एक विद्यार्थी वर्गमूल सर्पिल में
displaystyle \(\sqrt{7}\) के बाद अगला त्रिभुज बनाते समय दूसरी लम्बवत भुजा को \(\sqrt{7}\) इकाई लेता है। उसकी गलती सुधारने वाला सही कथन कौन-सा है?
A. दूसरी लम्बवत भुजा 1 इकाई होनी चाहिए।/The other perpendicular side should be 1 unit.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण \(\sqrt{7}\) एक भुजा रहती है और दूसरी भुजा हमेशा 1 इकाई ली जाती है। इसलिए नई कर्ण \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\) होगी। \(\sqrt{7}\) दूसरी भुजा लेने पर कर्ण \(\sqrt{14}\) बन जाएगी। परीक्षा में हर नए त्रिभुज में 1 इकाई वाली भुजा जाँचें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse \(\sqrt{7}\) is retained as one leg and the other leg is always 1 unit. Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\). Taking \(\sqrt{7}\) as the other leg gives \(\sqrt{14}\), not \(\sqrt{8}\). Exam tip: always check the unit leg.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी कहता है कि
\(\sqrt{7}\) के बाद \(\sqrt{8}\) प्राप्त करने के लिए पिछले कर्ण \(\sqrt{7}\) के साथ 1 इकाई का लम्ब खींचना चाहिए। विद्यार्थी का कथन क्या है?
B. कथन सही है, क्योंकि नया कर्ण \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\) होगा।/The statement is correct because the new hypotenuse will be \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\).
Explanation
Simple Explanation
कथन सही है। पिछले त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{7}\) और नया लम्ब 1 लेने पर पायथागोरस से कर्ण² = 7 + 1 = 8, अतः नया कर्ण \(\sqrt{8}\) होता है। परीक्षा में कर्णों को जोड़ने के बजाय उनके वर्ग जोड़ें। / The statement is correct. With previous hypotenuse \(\sqrt{7}\) and a new perpendicular of 1, Pythagoras gives hypotenuse² = 7 + 1 = 8, so the new hypotenuse is \(\sqrt{8}\). Exam tip: add squares, not the lengths themselves.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय रिया ने \(\sqrt{8}\) लंबाई वाले पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंब रेखा खींची। वह नए कर्ण को \(\sqrt{10}\) मानती है। सही नया कर्ण क्या होगा?
नए समकोण त्रिभुज में कर्ण² = \((\sqrt{8})^2+1^2=8+1=9\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{9}\) है। \(\sqrt{10}\) के लिए पिछली लंबाई \(\sqrt{9}\) होनी चाहिए। परीक्षा में हर चरण में 1 जोड़ें। / For the new right triangle, hypotenuse² = \((\sqrt{8})^2+1^2=8+1=9\), so the hypotenuse is \(\sqrt{9}\). \(\sqrt{10}\) would follow \(\sqrt{9}\), not \(\sqrt{8}\). Exam tip: add 1 at each spiral step.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{5}\) वाली भुजा के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़ने के बाद एक विद्यार्थी नई कर्ण को \(\sqrt{10}\) कहता है। उसका सही सुधार क्या है?
नई कर्ण \(\sqrt{6}\) होगी, क्योंकि समकोण त्रिभुज में \(h^2=(\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\)। \(\sqrt{10}\) लंबाइयों को सीधे जोड़ने से नहीं मिलता। परीक्षा में पायथागोरस प्रमेय लगाएँ। / The new hypotenuse is \(\sqrt{6}\), since \(h^2=(\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\). It is not \(\sqrt{10}\), as the lengths are not added directly. Exam tip: apply Pythagoras’ theorem at every new step.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 इकाई को दूसरी भुजा लिया। यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{5}\) इकाई है, तो नए कर्ण की लंबाई क्या होगी?
नए समकोण त्रिभुज में कर्ण² = \((\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\)। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{6}\) इकाई होगा। \(\sqrt{10}\) तब मिलता यदि दूसरी भुजा भी \(\sqrt{5}\) होती। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग लिखकर जोड़ें। / For the new right triangle, hypotenuse² = \((\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\). Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{6}\) units. \(\sqrt{10}\) would result if the other side were also \(\sqrt{5}\). Exam tip: square the radical before applying Pythagoras’ theorem.
A. नए कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग से 1 अधिक हो जाता है।/The square of the new hypotenuse becomes 1 greater than the square of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण के लिए \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\) मिलता है। इसलिए हर चरण में वर्ग के भीतर 1 जुड़ता है। 1 इकाई कर्ण नहीं, नई लंबवत भुजा होती है। परीक्षा में भुजाओं और कर्ण को अलग पहचानें। / By Pythagoras’ theorem, \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\). Hence, each step adds 1 inside the square, producing successive square roots. The 1-unit segment is a leg, not the hypotenuse. Exam tip: identify the perpendicular legs before applying the theorem.
एक वर्ग का क्षेत्रफल \(2\text{ cm}^2\) है। एक विद्यार्थी कहता है, “क्षेत्रफल परिमेय है, इसलिए वर्ग की भुजा भी परिमेय होगी।” इस कथन का सही सुधार क्या है?
A. भुजा \(\sqrt{2}\text{ cm}\) है और अपरिमेय है; परिमेय क्षेत्रफल से भुजा का परिमेय होना आवश्यक नहीं है।/The side is \(\sqrt{2}\text{ cm}\) and is irrational; a rational area does not necessarily give a rational side.
Explanation
Simple Explanation
भुजा \(s\) के लिए \(s^2=2\), अतः \(s=\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}=a/b\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(a^2=2b^2\) से \(a\), फिर \(b\), सम मिलते हैं—विरोधाभास। टिप: परिमेय क्षेत्रफल से भुजा परिमेय नहीं होती। / For side \(s\), \(s^2=2\), so \(s=\sqrt{2}\). If \(\sqrt{2}=a/b\) is in lowest terms, \(a^2=2b^2\) makes both \(a\) and \(b\) even, giving a contradiction. Exam tip: a rational area need not give a rational side.
A. \(3\sqrt{2}\,\text{m}\); यह अपरिमेय है/it is irrational
Explanation
Simple Explanation
वर्ग की भुजा \(=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\,\text{m}\) होती है। \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए \(3\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। विकल्प B में लंबाई सही है, पर उसका वर्गीकरण गलत है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहले निकालें। / The side of the square is \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\,\text{m}\). Since \(\sqrt{2}\) is irrational, \(3\sqrt{2}\) is also irrational. Option B has the correct length but the wrong classification. Exam tip: first extract perfect-square factors from a square root.
