वर्गमूल सर्पिल में शुरुआत (1) इकाई रेखाखंड से होती है। इसी आधार से आगे समकोण त्रिभुज बनते हैं। / A square root spiral starts with a (1) unit line segment. Right triangles are then built from this base.
पहले समकोण त्रिभुज की दोनों लंब भुजाएँ 1 इकाई हैं। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = 1² + 1² = 2, इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) इकाई होगा। 2 कर्ण का वर्ग है, स्वयं कर्ण नहीं। परीक्षा टिप: समकोण त्रिभुज में कर्ण ज्ञात करने के लिए दोनों लंब भुजाओं के वर्गों का योग लें और उसका वर्गमूल निकालें। / The two perpendicular sides of the first right triangle are 1 unit each. By Pythagoras’ theorem, hypotenuse² = 1² + 1² = 2, so the hypotenuse is \(\sqrt{2}\) units. Note that 2 is the square of the hypotenuse, not the hypotenuse itself. Exam tip: To find the hypotenuse of a right triangle, add the squares of the perpendicular sides and take the square root.
A. पिछले कर्ण पर (1) इकाई लंब खींचकर/By drawing a (1) unit perpendicular on the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछले कर्ण पर (1) इकाई लंब रेखा बनाई जाती है। इससे नया समकोण त्रिभुज बनता है। / At each new step a (1) unit perpendicular is drawn on the previous hypotenuse. This makes a new right triangle.
वर्गमूल सर्पिल में नया 1 इकाई का रेखाखंड पिछले त्रिभुज के कर्ण पर लंबवत बनाया जाता है। इससे नया कर्ण अगले वर्गमूल को दर्शाता है। परीक्षा में आकृति में कर्ण को पहचानकर उसी पर समकोण चिह्न देखें। / In a square root spiral, the new 1-unit segment is drawn perpendicular to the hypotenuse of the preceding triangle. The resulting hypotenuse represents the next square root. Exam tip: locate the right-angle mark; it is made with the previous hypotenuse.
\(\sqrt{6}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{7}\) मिलता है। पिछला कर्ण हमेशा एक कम संख्या का होता है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{6}\) gives \(\sqrt{7}\). The previous hypotenuse has one less number.
सर्पिल में कर्ण क्रम से \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) आगे बढ़ते हैं। क्रम पहचानना आसान प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / The hypotenuses progress as \(\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3}\) and so on. Recognizing the order is useful in easy questions.
A. पिछले त्रिभुज के कर्ण और 1 इकाई की नई लंबवत भुजा से/Using the previous triangle’s hypotenuse and a new perpendicular side of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगली भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। परीक्षा में ‘लंबवत 1 इकाई’ पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one side of the next right triangle, and a perpendicular side of 1 unit is added. By Pythagoras, the new hypotenuse gives the next square root. Exam tip: look for the 1-unit perpendicular side.
हर चरण समकोण त्रिभुज पर आधारित है। इसलिए कर्ण निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग होता है। / Each step is based on a right triangle. Therefore Pythagoras theorem is used to find the hypotenuse.
A. पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींचकर/By drawing a perpendicular side of 1 unit at the end of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में पिछला कर्ण एक भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। परीक्षा में लंबवत 1 इकाई वाली भुजा पहचानें। / In each new triangle, the previous hypotenuse becomes one side and a 1-unit perpendicular is drawn at its end. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: look for the perpendicular unit side.
\(\sqrt{9}\) और (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{10}\) बनता है। पिछले चरण को पहचानना जरूरी है। / The previous hypotenuse \(\sqrt{9}\) with a (1) unit perpendicular gives \(\sqrt{10}\). Identifying the previous step is important.
वर्गमूल सर्पिल क्रमिक समकोण त्रिभुजों से बनता है। प्रत्येक नए त्रिभुज में \(90^\circ\) कोण होने पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके कर्ण की लंबाई ज्ञात की जाती है, जो क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि देती है। समबाहु त्रिभुज में यह निर्माण संभव नहीं होता। परीक्षा टिप: जहाँ क्रमिक कर्णों से वर्गमूल प्राप्त हों, वहाँ समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय को पहचानें। / A square root spiral is formed using successive right-angled triangles. The \(90^\circ\) angle allows the use of Pythagoras’ theorem to find each new hypotenuse, producing lengths such as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Equilateral triangles cannot produce this construction. Exam tip: If successive hypotenuses represent square roots, look for a right triangle and Pythagoras’ theorem.
नया कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) होता है। यही सर्पिल का सामान्य नियम है। / The new hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}). This is the general rule of the spiral.
वर्गमूल सर्पिल से \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\) जैसी लंबाइयाँ मिलती हैं। इन्हें संख्या रेखा पर रखा जा सकता है। / A square root spiral gives lengths like \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\). These can be placed on the number line.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय रीमा ने \(\sqrt{8}\) वाली भुजा के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई की रेखा खींची, जो \(\sqrt{8}\) वाली भुजा पर लंब है। नए बिंदु को प्रारंभिक बिंदु से मिलाने पर नई कर्ण की लंबाई क्या होगी?
नई समकोण त्रिभुज की भुजाएँ \(\sqrt{8}\) और 1 हैं। अतः कर्ण \(=\sqrt{(\sqrt{8})^2+1^2}=\sqrt{9}=3\) होगी। \(\sqrt{8}+1\) लेना गलत है, क्योंकि कर्ण भुजाओं का साधारण योग नहीं होता। परीक्षा में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / The new right triangle has legs \(\sqrt{8}\) and 1. So its hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{8})^2+1^2}=\sqrt{9}=3\). Adding \(\sqrt{8}+1\) is incorrect because a hypotenuse is not the ordinary sum of the legs. Exam tip: apply Pythagoras at every spiral step.
\(\sqrt{11}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{12}\) मिलता है। पिछला कर्ण एक कम संख्या वाला होता है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). The previous hypotenuse has one less number.
हर चरण में अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{15}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनेगा। / At each step the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). Therefore \(\sqrt{16}\) is formed after \(\sqrt{15}\).
\(3^2=9\) और \(4^2=16\) हैं। चूँकि 10, 9 और 16 के बीच है, इसलिए \(\sqrt{10}\) का मान 3 और 4 के बीच होगा। \(\sqrt{17}\), 4 से बड़ा है। परीक्षा में पहले निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / Since \(3^2=9\) and \(4^2=16\), any square root of a number between 9 and 16 lies between 3 and 4. Therefore, \(\sqrt{10}\) fits. \(\sqrt{17}\) is greater than 4. Exam tip: compare with nearby perfect squares first.
पहले त्रिभुज की दोनों भुजाएँ (1) इकाई होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) है। / Both sides of the first triangle are (1) unit. So the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\).
\(\sqrt{2}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और (1) इकाई नई लंब है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{3}\) मिलता है। / \(\sqrt{2}\) is the previous hypotenuse and (1) unit is the new perpendicular. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{3}\).
A. क्योंकि प्रत्येक चरण में (1) जोड़ने का नियम टूट जाएगा/Because the rule of adding (1) at each step will break
Explanation
Simple Explanation
सामान्य वर्गमूल सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़ता है। (2) इकाई लेने पर क्रम अलग हो जाएगा। / In the usual square root spiral \(1^2\) is added each time. Taking (2) units will change the sequence.
A. नए कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग से 1 अधिक हो जाता है।/The square of the new hypotenuse becomes 1 greater than the square of the previous hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण के लिए \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\) मिलता है। इसलिए हर चरण में वर्ग के भीतर 1 जुड़ता है। 1 इकाई कर्ण नहीं, नई लंबवत भुजा होती है। परीक्षा में भुजाओं और कर्ण को अलग पहचानें। / By Pythagoras’ theorem, \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\). Hence, each step adds 1 inside the square, producing successive square roots. The 1-unit segment is a leg, not the hypotenuse. Exam tip: identify the perpendicular legs before applying the theorem.
\(\sqrt{20}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{21}\) बनता है। पिछले कर्ण में संख्या एक कम होती है। / \(\sqrt{21}\) is formed from \(\sqrt{20}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse has one less number.
A. एक भुजा की लंबाई 1 इकाई रखकर और दूसरी भुजा को पिछले त्रिभुज का कर्ण बनाकर
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई की नई भुजा और पिछले त्रिभुज के कर्ण से बनता है। इसलिए पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि देता है। दोनों भुजाएँ 1 होने पर यह क्रम आगे नहीं बढ़ेगा। परीक्षा टिप: नए त्रिभुज में पिछला कर्ण पहचानें। / Each new right triangle uses a fresh side of length 1 unit and the previous hypotenuse as its other leg. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Two unit legs would not describe later triangles. Exam tip: identify the previous hypotenuse first.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्या है, इसलिए \(\sqrt{8}\) भी अपरिमेय है। इसके विपरीत, \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\) और \(\sqrt{9}=3\) परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि 1, 4 और 9 पूर्ण वर्ग हैं। परीक्षा टिप: जिस संख्या के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड बच जाए, जैसे \(8=4\times2\), उसका वर्गमूल सरल करके जाँचें। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational; therefore, \(\sqrt{8}\) is irrational. In contrast, \(\sqrt{1}=1\), \(\sqrt{4}=2\), and \(\sqrt{9}=3\) are rational because 1, 4, and 9 are perfect squares. Exam tip: simplify the number under the root using a perfect-square factor, for example \(8=4\times2\), before deciding.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा बनाकर रचा जाता है। पाइथागोरस के अनुसार नया कर्ण
\(\sqrt{n+1}\) बनता है। 2 इकाई लेने पर यह मानक सर्पिल नहीं रहेगा। परीक्षा में स्थिर भुजा 1 इकाई याद रखें। / Each new triangle in a square root spiral is constructed by drawing a perpendicular side of 1 unit on the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). Using 2 units would not produce the standard spiral. Exam tip: remember the repeated added side is 1 unit.
A. पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंब रेखाखंड खींचकर/By drawing a perpendicular segment of length 1 at the endpoint of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण
ot valid? / A unit segment perpendicular to the previous hypotenuse forms the next right triangle. By Pythagoras,
ot valid?
\(\sqrt{29}\) पर (1) इकाई लंब बनाने से \(\sqrt{30}\) मिलता है। यही निर्माण का क्रम है। / Drawing a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{29}\) gives \(\sqrt{30}\). This is the construction order.
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप लगाया जाता है। इससे वर्गमूल का बिंदु मिलता है। / Using a compass the hypotenuse length is transferred to the number line by drawing an arc. This gives the square root point.
A. हर नया कर्ण पिछले से संबंधित अगला वर्गमूल देता है/Each new hypotenuse gives the next related square root
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में नया कर्ण क्रम से अगला वर्गमूल देता है। यह समकोण त्रिभुजों से बनता है। / In a square root spiral the new hypotenuse gives the next square root in order. It is made from right triangles.
एक विद्यार्थी वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में पिछली कर्ण के सिरे पर एक लंबवत भुजा जोड़ता है।
\(\sqrt{10}\) तक सर्पिल बनाने के लिए इस नई लंबवत भुजा की लंबाई कितनी होनी चाहिए?
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछली कर्ण और 1 इकाई की लंबवत भुजा से बनता है। \(\sqrt{9}\) के बाद कर्ण \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) होगी। \(\sqrt{9}\) लेना गलत है। परीक्षा टिप: हर चरण में नई भुजा 1 इकाई याद रखें। / In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a perpendicular side of 1 unit. After \(\sqrt{9}\), the hypotenuse is \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\). Using \(\sqrt{9}\) as the new side is incorrect. Exam tip: the added side is always 1 unit.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई की भुजा जोड़कर बनाया जाता है और उसका कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि होता है। इसलिए \(\sqrt{11}\) दर्शाया जा सकता है। \(\pi\) इस निर्माण का क्रमिक कर्ण नहीं है। परीक्षा टिप: केवल गैर-पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle has one side of length 1, so its hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Hence \(\sqrt{11}\) can be represented. \(\pi\) is not a successive hypotenuse in this construction. Exam tip: look for square roots of non-square natural numbers.
\(17\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{17}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। अतः सर्पिल में यह दूरी अपरिमेय संख्या दर्शाती है। परीक्षा टिप: जाँचें कि मूलांक पूर्ण वर्ग है या नहीं। / Since 17 is not a perfect square, \(\sqrt{17}\) cannot be expressed as a ratio of two integers. Therefore, this length on the spiral represents an irrational number. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect square.
A. क्योंकि (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)/Because (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय में भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। / In Pythagoras theorem the squares of sides are added. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\).
A. एक भुजा की लंबाई 1 होती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज की कर्ण होती है
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में 1 इकाई की नई भुजा को पिछले कर्ण के लंबवत जोड़ा जाता है। पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण
t\(\sqrt{n+1}\) बनता है। समबाहु त्रिभुज वाला विकल्प गलत है। परीक्षा में कर्ण और 1 इकाई भुजा पहचानें। / At each step, a new side of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). The triangles are not equilateral. Exam tip: identify the old hypotenuse and unit side.
\(\sqrt{31}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{32}\) मिलता है। पिछली संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{31}\) gives \(\sqrt{32}\). The previous number is (1) less.
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय रीना ने प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज इस प्रकार बनाया कि उसका एक पाद 1 इकाई और दूसरा पाद पिछले कर्ण के बराबर हो। यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{7}\) इकाई है, तो नए त्रिभुज के कर्ण की लंबाई क्या होगी?
नए समकोण त्रिभुज में कर्ण² = \((\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7+1=8\) है, इसलिए कर्ण \(\sqrt{8}\) होगा। \(2\sqrt{7}\) जोड़ने से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: कर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ। / For the new right triangle, hypotenuse² = \((\sqrt{7})^2 + 1^2 = 7+1=8\), so the hypotenuse is \(\sqrt{8}\). It is not \(2\sqrt{7}\), as lengths are not simply doubled. Exam tip: apply Pythagoras’ theorem at every step.
A. पिछली कर्ण को एक भुजा मानकर उस पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज की कर्ण अगली भुजा बनती है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग में 1 जोड़ने पर मिलता है। परीक्षा में लंबवत 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one triangle becomes a side of the next, with a perpendicular side of length 1 added. By Pythagoras, the new hypotenuse squared is the previous hypotenuse squared plus 1. Exam tip: identify the new unit perpendicular side.
10 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{10}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; यह अपरिमेय है। सर्पिल में इसकी लंबाई लगभग 3.16 होती है। परीक्षा टिप: केवल पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / Since 10 is not a perfect square, \(\sqrt{10}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, so it is irrational. Its spiral length is about 3.16. Exam tip: square roots of perfect squares are rational.
A. क्योंकि प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज के चारों ओर थोड़ा घूमकर बनाया जाता है/Because each new right triangle is constructed by turning slightly around the previous triangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज की कर्ण को एक भुजा मानकर बनाया जाता है। इस प्रक्रिया में नई भुजा की दिशा लगातार बदलती है, इसलिए पूरी रचना घूमती हुई सर्पिल जैसी दिखाई देती है। विकल्प B गलत है क्योंकि रेखाखंड समानांतर नहीं होते। परीक्षा टिप: वर्गमूल सर्पिल की रचना में क्रमिक समकोण त्रिभुजों और उनकी बदलती दिशा को पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle is constructed by taking the hypotenuse of the previous triangle as one of its sides. The direction of the new side keeps changing, so the entire construction appears to turn like a spiral. Option B is incorrect because the line segments are not parallel. Exam tip: identify the successive right triangles and their changing direction in a square root spiral.
\(\sqrt{49}\) पर (1) इकाई लंब जोड़ने से \(\sqrt{50}\) बनेगा। क्रम में पिछले वर्गमूल को लें। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{49}\) gives \(\sqrt{50}\). Take the previous square root in order.
\(\sqrt{11}\) के साथ (1) इकाई लंब लेने पर \(\sqrt{12}\) बनता है। यह सर्पिल का क्रमिक नियम है। / Taking a (1) unit perpendicular with \(\sqrt{11}\) gives \(\sqrt{12}\). This is the step rule of the spiral.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 इकाई को दूसरी भुजा लिया। यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{5}\) इकाई है, तो नए कर्ण की लंबाई क्या होगी?
नए समकोण त्रिभुज में कर्ण² = \((\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\)। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{6}\) इकाई होगा। \(\sqrt{10}\) तब मिलता यदि दूसरी भुजा भी \(\sqrt{5}\) होती। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग लिखकर जोड़ें। / For the new right triangle, hypotenuse² = \((\sqrt{5})^2+1^2=5+1=6\). Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{6}\) units. \(\sqrt{10}\) would result if the other side were also \(\sqrt{5}\). Exam tip: square the radical before applying Pythagoras’ theorem.
A. प्रत्येक नए त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज के कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनता है। समबाहु त्रिभुज वाली बात गलत है। परीक्षा टिप: लम्ब भुजा हमेशा 1 इकाई याद रखें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 is drawn to the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. It is not an equilateral triangle. Exam tip: remember that the added perpendicular side is always 1 unit.
वर्गमूल सर्पिल में बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी \(\sqrt{10}\) है और बिंदु Q की दूरी \(\sqrt{11}\) है। एक विद्यार्थी कहता है कि P अधिक दूर है क्योंकि 10 छोटा है। सही निष्कर्ष क्या है?
A. Q, P से अधिक दूर है क्योंकि \(\sqrt{11}>\sqrt{10}\)/Q is farther than P because \(\sqrt{11}>\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक संख्याओं के लिए वर्गमूल फलन बढ़ता है। क्योंकि \(11>10\), इसलिए \(\sqrt{11}>\sqrt{10}\) और Q मूलबिंदु से अधिक दूर होगा। परीक्षा टिप: दूरी की तुलना में मूल संख्या भी तुलना करें। / For positive numbers, the square-root function is increasing. Since \(11>10\), we get \(\sqrt{11}>\sqrt{10}\), so Q is farther from the origin. Exam tip: compare the numbers inside the roots first.
A. \(\sqrt{2}+1=\sqrt{3}\) मानना/Thinking \(\sqrt{2}+1=\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) वर्गों के योग से बनता है, सीधे जोड़ से नहीं। सही गणना (\(\sqrt{2}\)2+12=3) है। / \(\sqrt{3}\) is formed from the sum of squares, not direct addition. The correct calculation is (\(\sqrt{2}\)2+12=3).
सेट स्क्वायर से \(90^\circ\) कोण आसानी से बनाया जा सकता है। सही समकोण से ही सही कर्ण मिलता है। / A set square helps make a \(90^\circ\) angle easily. The correct right angle gives the correct hypotenuse.
A. समकोण त्रिभुज जिसकी अन्य दो भुजाएँ \(2\) और \(1\) हैं/A right-angled triangle with the other two sides \(2\) and \(1\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया रेखाखंड पिछले कर्ण और 1 इकाई की लंबवत भुजा से बनता है। इसलिए \(\sqrt{5}\) के लिए भुजाएँ \(2\) और \(1\) हैं, क्योंकि \(2^2+1^2=5\)। परीक्षा में कर्ण की पहचान समकोण के सामने वाली भुजा से करें। / In a square root spiral, each new hypotenuse is formed using the previous hypotenuse and a perpendicular unit side. Thus, \(\sqrt{5}\) comes from legs \(2\) and \(1\), since \(2^2+1^2=5\). Exam tip: the hypotenuse lies opposite the right angle.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज बनाया जाता है। उसकी कर्ण की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय, \(c^2=a^2+b^2\), से मिलती है; यही अगला वर्गमूल दर्शाती है। परीक्षा टिप: चित्र में कर्ण पहचानें। / A square root spiral is formed using successive right triangles. The hypotenuse is found by Pythagoras’ theorem, \(c^2=a^2+b^2\), and represents the next square root. Exam tip: identify the hypotenuse first.
A. समकोण त्रिभुजों से क्रमिक वर्गमूल लंबाइयाँ बनाना/Making successive square root lengths using right triangles
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज अगला वर्गमूल देता है। यही इसका मुख्य विचार है। / In a square root spiral each new right triangle gives the next square root. This is its main idea.
लंबाई को संख्या रेखा पर दिखाने के लिए कंपास की नोक मूल बिंदु पर रखकर चाप खींचते हैं। इससे सही वर्गमूल बिंदु मिलता है। / To show the length on the number line, the compass point is placed at the origin and an arc is drawn. This gives the correct square root point.
