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While proving the irrationality of \(\sqrt{3}\) by contradiction, suppose \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. Which conclusion produces a contradiction to this assumption?विरोधाभास विधि से
\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{3}=p/q\) मानें, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता का विरोधाभास उत्पन्न करता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3\(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं
From \(3q^2=p^2\), \(p^2\), hence \(p\), is divisible by 3. Putting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: a common factor in both numerator and denominator gives the contradiction.\(3q^2=p^2\) से \(p^2\), और इसलिए \(p\), 3 से विभाज्य होता है। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: दोनों पदों का समान गुणनखंड ही विरोधाभास बनाता है।
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