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ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। / \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें। / When the greatest exact divisor is asked, find the HCF.
टीमों की संख्या (n) हो तो (\frac{n(n-1)}{2}=153)। इससे \(n^2-n-306=0\) और (n=18) है। / Let the number of teams be (n). Then (\frac{n(n-1)}{2}=153). This gives \(n^2-n-306=0\), so (n=18).
असममित संतुलन में दोनों ओर अलग तत्व होते हुए भी भार संतुलित रहता है। परीक्षा में exact mirror न हो तब asymmetrical याद रखें। / In asymmetrical balance different elements still keep visual weight balanced. Exam tip: remember asymmetrical when it is not an exact mirror.
नर्मदा दरार घाटी से पश्चिम की ओर बहकर अरब सागर में गिरती है। परीक्षा में नर्मदा तापी को विशेष अपवाद याद रखें। / Narmada flows westward through a rift valley into the Arabian Sea. For exams remember Narmada Tapi as special exceptions.
मध्य बिंदु \(\frac{0+2}{2}=1\) है। बीच का बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। / The midpoint is \(\frac{0+2}{2}=1\). The middle point is equally distant from both endpoints.
A. कांच के लिए हल्की साफ रेखा/Light clean line for glass
Explanation
Simple Explanation
कांच जैसी चिकनी वस्तु के लिए साफ हल्की रेखाएं उपयुक्त हैं। परीक्षा में सामग्री के गुण से रेखा मिलाएं। / Clean light lines suit smooth objects like glass. In exams match line with material quality.
A. बनावट की तीव्रता घटाकर केंद्र पर ध्यान लौटाना/Reduce texture intensity and return attention to focus
Explanation
Simple Explanation
सही बनावट भी अधिक होने पर ध्यान बांट सकती है। परीक्षा में texture intensity नियंत्रित करें। / Correct texture can still distract if excessive. Exam tip: control texture intensity.
A. भाव या स्पष्टता फिर भी कमजोर हो सकती है/Mood or clarity may still be weak
Explanation
Simple Explanation
रंग और मान दोनों संदेश पर असर डालते हैं। परीक्षा में colour and value together देखें। / Both colour and value affect message. Exam tip: observe colour and value together.
A. सजावट संदेश को मजबूत कर देती है/Decoration strengthens the message
Explanation
Simple Explanation
अर्थपूर्ण पैटर्न सजावट से आगे बढ़कर संदेश देता है। परीक्षा में pattern purpose लिखें। / Meaningful pattern goes beyond decoration and supports message. Exam tip: write pattern purpose.
नर्मदा दरार घाटी से पश्चिम की ओर बहकर अरब सागर में गिरती है। परीक्षा में नर्मदा तापी को विशेष पश्चिममुखी नदियां याद रखें। / Narmada flows westward through a rift valley into the Arabian Sea. For exams remember Narmada Tapi as special west flowing rivers.
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा का ज्वारीय खारा मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में इस संकेत को तुरंत पहचानें। / Sundarbans is the tidal saline mangrove area of the Ganga Brahmaputra Delta. For exams identify this clue quickly.
सुंदरवन ज्वारीय खारे डेल्टा में विकसित मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में यह संकेत तुरंत पहचानें। / Sundarbans is a mangrove area developed in a tidal saline delta. For exams identify this clue quickly.
सुंदरवन गंगा ब्रह्मपुत्र डेल्टा का ज्वारीय मैंग्रोव क्षेत्र है। परीक्षा में यह संकेत तुरंत पहचानें। / Sundarbans is the tidal mangrove region of the Ganga Brahmaputra Delta. For exams identify this clue quickly.
लुई चौदहवें फ्रांस के निरंकुश राजतंत्र के प्रतीक थे। परीक्षा में उन्हें वर्साय महल से भी याद रखें। / Louis XIV was a symbol of absolute monarchy in France. Exam tip: also remember him with the Palace of Versailles.
B. 2014 राव और तेंदुलकर 2015 वाजपेयी और मालवीय 2019 प्रणब नानाजी हजारिका/2014 Rao and Tendulkar 2015 Vajpayee and Malaviya 2019 Pranab Nanaji Hazarika
Explanation
Simple Explanation
2014 में सी एन आर राव और सचिन 2015 में वाजपेयी और मालवीय तथा 2019 में प्रणब नानाजी और हजारिका सम्मानित हुए। परीक्षा में हाल के वर्ष समूह याद रखें। / In 2014 C N R Rao and Sachin in 2015 Vajpayee and Malaviya and in 2019 Pranab Nanaji and Hazarika were honoured. Remember recent year groups.
A. भीमसेन जोशी फिर सचिन तेंदुलकर और सी एन आर राव फिर अटल बिहारी वाजपेयी और मदन मोहन मालवीय/Bhimsen Joshi then Sachin Tendulkar and C N R Rao then Atal Bihari Vajpayee and Madan Mohan Malaviya
Explanation
Simple Explanation
2009 में भीमसेन जोशी 2014 में सचिन तेंदुलकर और सी एन आर राव तथा 2015 में वाजपेयी और मालवीय को सम्मान मिला। परीक्षा में वर्ष समूह याद रखें। / In 2009 Bhimsen Joshi in 2014 Sachin Tendulkar and C N R Rao and in 2015 Vajpayee and Malaviya were honoured. Remember year groups.
A. राजनीतिक पक्ष प्रतिनिधि शासन से और आर्थिक पक्ष मुक्त बाजार से जुड़ा था/Political side was linked with representative rule and economic side with free markets
Step 1
Concept
उदारवाद के दो पक्ष अलग करें। / Separate the two sides of liberalism.
Step 2
Why this answer is correct
राजनीति में यह अधिकार और प्रतिनिधि शासन चाहता था जबकि अर्थव्यवस्था में मुक्त बाजार। / Politically it wanted rights and representative rule while economically it wanted free markets.
Step 3
Exam Tip
मिलान वाले प्रश्नों में दोनों पक्षों को अलग पहचानें। / In matching questions identify both sides separately.
\( \sqrt{36}=6 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{36}=6 \), so \( \frac{1}{\sqrt{36}}=\frac{1}{6} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{256}=16 \) और \( \sqrt{121}=11 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{256}=16 \) and \( \sqrt{121}=11 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{196}{289}}=\frac{14}{17} \) है। अंश और हर का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{196}{289}}=\frac{14}{17} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{225}=15 \), इसलिए \( \frac{15-6}{9}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{225}=15 \), so \( \frac{15-6}{9}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{169}=13 \), इसलिए \(x=\frac{13}{6}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{169}=13 \), so \(x=\frac{13}{6}\). Find the square root first and then divide.
\(2.8^2=7.84\), इसलिए \( \sqrt{7.84}=2.8 \)। दशमलव वर्गमूल में स्थानमान सावधानी से देखें। / Since \(2.8^2=7.84\), \( \sqrt{7.84}=2.8 \). Watch place value carefully in decimal square roots.
\( \sqrt{25}=5 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \)। हर में वर्गमूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{25}=5 \), so \( \frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{196}=14 \) और \( \sqrt{81}=9 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{196}=14 \) and \( \sqrt{81}=9 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{13}{15} \) है। अंश और हर का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{13}{15} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए \( \frac{11-4}{7}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{121}=11 \), so \( \frac{11-4}{7}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{144}=12 \), इसलिए \(x=\frac{12}{5}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{144}=12 \), so \(x=\frac{12}{5}\). Find the square root first and then divide.
\(2.4^2=5.76\), इसलिए \( \sqrt{5.76}=2.4 \)। दशमलव वर्गों का स्थानमान ध्यान से देखें। / Since \(2.4^2=5.76\), \( \sqrt{5.76}=2.4 \). Watch place value in decimal squares.
\( \sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14} \) है। अंश और हर दोनों का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{81}{196}}=\frac{9}{14} \). Take the positive square root of both numerator and denominator.
\(1.8^2=3.24\), इसलिए \( \sqrt{3.24}=1.8 \)। दशमलव वर्गों में स्थानमान सावधानी से देखें। / Since \(1.8^2=3.24\), \( \sqrt{3.24}=1.8 \). Check place value carefully in decimal squares.
\( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \)। हर में मूल को पहले सरल करें। / \( \sqrt{4}=2 \), so \( \frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2} \). Simplify the root in the denominator first.
\( \sqrt{49}=7 \) और \( \sqrt{16}=4 \), इसलिए योग (11) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{49}=7 \) and \( \sqrt{16}=4 \), so the sum is (11). Find each square root first.
\( \sqrt{\frac{49}{121}}=\frac{7}{11} \) है। अंश और हर दोनों का धनात्मक वर्गमूल लें। / \( \sqrt{\frac{49}{121}}=\frac{7}{11} \). Take the positive square root of numerator and denominator.
\( \sqrt{64}=8 \), इसलिए \( \frac{8-3}{5}=1 \)। संचालन का क्रम सही रखें। / \( \sqrt{64}=8 \), so \( \frac{8-3}{5}=1 \). Keep the order of operations correct.
\( \sqrt{81}=9 \), इसलिए \(x=\frac{9}{4}\) है। पहले वर्गमूल निकालें फिर भाग करें। / \( \sqrt{81}=9 \), so \(x=\frac{9}{4}\). Find the square root first and then divide.
\(1.7^2=2.89\) इसलिए \( \sqrt{2.89}=1.7 \)। दशमलव वर्ग पहचानना समय बचाता है। / Since \(1.7^2=2.89\), \( \sqrt{2.89}=1.7 \). Recognising decimal squares saves time.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। \(3125=5^5\) है, इसलिए यह केवल (5) दशमलव स्थान देगा। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Since \(3125=5^5\), it gives only (5) decimal places.
ठीक (3) स्थानों के लिए बड़ी घात (3) होनी चाहिए। \(16=2^4\) होने से दशमलव (4) स्थानों पर समाप्त होगा। / For exactly (3) places, the larger exponent must be (3). Since \(16=2^4\), it terminates after (4) places.
ठीक (8) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (8) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^8\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (8) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (8). Only \(2^8\cdot 5^3\) satisfies this.
B. ठीक (6) स्थानों पर समाप्त/Terminates exactly after (6) places
Explanation
Simple Explanation
(q) \(10^6\) का भाजक है इसलिए उसमें केवल (2) और (5) हैं, पर \(10^5\) का भाजक न होने से बड़ी घात (6) है। इसलिए दशमलव ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / Since (q) divides \(10^6\), it has only (2) and (5), but not dividing \(10^5\) means the larger exponent is (6). Therefore the decimal terminates exactly after (6) places.
किसी भिन्न का दशमलव समाप्त होगा यदि हर अवयव हर(denominator) में केवल 2 और/या 5 के घात हों। समाप्त होने वाले दशमलव के स्थानों की संख्या उस घातों का अधिकतम मान होती है (यानी max(m,n) यदि हर = 2^m5^n)। यहाँ संख्या 29, 2 या 5 से समवर्ग नहीं है, अतः भिन्न सधारण रूप में भी \(2^a5^b\) ही रहेगी। दिया गया है कि \(a>b\), इसलिए अधिकतम घात \(a\) होगा और उसे 8 के बराबर होना चाहिए ताकि दशमलव ठीक 8 स्थानों पर समाप्त हो। अतः \(a=8\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(7\) गलत है क्योंकि वह केवल 7 दशमलव स्थान देगा; \(a+b\) भी असम्बद्ध है क्योंकि स्थानों की संख्या घातों के योग पर नहीं बल्कि अधिकतम पर निर्भर करती है। परीक्षा-सुझाव: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें और फिर हर के रूप में \(2^m5^n\) के घातों का अधिकतम लें। / A rational number has a terminating decimal exactly when its denominator (in lowest terms) is of the form \(2^m5^n\). The number of decimal places needed equals max(m,n). Here 29 is coprime to 2 and 5, so the denominator remains \(2^a5^b\) after simplification. Given \(a>b\), the maximum exponent is \(a\); for exactly 8 decimal places we must have \(a=8\). Option 7 is wrong because it would give only 7 decimal digits; \(a+b\) is irrelevant since the decimal length depends on the maximum exponent, not the sum. Exam tip: always reduce the fraction first and then take the larger of the exponents of 2 and 5 to get the number of decimal places.
ठीक (7) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (7) होनी चाहिए। दिए विकल्पों में केवल \(2^7\cdot 5^3\) यह शर्त पूरी करता है। / For exactly (7) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (7). Only \(2^7\cdot 5^3\) satisfies this.
यदि हरभाज्य का हर (denominator) मात्र दोनों गुणनखण्डों के रूप में \(2^a5^b\) हो और संख्या का गुणनखंड (numerator) 17 है, तो 17 किसी भी 2 या 5 से समीकरण नहीं घटाता — अर्थात् भिन्न पहले से ही साधारण रूप में है। एक अंक के दशमलव समाप्त होने की अधिकतम आवश्यक दशमलव-स्थानों की संख्या \(\max(a,b)\) होती है। दिया हुआ है कि दशमलव ठीक 9 स्थानों पर समाप्त होता है और \(a<b\), तो अधिकतम घात् बड़ा होगा और वही 9 के बराबर होना चाहिए। अतः \(b=9\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: 8 और 10 क्रमशः कम या अधिक हैं; \(a+9\) का अर्थ गैर-विशिष्ट है और समस्या के दिये गए शर्तों से मेल नहीं खाता। परीक्षा-टिप: यदि हरभाज्य केवल 2 और 5 के गुणनखण्ड हैं, तो समाप्ति की संख्या \(\max(a,b)\) के बराबर होती है, बशर्ते भिन्न न समीकृत हो। / When the denominator is of the form \(2^a5^b\) and the numerator is 17 (which is coprime to 2 and 5), the fraction is already in lowest terms. A terminating decimal requires only factors 2 and 5 in the denominator, and the number of decimal places required equals \(\max(a,b)\). Given the decimal terminates exactly after 9 places and \(a<b\), the larger exponent is \(b\), so \(b=9\). Why other choices fail: 8 is too small, 10 is too large, and \(a+9\) is not implied by the condition \(a<b\). Exam tip: first reduce the fraction if possible; then the termination length equals the larger exponent of 2 or 5 in the reduced denominator.
ठीक (6) स्थानों के लिए (2) और (5) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। केवल \(2^6\cdot 5^2\) में बड़ी घात (6) है। / For exactly (6) places, the larger exponent of (2) and (5) must be (6). Only \(2^6\cdot 5^2\) has larger exponent (6).
ठीक (2) स्थानों के लिए बड़ी घात (2) होनी चाहिए। / For exactly (2) places, the larger exponent must be (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), और \(25=5^2\) ठीक (2) स्थान देते हैं। \(50=2\cdot 5^2\) भी ठीक (2) स्थान देता है, इसलिए दिए गए विकल्पों में कोई असंभव नहीं है। / \(4=2^2\), \(20=2^2\cdot 5\), and \(25=5^2\) give exactly (2) places. \(50=2\cdot 5^2\) also gives exactly (2) places, so none of the listed choices is impossible.
Step 3
Exam Tip
जब सभी विकल्प संभव लगें, तो प्रश्न या विकल्पों में त्रुटि जाँचें। / If all options seem possible, check the question or options for an error.
ठीक (4) स्थानों के लिए बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) places, the larger exponent must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(625=5^4\), और \(80=2^4\cdot 5\) ठीक (4) स्थान देंगे। \(125=5^3\) केवल (3) स्थान देता है। / \(16=2^4\), \(625=5^4\), and \(80=2^4\cdot 5\) give exactly (4) places. \(125=5^3\) gives only (3) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों में बड़ी घात बराबर होनी चाहिए। / For exact places, the larger exponent must match the required number.
ठीक (4) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (4) होनी चाहिए। / For exactly (4) decimal places, the larger power of (2) or (5) in the reduced denominator must be (4).
Step 2
Why this answer is correct
\(625=5^4\), इसलिए यह ठीक (4) स्थान देगा। \(80=2^4\cdot 5\) भी (4) स्थान देता है, पर एक से अधिक सही होने पर विकल्प जाँचनी होगी। / \(625=5^4\), so it gives exactly (4) places. \(80=2^4\cdot 5\) also gives (4) places, so the choices would need checking if only one answer is expected.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सभी विकल्पों की घातें निकालें। / Factorise all options in such questions.
\(64000=2^9\cdot 5^3\) नहीं, बल्कि \(64000=64\cdot 1000=2^6\cdot 2^3\cdot 5^3=2^9\cdot 5^3\) है। यह (9) स्थान देगा, इसलिए विकल्प (B) सही नहीं हो सकता। / \(64000=2^9\cdot 5^3\), so it would give (9) places, not (6).
Step 2
Why this answer is correct
\(15625=5^6\), इसलिए \(\frac{9}{15625}\) ठीक (6) स्थानों पर समाप्त होगा। / \(15625=5^6\), so \(\frac{9}{15625}\) terminates exactly after (6) places.
Step 3
Exam Tip
घातों की गणना सावधानी से करें। / Calculate prime powers carefully.
\(\frac{3}{6250}\) सरलतम रूप में है और बड़ी घात (5) है, इसलिए दशमलव ठीक (5) स्थानों पर समाप्त होगा। अन्य हरों में बड़ी घात (4) या (3) है। / \(\frac{3}{6250}\) is in lowest form and the larger exponent is (5), so it terminates exactly after (5) places. The other denominators have larger exponent (4) or (3).
Step 3
Exam Tip
ठीक स्थानों के लिए बड़ी घात को मिलाइए। / For exact places, match the larger exponent.
ठीक (3) स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) या (5) की बड़ी घात (3) होनी चाहिए। / For exactly (3) places, the larger exponent of (2) or (5) in the reduced denominator must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), और \(125=5^3\) यह शर्त पूरी करते हैं। \(25=5^2\) केवल (2) स्थान देगा। / \(8=2^3\), \(40=2^3\cdot 5\), and \(125=5^3\) satisfy this. \(25=5^2\) gives only (2) places.
Step 3
Exam Tip
ठीक और अधिकतम शब्दों का अंतर समझें। / Understand the difference between exactly and at most.
\(\frac{7}{125}\) में \(125=5^3\) है। / For \(\frac{7}{125}\), \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे (1000) हर में बदला जा सकता है और दशमलव (3) स्थानों पर समाप्त होगा। / It can be converted to denominator (1000), so its decimal ends after (3) places.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: ठीक स्थान पूछे जाने पर वास्तविक सरल रूप और बड़ी घात दोनों देखें। / Exam tip: When exact places are asked, check both the lowest form and the larger exponent.
बड़ी घात (3) है और \(\frac{7}{200}=0.035\) है, इसलिए ठीक तीन स्थान हैं। / The larger exponent is (3), and \(\frac{7}{200}=0.035\), so it has exactly three places.
Step 3
Exam Tip
ठीक संख्या पूछी जाए तो दशमलव बनाकर भी पुष्टि करें। / When exact places are asked, verify by writing the decimal.
इसलिए भागफल (27) और शेषफल (0) है। / So the quotient is (27) and the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
यदि गुणनफल बिल्कुल भाज्य के बराबर हो, तो भागफल वही और शेषफल (0) होता है। / If the product is exactly equal to the dividend, that multiplier is the quotient and the remainder is (0).
नर्मदा पश्चिम की ओर दरार घाटी से बहकर अरब सागर में गिरती है। परीक्षा में नर्मदा मार्ग की विशेषता याद रखें। / Narmada flows west through a rift valley into the Arabian Sea. For exams remember the special course of Narmada.
यदि टीमों की संख्या (n) है, तो (\frac{n(n-1)}{2}=28)। हल करने पर (n=8) मिलता है। / If the number of teams is (n), then (\frac{n(n-1)}{2}=28). Solving gives (n=8).
