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A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. The student obtains \(p^2=3q^2\). Which conclusion from this step establishes the contradiction?एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। उसे \(p^2=3q^2\) मिलता है। इस चरण से कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास स्थापित करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both p and q are divisible by 3p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so the prime 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts coprimality. Exam tip: remember \(r\mid p^2\Rightarrow r\mid p\) for a prime \(r\).\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य 3, \(p\) को विभाजित करेगा। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः q भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड के लिए \(r\mid p^2\Rightarrow r\mid p\) याद रखें।
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