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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

√2 की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में एक विद्यार्थी मानता है कि √2 = a/b, जहाँ a और b सह-अभाज्य धन पूर्णांक हैं। 2b² = a² मिलने पर वह निष्कर्ष निकालता है कि a सम है। इस निष्कर्ष का सही आधार कौन-सा है?

In a proof by contradiction that √2 is irrational, a student assumes √2 = a/b, where a and b are coprime positive integers. From 2b² = a², the student concludes that a is even. Which is the correct basis for this conclusion?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. किसी विषम पूर्णांक का वर्ग सदैव विषम होता है।The square of every odd integer is always odd.

Explanation

Simple Explanation

2b² सम है, इसलिए a² सम है। विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है; अतः a सम होगा। a=2k रखने पर b भी सम मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में विषम के वर्ग का नियम लिखें। / 2b² is even, hence a² is even. An odd integer has an odd square, so a is even. Substituting a=2k makes b even too, contradicting coprimality. Exam tip: state the odd-square fact.

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√2 की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में एक विद्यार्थी मानता है कि √2 = a/b, जहाँ a और b सह-अभाज्य धन पूर्णांक हैं। 2b² = a² मिलने पर वह निष्कर्ष निकालता है कि a सम है। इस निष्कर्ष का सही आधार कौन-सा है? / In a proof by contradiction that √2 is irrational, a student assumes √2 = a/b, where a and b are coprime positive integers. From 2b² = a², the student concludes that a is even. Which is the correct basis for this conclusion?

Correct Answer: A. किसी विषम पूर्णांक का वर्ग सदैव विषम होता है। / The square of every odd integer is always odd.. Explanation: 2b² सम है, इसलिए a² सम है। विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है; अतः a सम होगा। a=2k रखने पर b भी सम मिलता है, जो सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में विषम के वर्ग का नियम लिखें। / 2b² is even, hence a² is even. An odd integer has an odd square, so a is even. Substituting a=2k makes b even too, contradicting coprimality. Exam tip: state the odd-square fact.