Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 21

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि वाले प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=3q^2\) से कौन-सा कथन विरोधाभास उत्पन्न करता है?

In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) where \(p\) and \(q\) are coprime, which statement follows from \(p^2=3q^2\) and creates the contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \(p=3k\)। इसे रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-विभाज्यता नियम का प्रयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so the prime-factor rule gives \(p=3k\). Substitution gives \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime divisibility rule for squares.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-विधि वाले प्रमाण में, यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=3q^2\) से कौन-सा कथन विरोधाभास उत्पन्न करता है? / In the proof by contradiction that \(\sqrt{3}\) is irrational, if \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) where \(p\) and \(q\) are coprime, which statement follows from \(p^2=3q^2\) and creates the contradiction?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए अभाज्य गुणनखंड नियम से \(p=3k\)। इसे रखने पर \(q^2=3k^2\), अतः \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-विभाज्यता नियम का प्रयोग करें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so the prime-factor rule gives \(p=3k\). Substitution gives \(q^2=3k^2\), making \(q\) divisible by 3 too. This contradicts coprimality. Exam tip: use the prime divisibility rule for squares.