Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
( (3,2) ) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफीय विधि में यही प्रतिच्छेद बिंदु हल होता है। / ( (3,2) ) satisfies both equations. In graphical method this intersection point is the solution.
( (4,3) ) रखने पर (4+2(3)=10) और (2(4)-3=5)। ग्राफीय हल वही बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो। / Substituting ( (4,3) ) gives (4+2(3)=10) and (2(4)-3=5). The graphical solution is the point lying on both lines.
( (3,2) ) पर (3(3)-2=7) और (3+2=5)। दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु यही है। / At ( (3,2) ), (3(3)-2=7) and (3+2=5). This is the common point of both lines.
( (5,2) ) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। परीक्षा में विकल्पों को दोनों समीकरणों में रखकर जल्दी जाँचें। / ( (5,2) ) satisfies both equations. In exams, quickly check options by substituting them in both equations.
( (2,3) ) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। विकल्प जाँचते समय हर बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें। / Substituting ( (2,3) ) makes both equations true. While checking options substitute each point in both equations.
( (2,3) ) पर (2(2)+3(3)=13) और (2+3=5)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। / At ( (2,3) ), (2(2)+3(3)=13) and (2+3=5). This is the common point of both lines.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (2x+y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (2x+y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
( (4,3) ) रखने पर (4(4)-3=13) नहीं है, इसलिए जाँच जरूरी है। सही हल ( \left\(\frac{18}{5},\frac{17}{5}\right\) ) है। / Substituting ( (4,3) ) gives (4(4)-3=13), so checking is necessary. The correct solution is ( \left\(\frac{18}{5},\frac{17}{5}\right\) ).
C. समांतर रेखाएँ और कोई हल नहीं/Parallel lines and no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+10y=30) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। समान गुणांक अनुपात और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+10y=30), different from the second. Same coefficient ratio with different constant gives parallel lines.
(x+y=7) और (4x-y=11) जोड़ने पर (5x=18) मिलता है। इसलिए \(x=\frac{18}{5}\) और \(y=\frac{17}{5}\) है। / Adding (x+y=7) and (4x-y=11) gives (5x=18). Hence \(x=\frac{18}{5}\) and \(y=\frac{17}{5}\).
( (2,-1) ) रखने पर (2-2(-1)=4) और (2(2)-(-1)=5)। ऋण मान वाले बिंदुओं में चिह्न ध्यान से देखें। / Putting ( (2,-1) ) gives (2-2(-1)=4) and (2(2)-(-1)=5). Watch signs carefully with negative coordinates.
A. ( (10,0) ) और ( (0,4) )/( (10,0) ) and ( (0,4) )
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (x=10) और (x=0) रखने पर (y=4)। अवरोधों से ग्राफ जल्दी और साफ बनता है। / Putting (y=0) gives (x=10), and putting (x=0) gives (y=4). Intercepts make the graph quick and clear.
(y=0) पर (x=4) और (x=0) पर (y=6)। अवरोधों से रेखा जल्दी खींची जा सकती है। / At (y=0), (x=4), and at (x=0), (y=6). Intercepts help draw the line quickly.
(x=0) रखने पर (-2y=12), इसलिए (y=-6)। ऋण अवरोध को अक्ष की सही दिशा में लगाएँ। / Putting (x=0) gives (-2y=12), so (y=-6). Plot a negative intercept in the correct direction on the axis.
(4(0)-3y=12) से (y=-4) मिलता है। ऋण अवरोध को अक्ष पर सही दिशा में अंकित करें। / From (4(0)-3y=12), (y=-4). Plot a negative intercept in the correct direction on the axis.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=4) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=4), which is different from the second. Hence the lines are parallel and have no solution.
( (5,1) ) पर (5+1=6) और (5-1=4)। हल जाँचने के लिए दिए बिंदु को दोनों समीकरणों में रखें। / At ( (5,1) ), (5+1=6) and (5-1=4). To check a solution substitute the point in both equations.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+2y=6). Therefore both lines are the same and have infinitely many solutions.
( (4,3) ) पर (2(4)+3(3)=17) नहीं है, इसलिए पहले जाँचें। सही गणना से (x=3) और (y=2) मिलता है। / Checking ( (4,3) ) gives (2(4)+3(3)=17), not (18). Correct calculation gives (x=3) and (y=2).
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं की होती है। परीक्षा में ऐसे युग्म को असंगत लिखें। / This condition represents distinct parallel lines. In exams, write such a pair as inconsistent.
( (3,2) ) रखने पर (2(3)+3(2)=12) है, इसलिए यह भी सही नहीं है। सही हल ( \( \frac{21}{5},\frac{16}{5}\) ) होता है, अतः ऐसे विकल्पों में पुनः गणना जरूरी है। / Putting ( (3,2) ) gives (2(3)+3(2)=12), so it is not correct. The correct solution is ( \(\frac{21}{5},\frac{16}{5}\) ), so recalculation is needed in such options.
असमान गुणांक अनुपात से रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Unequal coefficient ratios make the lines intersect at one point. Therefore the pair is consistent and independent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and have infinitely many common points.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=14), जबकि दूसरा (4x+6y=20) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=14), while the second is (4x+6y=20). Hence the lines are parallel and distinct.
( (3,0) ) पर (2(3)-0=6) और (3+0=3)। प्रतिच्छेद बिंदु ही ग्राफीय हल है। / At ( (3,0) ), (2(3)-0=6) and (3+0=3). The intersection point is the graphical solution.
(x=4) रखने पर (2(4)+y=11), इसलिए (y=3)। ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ हल में (x) पहले से तय रहता है। / Putting (x=4) gives (2(4)+y=11), so (y=3). With a vertical line, (x) is already fixed.
(y=2) रखने पर (3x+2=14), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा के साथ (y) पहले से तय रहता है। / Putting (y=2) gives (3x+2=14), so (x=4). With a horizontal line, (y) is already fixed.
A. क्योंकि (2(0)+3(0)\ne6)/Because (2(0)+3(0)\ne6)
Explanation
Simple Explanation
मूलबिंदु ( (0,0) ) रखने पर बायाँ पक्ष (0) आता है, (6) नहीं। किसी रेखा के मूलबिंदु से गुजरने की जाँच substitution से करें। / Substituting the origin ( (0,0) ) gives left side (0), not (6). Check whether a line passes through origin by substitution.
( (2,5) ) रखने पर (5(2)-2(5)=0)। विकल्पों को समीकरण में रखना तेज तरीका है। / Substituting ( (2,5) ) gives (5(2)-2(5)=0). Substituting options in the equation is a quick method.
( (2,2) ) दोनों समीकरणों में (6) देता है। जो बिंदु दोनों रेखाओं पर हो वही प्रतिच्छेद बिंदु है। / ( (2,2) ) gives (6) in both equations. The point lying on both lines is the intersection point.
\(2.5=\frac{5}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से दशमलव बिंदु पढ़ने पर सरल भिन्न में लिखें। / \(2.5=\frac{5}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). When reading decimals from a graph, write them as simplified fractions.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (2x+y=0) और (x-y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (2x+y=0) and (x-y=0). To check the origin, put (x=0,\ y=0).
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों ग्राफ पर एक ही रेखा बनाते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore both form the same line on the graph.
( (2,5) ) पर (2(2)+3(5)=19), लेकिन (2+5=7) है। दोनों रेखाओं का हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At ( (2,5) ), (2(2)+3(5)=19), but (2+5=7). To be a solution of both lines, both equations must be true.
दोनों समीकरण समान हैं, इसलिए ग्राफ भी समान होगा। ऐसी स्थिति में हर बिंदु सामान्य होता है। / Both equations are identical, so their graphs are also identical. In this case every point is common.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=4)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु होगा। / Adding both equations gives (2x=10), so (x=5) and (y=4). On the graph this will be the intersection point.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। पहले (x)-अवरोध और फिर (y)-अवरोध लिखें। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Write the (x)-intercept first and then the (y)-intercept.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=2), फिर (2+4y=14) से (y=3)। ग्राफ पर यही सामान्य बिंदु है। / Subtracting the equations gives (x=2), then (2+4y=14) gives (y=3). This is the common point on the graph.
( (3,2) ) रखने पर (2(3)-2=4) और (3+2(2)=7)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Putting ( (3,2) ) gives (2(3)-2=4) and (3+2(2)=7). If both are true, that point is the solution.
बिंदु ( \left\(-2,5\right\) ) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) है। ऋण निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / In the point ( \left\(-2,5\right\) ), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change the order while reading negative coordinates.
(x+2y=7) और (2x+y=8) में गुणांक अनुपात समान नहीं हैं। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी। / In (x+2y=7) and (2x+y=8), the coefficient ratios are not equal. Hence the lines will intersect at one point.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=6), जबकि दूसरा (2x-2y=10) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=6), while the second is (2x-2y=10). Hence the lines are parallel and have no solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और युग्म संगत आश्रित है। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and the pair is consistent dependent.
(x=2) पर (2y=6) से (y=3), और (x=6) पर (2y=2) से (y=1)। तालिका में सरल मान लेने से ग्राफ साफ बनता है। / At (x=2), (2y=6) gives (y=3), and at (x=6), (2y=2) gives (y=1). Simple table values make the graph clear.
A. (x=2,\ y=1) और (x=3,\ y=3)/(x=2,\ y=1) and (x=3,\ y=3)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (4-y=3) से (y=1), और (x=3) पर (6-y=3) से (y=3)। मान-सारणी के बिंदु समीकरण को संतुष्ट करने चाहिए। / At (x=2), (4-y=3) gives (y=1), and at (x=3), (6-y=3) gives (y=3). Table points must satisfy the equation.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\)। इसलिए रेखाएँ संपाती होंगी और अनंत हल मिलेंगे। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\). Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, केवल (1) नहीं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions, not only (1).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding both equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
( (4,2) ) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु ही हल होता है। / Substituting ( (4,2) ) makes both equations true. In graphical method, the common point of both lines is the solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=2)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=10), so (x=5) and (y=2). This is the intersection point on the graph.
( (3,5) ) पर (2(3)+5=11) और (3+5=8)। विकल्पों को दोनों समीकरणों में रखना तेज जाँच है। / At ( (3,5) ), (2(3)+5=11) and (3+5=8). Substituting options in both equations is a quick check.
(x=0) रखने पर (2y=28), इसलिए (y=14)। (y)-अवरोध में (x)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (x=0) gives (2y=28), so (y=14). In a (y)-intercept, the (x)-coordinate is (0).
( (-1,4) ) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ऋण निर्देशांक वाले बिंदु जाँचते समय चिह्नों पर ध्यान दें। / ( (-1,4) ) satisfies both equations. With negative coordinates, pay attention to signs while checking.
(y=0) रखने पर (2x=20), इसलिए (x=10)। (x)-अवरोध में (y)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (y=0) gives (2x=20), so (x=10). In an (x)-intercept, the (y)-coordinate is (0).
( (5,-2) ) पर (5-2(-2)=9) और (2(5)+(-2)=8)। प्रतिच्छेद बिंदु को ( (x,y) ) क्रम में लिखें। / At ( (5,-2) ), (5-2(-2)=9) and (2(5)+(-2)=8). Write the intersection point in ( (x,y) ) order.
पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / Dividing the first equation by (5) gives (x+2y=6). Hence both lines are coincident and give infinitely many solutions.
(y=0) पर (x=8) और (x=0) पर (y=6)। अवरोधों से रेखा जल्दी और सही बनती है। / At (y=0), (x=8), and at (x=0), (y=6). Intercepts help draw the line quickly and correctly.
B. समांतर और कोई हल नहीं/Parallel with no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=22), जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=22), different from the second. Therefore the lines are parallel and have no solution.
(x=0) रखने पर (-3y=15), इसलिए (y=-5)। ऋण अवरोध को अक्ष की सही दिशा में अंकित करें। / Putting (x=0) gives (-3y=15), so (y=-5). Plot a negative intercept in the correct direction on the axis.
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर (x=3), फिर (3+5y=13) से (y=2)। यही ग्राफीय हल है। / Subtracting the first equation from the second gives (x=3), then (3+5y=13) gives (y=2). This is the graphical solution.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+2y=8) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+2y=8). Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
( (4,2) ) पर (4(4)+2=18), लेकिन (4+2=6)। सामान्य हल के लिए बिंदु को दोनों समीकरण संतुष्ट करने चाहिए। / At ( (4,2) ), (4(4)+2=18), but (4+2=6). For a common solution, the point must satisfy both equations.
B. समांतर और कोई हल नहीं/Parallel with no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-6y=10), जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-6y=10), different from the second. Hence the lines are parallel and have no solution.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=2\)। इसलिए रेखाएँ संपाती होंगी। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=2\). Therefore the lines will be coincident.
C. एक बिंदु पर प्रतिच्छेदी/Intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
असमान अनुपात का अर्थ है कि रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी। ऐसे युग्म का ठीक (1) हल होता है। / Unequal ratios mean the lines will intersect at one point. Such a pair has exactly (1) solution.
(x=-2) रखने पर (3(-2)+y=1), इसलिए (y=7)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान निश्चित रहता है। / Putting (x=-2) gives (3(-2)+y=1), so (y=7). In a vertical line, the value of (x) is fixed.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं की होती है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता और युग्म असंगत होता है। / This condition represents distinct parallel lines. Therefore there is no common point and the pair is inconsistent.
(y=4) रखने पर (2x+12=22), इसलिए (x=5)। क्षैतिज रेखा में (y) पहले से तय रहता है। / Putting (y=4) gives (2x+12=22), so (x=5). In a horizontal line, (y) is already fixed.
तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। इस स्थिति में अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, both equations represent the same line. In this case, infinitely many solutions are obtained.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.
( (3,5) ) रखने पर (2(3)-5=1) और (3+5=8)। दोनों समीकरण सत्य हों तो वही ग्राफीय हल है। / Substituting ( (3,5) ) gives (2(3)-5=1) and (3+5=8). If both equations are true, that point is the graphical solution.
(x=6) रखने पर (6+y=10), इसलिए (y=4)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से निश्चित होता है। / Putting (x=6) gives (6+y=10), so (y=4). In a vertical line, (x) is already fixed.
(y=-1) रखने पर (2x-(-1)=9), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) तय रहता है। / Putting (y=-1) gives (2x-(-1)=9), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
A. क्योंकि (2(0)+3(0)\ne18)/Because (2(0)+3(0)\ne18)
Explanation
Simple Explanation
मूलबिंदु ( (0,0) ) रखने पर बायाँ पक्ष (0) आता है, (18) नहीं। मूलबिंदु से गुजरने की जाँच सीधे प्रतिस्थापन से करें। / Substituting the origin ( (0,0) ) gives left side (0), not (18). Check passing through origin by direct substitution.
( (5,4) ) रखने पर (4(5)-5(4)=0)। बिंदु जाँचने के लिए निर्देशांक समीकरण में रखें। / Substituting ( (5,4) ) gives (4(5)-5(4)=0). To check a point, substitute its coordinates in the equation.
( (4,2) ) पर (3(4)+2(2)=16), लेकिन (4+2=6)। दोनों रेखाओं का हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At ( (4,2) ), (3(4)+2(2)=16), but (4+2=6). To be a solution of both lines, both equations must be true.
\(3.5=\frac{7}{2}\) और \(2.5=\frac{5}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(3.5=\frac{7}{2}\) and \(2.5=\frac{5}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
( (0,0) ) दोनों समीकरणों (3x+y=0) और (x-2y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु के लिए (x=0,\ y=0) रखें। / ( (0,0) ) satisfies both (3x+y=0) and (x-2y=0). For origin, put (x=0,\ y=0).
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many common points.
(x=3) पर (3y=9) से (y=3), और (x=6) पर (3y=6) से (y=2)। सही मान-सारणी से सही ग्राफ बनता है। / At (x=3), (3y=9) gives (y=3), and at (x=6), (3y=6) gives (y=2). A correct value table gives a correct graph.
A. (x=2,\ y=2) और (x=3,\ y=5)/(x=2,\ y=2) and (x=3,\ y=5)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (6-y=4) से (y=2), और (x=3) पर (9-y=4) से (y=5)। तालिका के हर बिंदु को समीकरण संतुष्ट करना चाहिए। / At (x=2), (6-y=4) gives (y=2), and at (x=3), (9-y=4) gives (y=5). Every table point must satisfy the equation.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\)। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\). Therefore both lines are coincident.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{25}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{25}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=16), इसलिए (x=8) और (y=4)। वास्तविक समस्या में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding the equations gives (2x=16), so (x=8) and (y=4). In a real problem, the meeting point is the graphical solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=6), फिर (6+3y=15) से (y=3)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (x=6), then (6+3y=15) gives (y=3). This is the intersection point on the graph.
दूसरे से पहले समीकरण को घटाने पर (x=2), फिर (2+4y=18) से (y=4)। यही सामान्य बिंदु है। / Subtracting the first equation from the second gives (x=2), then (2+4y=18) gives (y=4). This is the common point.
( \left\(-3,2\right\) ) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण निर्देशांक में क्रम नहीं बदलना चाहिए। / In ( \left\(-3,2\right\) ), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change order with negative coordinates.
(x+3y=10) और (3x+y=10) में गुणांक अनुपात समान नहीं हैं। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी। / In (x+3y=10) and (3x+y=10), coefficient ratios are not equal. Hence the lines intersect at one point.
( (2,-1) ) रखने पर (2(2)-(-1)=5) और (2+2(-1)=0)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Substituting ( (2,-1) ) gives (2(2)-(-1)=5) and (2+2(-1)=0). If both are true, that point is the solution.
दोनों बिंदु (2x+y=7) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने के लिए पर्याप्त होते हैं। / Both points satisfy (2x+y=7). Two correct points are enough to identify a line.
(x=0) रखने पर (3y=12), इसलिए (y=4)। रेखा (x=0) वास्तव में (y)-अक्ष है। / Putting (x=0) gives (3y=12), so (y=4). The line (x=0) is actually the (y)-axis.
C. उनके अनंत हल हैं/They have infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पूरी तरह चढ़ी हुई रेखाएँ संपाती रेखाएँ होती हैं। उनके हर बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident lines. At every point on them, both equations are true.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (3x=12), इसलिए (x=4)। फिर (x-3y=-6) से \(y=\frac{10}{3}\) मिलता है। / Adding both equations gives (3x=12), so (x=4). Then (x-3y=-6) gives \(y=\frac{10}{3}\).
(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
A. बिंदु (\left\(5,3\right\))/Point (\left\(5,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(5,3\right\)) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में यही सामान्य बिंदु हल होता है। / Substituting (\left\(5,3\right\)) makes both equations true. In graphical method this common point is the solution.
B. बिंदु (\left\(4,3\right\))/Point (\left\(4,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(4,3\right\)) पर (4+3\left\(3\right\)=13) नहीं है इसलिए विकल्प जाँचें। सही प्रतिच्छेद (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\)) है। / At (\left\(4,3\right\)), (4+3\left\(3\right\)=13), so check options carefully. The correct intersection is (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\)).
A. बिंदु (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(2x-y=3) से (y=2x-3) और पहले समीकरण में रखने पर \(x=\frac{24}{7}\) मिलता है। फिर \(y=\frac{27}{7}\) है। / From (2x-y=3), (y=2x-3), and substituting in the first equation gives \(x=\frac{24}{7}\). Then \(y=\frac{27}{7}\).
A. बिंदु (\left\(4,2\right\))/Point (\left\(4,2\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(4,2\right\)) पर (3\left\(4\right\)+2\left\(2\right\)=16) और (4+2=6)। दोनों सत्य हों तो बिंदु प्रतिच्छेद है। / At (\left\(4,2\right\)), (3\left\(4\right\)+2\left\(2\right\)=16) and (4+2=6). If both are true, the point is the intersection.
B. बिंदु (\left\(4,3\right\))/Point (\left\(4,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(4,3\right\)) रखने पर (2\left\(4\right\)-3\left\(3\right\)=-1), इसलिए यह नहीं है। सही हल (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\)) है। / Substituting (\left\(4,3\right\)) gives (2\left\(4\right\)-3\left\(3\right\)=-1), so it is not correct. The correct solution is (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\)).
A. बिंदु (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\))/Point (\left\(\frac{22}{5},\frac{13}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x+y=7) से (y=7-x) रखकर (2x-3\left\(7-x\right\)=1) मिलता है। इससे \(x=\frac{22}{5}\) और \(y=\frac{13}{5}\) है। / Using (y=7-x) from (x+y=7), we get (2x-3\left\(7-x\right\)=1). Thus \(x=\frac{22}{5}\) and \(y=\frac{13}{5}\).
B. बिंदु (\left\(3,6\right\))/Point (\left\(3,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (3x=9), इसलिए (x=3) और (y=6)। ग्राफ पर यही मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (3x=9), so (x=3) and (y=6). This is the meeting point on the graph.
B. बिंदु (\left\(3,2\right\))/Point (\left\(3,2\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,2\right\)) पर (3-2\left\(2\right\)=-1) है इसलिए यह नहीं है। सही हल (\left\(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right\)) है। / At (\left\(3,2\right\)), (3-2\left\(2\right\)=-1), so it is not correct. The correct solution is (\left\(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right\)).
A. बिंदु (\left\(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{18}{7},\frac{23}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से (x=2y-4) मिलता है। इसे (3x+y=11) में रखने पर \(y=\frac{23}{7}\) और \(x=\frac{18}{7}\) है। / The first equation gives (x=2y-4). Substituting in (3x+y=11) gives \(y=\frac{23}{7}\) and \(x=\frac{18}{7}\).
A. बिंदु (\left\(3,3\right\))/Point (\left\(3,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,3\right\)) पर (2\left\(3\right\)+5\left\(3\right\)=21) और (3+3=6)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। / At (\left\(3,3\right\)), (2\left\(3\right\)+5\left\(3\right\)=21) and (3+3=6). This is the common point of both lines.
A. (\left\(10,0\right\)) और (\left\(0,6\right\))/(\left\(10,0\right\)) and (\left\(0,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (x=10) और (x=0) रखने पर (y=6)। अवरोधों से रेखा खींचना आसान होता है। / Putting (y=0) gives (x=10), and putting (x=0) gives (y=6). Intercepts make line drawing easier.
B. बिंदु (\left\(0,-8\right\))/Point (\left\(0,-8\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) रखने पर (-3y=24), इसलिए (y=-8)। ऋण अवरोध को (y)-अक्ष पर नीचे अंकित करें। / Putting (x=0) gives (-3y=24), so (y=-8). Plot a negative intercept below on the (y)-axis.
A. बिंदु (\left\(4,0\right\))/Point (\left\(4,0\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) रखने पर (5x=20), इसलिए (x=4)। (x)-अवरोध में (y)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (y=0) gives (5x=20), so (x=4). In an (x)-intercept, the (y)-coordinate is (0).
B. बिंदु (\left\(0,-2\right\))/Point (\left\(0,-2\right\))
Explanation
Simple Explanation
(2\left\(0\right\)-7y=14) से (y=-2) मिलता है। चिह्नों की गलती से ग्राफ गलत बन सकता है। / From (2\left\(0\right\)-7y=14), (y=-2). A sign error can make the graph wrong.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+2y=8) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+2y=8). Therefore both are the same line.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+2y=5) मिलता है, जबकि दूसरा (x+2y=9) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+2y=5), while the second is (x+2y=9). Hence the lines are parallel.
पहला समीकरण (5) से भाग देने पर (x-2y=4) बनता है। इसलिए दोनों रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु हैं। / Dividing the first equation by (5) gives (x-2y=4). Therefore the two lines have infinitely many common points.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-8y=6), जो (2x-8y=14) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-8y=6), different from (2x-8y=14). Hence the lines are parallel.
तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / When all three ratios are equal, both equations represent the same line. In this case there are infinitely many solutions.
असमान गुणांक अनुपात का अर्थ है कि रेखाएँ एक बिंदु पर कटेंगी। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होगा। / Unequal coefficient ratios mean the lines intersect at one point. Therefore the pair is consistent and independent.
यह अनुपात स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं को दर्शाती है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। / This ratio condition represents distinct parallel lines. Therefore there is no common point.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=3\)। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती होंगी। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=3\). Therefore both lines will be coincident.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{5}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=3\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{5}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
A. बिंदु (\left\(5,7\right\))/Point (\left\(5,7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=5) रखने पर (2\left\(5\right\)+y=17), इसलिए (y=7)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से तय रहता है। / Putting (x=5) gives (2\left\(5\right\)+y=17), so (y=7). In a vertical line, (x) is already fixed.
A. बिंदु (\left\(4,-3\right\))/Point (\left\(4,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=-3) रखने पर (4x-\left\(-3\right\)=19), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) निश्चित रहता है। / Putting (y=-3) gives (4x-\left\(-3\right\)=19), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
B. बिंदु (\left\(3,6\right\))/Point (\left\(3,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,6\right\)) पर (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), लेकिन (3+6=9)। सामान्य हल के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(3,6\right\)), (2\left\(3\right\)+3\left\(6\right\)=24), but (3+6=9). For a common solution, both equations must be true.
बिंदु (\left\(-4,3\right\)) में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण निर्देशांक में क्रम न बदलें। / In the point (\left\(-4,3\right\)), the first coordinate is (x) and the second is (y). Do not change order with negative coordinates.
\(4.5=\frac{9}{2}\) और \(1.5=\frac{3}{2}\)। ग्राफ से मिले दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में लिखें। / \(4.5=\frac{9}{2}\) and \(1.5=\frac{3}{2}\). Write decimal coordinates read from a graph as simplified fractions.
(\left\(0,0\right\)) दोनों समीकरणों (2x-y=0) और (x+3y=0) को संतुष्ट करता है। मूलबिंदु की जाँच में (x=0,\ y=0) रखें। / (\left\(0,0\right\)) satisfies both (2x-y=0) and (x+3y=0). To check origin, put (x=0,\ y=0).
A. (x=2,\ y=1) और (x=4,\ y=7)/(x=2,\ y=1) and (x=4,\ y=7)
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (6-y=5) से (y=1), और (x=4) पर (12-y=5) से (y=7)। मान-सारणी का हर बिंदु समीकरण को संतुष्ट करे। / At (x=2), (6-y=5) gives (y=1), and at (x=4), (12-y=5) gives (y=7). Every table point must satisfy the equation.
दोनों बिंदु (x+y=6) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने में मदद करते हैं। / Both points satisfy (x+y=6). Two correct points help identify a line.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
पहला समीकरण दूसरे का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The first equation is (2) times the second, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
(2x+6y=30) को (2) से भाग देने पर (x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर अलग रेखाएँ देते हैं। / Dividing (2x+6y=30) by (2) gives (x+3y=15). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
A. बिंदु (\left\(4,4\right\))/Point (\left\(4,4\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=4), फिर (4+y=8) से (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=4), then (4+y=8) gives (y=4). In a real situation, the meeting point is the intersection.
A. बिंदु (\left\(5,6\right\))/Point (\left\(5,6\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=6)। ग्राफ पर यही पथों का मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=10), so (x=5) and (y=6). On the graph this is where the paths meet.
A. बिंदु (\left\(4,7\right\))/Point (\left\(4,7\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले से दूसरे को घटाने पर (y=7), फिर (x+7=11) से (x=4)। संदर्भ कोई भी हो, सामान्य बिंदु ही हल है। / Subtracting the second from the first gives (y=7), then (x+7=11) gives (x=4). In any context, the common point is the solution.
A. बिंदु (\left\(6,\frac{11}{3}\right\))/Point (\left\(6,\frac{11}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=6), फिर (6+3y=17) से \(y=\frac{11}{3}\)। भिन्न निर्देशांक भी ग्राफीय हल हो सकते हैं। / Subtracting the equations gives (x=6), then (6+3y=17) gives \(y=\frac{11}{3}\). Fraction coordinates can also be graphical solutions.
C. जब प्रतिच्छेद बिंदु भिन्न या दशमलव निर्देशांक पर हो/When the intersection point has fractional or decimal coordinates
Explanation
Simple Explanation
भिन्न या दशमलव निर्देशांक ग्राफ से पढ़ते समय छोटी गलती हो सकती है। पैमाना साफ रखें और बिंदु को सावधानी से पढ़ें। / Small errors can occur while reading fractional or decimal coordinates from a graph. Keep the scale clear and read the point carefully.
B. निर्देशांक उलटे लिखना/Writing coordinates in reverse order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु हमेशा (\left\(x,y\right\)) क्रम में लिखा जाता है। निर्देशांक उलटे करने से हल गलत हो जाता है। / A point is always written in (\left\(x,y\right\)) order. Reversing coordinates makes the solution wrong.
A. बिंदु (\left\(6,2\right\))/Point (\left\(6,2\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=2)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=2). This is the intersection point on the graph.
A. बिंदु (\left\(0,-7\right\))/Point (\left\(0,-7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) रखने पर (-2y=14), इसलिए (y=-7)। (y)-अवरोध में (x)-निर्देशांक (0) होता है। / Putting (x=0) gives (-2y=14), so (y=-7). In a (y)-intercept, the (x)-coordinate is (0).
B. समांतर और अलग रेखाएँ/Parallel and distinct lines
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+3y=9) मिलता है, जबकि दूसरा (x+3y=12) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Dividing the first equation by (2) gives (x+3y=9), while the second is (x+3y=12). Hence the lines are parallel and have no solution.
A. बिंदु (\left\(3.5,2.5\right\))/Point (\left\(3.5,2.5\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{7}{2}=3.5\) और \(\frac{5}{2}=2.5\)। ग्राफ पढ़ते समय भिन्न और दशमलव रूप का संबंध समझें। / \(\frac{7}{2}=3.5\) and \(\frac{5}{2}=2.5\). While reading a graph, understand the relation between fraction and decimal forms.
A. बिंदु (\left\(-3,10\right\))/Point (\left\(-3,10\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=-3) रखने पर (2\left\(-3\right\)+y=4), इसलिए (y=10)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान पहले से निश्चित होता है। / Putting (x=-3) gives (2\left\(-3\right\)+y=4), so (y=10). In a vertical line, the value of (x) is already fixed.
A. बिंदु (\left\(3,5\right\))/Point (\left\(3,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर (y=5), फिर (x+5=8) से (x=3)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Subtracting the second equation from the first gives (y=5), then (x+5=8) gives (x=3). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
A. बिंदु (\left\(5,5\right\))/Point (\left\(5,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (3x=15), इसलिए (x=5) और (y=5)। ग्राफ पर यही दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (3x=15), so (x=5) and (y=5). On the graph, this is the intersection point of both lines.
