{2}=10\) such pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संबंध \(3^{10}\) होंगे। / Therefore the number of relations is \(3^{10}\).
सार्वत्रिक संबंध में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों होते हैं। / The universal relation contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
\(1\ne2\), इसलिए प्रतिसममितता की शर्त टूटती है। / Since \(1\ne2\), antisymmetry fails.
Step 3
Exam Tip
दो या अधिक तत्वों पर सार्वत्रिक संबंध सामान्यतः प्रतिसममित नहीं होता। / On a set with two or more elements, the universal relation is usually not antisymmetric.
स्वपरकता से तीन स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity requires three self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे, यानी (3) युग्म। / So only ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) remain, giving (3) pairs.
स्वपरकता के कारण सभी स्वयं युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity makes all self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
सममित और प्रतिसममित दोनों होने पर अलग तत्वों वाले युग्म नहीं हो सकते। / Being both symmetric and antisymmetric forbids pairs between distinct elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल स्वयं युग्मों वाला सर्वसम संबंध ही संभव है। / Therefore, only the identity relation is possible.
A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी/Irreflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
(a-a=0) होने से (aRa) कभी सत्य नहीं, इसलिए irreflexive है। यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए transitive है। / Since (a-a=0), (aRa) is never true, so it is irreflexive. If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.
सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। / All (4) diagonal pairs are fixed as absent.
Step 2
Why this answer is correct
केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है। / Each of these (6) blocks can be included or excluded.
कोई विकर्ण युग्म नहीं होने का अर्थ है कि ((a,a)) जैसे सभी युग्म अनुपस्थित रहेंगे। / No diagonal pair means every pair of the form ((a,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
अब केवल (5) अवयवों के \(5\cdot4/2=10\) गैर-विकर्ण जोड़ी समूहों में चुनाव बचेगा। / Only the \(5\cdot4/2=10\) unordered off-diagonal pair groups remain optional.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंध में गैर-विकर्ण युग्म अकेले नहीं, अपने उल्टे के साथ चुने जाते हैं। / In symmetric relations, off-diagonal pairs are selected together with their reverses.
\((1,2)\in R\) है पर \((2,1)\notin R\), इसलिए सममित नहीं है। Diagonal pairs होने से reflexive है। / \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\), so it is not symmetric. Since all diagonal pairs are present, it is reflexive.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी पर प्रतिसममित नहीं/Reflexive and transitive but not antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\leq a^2\) से प्रतिवर्तीता और असमानता से संक्रामिता मिलती है। पर ((-1,1)) और ((1,-1)) दोनों सत्य हैं जबकि \(-1\neq1\)। / \(a^2\leq a^2\) gives reflexivity and the inequality gives transitivity. But ((-1,1)) and ((1,-1)) are both true while \(-1\neq1\).
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\ge a\) सत्य है, और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। साथ ही \(a\ge b\) और \(b\ge a\) से (a=b) होता है। / Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है/It is reflexive and antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
सभी diagonal युग्म हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती है। ((2,1)) नहीं है, इसलिए ((1,2)) से प्रतिसममिति नहीं टूटती। / All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
A. यह सममित और विरोधी सममित दोनों होगा/It will be both symmetric and antisymmetric
Step 1
Concept
अपने युग्म का उल्टा वही युग्म होता है, इसलिए सममितता पूरी होती है। / The reverse of a self-pair is the same pair, so symmetry holds.
Step 2
Why this answer is correct
असमान अवयवों के दोनों दिशाओं वाले युग्म नहीं हैं, इसलिए विरोधी सममितता भी है। / There are no two-way pairs between unequal elements, so antisymmetry also holds.
Step 3
Exam Tip
केवल अपने युग्मों वाले संबंधों में दोनों गुण साथ मिल सकते हैं। / Relations with only self-pairs can satisfy both properties.
A. स्वसम और संक्रमणीय, पर विरोधी सममित नहीं/Reflexive and transitive, but not antisymmetric
Step 1
Concept
\(|a|\le |a|\) हमेशा सत्य है, इसलिए स्वसमता है। / \(|a|\le |a|\) is always true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\le |b|\) और \(|b|\le |c|\), तो \(|a|\le |c|\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(|a|\le |b|\) and \(|b|\le |c|\), then \(|a|\le |c|\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
(1) और (-1) अलग हैं, फिर भी दोनों दिशाओं में संबंध हो सकता है, इसलिए विरोधी सममितता नहीं है। / (1) and (-1) are different but can be related both ways, so antisymmetry fails.
यह शर्त बताती है कि दो अलग तत्व दोनों दिशाओं में संबंधित नहीं हो सकते। / This condition says that two distinct elements cannot be related in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
यही प्रतिसममितता की पहचान है। / This is the identity of antisymmetry.
Step 3
Exam Tip
सममितता और प्रतिसममितता को उल्टे युग्मों के आधार पर अलग समझें। / Understand symmetry and antisymmetry separately through reverse pairs.
