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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) माना, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, और उसे \(p^2=3q^2\) मिला। विरोधाभास तक पहुँचने के लिए निम्न में से कौन-सा अगला चरण तर्कसंगत है?

A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). Which next step is logically valid for reaching a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. पहले \(p=3k\) लिखें; प्रतिस्थापन से \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें और \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध करेंFirst write \(p=3k\); substitute to obtain \(q^2=3k^2\) and show that \(q\) is also divisible by 3.

Explanation

Simple Explanation

\(3\mid p^2\) से अभाज्य-वर्ग नियम द्वारा \(3\mid p\), अतः \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\); सीधे \(q=3k\) मानना तर्क नहीं है। टिप: दोनों निष्कर्ष लिखें। / From \(3\mid p^2\), the prime-square rule gives \(3\mid p\), so \(p=3k\). Substitution yields \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\); assuming it directly is invalid. Exam tip: write both divisibility steps.

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एक विद्यार्थी ने \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) माना, जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, और उसे \(p^2=3q^2\) मिला। विरोधाभास तक पहुँचने के लिए निम्न में से कौन-सा अगला चरण तर्कसंगत है? / A student assumes \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime, and obtains \(p^2=3q^2\). Which next step is logically valid for reaching a contradiction?

Correct Answer: A. पहले \(p=3k\) लिखें; प्रतिस्थापन से \(q^2=3k^2\) प्राप्त करें और \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध करें / First write \(p=3k\); substitute to obtain \(q^2=3k^2\) and show that \(q\) is also divisible by 3.. Explanation: \(3\mid p^2\) से अभाज्य-वर्ग नियम द्वारा \(3\mid p\), अतः \(p=3k\)। रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\); सीधे \(q=3k\) मानना तर्क नहीं है। टिप: दोनों निष्कर्ष लिखें। / From \(3\mid p^2\), the prime-square rule gives \(3\mid p\), so \(p=3k\). Substitution yields \(q^2=3k^2\), hence \(3\mid q\); assuming it directly is invalid. Exam tip: write both divisibility steps.