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While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, if \(\sqrt{3}=p/q\) where \(p\) and \(q\) are coprime, which conclusion is essential to the proof?विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=p/q\) और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो कौन-सा निष्कर्ष प्रमाण के लिए आवश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: If \(p^2\) is divisible by 3, then \(p\) is divisible by 3यदि \(p^2\) 3 से विभाज्य है, तो \(p\) 3 से विभाज्य है
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\); then \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisibility property of squares.\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य संख्या के वर्ग-गुणधर्म का उपयोग करें।
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