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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, लेकिन \(q\) का 3 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं है।” निम्नलिखित में से कौन-सा कथन उसकी त्रुटि को सही ढंग से बताता है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=3q^2\), the student says, “\(p\) is divisible by 3, but \(q\) need not be divisible by 3.” Which statement correctly identifies the error?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।On putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting the coprimality of \(p\) and \(q\).

Explanation

Simple Explanation

\(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्यता का विरोधाभास है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / Putting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, track prime factors in squares carefully.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। \(p^2=3q^2\) प्राप्त करने के बाद वह कहता है, “\(p\) 3 से विभाज्य है, लेकिन \(q\) का 3 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं है।” निम्नलिखित में से कौन-सा कथन उसकी त्रुटि को सही ढंग से बताता है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. After obtaining \(p^2=3q^2\), the student says, “\(p\) is divisible by 3, but \(q\) need not be divisible by 3.” Which statement correctly identifies the error?

Correct Answer: A. \(p=3k\) रखने पर \(q\) भी 3 से विभाज्य सिद्ध होता है, जो \(p\) और \(q\) के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। / On putting \(p=3k\), \(q\) is also proved divisible by 3, contradicting the coprimality of \(p\) and \(q\).. Explanation: \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सह-अभाज्यता का विरोधाभास है। परीक्षा में वर्ग के अभाज्य गुणनखंड पर ध्यान दें। / Putting \(p=3k\) gives \(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\) and hence \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. In exams, track prime factors in squares carefully.