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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो इसकी अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास किस कथन से प्राप्त होता है?

If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed to be in lowest terms, where \(p\) and \(q\) are coprime integers, which statement produces the contradiction in the proof of its irrationality?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth \(p\) and \(q\) are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सबसे सरल रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.

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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को सबसे सरल रूप में माना जाए, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो इसकी अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास किस कथन से प्राप्त होता है? / If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) is assumed to be in lowest terms, where \(p\) and \(q\) are coprime integers, which statement produces the contradiction in the proof of its irrationality?

Correct Answer: A. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both \(p\) and \(q\) are divisible by 3. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\), अतः \(3\mid p\)। \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य निकलता है। यह सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा में ‘सबसे सरल रूप’ वाला विरोधाभास अवश्य लिखें। / From \(p^2=3q^2\), \(3\mid p^2\), so \(3\mid p\). Substituting \(p=3k\) shows that \(q\) is also divisible by 3, contradicting coprimality. Exam tip: state the lowest-terms contradiction clearly.