B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले उल्टा मानते हैं कि \(\sqrt{2}\) परिमेय है। बाद में यही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / In contradiction method we first assume the opposite that \(\sqrt{2}\) is rational. Later this assumption is shown false.
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ (p) और (q) पूर्णांक होते हैं। / When assumed rational, \(\sqrt{3}\) is written as \(\frac{p}{q}\). Here (p) and (q) are integers.
सरलतम रूप में अंश और हर का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। यही सहभाज्य होने का अर्थ है। / In lowest form, the numerator and denominator have only (1) as common factor. This means they are coprime.
A. किसी पूर्णांक का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता; \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
Explanation
Simple Explanation
पूर्णांक होने से उसका वर्गमूल परिमेय होना आवश्यक नहीं है। \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय है। परीक्षा टिप: केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Being an integer does not guarantee that its square root is rational. \(\sqrt{2}\) cannot be written as a ratio of two integers, so it is irrational. Exam tip: only perfect squares have integer square roots.
B. एक सीमित दशमलव सन्निकटन किसी संख्या के परिमेय होने को सिद्ध नहीं करता/A finite decimal approximation does not prove that a number is rational
Explanation
Simple Explanation
\(1.732\), \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट मान है, उसका ठीक मान नहीं। वास्तव में \((1.732)^2=2.999824\ne3\)। परिमेयता के लिए दशमलव प्रसार का ठीक-ठीक समाप्त या आवर्ती होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सन्निकटन को कभी प्रमाण न मानें। / \(1.732\) is only an approximation of \(\sqrt{3}\), not its exact value. In fact, \((1.732)^2=2.999824\ne3\). A rational number must have an exact terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: never treat an approximation as a proof.
दिए गए समीकरण \(\sqrt{3}=\frac{r}{s}\) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(3=\frac{r^2}{s^2}\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(s^2\) से गुणा करने पर \(r^2=3s^2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B में अनुपात उलट जाता है। परीक्षा टिप: भिन्न वाले समीकरण का वर्ग करने के बाद हर हटाने के लिए दोनों पक्षों को हर के वर्ग से गुणा करें। / Squaring both sides of \(\sqrt{3}=\frac{r}{s}\) gives \(3=\frac{r^2}{s^2}\). Multiplying both sides by \(s^2\) gives \(r^2=3s^2\), so option C is correct. In option B, the relationship is reversed. Exam tip: after squaring an equation involving a fraction, multiply by the square of the denominator to remove the fraction.
D. \(r^2\) 3 से विभाज्य है/\(r^2\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
दिया है कि \(r^2=3s^2\)। पूर्णांकों के लिए \(s^2\) भी पूर्णांक होता है, इसलिए \(r^2\), 3 और एक पूर्णांक \(s^2\) का गुणनफल है। अतः \(r^2\) 3 से विभाज्य है। \(r^2\) का 2 से विभाज्य होना इस समीकरण से निश्चित नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी संख्या को \(k\) से विभाज्य सिद्ध करने के लिए उसे \(k\times\) (पूर्णांक) के रूप में लिखें। / Given \(r^2=3s^2\). For integers, \(s^2\) is an integer, so \(r^2\) is the product of 3 and the integer \(s^2\). Hence, \(r^2\) is divisible by 3. The equation does not necessarily imply that \(r^2\) is divisible by 2. Exam tip: To prove divisibility by \(k\), express the number as \(k\times\) an integer.
पूर्णांक का वर्ग सम हो तो वह पूर्णांक भी सम होता है। यह \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का मुख्य तथ्य है। / If an integer has an even square, the integer is also even. This is the key fact in the proof of \(\sqrt{2}\).
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (x) (3) से विभाज्य है। / If prime factor (3) divides a square, it divides the number too. Therefore (x) is divisible by (3).
विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=p/q\) मानें, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
C. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों का समान गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: a common factor in both numerator and denominator gives the contradiction.
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जबकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में है।
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है। यह सरलतम रूप के विरुद्ध है; केवल \(p^2\) का सम होना विरोधाभास नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अभाज्य होने की शर्त अवश्य लिखें। / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) with coprime integers \(p,q\). From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even, and then \(q\) is also even. This contradicts the fraction being in lowest terms; \(p^2\) being even alone is not a contradiction. Exam tip: state the coprime condition clearly.
दिया है \(m=2k\)। इसे \(m^2=2n^2\) में रखने पर \((2k)^2=2n^2\), अर्थात \(4k^2=2n^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(n^2=2k^2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। \(n^2=k^2\) में 2 का गुणनखंड छूट जाता है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद वर्ग करने पर गुणांक को भी वर्ग करना न भूलें। / Given \(m=2k\), substitute it into \(m^2=2n^2\). This gives \((2k)^2=2n^2\), or \(4k^2=2n^2\). Dividing both sides by 2, we get \(n^2=2k^2\). Hence, option B is correct. In \(n^2=k^2\), the factor 2 has been incorrectly omitted. Exam tip: when substituting a term that is squared, square its coefficient as well.
दिया है \(r=3t\)। इसे \(r^2=3s^2\) में रखने पर \((3t)^2=3s^2\), अर्थात \(9t^2=3s^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर \(s^2=3t^2\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(t=0\) निष्कर्ष के रूप में आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद वर्ग और गुणांकों को सावधानी से सरल करें। / Given \(r=3t\), substitute it into \(r^2=3s^2\). This gives \((3t)^2=3s^2\), or \(9t^2=3s^2\). Dividing both sides by 3 gives \(s^2=3t^2\). Hence, option C is correct. \(t=0\) does not necessarily follow. Exam tip: After substitution, square the expression correctly and then simplify the coefficients.
A. 1.732 केवल सन्निकट मान है; \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।/1.732 is only an approximation; \(\sqrt{3}\) is irrational.
Explanation
Simple Explanation
1.732, \(\sqrt{3}\) का केवल सन्निकट दशमलव मान है, सटीक मान नहीं। वास्तव में \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है। परीक्षा में समाप्त दशमलव और सन्निकट मान में अंतर अवश्य जाँचें। / 1.732 is only an approximate decimal value of \(\sqrt{3}\), not its exact value. In fact, \(1.732^2=2.999824\), not 3. Exam tip: distinguish a terminating approximation from an exact decimal expansion.
\(s^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (s) भी (3) से विभाज्य होगा। यही अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / Since \(s^2\) is divisible by (3), (s) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
A. \(\frac{6}{10}\) का वर्ग 3 नहीं, बल्कि \(\frac{9}{25}\) है।
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\) और \(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}\), जो 3 के बराबर नहीं है। किसी संख्या का वर्ग 3 होने पर ही वह \(\sqrt{3}\) होगी। निकट मान बराबरी सिद्ध नहीं करता। परीक्षा में दावे को जाँचने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग लें। / \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\), and \(\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}\), not 3. A number equals \(\sqrt{3}\) only if its square is 3; being close is not enough. Exam tip: square a claimed value to verify it.
एक विद्यार्थी
\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) मिलने पर वह तुरंत कहता है कि \(q\) सम है। शिक्षक को उसकी त्रुटि कैसे सुधारनी चाहिए?
A. पहले \(p^2\) सम होने से \(p\) को सम सिद्ध करना चाहिए; फिर \(p=2k\) रखने पर \(q\) सम मिलता है/First prove that \(p\) is even because \(p^2\) is even; then put \(p=2k\) to obtain that \(q\) is even.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है। टिप: सम वर्ग का मूल सम होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) must be even. Substituting \(p=2k\) gives \(q^2=2k^2\), hence \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Tip: an even square has an even root.
A. केवल अनंत दशमलव प्रसार अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता; प्रसार आवर्ती भी हो सकता है, जैसे \(1/3 / An infinite decimal expansion alone does not prove irrationality; it may be recurring, as in \(1
Explanation
Simple Explanation
अनंत दशमलव प्रसार मात्र से संख्या अपरिमेय नहीं होती, क्योंकि \(1/3=0.333\ldots\) परिमेय है। \(\sqrt{3}\) के लिए मानते हैं \(p/q\) सरलतम रूप में है; तब 3 से \(p\) और \(q\) दोनों विभाज्य निकलते हैं, जो विरोधाभास है। परीक्षा टिप: “अनंत” और “अनावर्ती” में अंतर याद रखें। / An infinite decimal alone does not imply irrationality: \(1/3=0.333\ldots\) is rational. For \(\sqrt{3}\), assume \(p/q\) is in lowest terms; the proof shows that both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, a contradiction. Exam tip: distinguish non-terminating recurring decimals from non-recurring decimals.
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि वाले प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=3q^2\) से कौन-सा कथन विरोधाभास उत्पन्न करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \(p=3k\)। इसे रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-विभाज्यता नियम का प्रयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so the prime-factor rule gives \(p=3k\). Substitution gives \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime divisibility rule for squares.
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम होते हैं/Both \(p\) and \(q\) are even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। इससे \(p\) सम, और फिर \(q\) भी सम सिद्ध होता है। अतः दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड है, जो सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास ‘सह-अभाज्य’ होने से जुड़ा है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\). Hence \(p\) is even, and then \(q\) is also even. They have a common factor 2, contradicting lowest terms. Exam tip: link the contradiction to coprime numerator and denominator.
C. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विकल्प C कथन का प्रतिवाद है: 2 पूर्णांक है, पर \(\sqrt{2}\) पूर्णांक या परिमेय नहीं है। मानें \(\sqrt{2}=p/q\), तब \(p^2=2q^2\) से p और q दोनों सम निकलते हैं, जो विरोध है। परीक्षा में एक प्रतिवाद सार्वत्रिक कथन को असत्य सिद्ध करता है। / Option C is a counterexample: 2 is an integer, but \(\sqrt{2}\) is neither an integer nor rational. If \(\sqrt{2}=p/q\), then \(p^2=2q^2\) makes both p and q even, a contradiction. Exam tip: one counterexample disproves a universal statement.
कक्षा में ext{अमन} ने ext{मान लिया कि } ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)} है, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे ext{\(p^2=3q^2\)} मिलता है। अमन कहता है, “ ext{\(3\mid p^2\)} से यह आवश्यक नहीं कि ext{\(3\mid p\)} हो।” अमन के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
A. अमन का कथन गलत है; क्योंकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है।/Aman’s statement is incorrect; since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने पर उसके वर्ग को विभाजित करने का अर्थ है कि \(p\) भी 3 से विभाज्य है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for such proofs.
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सकती है। इसलिए \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) परिमेय मान्यता है। / A rational number can be written as a ratio of two integers. So \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) is a rational assumption.
यदि कोई संख्या \(\frac{r}{s}\) के रूप में लिखी जाए तो वह परिमेय मानी जा रही है। यही प्रमाण की प्रारंभिक मान्यता है। / If a number is written as \(\frac{r}{s}\), it is being assumed rational. This is the initial assumption of the proof.
A. यदि √12 परिमेय होता, तो उसे 2 से भाग देने पर √3 भी परिमेय होता, जो असंभव है।/If √12 were rational, then dividing it by 2 would make √3 rational, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
√12 = 2√3 है। यदि √12 परिमेय मानें, तो परिमेय संख्या को 2 से भाग देने पर √3 परिमेय होगा, जबकि √3 अपरिमेय है। इसलिए √12 अपरिमेय है। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्या का गैर-शून्य परिमेय गुणज भी अपरिमेय होता है। / Since √12 = 2√3, assuming √12 rational gives √3 = √12 ÷ 2 as rational. This contradicts the known irrationality of √3, so √12 is irrational. Exam tip: A non-zero rational multiple of an irrational number is irrational.
D. सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास दिखाना/To show contradiction with coprime assumption
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (r) और (s) सहभाज्य होते हैं। दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest form (r) and (s) are coprime. Both being divisible by (3) gives a contradiction.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / First \(\sqrt{2}\) is assumed rational. Then squaring gives the contradiction that both are even.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में परिमेय मान्यता के बाद वर्ग करते हैं। फिर दोनों संख्याओं का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास देता है। / For \(\sqrt{3}\), after the rational assumption we square. Then both numbers becoming divisible by (3) gives a contradiction.
A. 3 के निकट होने वाला वर्ग यह सिद्ध नहीं करता कि उसका वर्गमूल परिमेय है
Explanation
Simple Explanation
\(1.7^2=2.89\) केवल 3 का एक निकट मान देता है, बराबरी नहीं। किसी परिमेय संख्या का वर्ग 3 के ठीक बराबर होना चाहिए। वास्तव में \(1.7=17/10\) है, पर उसका वर्ग \(289/100\) है। परीक्षा में ‘निकट’ और ‘बराबर’ में अंतर अवश्य जाँचें। / \(1.7^2=2.89\) is only close to 3, not equal to it. A rational number would need to have square exactly 3. In fact, \(1.7=17/10\), and its square is \(289/100\). Exam tip: never treat an approximation as an exact proof.
एक विद्यार्थी कहता है, “1.732 एक समाप्त दशमलव है और यह
\(\sqrt{3}\) के बहुत निकट है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय है।” उसके तर्क में मुख्य त्रुटि क्या है?
A. सन्निकट मान को वास्तविक संख्या के बिल्कुल बराबर मान लेना/Treating an approximation as exactly equal to the actual number
Explanation
Simple Explanation
1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है, उसका सटीक मान नहीं। जाँच करें: \((1.732)^2=2.999824\ne3\)। परीक्षा में सन्निकटन और बराबरी के चिह्न में अंतर अवश्य देखें। / 1.732 is only an approximation, not the exact value of \(\sqrt{3}\). Check: \((1.732)^2=2.999824\ne3\). In exams, never treat a close decimal approximation as an equality.
एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है। इस चरण से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?
A. p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both p and q are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः q भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के लिए \(r\mid p^2\Rightarrow r\mid p\) याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so the prime 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: remember \(r\mid p^2\Rightarrow r\mid p\) for a prime \(r\).
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) दिखाता है। यह सहभाज्य मान्यता से विरोधाभास है। / Both being divisible by (3) shows common factor (3). This contradicts the coprime assumption.
सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड केवल (1) होता है। इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) है। / Coprime numbers have only (1) as common factor. Therefore their highest common factor is (1).
D. (m) और (n) दोनों सम हैं/Both (m) and (n) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में दोनों का सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य हो जाएगा। / In lowest form both should not have a common factor. If both are even, (2) becomes common.
C. कैलकुलेटर का मान सन्निकट होता है; \(\sqrt{2}\) का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।
Explanation
Simple Explanation
कैलकुलेटर 1.414 को केवल सन्निकट मान के रूप में दिखाता है, सटीक मान के रूप में नहीं। \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) अनंत तथा अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। परीक्षा में प्रदर्शित दशमलव और सटीक दशमलव में अंतर रखें। / A calculator shows 1.414 only as an approximation, not as the exact value. \(\sqrt{2}=1.414213\ldots\) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Exam tip: never treat a rounded display as proof of rationality.
B. क्योंकि प्रमाण विभाज्यता और विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on divisibility and contradiction
Explanation
Simple Explanation
इस प्रमाण में दशमलव की जगह समता और सहभाज्य शर्त का उपयोग होता है। यही परीक्षा में लिखना चाहिए। / This proof uses evenness and the coprime condition instead of decimals. This is what should be written in exams.
\(\sqrt{3}\) का प्रमाण दशमलव अनुमान से नहीं होता। इसमें (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का उपयोग होता है। / The proof of \(\sqrt{3}\) does not use decimal approximation. It uses divisibility by (3) and contradiction.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास केवल परिमेय होने की मान्यता को गलत करता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / The contradiction makes only the rationality assumption false. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
D. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले मानते हैं कि \(\sqrt{3}=p/q\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर \(3q^2=p^2\) मिलता है, जिससे \(p\) तथा फिर \(q\), दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध होते हैं। यह उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। अतः \(\sqrt{3}\) के परिमेय होने की मान्यता अस्वीकार होती है। \(\sqrt{3}\) धनात्मक और वास्तविक अवश्य है, पर वे इस विरोधाभास से अस्वीकार नहीं होते। परीक्षा टिप: विरोधाभास मिलने पर प्रारम्भ में ली गई मान्यता को ही गलत निष्कर्ष मानें। / In proof by contradiction, assume that \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, \(3q^2=p^2\), which shows that \(p\), and then \(q\), are both divisible by 3. This contradicts their being coprime. Hence the assumption that \(\sqrt{3}\) is rational is rejected. \(\sqrt{3}\) is still positive and real; those facts are not rejected by the contradiction. Exam tip: when a contradiction is obtained, reject the initial assumption used in the proof.
रिया मानती है कि
\(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण में यदि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो इससे कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?
A. यह मान्यता का विरोधाभास है, क्योंकि \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य नहीं रह सकते।/This contradicts the assumption because \(a\) and \(b\) cannot remain coprime.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\) और \(b\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है। यह सह-अभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास में उभयनिष्ठ गुणनखंड अवश्य लिखें। / If both \(a\) and \(b\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the assumption that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) is irrational. Exam tip: state the common factor clearly in a contradiction proof.
B. यह सुनिश्चित करना कि \(p\) और \(q\) का कोई सामान्य गुणनखंड न हो/To ensure that \(p\) and \(q\) have no common factor
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप का अर्थ है कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण में दोनों सम निकलते हैं, जो इस मान्यता के विरुद्ध विरोधाभास है। परीक्षा टिप: “lowest terms” का अर्थ सामान्य गुणनखंड 1 है। / Lowest terms means that \(p\) and \(q\) are coprime. The proof shows that both are even, contradicting this assumption. Exam tip: read “lowest terms” as “common factor is 1.”
A. यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) 3 से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-गुणधर्म का उपयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.
A. किसी अपरिमेय संख्या को शून्येतर परिमेय संख्या से गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।/Multiplying an irrational number by a non-zero rational number keeps the result irrational.
Explanation
Simple Explanation
यदि \(2\sqrt{2}=r\) परिमेय होता, तो \(\sqrt{2}=r/2\) भी परिमेय होता, जो विरोधाभास है। शून्येतर परिमेय गुणक से अपरिमेय संख्या अपरिमेय ही रहती है। परीक्षा में गुणक को भाग देकर जाँचें। / If \(2\sqrt{2}=r\) were rational, then \(\sqrt{2}=r/2\) would also be rational, a contradiction. A non-zero rational multiple of an irrational remains irrational. Exam tip: divide by the rational factor to test the claim.
C. दिखाना कि वे दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखे जा सकते/To show they cannot be written as a ratio of two integers
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता। ये प्रमाण यही सिद्ध करते हैं। / An irrational number cannot be written as a ratio of two integers. These proofs establish exactly that.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों के परिमेय मानने से विरोधाभास मिलता है। इसलिए दोनों अपरिमेय हैं। / Assuming either \(\sqrt{2}\) or \(\sqrt{3}\) rational gives a contradiction. Therefore both are irrational.
A. (m) और (n) को पहले से दोनों सम मान लेना/Assuming (m) and (n) both even from the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण के अंत में निकाला गया विरोधाभास है। इसे शुरुआत में नहीं मानना चाहिए। / Both being even is the contradiction derived at the end. It should not be assumed at the start.
C. (r) और (s) को शुरुआत से ही (3) से विभाज्य मानना/Assuming (r) and (s) divisible by (3) from the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में निकाला जाता है। शुरुआत में केवल सहभाज्य माना जाता है। / Both being divisible by (3) is derived later in the proof. At the start they are only assumed coprime.
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। इसलिए (m) और (n) पूर्णांक माने जाते हैं। / A rational number is written as a ratio of two integers. Therefore (m) and (n) are assumed integers.
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। इसलिए (r) और (s) पूर्णांक माने जाते हैं। / A rational number is written as a ratio of two integers. Therefore (r) and (s) are assumed integers.
