Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. 1.732 एक सन्निकटन है; इसका परिमेय होना \(\sqrt{3}\) के परिमेय होने को सिद्ध नहीं करता/1.732 is an approximation; its rationality does not prove that \(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
1.732 एक समाप्त दशमलव वाला परिमेय सन्निकटन है, स्वयं \(\sqrt{3}\) नहीं। जाँचें: \(1.732^2=2.999824\), 3 नहीं। परीक्षा में सन्निकटन और ठीक मान अलग रखें। / 1.732 is a terminating rational approximation, not \(\sqrt{3}\) itself. Check: \(1.732^2=2.999824\), not 3. Exam tip: distinguish an approximate value from an exact value.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय \(p/q\) को न्यूनतम रूप में मानने के बाद, निम्न में से कौन-सी स्थिति इस मान्यता का प्रत्यक्ष विरोध करती है?
A. अंश और हर दोनों 2 से विभाज्य हैं/Both numerator and denominator are divisible by 2
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है, इसलिए दोनों में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह न्यूनतम रूप के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप में अंश-हर सह-अभाज्य होते हैं। / From \(p^2=2q^2\), \(p\) must be even. Put \(p=2k\); then \(q\) is also even, so both share the factor 2. This contradicts lowest terms. Exam tip: a fraction in lowest terms has coprime numerator and denominator.
विरोधाभास विधि में मान लेते हैं कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) परस्पर सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। यदि \(3n^2=m^2\) प्राप्त हो, तो कौन-सा निष्कर्ष निर्णायक रूप से दिखाता है कि यह धारणा असंभव है?
B. \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(m\) and \(n\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid m^2\) से \(3\mid m\)। \(m=3k\) रखने पर \(n^2=3k^2\), अतः \(3\mid n\)। केवल \(m\) पर्याप्त नहीं; दोनों में 3 होने से सह-अभाज्यता टूटती है। टिप: अभाज्य विभाज्यता नियम लगाएँ। / Since \(3\mid m^2\), \(3\mid m\). Let \(m=3k\); then \(n^2=3k^2\), so \(3\mid n\). Both share 3, contradicting coprimality. Tip: use the prime-divisor rule.
\(p/q\) को न्यूनतम रूप में लेने पर \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होते हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो इस शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप अवश्य लिखें। / Writing \(p/q\) in lowest terms makes \(p\) and \(q\) coprime. From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even and then \(q\) is also even, contradicting this condition. Exam tip: always state “lowest terms.”
A. \(\sqrt{3}=\frac{p}{q},\ p,q\in\mathbb{Z},\ \gcd(p,q)=1,\ q\ne0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मानने पर \(\sqrt{3}=p/q\) को न्यूनतम रूप में लेते हैं। \(3q^2=p^2\) से \(p\), फिर \(q\), 3 से विभाज्य होते हैं—विरोधाभास। परीक्षा में सह-अभाज्य शर्त अवश्य लिखें। / If rational, \(\sqrt{3}\) is written as \(p/q\) in lowest terms. From \(3q^2=p^2\), first \(p\) and then \(q\) are divisible by 3, giving a contradiction. Exam tip: always state coprimality.
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
A. 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) परिमेय हो जाएगा, जो विरोधाभास है।/Subtracting 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, which is a contradiction.
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(5+\sqrt{3}\) परिमेय है। उसमें से परिमेय 5 घटाने पर \(\sqrt{3}\) भी परिमेय निकलेगा, जो असंभव है। टिप: परिमेय संख्याएँ घटाव के लिए बंद होती हैं। / If \(5+\sqrt{3}\) were rational, subtracting the rational number 5 would make \(\sqrt{3}\) rational, contradicting its irrationality. Exam tip: rational numbers are closed under subtraction.
B. 1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है; \(1.732^2\ne3\)/1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\); \(1.732^2\ne3\).
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर B है। \(1.732^2=2.999824\), जो 3 नहीं है; अतः 1.732 केवल \(\sqrt{3}\) का सन्निकट मान है। समाप्त दशमलव का गुण 1.732 पर लागू होता है, \(\sqrt{3}\) पर नहीं। परीक्षा में सन्निकट और सटीक मान अलग रखें। / Option B is correct. \(1.732^2=2.999824\), not 3, so 1.732 is only an approximation of \(\sqrt{3}\). A terminating decimal describes 1.732, not the exact value of \(\sqrt{3}\). In exams, distinguish a rounded value from an exact value.
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा। / In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
A. इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती है/Its decimal expansion is non-terminating and non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। \(\sqrt{2}\) असांत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है; विकल्प D परिमेय संख्या का लक्षण है। परीक्षा-युक्ति: ‘अनावर्ती’ शब्द पहचानें। / A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. \(\sqrt{2}\) is non-terminating and non-recurring, so it is irrational; option D describes a rational decimal. Exam tip: look for “non-recurring”.
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है। / When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
A. यह सुनिश्चित करने के लिए कि \(p\) और \(q\) का कोई समान गुणनखंड न हो/To ensure that \(p\) and \(q\) have no common factor
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(\sqrt{2}=p/q\), जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: न्यूनतम रूप अवश्य लिखें। / Assume \(\sqrt{2}=p/q\) with coprime \(p,q\). From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even, and then \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: always state that the fraction is in lowest terms.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के दौरान यदि \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो विद्यार्थी के कथन में कौन-सी त्रुटि है?
A. दोनों संख्याओं का 3 से विभाज्य होना उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है/Both numbers being divisible by 3 contradicts their being coprime.
Explanation
Simple Explanation
सह-अभाज्य \(m,n\) का कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों 3 से विभाज्य हों तो \(\gcd(m,n)\ge3\), अतः \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / Coprime \(m,n\) have no common prime factor. If both are divisible by 3, then \(\gcd(m,n)\ge3\), so \(\frac{m}{n}\) was not in lowest terms. Exam tip: check the claimed common factor.
A. यदि विकर्ण \(m/n हो और \(m,n\) सह-अभाज्य हों, तो \(m^2=2n^2\) से \(m\) तथा \(n\) दोनों सम सिद्ध होते हैं, जो असंभव है। / If the diagonal is \(m / n\) with \(m,n\) coprime, then \(m^2=2n^2\) shows that both \(m\) and \(n\) are even, which is impossible.
Explanation
Simple Explanation
विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}=m/n\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। \(m=2k\) रखने पर \(n\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प C गलत है, क्योंकि अनंत दशमलव आवर्ती भी हो सकता है। परीक्षा में न्यूनतम रूप की शर्त लिखें। / The diagonal is \(\sqrt{2}\). Assuming \(\sqrt{2}=m/n\) in lowest terms gives \(m^2=2n^2\). Put \(m=2k\); then \(n\) is also even, contradicting coprimality. Option C is wrong because an infinite decimal may repeat. Exam tip: state the lowest-terms assumption first.
1 सेमी भुजा वाले वर्ग के विकर्ण के बारे में रीना कहती है कि भुजा परिमेय होने से विकर्ण की लंबाई भी परिमेय होगी। रीना के निष्कर्ष में त्रुटि दर्शाने वाला कौन-सा कथन सही है?
A. पाइथागोरस प्रमेय से \(d^2=1^2+1^2=2\), अतः \(d=\sqrt{2}\), जो अपरिमेय है।/By Pythagoras’ theorem, \(d^2=1^2+1^2=2\), so \(d=\sqrt{2}\), which is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(d^2=2\), अतः \(d=\sqrt{2}\) है, जो अपरिमेय है। B गलत है: परिमेय वर्ग का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता। टिप: पहले पाइथागोरस से \(d^2\) निकालें। / Since \(d^2=2\), \(d=\sqrt{2}\), which is irrational. B is false: a rational square need not have a rational square root. Exam tip: find \(d^2\) first using Pythagoras.
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) माना, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, और उसे \(p^2=3q^2\) मिला। विरोधाभास तक पहुँचने के लिए निम्न में से कौन-सा अगला चरण तर्कसंगत है?
A. पहले \(p=3k\) लिखें; प्रतिस्थापन से \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें और \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध करें/First write \(p=3k\); substitute to obtain \(q^2=3k^2\) and show that \(q\) is also divisible by 3.
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid p^2\) से अभाज्य-वर्ग नियम द्वारा \(3\mid p\), अतः \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\); सीधे \(q=3k\) मानना तर्क नहीं है। टिप: दोनों निष्कर्ष लिखें। / From \(3\mid p^2\), the prime-square rule gives \(3\mid p\), so \(p=3k\). Substitution yields \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\); assuming it directly is invalid. Exam tip: write both divisibility steps.
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) माना, जहाँ \(a\) और \(b\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(a^2=2b^2\) से वह निष्कर्ष निकालता है कि \(a\) और \(b\) दोनों सम हैं। निम्न में से कौन-सा कथन बताता है कि इससे विरोधाभास क्यों मिलता है?
A. \(a\) और \(b\) दोनों सम होने पर वे सह-अभाज्य नहीं रह सकते।/If both \(a\) and \(b\) are even, they cannot be coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से \(a\) सम है। \(a=2k\) रखने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(b\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। टिप: भिन्न को सरलतम रूप में मानें। / Since \(a^2=2b^2\), \(a\) is even. Writing \(a=2k\) gives \(b^2=2k^2\), hence \(b\) is even. This contradicts coprimality. Tip: begin with the fraction in lowest terms.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है। / \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः अभाज्य 3 के कारण \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(3\mid q\) भी आता है, जो विरोधाभास है। C गलत है: \(n=3\)। टिप: अभाज्य-विभाजक गुण लगाएँ। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\); since 3 is prime, \(3\mid p\). Put \(p=3k\) to obtain \(3\mid q\), a contradiction. C fails at \(n=3\). Tip: use the prime-divisor rule.
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p,q\) पूर्णांक हैं, \(q\ne0\) और \(\gcd(p,q)=1\)/\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are integers, \(q\ne0\), and \(\gcd(p,q)=1\)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न को सबसे सरल रूप में लेना आवश्यक है। \(2q^2=p^2\) से \(p\) सम और फिर \(q\) भी सम मिलता है, जो सहभाज्यता के विरुद्ध है। दोनों को पहले से सम मानना निष्कर्ष मान लेना है। परीक्षा में \(q\ne0\) लिखें। / The fraction must be in lowest terms. From \(2q^2=p^2\), \(p\) is even; substituting back shows that \(q\) is even, contradicting coprimality. Assuming both even already presumes the result. Exam tip: state \(q\ne0\).
एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर \(p,q\) को सह-अभाज्य लिया और \(p^2=3q^2\) पाया। उसने केवल इतना दिखाया कि \(3\mid p\) और वहीं विरोधाभास घोषित कर दिया। उसके प्रमाण को सही ढंग से पूरा करने वाला कदम कौन-सा है?
A. \(p=3k\) रखकर \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें; अतः \(3\mid q\) भी होगा।/Put \(p=3k\) to get \(q^2=3k^2\); hence \(3\mid q\) as well.
Explanation
Simple Explanation
केवल \(3\mid p\) होने से सह-अभाज्यता नहीं टूटती। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, इसलिए \(3\mid q\) भी है। अब \(p,q\) का 3 समान गुणनखंड है। परीक्षा में दोनों संख्याओं की विभाज्यता दिखाएँ। / \(3\mid p\) alone does not contradict coprimality. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and \(3\mid q\). Thus both have a common factor 3. Exam tip: prove divisibility for both terms.
A. \(a^2\) विषम है, जबकि \(2b^2\) सम है/\(a^2\) is odd, whereas \(2b^2\) is even
Explanation
Simple Explanation
यदि \(a\) विषम है, तो उसका वर्ग \(a^2\) भी विषम होगा। दूसरी ओर, \(2b^2\) में 2 गुणनखंड है, इसलिए \(b\) के किसी भी पूर्णांक मान के लिए \(2b^2\) सम होगा। अतः समीकरण में एक ही संख्या को एक साथ विषम और सम होना पड़ेगा, जो विरोध है। विकल्प B सही नहीं है, क्योंकि इस समीकरण से \(b^2\) का विषम होना सिद्ध नहीं होता। परीक्षा टिप: विषम संख्या का वर्ग विषम और सम संख्या का वर्ग सम ही रहता है। / If \(a\) is odd, then its square \(a^2\) is also odd. On the other hand, \(2b^2\) is even for every integer value of \(b\), since it has 2 as a factor. Thus, the equation would make the same number both odd and even, which is the contradiction. Option B is not valid because the equation does not prove that \(b^2\) is odd. Exam tip: the square of an odd integer is odd, and the square of an even integer is even.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही प्रमाण का मानक क्रम है। अंतिम चरण में दोनों सम होना सहभाज्य शर्त से विरोध करता है। / This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) \(p\) \(3\) से विभाज्य \(\rightarrow\) \(q\) \(3\) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में \(3\) से विभाज्यता की पूरी श्रृंखला चाहिए। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है। / For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by \(3\) is needed. Finally the coprime condition breaks.
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में, पूर्णांक \(n\) के लिए कौन-सा अभाज्य संख्या गुणधर्म निर्णायक रूप से प्रयुक्त होता है?
A. यदि अभाज्य \(p\), \(n^2\) को विभाजित करता है, तो \(p\), \(n\) को भी विभाजित करता है/If a prime \(p\) divides \(n^2\), then \(p\) also divides \(n\)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य \(p\) के लिए \(p\mid n^2\Rightarrow p\mid n\)। \(a^2=2b^2\) में इससे 2, \(a\) को और फिर \(b\) को विभाजित करता है। \(p^2\mid n\) जरूरी नहीं। टिप: पहले यह गुणधर्म लिखें। / For a prime \(p\), \(p\mid n^2\Rightarrow p\mid n\). From \(a^2=2b^2\), 2 divides \(a\), and then \(b\). But \(p^2\mid n\) need not hold. Exam tip: state this lemma first.
A. \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है और 2 एक शून्येतर परिमेय संख्या है; इसलिए परिणाम अपरिमेय है।/\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and 2 is a non-zero rational number; therefore, the result is irrational.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{12}=2\sqrt3\) है। \(\sqrt3\) अपरिमेय तथा 2 शून्येतर परिमेय है, अतः गुणनफल अपरिमेय है। B में \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) मानना गलत है। टिप: पूर्ण वर्ग अलग करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt3\). A non-zero rational times an irrational is irrational, so A works. B wrongly uses \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\). Exam tip: extract perfect-square factors first.
एक वर्ग का क्षेत्रफल \(2\text{ cm}^2\) है। एक विद्यार्थी कहता है, “क्षेत्रफल परिमेय है, इसलिए वर्ग की भुजा भी परिमेय होगी।” इस कथन का सही सुधार क्या है?
A. भुजा \(\sqrt{2}\text{ cm}\) है और अपरिमेय है; परिमेय क्षेत्रफल से भुजा का परिमेय होना आवश्यक नहीं है।/The side is \(\sqrt{2}\text{ cm}\) and is irrational; a rational area does not necessarily give a rational side.
Explanation
Simple Explanation
भुजा \(s\) के लिए \(s^2=2\), अतः \(s=\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}=a/b\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(a^2=2b^2\) से \(a\), फिर \(b\), सम मिलते हैं—विरोधाभास। टिप: परिमेय क्षेत्रफल से भुजा परिमेय नहीं होती। / For side \(s\), \(s^2=2\), so \(s=\sqrt{2}\). If \(\sqrt{2}=a/b\) is in lowest terms, \(a^2=2b^2\) makes both \(a\) and \(b\) even, giving a contradiction. Exam tip: a rational area need not give a rational side.
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) घात को विषम बना सकता है। / In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
A. \(p\) और \(q\) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड न हो/\(p\) and \(q\) have no common prime factor
Explanation
Simple Explanation
निम्नतम रूप में \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य होते हैं। \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p\) और फिर \(3\mid q\) मिलता है, जो असंगति है। परीक्षा टिप: दोनों पर समान अभाज्य गुणनखंड दिखाइए। / In lowest terms, \(p\) and \(q\) are coprime. From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p\), and then \(3\mid q\), creating the contradiction. Exam tip: show that the same prime divides both.
A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है/Decimal approximation is not a proof
Explanation
Simple Explanation
दशमलव मान केवल अनुमान दे सकता है। परीक्षा में विरोधाभास और सहभाज्य भिन्न का तर्क लिखें। / A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, और वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) प्राप्त करता है। अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है?
B. \(p^2\) सम होने से \(p\) सम है; \(p=2k\) रखने पर \(q\) भी सम निकलता है/Since \(p^2\) is even, \(p\) is even; putting \(p=2k\) shows that \(q\) is also even
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(p^2\) सम है, \(p\) भी सम होगा। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है; यह सह-अभाज्य होने का विरोध है। टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में लें। / Since \(p^2\) is even, \(p\) must be even. Put \(p=2k\): then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even, contradicting coprimality. Exam tip: begin with the fraction in lowest terms.
A. यदि 3, \(p^2\) को विभाजित करता है, तो 3, \(p\) को भी विभाजित करता है।
Explanation
Simple Explanation
मानें \(\sqrt{3}=p/q\) निम्नतम रूप में है। \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), इसलिए \(3\mid p\); प्रतिस्थापन से \(3\mid q\), जो विरोधाभास है। \(p=3\) अन्य निष्कर्षों को गलत दिखाता है। टिप: यह नियम अभाज्य 3 के लिए लगाएँ। / Let \(\sqrt{3}=p/q\) be in lowest terms. From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\) implies \(3\mid p\); substitution then gives \(3\mid q\), a contradiction. Taking \(p=3\) disproves the other claims. Exam tip: use this rule for primes.
A. असमाप्य और अनावर्ती/Non-terminating and non-repeating
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असमाप्य और अनावर्ती होता है। परिमेय \(p/q\) का दशमलव सांत या आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: केवल असमाप्य होना अपरिमेयता के लिए पर्याप्त नहीं; अनावर्ती होना भी आवश्यक है। / Since \(\sqrt{2}\) is irrational, its decimal expansion is non-terminating and non-repeating. A rational number \(p/q\) always has a terminating or repeating decimal. Exam tip: a non-terminating decimal is irrational only when it is also non-repeating.
A. ताकि \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य न हों/So that \(p\) and \(q\) are not both divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p^2=3q^2\), तो 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर 3, \(q\) को भी विभाजित करता है, जो सबसे सरल रूप के विरुद्ध है। परीक्षा में यही विरोधाभास पहचानें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). On writing \(p=3k\), it also follows that 3 divides \(q\), contradicting lowest terms. Exam tip: identify this common-factor contradiction.
√2 की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में एक विद्यार्थी मानता है कि √2 = a/b, जहाँ a और b सह-अभाज्य धन पूर्णांक हैं। 2b² = a² मिलने पर वह निष्कर्ष निकालता है कि a सम है। इस निष्कर्ष का सही आधार कौन-सा है?
A. किसी विषम पूर्णांक का वर्ग सदैव विषम होता है।/The square of every odd integer is always odd.
Explanation
Simple Explanation
2b² सम है, इसलिए a² सम है। विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है; अतः a सम होगा। a=2k रखने पर b भी सम मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में विषम के वर्ग का नियम लिखें। / 2b² is even, hence a² is even. An odd integer has an odd square, so a is even. Substituting a=2k makes b even too, contradicting coprimality. Exam tip: state the odd-square fact.
A. 3, \(p\) और \(q\) दोनों को विभाजित करता है/3 divides both \(p\) and \(q\)
Explanation
Simple Explanation
\(3q^2=p^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य मिलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / From \(3q^2=p^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: use the prime-divisor property of a square.
मान लें कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सहाभाज्य पूर्णांक हैं। प्रमाण में \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) निष्कर्ष निकालने के लिए किस गुण का प्रयोग किया जाता है?
A. अभाज्य भाजक गुण: यदि कोई अभाज्य संख्या किसी पूर्णांक के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस पूर्णांक को भी विभाजित करती है/Prime divisor property: If a prime divides the square of an integer, it also divides that integer
Explanation
Simple Explanation
3 एक अभाज्य संख्या है और \(p^2=p\times p\) है। इसलिए यूक्लिड के लेम्मा से \(3\mid p^2\) होने पर \(3\mid p\) मिलता है। यही तर्क \(q\) पर भी लागू होकर सहाभाज्यता का विरोध देता है। परीक्षा में अभाज्य होने की शर्त जाँचें। / Since 3 is prime and \(p^2=p\times p\), Euclid’s lemma gives \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\). Applying the same idea to \(q\) contradicts coprimality. Exam tip: this inference specifically requires the divisor to be prime.
यदि
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो इसकी अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास किस कथन से प्राप्त होता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं/Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सबसे सरल रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.
विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय मान लेते हैं कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा निष्कर्ष इस मान्यता को असंभव सिद्ध करता है?
A. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, इसलिए वे सह-अभाज्य नहीं हो सकते।/Both \(p\) and \(q\) are even, so they cannot be coprime.
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम होता है, अतः \(p\) सम है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\) मिलता है, इसलिए \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग से मूल संख्या भी सम होती है। / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Putting \(p=2k\) gives \(q^2=2k^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.
A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/At the beginning they should be taken coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण का निष्कर्ष नहीं बल्कि विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(a,b)=1) मानना चाहिए। / Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते। / Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, लेकिन \(q\) का 3 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं है।” निम्नलिखित में से कौन-सा कथन उसकी त्रुटि को सही ढंग से बताता है?
A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।/On putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting the coprimality of \(p\) and \(q\).
Explanation
Simple Explanation
\(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्यता का विरोधाभास है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / Putting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, track prime factors in squares carefully.
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) होने से भिन्न घट सकती है। यह सहभाज्य सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
