Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रत्येक रैखिक असमानता एक अर्ध-समतल दर्शाती है और अर्ध-समतलों का प्रतिच्छेद उत्तल होता है। दो हलों का भारित औसत भी सभी असमानताएँ संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: परिबद्धता और रिक्तता अलग से जाँचें। / Each linear inequality represents a half-plane, and the intersection of half-planes is convex. A weighted average of any two solutions also satisfies every inequality. Exam tip: test boundedness and feasibility separately.
बिंदु रखने पर (2(4)+3(2)=14), जो (12) से अधिक है। परीक्षा में पहले परीक्षण बिंदु से अर्धतल तय करें। / Substitution gives (2(4)+3(2)=14), which is greater than (12). In exams, decide the half-plane first using a test point.
रेखाओं \(x+2y=16\) और \(2x+y=14\) को साथ हल करने पर \(\left(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right)\) मिलता है। ग्राफ में मुख्य शीर्ष हमेशा सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से जांचें। / Solving \(x+2y=16\) and \(2x+y=14\) together gives \(\left(\frac{22}{3},\frac{13}{3}\right)\). In a graph, always check key vertices from boundary intersections.
चिह्न (<) है इसलिए सीमा रेखा शामिल नहीं होगी। सख्त असमानता में हमेशा टूटी रेखा बनाइए। / The sign is (<), so the boundary line is not included. For strict inequalities, always draw a dashed line.
क्षेत्र अक्षों और रेखा (x+y=8) से घिरता है। अवरोध बिंदु देखने से त्रिभुज तुरंत मिल जाता है। / The region is bounded by the axes and the line (x+y=8). Checking intercepts quickly shows a triangle.
((3,2)) रखने पर \(7\le 10\) और \(4\ge 3\) दोनों सत्य हैं। विकल्पों को सीधे रखने से समय बचता है। / For ((3,2)), \(7\le 10\) and \(4\ge 3\), both true. Direct substitution in options saves time.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), अतः (x=6) और (y=4)। शीर्ष निकालने में दो सीमा रेखाओं को साथ हल करें। / Adding the two equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). To find a vertex, solve the two boundary lines together.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
A. समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी/Strip between parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों सीमाएं समानांतर हैं और क्षेत्र उनके बीच है। समान बाईं ओर वाली असमानताओं में स्थिर पदों की तुलना करें। / Both boundaries are parallel, and the region lies between them. For inequalities with the same left side, compare the constants.
एक ही राशि (x+y) एक साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी असमानताओं को पहले पहचानें। / The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) at the same time. Identify contradictory inequalities first.
मूल बिंदु रखने पर (0>-1) सत्य है। मूल बिंदु सीमा पर न हो तो वह सबसे आसान परीक्षण बिंदु है। / At the origin, (0>-1) is true. If the origin is not on the boundary, it is the easiest test point.
B. सीमा रेखा \(2x-3y=6\) बिंदीदार होगी और उसके नीचे का अर्ध-समतल छायांकित होगा।/The boundary \(2x-3y=6\) is dashed and the half-plane below it is shaded.
Explanation
Simple Explanation
\(2x-3y>6\) को \(y<\frac{2}{3}x-2\) लिखने पर रेखा के नीचे का भाग मिलता है। ‘>’ में सीमा शामिल नहीं होती, इसलिए रेखा बिंदीदार होगी। परीक्षा में असमानता बदलते समय \(y\) से भाग देने पर चिह्न पलटने का ध्यान रखें। / Rewriting gives \(y<\frac{2}{3}x-2\), so the required region lies below the boundary line. Since the inequality is strict, the boundary is dashed, not solid. Exam tip: reverse the inequality sign when dividing by a negative number.
रेखा के दाईं ओर (x) का मान (3) से बड़ा होता है। लंबवत रेखाओं में केवल (x) की तुलना करें। / To the right of the line, the value of (x) is greater than (3). For vertical lines, compare only (x).
रेखा के ऊपर (y) का मान (-2) से बड़ा होता है। क्षैतिज रेखाओं में केवल (y) की तुलना करें। / Above the line, the value of (y) is greater than (-2). For horizontal lines, compare only (y).
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें। / The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
रेखा से ऊपर और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र अनंत तक फैलता है। \(\ge\) वाली शर्तें अक्सर बाहर की ओर असीम क्षेत्र देती हैं। / The region above the line in the first quadrant extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) often create outward unbounded regions.
आयत की लंबाई (5-1=4) और चौड़ाई (6-2=4), इसलिए क्षेत्रफल (16) है। समानांतर सीमाओं में अंतर लेकर आयाम निकालें। / The rectangle has length (5-1=4) and width (6-2=4), so the area is (16). For parallel bounds, take differences to get dimensions.
\(y\)-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। सीमा रेखा \(2x+y=10\) में \(x=0\) रखने पर \(y=10\) मिलता है, अतः कोना \((0,10)\) है। \((0,5)\) असमता को संतुष्ट तो करता है, पर वह सीमा रेखा और अक्षों से बना कोना नहीं है। परीक्षा टिप: अक्ष पर अवरोध ज्ञात करने के लिए दूसरे चर को शून्य रखें। / For any point on the \(y\)-axis, \(x=0\). Substituting \(x=0\) in the boundary line \(2x+y=10\) gives \(y=10\), so the corner is \((0,10)\). Although \((0,5)\) satisfies the inequality, it is not a vertex formed by the boundary line and the axes. Exam tip: to find an axis intercept, set the other variable equal to zero.
((8,0)) पर (3(8)+4(0)=24), इसलिए सीमा पर है और \(\le\) में शामिल है। \(\le\) और \(\ge\) में सीमा रेखा ठोस होती है। / At ((8,0)), (3(8)+4(0)=24), so it is on the boundary and included by \(\le\). For \(\le\) and \(\ge\), the boundary line is solid.
रूपांतरण से \(y\ge \frac{5x-10}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय असमानता का चिह्न बदलता है। / Rearranging gives \(y\ge \frac{5x-10}{2}\). When dividing by a negative coefficient, the inequality sign reverses.
((2,3)) पर (x+y=5), इसलिए यह रेखा (x+y=6) पर नहीं है। किसी सीमा पर होना जांचने के लिए बिंदु को समीकरण में रखें। / At ((2,3)), (x+y=5), so it is not on (x+y=6). To test a boundary, substitute the point into the equation.
पहले से (y=14-2x); दूसरे में रखने पर (x+42-6x=18), अतः \(x=\frac{24}{5}\) नहीं, दिए विकल्पों में ((5,4)) दोनों समीकरण संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय दोनों रेखाओं में मान रखें। / Among the options, ((5,4)) satisfies both equations (2x+y=14) and (x+3y=18). While checking options, substitute into both lines.
((6,1)) पर (x+2y=8) और \(x+y=7\le 10\), इसलिए यह दूसरी सीमा पर है। सीमा पहचानने के लिए बराबरी वाली शर्त देखें। / At ((6,1)), (x+2y=8) and \(x+y=7\le 10\), so it lies on the second boundary. To identify a boundary point, check equality.
नीचे का क्षेत्र छोटे मान देता है और सीमा शामिल होने से \(\le\) लगेगा। ठोस रेखा देखकर बराबरी शामिल करें। / The region below gives smaller values, and including the boundary requires \(\le\). Use a solid line to include equality.
अवरोध ((9,0)) और ((0,3)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\)। अक्षीय त्रिभुज में अवरोधों को आधार और ऊंचाई लें। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,3)), so area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 3=\frac{27}{2}\). For an axial triangle, use intercepts as base and height.
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है। / The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
((3,1)) पर \(1\le 2\) और \(1\ge 2\) नहीं, इसलिए नहीं; सही जांच में ((1,4)) पर \(4\le 4\) और \(4\ge 0\), अतः सही है। दोनों शर्तों में एक साथ जांच आवश्यक है। / For ((1,4)), \(4\le 4\) and \(4\ge 0\), so both inequalities hold. Both conditions must be checked together.
\(-5y\ge 15-2x\) और (-5) से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(y\le \frac{2x-15}{5}\) होगा। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटता है। / \(-5y\ge 15-2x\), and dividing by (-5) reverses the sign to \(y\le \frac{2x-15}{5}\). Dividing by a negative number reverses the inequality sign.
रेखाओं \(x+2y=10\) और \(3x+y=12\) को हल करने पर \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\) मिलता है। भिन्न वाले शीर्ष भी ग्राफ में मान्य होते हैं। / Solving \(x+2y=10\) and \(3x+y=12\) gives \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\). Fractional vertices are also valid in graphs.
ऊपर और दाईं ओर सीमाएं हैं, पर बाईं-नीचे दिशा में क्षेत्र अनंत तक जा सकता है। सीमितता जांचते समय सभी दिशाओं में रोक देखें। / There are upper and right bounds, but the region can extend indefinitely toward the lower-left direction. To test boundedness, check restrictions in every direction.
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है। / Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
मूल बिंदु पर (2x-y=0), जो (4) से कम है; उसे बाहर रखने के लिए (2x-y>4) चाहिए। सख्त क्षेत्र में सीमा शामिल नहीं होती। / At the origin, (2x-y=0), which is less than (4); to exclude it, we need (2x-y>4). In a strict region, the boundary is not included.
रेखाओं का प्रतिच्छेद \(\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right)\) है और वहां \(x+y=\frac{16}{3}\) अधिकतम है। रैखिक व्यंजक का चरम मान किसी शीर्ष पर मिलता है। / The intersection is \(\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right)\), where \(x+y=\frac{16}{3}\) is maximum. A linear expression attains its extreme value at a vertex.
((0,4)) पर \(4\ge 6\) गलत है; सही अक्षीय जांच में ((3,0)) होता, पर विकल्पों में ((0,4)) नहीं चलता। इसलिए दिए विकल्पों में कोई पूर्ण सही नहीं है। / None of the listed points fully satisfies the system, because each fails at least one inequality. Always verify all inequalities before choosing an axial point.
चौड़ाई (7-2=5) और ऊंचाई (5-1=4) है, इसलिए यह आयत है। समानांतर अक्षीय रेखाएं आयत बनाती हैं। / The width is (7-2=5) and height is (5-1=4), so it is a rectangle. Parallel axis-aligned lines form a rectangle.
असमानता \(y\ge \frac{x-4}{2}\) बनती है और ((2,3)) इसे संतुष्ट करता है। चिह्न बदलने के बाद ऊपर-नीचे का निर्णय करें। / The inequality becomes \(y\ge \frac{x-4}{2}\), and ((2,3)) satisfies it. Decide above or below after rearranging the sign correctly.
\(x+4y=20\) और \(3x+y=18\) हल करने पर \(\left(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right)\) मिलता है। सटीक शीर्ष के लिए भिन्नों से डरें नहीं। / Solving \(x+4y=20\) and \(3x+y=18\) gives \(\left(\frac{52}{11},\frac{42}{11}\right)\). Do not avoid fractions when finding exact vertices.
मूल बिंदु पर (ax+by=0), और \(0\le c\) सत्य है। प्रतीक तय करने के लिए परीक्षण बिंदु सबसे विश्वसनीय तरीका है। / At the origin, (ax+by=0), and \(0\le c\) is true. A test point is the most reliable way to choose the sign.
दोनों समीकरणों (x+y=7) और (x-y=3) को हल करने पर ((5,2)) मिलता है। साझा शीर्ष दो सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=3) gives ((5,2)). A common vertex comes from the intersection of two boundary lines.
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए। / The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
हर रैखिक असमिका एक अर्धतल देती है और उनका प्रतिच्छेद उत्तल होता है। इसलिए दो हल-बिंदुओं का रेखाखंड भी क्षेत्र में रहता है। परीक्षा-सुझाव: हल-क्षेत्र असीमित भी हो सकता है। / Each inequality gives a half-plane; intersections of half-planes are convex. Thus, the segment joining any two solution points lies in the region. Exam tip: the feasible region need not be bounded.
शीर्ष ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), ((0,7)) हैं; ((6,4)) पर (3x+2y=26), पर ((8,0)) पर (24), इसलिए सही अधिकतम (26) होना चाहिए। दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / The feasible vertices are ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), and ((0,7)); the maximum is (26) at ((6,4)). None of the listed options matches the correct value.
((3,0)) सीमा रेखा (3x+y=9) पर है और (>) में सीमा शामिल नहीं होती। सख्त असमानता में सीमा के बिंदु हल नहीं होते। / ((3,0)) lies on the boundary (3x+y=9), and (>) does not include the boundary. Boundary points are not solutions for strict inequalities.
शीर्ष ((2,2)), ((8,2)), ((2,5)) हैं; क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\) है। इसलिए सही मान (9) होना चाहिए। / The vertices are ((2,2)), ((8,2)), and ((2,5)); the area is \(\frac{1}{2}\times 6\times 3=9\). So the correct value should be (9).
((2,2)) पर (4<5) और (6>4), इसलिए यह अंदर है और सीमा पर नहीं। अंदरूनी बिंदु में कोई भी सीमा बराबरी नहीं देती। / At ((2,2)), (4<5) and (6>4), so it is inside and not on a boundary. An interior point does not satisfy any boundary as equality.
(y)-अवरोध पर (x=0), (y=3), इसलिए (3k=12) और (k=4)। अवरोध आधारित प्रश्नों में संबंधित चर शून्य रखें। / At the (y)-intercept, (x=0), (y=3), so (3k=12) and (k=4). In intercept questions, set the other variable to zero.
((1,1)) पर (2<6) और ((5,5)) पर (10>6), इसलिए सही सख्त अर्धतल (x+y<6) है। परीक्षण बिंदुओं से दिशा तय करें। / At ((1,1)), (2<6), while at ((5,5)), (10>6), so the correct strict half-plane is (x+y<6). Use test points to decide direction.
\(x\ge 6\) और \(y\ge 3\) से \(x+2y\ge 12\), जो \(x+2y\le 10\) से टकराता है। न्यूनतम संभव मान जांचने से रिक्त क्षेत्र जल्दी पता चलता है। / From \(x\ge 6\) and \(y\ge 3\), \(x+2y\ge 12\), which contradicts \(x+2y\le 10\). Checking the minimum possible value quickly detects an empty region.
अवरोध ((15,0)) और ((0,10)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\)। पहले अवरोध निकालना सबसे तेज तरीका है। / The intercepts are ((15,0)) and ((0,10)), so the area is \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\). Finding intercepts first is the fastest method.
((4,2)) पर \(10\le 9\) गलत है; सही जांच में कोई विकल्प सभी शर्तें पूरा नहीं करता। इसलिए विकल्पों को सावधानी से सत्यापित करें। / For ((4,2)), \(10\le 9\) is false, and no listed option satisfies all conditions. Verify every option carefully against all constraints.
(x=0) पर शर्तें \(y\le 10\) और \(3y\le 18\) देती हैं, इसलिए अधिकतम (y=6)। किसी चर का अधिकतम पाने के लिए उस दिशा की कठोर सीमा देखें। / At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
A. शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((4,2)) वाला बंद त्रिभुज/Closed triangle with vertices ((2,0)), ((6,0)), ((4,2))
Explanation
Simple Explanation
तीनों अर्द्ध-तल मिलकर बंद त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा में पहले रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु निकालें। / The three half-planes form a closed triangle. In exams, first find the intersection points of boundary lines.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। कोना निकालते समय केवल वैध प्रतिच्छेद लें। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). While finding corners, keep only feasible intersections.
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
A. ((0,0)), ((6,0)), \(\left(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right)\), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद \(\left(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right)\) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर पूरे बहुभुज के कोने चुनें। / The intersection of the two slant lines is \(\left(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right)\). Use valid intercepts on the axes to choose all polygon corners.
शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), ((2,7)) हैं। शूलेस विधि या भागों में बांटकर क्षेत्रफल (20) मिलता है। / The vertices are ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), and ((2,7)). Using the shoelace method or splitting into parts gives area (20).
शीर्ष ((2,1)), \(\left(\frac{15}{2},1\right)\), \((2,\frac{14}{3})\) हैं। आधार \(\frac{11}{2}\) और ऊंचाई \(\frac{11}{3}\) से क्षेत्रफल \(\frac{121}{12}\) नहीं बल्कि सही गणना के लिए अक्षों के समांतर दूरी जांचें। / The vertices are ((2,1)), \(\left(\frac{15}{2},1\right)\), and \((2,\frac{14}{3})\). Check parallel distances carefully before using triangle area.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर वाले भाग को चुनती हैं और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र ऊपर की ओर अनंत है। \(\geq\) होने से सीमाएं शामिल हैं। / Both inequalities select the upper sides of the lines, and in the first quadrant the region extends infinitely. Since \(\geq\) is used, boundaries are included.
एक ही राशि (2x-y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (8) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी शर्तें दिखें तो ग्राफ बनाने से पहले जांच लें। / The same expression (2x-y) cannot be at most (4) and greater than (8) at the same time. Check contradictions before drawing the graph.
चूँकि \(x\geq4\) और \(y\geq3\), इसलिए \(x+y\) का न्यूनतम मान बिंदु \((4,3)\) पर \(7\) है। अतः असमानता \(x+y\leq m\) को संतुष्ट करने के लिए \(m\) कम-से-कम \(7\) होना चाहिए, अर्थात \(m\geq7\)। \(m>12\) पर क्षेत्र अवश्य अरिक्त होगा, लेकिन यह आवश्यक शर्त नहीं है क्योंकि \(m=7\) पर भी बिंदु \((4,3)\) हल है। परीक्षा टिप: न्यूनतम सीमाओं वाले ऐसे प्रश्नों में पहले \(x+y\) का न्यूनतम संभव मान ज्ञात करें। / Since \(x\geq4\) and \(y\geq3\), the minimum possible value of \(x+y\) is \(7\), attained at \((4,3)\). Therefore, \(x+y\leq m\) can be satisfied only when \(m\) is at least \(7\), i.e. \(m\geq7\). Although \(m>12\) also gives a non-empty region, it is not the required condition because \(m=7\) already gives the solution point \((4,3)\). Exam tip: For parameter-based inequalities, first find the extreme possible value of the relevant expression.
A. मूल-बिंदु वाला अर्द्ध-तल/Half-plane containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु असमानता को संतुष्ट करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। जांच बिंदु रेखा पर न हो। / The origin satisfies the inequality, so shading is on that side. Choose a test point not lying on the line.
B. टूटी रेखा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed line and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमानता में सीमा शामिल नहीं होती इसलिए रेखा टूटी होगी। मूल-बिंदु शर्त पूरी करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। / In a strict inequality, the boundary is excluded, so the line is dashed. The origin satisfies the condition, so shade its side.
कोनों पर जांचने से ((0,5)) पर (10), ((4,0)) पर (12), और \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\) पर (16) मिलता है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives (10) at ((0,5)), (12) at ((4,0)), and (16) at \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\). A linear expression attains its maximum at a corner.
एक ही ढाल वाली रेखाओं के लिए (2x+1) हमेशा (2x-3) से बड़ा है। इसलिए कोई (y) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For parallel lines with the same slope, (2x+1) is always greater than (2x-3). Hence no (y) can satisfy both conditions.
\(\geq\) वाली असमानताएं प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की दिशा का क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) inequalities give the upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को सभी असमानताओं से जांचना अच्छा तरीका है। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). It is a good method to test the intersection in all inequalities.
पहली और दूसरी असमानता परस्पर विरोधी हैं। समान सीमा पर भी कठोर असमानता बिंदुओं को हटा देती है। / The first and second inequalities contradict each other. Even on the common boundary, the strict inequality removes the points.
बिंदु \((k,3)\) रखने पर पहली असमानता से \(k+2(3)\leq 11\), अर्थात \(k\leq 5\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(3k-3>6\), अर्थात \(3k>9\) और \(k>3\) मिलता है। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(3<k\leq 5\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(k=3\) शामिल है, लेकिन इस मान पर दूसरी असमानता सत्य नहीं होती। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानताओं में प्रत्येक शर्त अलग-अलग हल करके उनका उभयनिष्ठ भाग लें। / Substituting \((k,3)\) into the first inequality gives \(k+2(3)\leq 11\), so \(k\leq 5\). The second inequality gives \(3k-3>6\), so \(3k>9\) and hence \(k>3\). Combining both conditions gives \(3<k\leq 5\). Option B incorrectly includes \(k=3\), which does not satisfy the second inequality. Exam tip: solve each inequality separately and take their common interval.
शीर्ष ((1,2)), ((5,2)), ((1,6)) मिलते हैं। आधार और ऊंचाई (4) हैं इसलिए क्षेत्रफल (8) है। / The vertices are ((1,2)), ((5,2)), and ((1,6)). Base and height are (4), so the area is (8).
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{18}{5}\) और \(y=\frac{14}{5}\) मिलता है। ग्राफ में यही आंतरिक कोना है। / Solving the two equations gives \(x=\frac{18}{5}\) and \(y=\frac{14}{5}\). This is the inner corner on the graph.
((2,3)) पर (2x+5y=19) सही है लेकिन (x-y=-1) भी सही है इसलिए इसे हटाया नहीं जा सकता। विकल्प जांच में गलत विकल्प पहचानने के लिए सभी शर्तें सावधानी से जांचें। / At ((2,3)), (2x+5y=19) and (x-y=-1), so it cannot be rejected. For such questions, test all conditions carefully.
B. रेखा टूटी हुई और मूल-बिंदु के विपरीत ओर छायांकन/Dashed line and shading opposite to the origin
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) होने से सीमा शामिल नहीं होगी और मूल-बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए विपरीत ओर छायांकन होगा। / Because the sign is (>), the boundary is excluded, and the origin does not satisfy the inequality. So shading is opposite to the origin.
D. आंशिक रूप से खुला सीमित त्रिभुज/Partly open bounded triangle
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र सीमित त्रिभुज है लेकिन (x+y=6) वाली सीमा शामिल नहीं है। मिश्रित असमानताओं में हर सीमा का अलग व्यवहार देखें। / The region is a bounded triangle, but the boundary (x+y=6) is not included. In mixed inequalities, check each boundary separately.
बिंदु \((2,k)\) रखने पर पहली असमानता से \(2+k\leq 7\), अर्थात \(k\leq 5\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(2(2)-k<3\Rightarrow 4-k<3\Rightarrow -k<-1\), अतः \(k>1\)। दोनों शर्तों को मिलाने पर \(1<k\leq 5\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(k=1\) शामिल है, पर \(k=1\) के लिए \(2x-y=3\) होगा, जो \(<3\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / Substituting \((2,k)\) into the first inequality gives \(2+k\leq 7\), so \(k\leq 5\). From the second inequality, \(2(2)-k<3\Rightarrow 4-k<3\Rightarrow -k<-1\), hence \(k>1\). Combining both conditions gives \(1<k\leq 5\). Option B incorrectly includes \(k=1\); at \(k=1\), \(2x-y=3\), which does not satisfy \(<3\). Exam tip: reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
((2,4)) तीनों शर्तें पूरी करता है और दो सीमाओं का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए पहले सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद जांचें। / The point ((2,4)) satisfies all conditions and is the intersection of two boundaries. To identify vertices, first test boundary intersections.
तीन सीमा रेखाओं के जोड़ीदार प्रतिच्छेद लेकर वैध बिंदु चुनें। वैध कोने ((3,1)), ((7,1)), ((3,5)) हैं। / Take pairwise intersections of the three boundary lines and keep valid points. The valid corners are ((3,1)), ((7,1)), and ((3,5)).
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+2y=12) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+2y=12). Opposite inequalities with the same boundary often give the boundary line.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और \(x-2\leq y\leq x+4\) मिलता है। बराबरी वाले चिन्हों से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The lines are parallel and give \(x-2\leq y\leq x+4\). Equality signs include both boundaries.
A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं/Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5))
Explanation
Simple Explanation
वर्ग \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\) में रेखा (x+y=7) के ऊपर का कोना बचता है। उसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं। / Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
((2,4)) रखने पर तीनों असमानताएं सही मिलती हैं। विकल्प जांच में हर असमानता अलग से जांचें। / Substituting ((2,4)) satisfies all three inequalities. In option checking, test every inequality separately.
A. दोनों समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between the two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(3x-4\leq y\leq 3x+2\) है। बराबरी होने से दोनों सीमा रेखाएं शामिल होंगी। / The condition is \(3x-4\leq y\leq 3x+2\). Since equality is allowed, both boundary lines are included.
A. यह हल है और सीमा पर है/It is a solution and lies on a boundary
Explanation
Simple Explanation
((9,0)) पर \(x+y=9\) और \(x+2y=9\) मिलता है। यह दोनों शर्तें पूरी करता है और एक सीमा पर है। / At ((9,0)), \(x+y=9\) and \(x+2y=9\). It satisfies both conditions and lies on a boundary.
एक ही सीमा के लिए \(\leq\) और (>) साथ-साथ कोई बिंदु नहीं देते। ऐसे प्रश्नों में पहले तार्किक विरोध देखें। / For the same boundary, \(\leq\) and (>) give no common point. In such questions, first check logical contradiction.
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (8) मिलता है। / The two slant lines intersect at ((4,4)). Checking (x+y) at the corner points gives maximum (8).
दोनों समीकरणों को हल करने पर \(x=\frac{44}{7}\) और \(y=\frac{24}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में सभी असमानताओं से जरूर जांचें। / Solving the two equations gives \(x=\frac{44}{7}\) and \(y=\frac{24}{7}\). Always test the intersection in all inequalities afterward.
असमानता की सीमा रेखा \(ax+y=4\) होगी। x-अवरोध पर \(y=0\) होता है। दिए गए बिंदु \((2,0)\) को रखने पर \(2a+0=4\), अर्थात \(2a=4\) और \(a=2\) मिलता है। \(a=1\) होने पर x-अवरोध \((4,0)\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: x-अवरोध ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / The boundary line of the inequality is \(ax+y=4\). At the x-intercept, \(y=0\). Substituting the given point \((2,0)\) gives \(2a+0=4\), so \(2a=4\) and \(a=2\). If \(a=1\), the x-intercept would be \((4,0)\), not \((2,0)\). Exam tip: to find an x-intercept, always put \(y=0\).
B. सीमा रेखा ठोस होगी और ऊपर का भाग लिया जाएगा/The boundary line is solid and the upper part is taken
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) होने से सीमा शामिल होती है और (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का भाग छायांकित होगा। / Since the sign is \(\geq\), the boundary is included, and (y) is greater than or equal to the line. So the region above the line is shaded.
B. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं/Triangle with vertices ((2,3)), ((4,1)), ((4,3))
Explanation
Simple Explanation
आयत \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\) से रेखा (x+y=5) के ऊपर का छोटा भाग बचता है। उसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं। / From the rectangle \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\), the part above (x+y=5) remains. Its vertices are ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)).
((1,4)) पर (x+2y=9) और (2x+y=6) है। यह सभी शर्तें पूरी करता है और सीमा सहित क्षेत्र में आता है। / At ((1,4)), (x+2y=9) and (2x+y=6). It satisfies all conditions and lies in the region including the boundary.
नीचे या उसी पर होने से \(\leq\) लगेगा और प्रथम चतुर्थांश के लिए \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) चाहिए। ठोस सीमा रेखा बनती है। / Below or on the line means \(\leq\), and the first quadrant needs \(x\geq 0\), \(y\geq 0\). The boundary line is solid.
A. यह दोनों तिरछी सीमाओं के प्रतिच्छेद पर स्थित हल है/It is a solution at the intersection of both slant boundaries
Explanation
Simple Explanation
((6,4)) पर (x+y=10) और (x-y=2) दोनों बराबरी देते हैं। इसलिए यह दोनों सीमा-रेखाओं का वैध प्रतिच्छेद है। / At ((6,4)), both (x+y=10) and (x-y=2) hold as equalities. So it is the valid intersection of both boundary lines.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-3\leq x-y\leq 1\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-3\leq x-y\leq 1\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
आयत \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\) में रेखा (x+2y=10) के ऊपर का भाग बचता है। इसलिए शीर्ष ((2,4)), ((6,2)), ((6,4)) हैं। / Inside the rectangle \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\), the part above (x+2y=10) remains. Hence the vertices are ((2,4)), ((6,2)), and ((6,4)).
((2,2)) पर (2<3) और (2>1) दोनों सही हैं। कठोर असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होते। / At ((2,2)), both (2<3) and (2>1) are true. Boundary points are not included in strict inequalities.
(x)-अक्ष के ऊपर का अर्थ \(y\geq 0\) है और रेखा के नीचे या उसी पर का अर्थ \(y\leq 2x-5\) है। शब्दों को सीधे असमानता में बदलें। / Above the (x)-axis means \(y\geq 0\), and below or on the line means \(y\leq 2x-5\). Convert the words directly into inequalities.
हल-क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के नीचे स्थित है। अक्षों पर प्राप्त कोने \((0,0)\), \((6,0)\) और \((0,4)\) हैं। दोनों सीमा-रेखाओं \(x+4y=16\) तथा \(3x+2y=18\) को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु \((4,3)\) मिलता है। अतः कुल 4 कोने हैं। \((5,1)\) दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है, पर वह सीमा-रेखाओं का प्रतिच्छेद नहीं है, इसलिए कोना नहीं है। परीक्षा टिप: कोने ज्ञात करने के लिए अक्षों के प्रतिच्छेद और सभी सक्रिय सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद जाँचें। / The feasible region lies in the first quadrant and below both boundary lines. Its intercept-based vertices are \((0,0)\), \((6,0)\), and \((0,4)\). Solving \(x+4y=16\) and \(3x+2y=18\) gives their intersection as \((4,3)\). Therefore, the region has 4 corner points. Although \((5,1)\) satisfies both inequalities, it is not an intersection of active boundary lines, so it is not a corner. Exam tip: check axis intersections and intersections of all active boundary lines to identify vertices.
कोनों में ((7,0)) पर (x-y=7) मिलता है जो सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / At the corner ((7,0)), (x-y=7), which is the largest value. For a linear expression, check the corner points.
C. केवल (x+y=6) सीमा पर/Only on the boundary (x+y=6)
Explanation
Simple Explanation
((4,2)) पर (x+y=6) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह एक सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((4,2)), (x+y=6), and the remaining conditions also hold. So it is a solution point on one boundary.
C. दाएं अर्द्ध-तल में दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines in the right half-plane
Explanation
Simple Explanation
पहली दो रेखाएं समानांतर हैं और कठोर असमानताएं खुली पट्टी देती हैं। (x>0) इसे दाएं अर्द्ध-तल तक सीमित करता है लेकिन क्षेत्र फिर भी अनंत है। / The first two lines are parallel and strict inequalities create an open strip. The condition (x>0) restricts it to the right half-plane, but the region remains unbounded.
((0,4)) रेखा (2x+y=4) पर है लेकिन क्षेत्र का कोना नहीं बनता। वास्तविक कोने ((0,5)), ((5,0)), ((2,0)), ((0,4)) में जांच से ((0,4)) भी वैध कोना है इसलिए विकल्पों में भ्रम है। / The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
A. ((0,0)), ((4,0)), \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at \(\left(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right)\). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
शीर्ष ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), ((0,6)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (24) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((0,0)), ((6,0)), ((4,4)), and ((0,6)). The shoelace method gives area (24) square units.
((4,2)) पर (2x+y=10) और (x+3y=10) मिलता है। सभी असमानताओं में बिंदु रखकर ही अंतिम विकल्प चुनें। / At ((4,2)), (2x+y=10) and (x+3y=10). Choose the final option only after substituting the point in all inequalities.
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
((3,3)) रखने पर (2x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। बिंदु जांच में सभी असमानताओं को अलग-अलग जांचें। / Substituting ((3,3)) gives (2x+y=9) and (x+2y=9). In point testing, check every inequality separately.
\(\geq\) वाली शर्तें प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) conditions give an upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
किसी भी (x) के लिए (x+4), (x+1) से बड़ा है। इसलिए (y) दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं कर सकता। / For every (x), (x+4) is greater than (x+1). Hence (y) cannot satisfy both conditions together.
चूँकि \(x\geq 3\) और \(y\geq 4\), इसलिए \(x+y\) का न्यूनतम मान बिंदु \((3,4)\) पर \(3+4=7\) है। यह बिंदु तभी \(x+y\leq m\) को संतुष्ट करेगा जब \(m\geq 7\) हो। \(m=7\) पर हल-क्षेत्र केवल बिंदु \((3,4)\) है, इसलिए \(m>7\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाली ऐसी असमानताओं में पहले दिए गए निचले/ऊपरी बंधों से व्यंजक का न्यूनतम या अधिकतम मान निकालें। / Since \(x\geq 3\) and \(y\geq 4\), the minimum possible value of \(x+y\) occurs at \((3,4)\) and is \(3+4=7\). This point satisfies \(x+y\leq m\) only when \(m\geq 7\). For \(m=7\), the solution region consists of the single point \((3,4)\), so \(m>7\) is not necessary. Exam tip: for parameter-based inequalities, first find the minimum or maximum value of the relevant expression under the given bounds.
कोनों पर जांचने से ((0,6)) पर (2x+3y=18) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / Checking the corners shows (2x+3y=18) at ((0,6)), which is largest. For a linear expression, check the corner points.
दोनों तिरछी सीमाएं ((2,2)) पर मिलती हैं। कोनों जैसे बिंदुओं पर जांचने से न्यूनतम (x+y=4) मिलता है। / The two slant boundaries meet at ((2,2)). Checking corner-like boundary points gives the minimum (x+y=4).
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-4\leq x-y\leq 2\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-4\leq x-y\leq 2\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
C. दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और ( -x+2<y<-x+6) मिलता है। कठोर असमानताओं के कारण दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। / The two lines are parallel and give ( -x+2<y<-x+6). Because the inequalities are strict, neither boundary is included.
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+3y=9) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर केवल रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+3y=9). Opposite inequalities with the same boundary often give only the line.
A. हल-क्षेत्र में और सीमा (x+y=5) पर/In the solution region and on the boundary (x+y=5)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+y=5) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((2,3)), (x+y=5), and the remaining conditions also hold. Therefore it is a solution point on the boundary.
आयत में रेखा (x+y=4) के ऊपर का भाग बचता है। इसके शीर्ष ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), ((4,0)) हैं। / Inside the rectangle, the part above (x+y=4) remains. Its vertices are ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), and ((4,0)).
विकल्प A में क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है और रेखा \(x+y=4\) से सीमित है। इसके शीर्ष \((0,0),(4,0),(0,4)\) हैं, इसलिए यह त्रिभुज परिबद्ध है। परीक्षा में जाँचें कि क्षेत्र किसी दिशा में अनंत तक तो नहीं फैल रहा। / In option A, the region lies in the first quadrant and is enclosed by \(x+y=4\). Its vertices are \((0,0),(4,0),(0,4)\), so it is a bounded triangle. In exams, check whether the shaded region extends infinitely in any direction.
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{27}{7}\) और \(y=\frac{32}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में असमानताओं में जांचना चाहिए। / Solving the two equations gives \(x=\frac{27}{7}\) and \(y=\frac{32}{7}\). The intersection should then be checked in the inequalities.
B. टूटी सीमा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed boundary and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु रखने पर (0<10) सही है। कठोर असमानता के कारण सीमा टूटी होगी और छायांकन मूल-बिंदु वाली ओर होगा। / Substituting the origin gives (0<10), which is true. Because the inequality is strict, the boundary is dashed and shading is toward the origin.
(x) को अधिकतम करने के लिए (y) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(x+2\leq 8\) से \(x\leq 6\) मिलता है। / To maximize (x), take the minimum allowed value \(y=1\). Then \(x+2\leq 8\) gives \(x\leq 6\).
(y=0) पर \(4\leq x\leq 12\) संभव है और (x=0) पर अधिकतम (y=4) मिलता है। इसलिए \(0\leq y\leq 4\) है। / At (y=0), \(4\leq x\leq 12\) is possible, and at (x=0), the maximum is (y=4). Hence \(0\leq y\leq 4\).
एक ही राशि (x+y) एक साथ (3) से छोटी या बराबर और (5) से बड़ी या बराबर नहीं हो सकती। ऐसे विरोध को ग्राफ से पहले पहचानें। / The same expression (x+y) cannot be at most (3) and at least (5) at the same time. Identify such contradictions before graphing.
यदि \(a\geq 0\) है तो कम से कम ((0,0)) हल में आता है और क्षेत्र सीमित रहता है। (a<0) होने पर प्रथम चतुर्थांश में कोई हल नहीं मिलेगा। / If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
दो तिरछी सीमाएं ((3,2)) पर मिलती हैं। (x=1) और (y=0) की वैध सीमाओं से बाकी कोने मिलते हैं। / The two slant boundaries meet at ((3,2)). The remaining corners come from valid parts of (x=1) and (y=0).
शीर्ष ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। शूलेस विधि से क्षेत्रफल (6) वर्ग इकाई मिलता है। / The vertices are ((1,0)), ((4,0)), ((3,2)), and ((1,3)). The shoelace method gives area (6) square units.
((5,1)) पर (x-y=4) है जो (2) से बड़ा है। विकल्प जांच में एक भी गलत असमानता बिंदु को बाहर कर देती है। / At ((5,1)), (x-y=4), which is greater than (2). In option testing, one failed inequality excludes the point.
कोनों पर (x+2y) जांचने से ((2,5)) पर अधिकतम (12) मिलता है। रैखिक व्यंजक के लिए कोनों की जांच पर्याप्त होती है। / Checking (x+2y) at the corners gives the maximum (12) at ((2,5)). For a linear expression, checking corners is sufficient.
तीनों कठोर असमानताएं एक सीमित त्रिभुज बनाती हैं लेकिन कोई सीमा शामिल नहीं होती। इसलिए क्षेत्र खुला और सीमित है। / The three strict inequalities form a bounded triangle, but no boundary is included. Therefore the region is open and bounded.
सीमारेखाओं के प्रतिच्छेदों में से जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करते हैं, वे कोने होते हैं। यहाँ कोने \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,2)\) और \((0,4)\) हैं। अतः हल-क्षेत्र के 4 कोने हैं। \((0,6)\) बिंदु मान्य नहीं है, क्योंकि यह \(x+2y\leq 8\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: प्रत्येक संभावित प्रतिच्छेद बिंदु को सभी असमानताओं में जाँचें। / Corner points are intersections of boundary lines that satisfy every inequality. The feasible vertices are \((0,0)\), \((6,0)\), \((4,2)\), and \((0,4)\). Therefore, the solution region has 4 corner points. For example, \((0,6)\) is not feasible because it does not satisfy \(x+2y\leq 8\). Exam tip: Test every candidate intersection in all the inequalities.
ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल होगी। मूल-बिंदु पर (0<12) है इसलिए मूल-बिंदु के विपरीत ओर \(3x+2y\geq 12\) होगा। / A solid boundary includes equality. Since the origin gives (0<12), the side opposite the origin is \(3x+2y\geq 12\).
रेखा सहित दाईं ओर का अर्थ (x) का मान (-2) से बड़ा या बराबर है। लंबवत रेखाओं में सीधे (x)-मान देखें। / Right side including the line means the value of (x) is greater than or equal to (-2). For vertical lines, read the (x)-value directly.
रेखा को शामिल न करने के लिए कठोर असमानता चाहिए। नीचे का भाग (y<3) से दर्शाया जाता है। / A strict inequality is needed to exclude the line. The region below it is represented by (y<3).
(y) को अधिकतम करने के लिए (x) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(2+y\leq 9\) और \(1+y\leq 7\) से \(y\leq 6\) मिलता है। / To maximize (y), take the minimum allowed (x=1). Then \(2+y\leq 9\) and \(1+y\leq 7\) give \(y\leq 6\).
\(y\) का न्यूनतम मान पाने के लिए \(x\) का अधिकतम अनुमत मान \(4\) लेते हैं। तब \(x+y\geq 6\) से \(y\geq 2\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(2x+y\geq 7\) में \(x=4\) रखने पर \(y\geq -1\) मिलता है, और \(y\geq 0\) भी दिया है। अतः सभी शर्तों को मिलाकर \(y\geq 2\), इसलिए न्यूनतम मान \(2\) है। बिंदु \((4,2)\) सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी चर का न्यूनतम मान ज्ञात करते समय सभी प्रतिबंधों से मिलने वाली निचली सीमाओं में सबसे बड़ी सीमा चुनें। / To obtain the minimum value of \(y\), take the largest allowed value of \(x\), namely \(4\). Then \(x+y\geq 6\) gives \(y\geq 2\). Also, substituting \(x=4\) in \(2x+y\geq 7\) gives \(y\geq -1\), while \(y\geq 0\) is already given. Combining all the lower bounds gives \(y\geq 2\), so the minimum value is \(2\). The point \((4,2)\) satisfies every inequality. Exam tip: when minimizing a variable, compare all lower bounds imposed by the constraints.
दोनों रेखाओं की ढाल 2 है, इसलिए वे समानांतर हैं। प्रत्येक \(x\) के लिए \(2x+3\), \(2x-1\) से 4 अधिक है। अतः \(y\) का एक साथ \(2x-1\) से कम या बराबर और \(2x+3\) से अधिक या बराबर होना असंभव है। इसलिए कोई सामान्य क्षेत्र नहीं मिलता। परीक्षा टिप: समान ढाल वाली रेखाओं के लिए नियत पदों की तुलना करके जल्दी जाँचें कि उनके अर्धतल प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं। / Both boundary lines have slope 2, so they are parallel. For every value of \(x\), \(2x+3\) is 4 greater than \(2x-1\). Thus, no value of \(y\) can be simultaneously less than or equal to \(2x-1\) and greater than or equal to \(2x+3\). Hence, there is no common region. Exam tip: for parallel boundary lines, compare the constant terms to quickly check whether the half-planes overlap.
पहली दो शर्तें (x+y=6) और अगली दो शर्तें (x-y=2) देती हैं। दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,2)) है। / The first two conditions give (x+y=6), and the next two give (x-y=2). Their intersection is ((4,2)).
(x=0) से (4) तक क्रमशः (5,4,3,2,1) मान मिलते हैं। कुल (15) पूर्णांक बिंदु हैं। / For (x=0) to (4), the numbers of possible (y)-values are (5,4,3,2,1). The total is (15) integer points.
चूँकि \(x\geq 1\) और \(x+y\leq 5\), इसलिए \(x\) के मान \(1,2,3,4\) हो सकते हैं। प्रत्येक मान के लिए \(y\) के धनात्मक पूर्णांक मान क्रमशः \(1\) से \(4\), \(1\) से \(3\), \(1\) से \(2\), और \(1\) से \(1\) तक हैं। अतः बिंदुओं की संख्या \(4+3+2+1=10\) है। \(8\) जैसे विकल्प में कुछ वैध सीमा-बिंदु छूट जाते हैं। परीक्षा टिप: पूर्णांक बिंदु गिनते समय असमानता में बराबरी होने पर सीमा-रेखा के बिंदुओं को भी शामिल करें। / Since \(x\geq 1\) and \(x+y\leq 5\), the possible integer values of \(x\) are \(1,2,3,4\). For these values, the allowable positive integer values of \(y\) are respectively \(1\) to \(4\), \(1\) to \(3\), \(1\) to \(2\), and \(1\) to \(1\). Therefore, the number of points is \(4+3+2+1=10\). An option such as \(8\) misses some valid boundary points. Exam tip: when an inequality includes equality, count the points on the boundary line as well.
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल (25) है और रेखा (x+y=4) के नीचे का त्रिभुज क्षेत्रफल (8) है। इसलिए बचा क्षेत्रफल (17) है। / The square has area (25), and the triangle below (x+y=4) has area (8). Therefore the remaining area is (17).
(x=3) को (x+2y=11) में रखने पर (3+2y=11) मिलता है। इसलिए (y=4) और प्रतिच्छेद ((3,4)) है। / Substituting (x=3) in (x+2y=11) gives (3+2y=11). Thus (y=4), and the intersection is ((3,4)).
चूँकि \(x\geq 0\) और \(y\geq 5\), इसलिए \(x+y\geq 5\) होना आवश्यक है। लेकिन तीसरी असमानता \(x+y\leq 4\) है, जो इसके विपरीत है। अतः कोई भी बिंदु तीनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट नहीं करता और हल-क्षेत्र खाली है। \(x+y=4\) वाली रेखा पर भी \(y\geq 5\) संभव नहीं है जब \(x\geq 0\) हो। परीक्षा टिप: असमानताओं को जोड़कर या न्यूनतम/अधिकतम मान देखकर असंगति जल्दी पहचानें। / Since \(x\geq 0\) and \(y\geq 5\), it must follow that \(x+y\geq 5\). However, the third inequality requires \(x+y\leq 4\), which is incompatible with this condition. Therefore, no point satisfies all three inequalities simultaneously, so the solution region is empty. Even on the boundary line \(x+y=4\), \(y\geq 5\) is impossible when \(x\geq 0\). Exam tip: Compare minimum and maximum possible values to spot an inconsistency quickly.
दो अर्द्ध-तल कटकर एक अनंत कोणीय क्षेत्र बनाते हैं। दोनों में बराबरी शामिल है इसलिए क्षेत्र बंद है। / The two half-planes intersect to form an infinite angular region. Since equality is included in both, the region is closed.
बिंदु \((2,k)\) रखने पर पहली असमानता से \(2+3k<11\), अर्थात \(k<3\), मिलता है। दूसरी असमानता से \(k-2\geq1\), अर्थात \(k\geq3\), मिलता है। कोई भी संख्या एक साथ \(3\) से छोटी और \(3\) के बराबर या बड़ी नहीं हो सकती, इसलिए ऐसा कोई \(k\) नहीं है। \(k=3\) निकटतम विकल्प लगता है, पर यह पहली कठोर असमानता \(k<3\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: बिंदु को हर असमानता में अलग-अलग रखकर प्राप्त शर्तों का प्रतिच्छेद जाँचें। / Substituting \((2,k)\) into the first inequality gives \(2+3k<11\), so \(k<3\). The second inequality gives \(k-2\geq1\), so \(k\geq3\). No number can be both less than \(3\) and at least \(3\); hence, no such \(k\) exists. Although \(k=3\) is a close distractor, it fails the strict condition \(k<3\). Exam tip: substitute the point into each inequality separately and then check the intersection of the resulting conditions.
बिंदु \((k,2)\) रखने पर पहली असमानता से \(2k+2\leq10\), अर्थात \(k\leq4\) मिलता है। दूसरी असमानता से \(k-2>1\), अर्थात \(k>3\) मिलता है। दोनों शर्तों का उभयनिष्ठ भाग \(3<k\leq4\) है, इसलिए विकल्प B सही है। \(k=3\) पर दूसरी असमानता सख्त रूप से सत्य नहीं होती। परीक्षा टिप: प्रत्येक असमानता से मिली सीमा का प्रतिच्छेद ही अंतिम उत्तर होता है। / Substituting \((k,2)\) into the first inequality gives \(2k+2\leq10\), so \(k\leq4\). The second inequality gives \(k-2>1\), so \(k>3\). The common range is \(3<k\leq4\), hence option B is correct. At \(k=3\), the second strict inequality is not satisfied. Exam tip: take the intersection of the ranges obtained from all inequalities.
x-अवरोध पर y=0 होता है। दिए गए बिंदु (3,0) को सीमा रेखा ax+2y=12 में रखने पर 3a+2(0)=12, अर्थात 3a=12 प्राप्त होता है। इसलिए a=4 है। विकल्प 6 लेने पर x-अवरोध 12/6=2 होता, जो दिए गए 3 से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: x-अवरोध ज्ञात करने या उपयोग करने के लिए हमेशा y=0 रखें। / At the x-intercept, y=0. Substituting the given point (3,0) into the boundary line ax+2y=12 gives 3a+2(0)=12, so 3a=12. Hence, a=4. If a were 6, the x-intercept would be 12/6=2, not 3. Exam tip: for an x-intercept, always set y=0.
यदि (p>0), तो (x)-अवरोध \(\frac{6}{p}\) सीमित होता है। \(p\leq 0\) होने पर प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र (x) दिशा में सीमित नहीं रहता। / If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
((2,3)) पर (x+2y=8) और (x-y=-1) है। इसलिए यह सीमा पर भी है और दूसरी असमानता को भी पूरा करता है। / At ((2,3)), (x+2y=8) and (x-y=-1). Thus it lies on the boundary and also satisfies the second inequality.
D. एक ओर बंद और दूसरी ओर खुली पट्टी/Strip closed on one side and open on the other
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(4<x+2y\leq 8\) मिलती है। \(x+2y=8\) शामिल है लेकिन \(x+2y=4\) शामिल नहीं है। / The condition becomes \(4<x+2y\leq 8\). The boundary \(x+2y=8\) is included, but \(x+2y=4\) is excluded.
आयत \([2,6]\times[1,5]\) को रेखा (x+y=8) काटती है। कोने ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), ((2,5)) हैं। / The rectangle \([2,6]\times[1,5]\) is cut by the line (x+y=8). The corners are ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), and ((2,5)).
कोनों पर जांचने से ((6,0)) पर (x-y=6) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives the largest value (x-y=6) at ((6,0)). A linear expression attains its maximum at a corner.
कोनों जैसे सीमा-बिंदुओं में ((0,6)) पर (2x+y=6) सबसे छोटा है। सीमा रहित क्षेत्र में भी न्यूनतम अक्सर किसी सीमा-कोने पर मिलता है। / Among boundary corner-like points, (2x+y=6) at ((0,6)) is the smallest. Even in an unbounded region, a minimum often occurs at a boundary corner.
