Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Easy Level 21

कक्षा में ext{अमन} ने ext{मान लिया कि } ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)} है, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे ext{\(p^2=3q^2\)} मिलता है। अमन कहता है, “ ext{\(3\mid p^2\)} से यह आवश्यक नहीं कि ext{\(3\mid p\)} हो।” अमन के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?

Aman assumes that ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)}, where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime. On squaring, he gets ext{\(p^2=3q^2\)}. Aman says, “ ext{\(3\mid p^2\)} does not necessarily imply ext{\(3\mid p\)}.” What is the correct evaluation of Aman’s statement?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. अमन का कथन गलत है; क्योंकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है।Aman’s statement is incorrect; since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने पर उसके वर्ग को विभाजित करने का अर्थ है कि \(p\) भी 3 से विभाज्य है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for such proofs.

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कक्षा में ext{अमन} ने ext{मान लिया कि } ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)} है, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर उसे ext{\(p^2=3q^2\)} मिलता है। अमन कहता है, “ ext{\(3\mid p^2\)} से यह आवश्यक नहीं कि ext{\(3\mid p\)} हो।” अमन के कथन का सही मूल्यांकन क्या है? / Aman assumes that ext{\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)}, where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime. On squaring, he gets ext{\(p^2=3q^2\)}. Aman says, “ ext{\(3\mid p^2\)} does not necessarily imply ext{\(3\mid p\)}.” What is the correct evaluation of Aman’s statement?

Correct Answer: A. अमन का कथन गलत है; क्योंकि 3 अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) होता है। / Aman’s statement is incorrect; since 3 is prime, \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\).. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है। 3 अभाज्य होने पर उसके वर्ग को विभाजित करने का अर्थ है कि \(p\) भी 3 से विभाज्य है। फिर \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: अभाज्य गुणनखंड का नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of \(p^2\) by 3 implies \(3\mid p\). Putting \(p=3k\) then shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-factor rule for such proofs.