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\(4x^3-7x\) में (x=0) रखने पर (0) मिलता है और यह शून्य बहुपद नहीं है। (x=0) के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(4x^3-7x\) gives (0), and it is not the zero polynomial. For (x=0), the constant term must be (0).
शून्यकों का गुणनफल (-18) है। एक शून्यक (3) है, इसलिए दूसरा \(-18\div3=-6\) है। / The product of zeroes is (-18). Since one zero is (3), the other is \(-18\div3=-6\).
शून्यकों का योग (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}) है। परिमेय गुणांकों में संयुग्मी भी मिलता है। / The sum of zeroes is (2), so the other zero is (2-\(1+\sqrt{3}\)=1-\sqrt{3}). With rational coefficients, the conjugate also appears.
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (7), कटान ((4,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((4,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (11) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (11), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
(x=0) रखने पर \(3x^3-2x=0\) मिलता है। (x=0) को शून्य बनाने के लिए अचर पद (0) होना चाहिए। / Substituting (x=0) in \(3x^3-2x\) gives (0). To make (x=0) a zero, the constant term must be (0).
(x=0) रखने पर \(x^2+1=1\), इसलिए (0) इसका शून्य नहीं है। (x=0) पर अचर पद निर्णायक होता है। / On substituting (x=0), \(x^2+1=1\), so (0) is not its zero. The constant term is decisive at (x=0).
\(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) का संयुग्मी \(-\sqrt{11}\) है। परीक्षा में (a=0) वाला संयुग्मी भी पहचानें। / The conjugate of \(\sqrt{11}=0+\sqrt{11}\) is \(-\sqrt{11}\). In exams also identify the case (a=0).
परिमेय गुणांकों वाले द्विघात में \(a+\sqrt{b}\) के साथ \(a-\sqrt{b}\) भी शून्यक होता है। परीक्षा में संयुग्मी मूल का नियम उपयोगी है। / For a quadratic with rational coefficients, if \(a+\sqrt{b}\) is a zero then \(a-\sqrt{b}\) is also a zero. The conjugate-root rule is useful in exams.
A. दूसरा \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)/Other \(\sqrt{5}\), \(k=\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
गुणनफल (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) होगा। योग \(2\sqrt{5}=2k\), अतः \(k=\sqrt{5}\) है। / The product is (5), so the other zero is \(\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\). The sum is \(2\sqrt{5}=2k\), hence \(k=\sqrt{5}\).
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
जिस (x)-मान पर (p(x)=0) हो वही शून्यक होता है। इसलिए (-3) बहुपद का शून्यक है। / The (x)-value for which (p(x)=0) is a zero. Hence (-3) is a zero of the polynomial.
शून्यक पर बहुपद का मान (0) होता है। ग्राफ पढ़ते समय (y=0) वाले बिंदु देखें। / At a zero, the polynomial value is (0). While reading a graph, look for points where (y=0).
पहला अंतर (12-5=7) और दूसरा (26-19=7) है। समान अंतर समांतर श्रेढ़ी की पुष्टि करता है। / The first difference is (12-5=7), and the second is (26-19=7). Equal differences confirm an arithmetic progression.
सभी पद समान हैं इसलिए (d=0) है। स्थिर अनुक्रम भी अंकगणितीय श्रेणी माना जाता है। / All terms are equal, so (d=0). A constant sequence is also considered an arithmetic progression.
लगातार पदों का अंतर (9-9=0) है। समान पदों वाली श्रेढ़ी भी (d=0) वाली समांतर श्रेढ़ी है। / The difference of consecutive terms is (9-9=0). A constant sequence is also an arithmetic progression with (d=0).
(d=0) होने पर प्रत्येक अगला पद पहले जैसा रहता है। यह भी अंकगणितीय श्रेणी हो सकती है। / When (d=0), each next term remains the same. This can also be an arithmetic progression.
लगातार पदों का अंतर (6-6=0) है। समान पदों वाला अनुक्रम भी सार्व अंतर (0) के साथ समांतर श्रेढ़ी होता है। / The difference of consecutive terms is (6-6=0). A constant sequence is also an arithmetic progression with common difference (0).
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-6=-2)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=4-6=-2). In termwise difference, take the difference of common differences.
तीसरा पद (63) और चौथा (57) है इसलिए अंतर (57-63=-6) है। अंतर निकालते समय अगला पद घटा पिछला पद करें। / The third term is (63) and the fourth is (57), so the difference is (57-63=-6). While finding difference subtract the previous term from the next term.
तीसरा पद (36) और चौथा (33) है इसलिए (33-36=-3)। अंतर निकालते समय बाद वाला पद घटा पहले वाला पद करें। / The third term is (36) and the fourth is (33), so (33-36=-3). While finding the difference subtract the previous term from the next term.
दूसरा पद (10) और तीसरा पद (14) है इसलिए अंतर (14-10=4) है। यह (d) के बराबर है। / The second term is (10) and the third term is (14), so the difference is (14-10=4). It equals (d).
सार्व अंतर (90-100=-10) है। घटते अनुक्रम में उत्तर का चिह्न जरूर देखें। / The common difference is (90-100=-10). In a decreasing sequence carefully check the sign.
पहला पद (20) है और (15-20=-5) है। क्रमशः पूछे जाने पर क्रम का ध्यान रखें। / The first term is (20) and (15-20=-5). When asked respectively keep the order in mind.
लगातार पदों का अंतर (-4-0=-4) है। शून्य प्रथम पद होने पर भी (d) इसी तरह निकलेगा। / The difference of consecutive terms is (-4-0=-4). Even when the first term is zero, (d) is found the same way.
लगातार पदों का अंतर (3-0=3) है। पहला पद (0) हो सकता है फिर भी श्रेढ़ी समांतर हो सकती है। / The difference of consecutive terms is (3-0=3). The first term can be (0), and the sequence can still be an arithmetic progression.
माया गणना और समय मापन में शून्य का उपयोग करते थे। परीक्षा में माया को गणितीय उपलब्धि से जोड़ें। / The Maya used zero in calculation and timekeeping. For exams connect the Maya with mathematical achievement.
माया सभ्यता में गणना और कैलेंडर प्रणाली उन्नत थी। परीक्षा में इसे खगोल ज्ञान से जोड़ें। / Maya civilization had an advanced counting and calendar system. Link it with astronomical knowledge in exams.
ब्रह्मगुप्त ने शून्य और संख्याओं पर महत्वपूर्ण गणितीय नियम दिए। परीक्षा में शून्य को भारतीय गणित की प्रमुख उपलब्धि से जोड़ें। / Brahmagupta gave important mathematical rules on zero and numbers. For exams, connect zero with a major achievement of Indian mathematics.
(4x+6=0) से \(x=-\frac{3}{2}\), जो (-2) और (-1) के बीच है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न का अंतराल सावधानी से पहचानें। / From (4x+6=0), \(x=-\frac{3}{2}\), which lies between (-2) and (-1). In exams, identify the interval of a negative fraction carefully.
(3x-7=0) से \(x=\frac{7}{3}\), जो (2) और (3) के बीच है। परीक्षा में पहले शून्यक निकालें फिर स्थान तय करें। / From (3x-7=0), \(x=\frac{7}{3}\), which lies between (2) and (3). In exams, first find the zero and then locate it.
(2x+5=0) से \(x=-\frac{5}{2}=-2.5\) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे वास्तविक संख्या की तरह रखें। / From (2x+5=0), we get \(x=-\frac{5}{2}=-2.5\). In exams, find the zero and place it like a real number.
(6x-18=0) से (x=3) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे संख्या रेखा पर सही बिंदु पर रखें। / From (6x-18=0), we get (x=3). In exams, find the zero first and then place it correctly on the number line.
(p(x)=x) में (x=0) रखने पर (p(x)=0) होता है। परीक्षा में शून्यक वह मान है जहां बहुपद का मान (0) हो। / For (p(x)=x), putting (x=0) gives (p(x)=0). In exams, a zero is the value where the polynomial becomes (0).
शून्यक (-5) ऋणात्मक है इसलिए वह (0) के बाईं ओर होगा। परीक्षा में शून्यक का चिह्न उसकी दिशा बताता है। / The zero (-5) is negative, so it lies to the left of (0). In exams, the sign of the zero tells its direction.
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। परीक्षा में शून्यक निकालकर उसे संख्या रेखा पर बिंदु की तरह दिखाएं। / From (x+3=0), we get (x=-3). In exams, find the zero and show it as a point on the number line.
(p(-2)=-8-8+26-10=0), इसलिए (-2) शून्यक है। विकल्पों में दिए छोटे मानों को सीधे रखकर जाँचें। / (p(-2)=-8-8+26-10=0), so (-2) is a zero. Test small option values by direct substitution.
(16x-2-24x+9=(4x-3)2), इसलिए शून्य \(x=\frac{3}{4}\) है। पूर्ण वर्ग पहचानें। / (16x-2-24x+9=(4x-3)2), so the zero is \(x=\frac{3}{4}\). Recognize the perfect square.
(p(-3)=9-3k-18=0), इसलिए (-3k=9) और (k=-3)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-3)=9-3k-18=0), so (-3k=9) and (k=-3). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
A. हर पद में (x) गुणनखंड है/Every term has factor (x)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=x\(7x^2-2\)), इसलिए (x=0) पर मान (0) होता है। यदि हर पद में (x) हो, तो (0) शून्यक होता है। / (p(x)=x\(7x^2-2\)), so at (x=0) the value is (0). If every term has (x), then (0) is a zero.
(4x-12=0) से (x=3) मिलता है। शून्यक वह मान है जहाँ बहुपद का मान (0) हो। / From (4x-12=0), we get (x=3). A zero is the value where the polynomial becomes (0).
(ax+b=0) रखने पर \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। रेखीय बहुपद में केवल एक शून्यक होता है। / Putting (ax+b=0) gives \(x=-\frac{b}{a}\). A linear polynomial has exactly one zero.
A. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी घात परिभाषित नहीं होती। स्थिर अशून्य बहुपद की घात (0) होती है। / The zero polynomial has no non-zero term, so its degree is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(p(2)=8-16+2+6=0), इसलिए (2) शून्यक है। विकल्पों में छोटे पूर्णांकों को पहले जाँचें। / (p(2)=8-16+2+6=0), so (2) is a zero. Test small integer options first.
(9x-2+12x+4=(3x+2)2), इसलिए शून्य \(x=-\frac{2}{3}\) है। पूर्ण वर्ग पहचानें। / (9x-2+12x+4=(3x+2)2), so the zero is \(x=-\frac{2}{3}\). Recognize the perfect square.
(p(-2)=4-2k-8=0), इसलिए (-2k=4) और (k=-2)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(-2)=4-2k-8=0), so (-2k=4) and (k=-2). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(p(2)=0) रखने पर (4k-10+6=0) से (k=1) मिलता है। शून्यक के लिए (p\(\alpha\)=0) लगाएं। / Putting (p(2)=0) gives (4k-10+6=0), so (k=1). For a zero, use (p\(\alpha\)=0).
(p\left\(\frac{3}{2}\right\)=9-18+9=0)। भिन्न मान रखते समय वर्ग और गुणा सही करें। / (p\left\(\frac{3}{2}\right\)=9-18+9=0). While using a fraction, square and multiply correctly.
(p(3)=9-3k+12=0), इसलिए (21=3k) और (k=7)। शून्य की शर्त में बहुपद का मान (0) रखें। / (p(3)=9-3k+12=0), so (21=3k) and (k=7). For a zero, set the polynomial value equal to (0).
(p(2)=4a+8-12=0), इसलिए (4a=4) और (a=1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=4a+8-12=0), so (4a=4) and (a=1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(cx+d=0) से \(x=-\frac{d}{c}\) मिलता है। सूत्र में ऋण चिह्न ध्यान रखें। / From (cx+d=0), we get \(x=-\frac{d}{c}\). Remember the negative sign in the formula.
(4x+20=0) से (x=-5) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (4x+20=0), we get (x=-5). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
(9x-27=0) से (x=3) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य समीकरण हल करके निकालें। / From (9x-27=0), we get (x=3). Find the zero of a linear polynomial by solving the equation.
(p(-3)=-3+3=0), इसलिए (x=-3) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर परिणाम (0) देखें। / (p(-3)=-3+3=0), so (x=-3) is its zero. To test a zero, substitute the value and check for (0).
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। गैर-शून्य नियत बहुपद की घात (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
(p(2)=12+2b-10=0), इसलिए (2b=-2) और (b=-1)। शून्य दिए होने पर बहुपद का मान (0) रखें। / (p(2)=12+2b-10=0), so (2b=-2) and (b=-1). When a zero is given, set the polynomial value equal to (0).
(ax+b=0) से \(x=-\frac{b}{a}\) मिलता है। सामान्य सूत्र याद रखें लेकिन संकेत न भूलें। / From (ax+b=0), we get \(x=-\frac{b}{a}\). Remember the general formula but do not miss the sign.
(3x+12=0) से (x=-4) मिलता है। शून्य वह मान है जिससे बहुपद (0) हो जाए। / From (3x+12=0), we get (x=-4). A zero is the value that makes the polynomial equal to (0).
(7x-14=0) से (x=2) मिलता है। रैखिक बहुपद का शून्य जल्दी निकालने के लिए समीकरण हल करें। / From (7x-14=0), we get (x=2). Solve the equation to find the zero of a linear polynomial.
(p(2)=2-2=0), इसलिए (x=2) इसका शून्य है। शून्य जांचने के लिए मान रखकर (0) देखें। / (p(2)=2-2=0), so (x=2) is its zero. To test a zero, substitute and check for (0).
(0x) एक ऐसा पद है जिसका गुणांक (0) है। शून्य गुणांक वाला पद लिखने पर भी मान नहीं बदलता। / (0x) is one term whose coefficient is (0). A zero-coefficient term does not change the value.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे गैर-शून्य नियत बहुपद से अलग याद रखें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Remember it separately from a non-zero constant polynomial.
(0) को शून्य बहुपद कहते हैं क्योंकि इसका हर गुणांक शून्य होता है। इसकी घात पर सामान्य घात नियम न लगाएं। / (0) is the zero polynomial because every coefficient is zero. Do not apply the usual degree rule to it.
((x-6)=0) या ((x-13)=0), इसलिए (x=6) या (x=13) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-6)=0) or ((x-13)=0), so (x=6) or (x=13). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-5)=0) या ((x-11)=0), इसलिए (x=5) या (x=11) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-5)=0) or ((x-11)=0), so (x=5) or (x=11). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-4)=0) या ((x-9)=0), इसलिए (x=4) या (x=9) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-4)=0) or ((x-9)=0), so (x=4) or (x=9). In exams, set each factor equal to zero separately.
((x-3)=0) या ((x-7)=0), इसलिए (x=3) या (x=7) है। परीक्षा में हर गुणनखंड को अलग शून्य रखें। / ((x-3)=0) or ((x-7)=0), so (x=3) or (x=7). In exams, set each factor equal to zero separately.
