Aman assumes that ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)}, where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime. On squaring, he gets ext{\(p^2=3q^2\)}. Aman says, “ ext{\(3\mid p^2\)} does not necessarily imply ext{\(3\mid p\)}.” What is the correct evaluation of Aman’s statement?कक्षा में ext{अमन} ने ext{मान लिया कि } ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)} है, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे ext{\(p^2=3q^2\)} मिलता है। अमन कहता है, “ ext{\(3\mid p^2\)} से यह आवश्यक नहीं कि ext{\(3\mid p\)} हो।” अमन के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Aman’s statement is incorrect; since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).अमन का कथन गलत है; क्योंकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है।
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for such proofs.\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने पर उसके वर्ग को विभाजित करने का अर्थ है कि \(p\) भी 3 से विभाज्य है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें।
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