Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 21

एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) मिलने पर वह तुरंत कहता है कि \(q\) सम है। शिक्षक को उसकी त्रुटि कैसे सुधारनी चाहिए?

While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), a student assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. On obtaining \(p^2=2q^2\), the student immediately says that \(q\) is even. How should the teacher correct the error?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. पहले \(p^2\) सम होने से \(p\) को सम सिद्ध करना चाहिए; फिर \(p=2k\) रखने पर \(q\) सम मिलता हैFirst prove that \(p\) is even because \(p^2\) is even; then put \(p=2k\) to obtain that \(q\) is even.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है। टिप: सम वर्ग का मूल सम होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) must be even. Substituting \(p=2k\) gives \(q^2=2k^2\), hence \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Tip: an even square has an even root.

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एक विद्यार्थी \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) मिलने पर वह तुरंत कहता है कि \(q\) सम है। शिक्षक को उसकी त्रुटि कैसे सुधारनी चाहिए? / While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), a student assumes \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime. On obtaining \(p^2=2q^2\), the student immediately says that \(q\) is even. How should the teacher correct the error?

Correct Answer: A. पहले \(p^2\) सम होने से \(p\) को सम सिद्ध करना चाहिए; फिर \(p=2k\) रखने पर \(q\) सम मिलता है / First prove that \(p\) is even because \(p^2\) is even; then put \(p=2k\) to obtain that \(q\) is even.. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(4k^2=2q^2\), अतः \(q^2=2k^2\) और \(q\) भी सम है। टिप: सम वर्ग का मूल सम होता है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) must be even. Substituting \(p=2k\) gives \(q^2=2k^2\), hence \(q\) is also even. This contradicts coprimality. Tip: an even square has an even root.