If the hypotenuse at a step is (\sqrt{n}), by which formula will the next hypotenuse be obtained?यदि किसी चरण पर कर्ण (\sqrt{n}) है तो अगला कर्ण किस सूत्र से मिलेगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \((\sqrt{n+1}) / (\sqrt{n+1})\)\((\sqrt{n+1}) / (\sqrt{n+1})\)
The construction follows one repeated Pythagorean pattern. Suppose the current hypotenuse has length \(\sqrt{n}\), and a new perpendicular segment of length 1 is drawn from its endpoint. If the next hypotenuse is \(L\), then \(L^2=(\sqrt{n})^2+1^2=n+1\). Taking the positive square root, because a length is positive, gives \(L=\sqrt{n+1}\).
Thus the correct formula is option A. The expression \(\sqrt{n-1}\) would represent a smaller value, \(\sqrt{2n}\) would require a different construction, and \(\sqrt{n+2}\) would add 2 rather than the square of a unit side. The formula accurately describes every successive step of the spiral.इस निर्माण में पाइथागोरस प्रमेय का एक ही नियम बार-बार लागू होता है। मान लें कि वर्तमान कर्ण की लंबाई \(\sqrt{n}\) है और उसके सिरे से 1 इकाई की नई लंब भुजा खींची जाती है। यदि अगला कर्ण \(L\) है, तो \(L^2=(\sqrt{n})^2+1^2=n+1\) होगा। लंबाई धनात्मक होती है, इसलिए \(L=\sqrt{n+1}\) मिलेगा।
अतः सही सूत्र विकल्प A है। \(\sqrt{n-1}\) छोटी लंबाई बताता है, \(\sqrt{2n}\) के लिए अलग निर्माण चाहिए और \(\sqrt{n+2}\) में 2 जुड़ता है, जबकि यहाँ केवल 1 इकाई की भुजा का वर्ग जुड़ता है। इसलिए यही सूत्र सर्पिल के प्रत्येक अगले चरण पर लागू होता है।
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