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If \(\sqrt{2}\) is assumed to be \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, which conclusion creates the contradiction in proving that it is irrational?यदि \(\sqrt{2}\) को सबसे सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) माना जाए, तो उसके अपरिमेय होने के प्रमाण में कौन-सा निष्कर्ष विरोधाभास उत्पन्न करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both \(p\) and \(q\) are even\(p\) और \(q\) दोनों सम होते हैं
Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\). Hence \(p\) is even, and then \(q\) is also even. They have a common factor 2, contradicting lowest terms. Exam tip: link the contradiction to coprime numerator and denominator.\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। इससे \(p\) सम, और फिर \(q\) भी सम सिद्ध होता है। अतः दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड है, जो सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: विरोधाभास ‘सह-अभाज्य’ होने से जुड़ा है।
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