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C. अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे एएलयू के रूप में पहचानें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Identify it as the ALU.
D. उद्यमिता केवल अधिकतम निजी लाभ के लिए होती है/Entrepreneurship exists only for maximum personal profit
Explanation
Simple Explanation
उद्यमिता सामाजिक उद्देश्य और आर्थिक स्थिरता दोनों को जोड़ सकती है। परीक्षा में लाभ और सामाजिक मूल्य को विरोधी न मानें। / Entrepreneurship can combine social purpose with financial stability. In exams do not treat profit and social value as opposites.
A. सामाजिक उद्देश्य और आय साथ संभव हैं/Social purpose and income can coexist
Explanation
Simple Explanation
सामाजिक उद्यम आर्थिक स्थिरता के साथ सामाजिक मूल्य बना सकता है। परीक्षा में सामाजिक उद्देश्य और आय को विरोधी न मानें। / A social enterprise can create social value with financial stability. In exams do not treat social purpose and income as opposites.
B. नियंत्रण इकाई कार्यों का निर्देशन करती है जबकि अंकगणितीय तार्किक इकाई गणना और तुलना करती है/The control unit directs operations while the arithmetic logic unit performs calculations and comparisons
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रण इकाई निर्देशों के प्रवाह का समन्वय करती है और अंकगणितीय तार्किक इकाई गणितीय तथा तार्किक कार्य करती है। दोनों केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई के भाग हैं। / The control unit coordinates instruction flow while the arithmetic logic unit performs mathematical and logical operations. Both are parts of the central processing unit.
D. शर्तों और निर्णयों पर आधारित प्रोग्राम परिणाम/Program results based on conditions and decisions
Explanation
Simple Explanation
तार्किक तुलना प्रोग्राम की शर्तों और निर्णयों में उपयोग होती है। परीक्षा में तर्क इकाई को केवल गणित तक सीमित न करें। / Logical comparisons are used in program conditions and decisions. Do not limit the logic unit to arithmetic in exams.
C. निर्देशों का समन्वित निष्पादन बाधित होगा/Coordinated execution of instructions will be disrupted
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रण इकाई अन्य भागों को सही समय पर निर्देश देती है। परीक्षा में गणना और नियंत्रण कार्य अलग पहचानें। / The Control Unit directs other parts at the correct time. Distinguish calculation and control functions in exams.
A. अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय एवं तार्किक इकाई गणना और तार्किक तुलना करती है। परीक्षा में परिणाम की प्रकृति से संबंधित उपइकाई पहचानें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and logical comparisons. Identify the subunit from the type of error.
C. गणितीय गणना और तार्किक तुलना/Mathematical calculations and logical comparisons
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय तार्किक इकाई जोड़ घटाव और तुलना जैसे कार्य करती है। यह केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई का भाग है। / The arithmetic logic unit performs tasks such as addition subtraction and comparison. It is part of the central processing unit.
नियंत्रण इकाई कंप्यूटर के अन्य भागों के कार्यों का समन्वय करती है। यह निर्देशों के निष्पादन को नियंत्रित करती है। / The control unit coordinates the work of other computer parts. It controls the execution of instructions.
नियंत्रण इकाई निर्देशों के निष्पादन का समन्वय करती है। परीक्षा में इसे नियंत्रण कार्य से जोड़ें। / The Control Unit coordinates the execution of instructions. Link it with control functions in exams.
A. अंकगणित एवं तर्क इकाई/Arithmetic and Logic Unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित एवं तर्क इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई का भाग याद रखें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Remember it as part of the processor in exams.
C. अंकगणितीय तार्किक इकाई गणना करती है जबकि नियंत्रण इकाई निर्देशों का समन्वय करती है/The arithmetic logic unit performs calculations while the control unit coordinates instructions
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय तार्किक इकाई गणितीय और तार्किक कार्य करती है जबकि नियंत्रण इकाई निष्पादन का क्रम नियंत्रित करती है। दोनों केंद्रीय प्रसंस्करण इकाई के भाग हैं। / The arithmetic logic unit performs mathematical and logical operations while the control unit directs execution. Both are parts of the central processing unit.
B. प्रभावी कंप्यूटर संचालन सही हार्डवेयर संगत सॉफ्टवेयर सुरक्षित प्रक्रिया और नियमित रखरखाव पर निर्भर करता है/Effective computer operation depends on suitable hardware compatible software safe procedures and regular maintenance
Explanation
Simple Explanation
कंप्यूटर का अच्छा संचालन कई परस्पर जुड़े तत्वों पर निर्भर करता है। परीक्षा में समेकित निष्कर्ष चुनें। / Good computer operation depends on several interconnected elements. Choose the integrated conclusion.
B. गणितीय गणना और तार्किक तुलना/Mathematical calculations and logical comparisons
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित एवं तर्क इकाई गणना और तुलना करती है। परीक्षा में इसे नियंत्रण इकाई से अलग रखें। / The Arithmetic and Logic Unit performs calculations and comparisons. Distinguish it from the control unit in exams.
C. अंकगणित तथा तर्क इकाई/Arithmetic and logic unit
Explanation
Simple Explanation
अंकगणित तथा तर्क इकाई गणना और तार्किक निर्णय करती है। परीक्षा में इसे केंद्रीय प्रक्रमण इकाई का भाग याद रखें। / The arithmetic and logic unit performs calculations and logical decisions. Remember that it is part of the central processing unit.
A. मापनीय प्रदर्शन पर आधारित कठोर शिक्षा/Rigid education based on measurable performance
Explanation
Simple Explanation
मशीन परिणाम और उत्तरों पर अधिक केंद्रित दिखती है। परीक्षा में परीक्षण आधारित शिक्षा की सीमा लिखें। / The machine appears focused on results and answers. Exam tip: write the limitation of test-based education.
\(a_n=5n-3\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-3]-(5n-3)=5\) है, जो प्रत्येक \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) और \(n(n+1)\) में क्रमागत पदों का अंतर बदलता है, जबकि \(2^n\) एक गुणोत्तर प्रकार का अनुक्रम है। परीक्षा टिप: यदि \(a_n\) को \(pn+q\) के रूप में लिखा जा सके, तो उसका सार्वांतर \(p\) होता है। / For \(a_n=5n-3\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-3]-(5n-3)=5\), which is constant for every \(n\). Therefore, it represents an arithmetic progression. The consecutive differences of \(n^2+1\) and \(n(n+1)\) vary, while \(2^n\) is a geometric-type sequence. Exam tip: if \(a_n\) can be written as \(pn+q\), its common difference is \(p\).
\(a_n=15n-23\) में (n) का गुणांक (15) है, इसलिए सामान्य अंतर (15) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=15n-23\), the coefficient of (n) is (15), so the common difference is (15). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=108) से (d=12), इसलिए \(a_{26}=181+9\cdot12=289\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=108), (d=12), so \(a_{26}=181+9\cdot12=289\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिया है कि समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=13n-19\) है। 176 के लिए \(13n-19=176\) लिखते हैं। अतः \(13n=195\), इसलिए \(n=15\)। इसलिए 176, श्रेणी का 15वाँ पद है। 14वाँ पद \(13(14)-19=163\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) में उस पद का मान रखकर n के लिए हल करें। / Given \(a_n=13n-19\), set the nth term equal to 176: \(13n-19=176\). Thus, \(13n=195\), so \(n=15\). Therefore, 176 is the 15th term of the sequence. The 14th term is \(13(14)-19=163\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate \(a_n\) to the given term and solve for n.
समान्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a_1=11\) और \(d=-4\) रखने पर \(a_n=11-4(n-1)\) मिलता है। विकल्प D में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा में पहले \(a_1\) जाँचें। / For an AP, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Substituting \(a_1=11\) and \(d=-4\) gives \(a_n=11-4(n-1)\). In option D, the first term is 7, not 11. Exam tip: always verify the first term first.
\(a_9=a_1+8d\) से \(a_1=5\), इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_9=a_1+8d\), \(a_1=5\), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). Finding the first term from a middle term is useful.
(7d=63) से (d=9) और \(a_1=2\), इसलिए \(a_n=9n-7\)। दो दिए पदों से पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (7d=63), (d=9) and \(a_1=2\), so \(a_n=9n-7\). From two given terms, find the common difference first.
\(a_n=12n-7\) में (n) का गुणांक (12) है, इसलिए सामान्य अंतर (12) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=12n-7\), the coefficient of (n) is (12), so the common difference is (12). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
दिया है कि \(a_n=11n-17\)। 159वाँ मान पाने के लिए \(11n-17=159\) लिखते हैं। अतः \(11n=176\), इसलिए \(n=16\)। इसलिए 159, श्रेणी का 16वाँ पद है। 15वें पद के लिए मान \(148\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए \(a_n\) के स्थान पर दिया गया मान रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=11n-17\), set the term equal to 159: \(11n-17=159\). Thus, \(11n=176\), so \(n=16\). Therefore, 159 is the 16th term of the sequence. The 15th term is \(148\), so it is not correct. Exam tip: To find a term number, substitute the given term value for \(a_n\) and solve for \(n\).
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
\(a_n=5n+12\) में (n) का गुणांक (5) है, इसलिए सामान्य अंतर (5) है। रैखिक (n)वें पद में (n) का गुणांक अंतर देता है। / In \(a_n=5n+12\), the coefficient of (n) is (5), so the common difference is (5). In a linear (n)th term, the coefficient of (n) gives the difference.
(9d=45) से (d=5), इसलिए \(a_{20}=59+8\cdot5=99\)। दूर के पद को निकट दिए पद से निकालना आसान होता है। / From (9d=45), (d=5), so \(a_{20}=59+8\cdot5=99\). It is easier to find a far term from a nearby given term.
दिया है कि \(a_n=9n-13\) और पद का मान \(122\) है। अतः \(9n-13=122\), इसलिए \(9n=135\) और \(n=15\)। इसलिए \(122\), श्रेणी का 15वाँ पद है। निकटतम विकल्प 14वाँ पद गलत है, क्योंकि \(a_{14}=9(14)-13=113\) होता है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखें। / Given \(a_n=9n-13\) and the term value is \(122\), set \(9n-13=122\). Thus, \(9n=135\), so \(n=15\). Hence, \(122\) is the 15th term of the sequence. The close distractor, the 14th term, is incorrect because \(a_{14}=9(14)-13=113\). Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that term’s value.
\(a_8=a_1+7d\) से \(a_1=6\), इसलिए (a_n=6+(n-1)5=5n+1)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_8=a_1+7d\), \(a_1=6\), so (a_n=6+(n-1)5=5n+1). Finding the first term from a middle term is useful.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=4\), इसलिए \(a_n=6n-2\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=4\), so \(a_n=6n-2\). When two terms are given, find the common difference first.
\(a_6=a_1+5d\) से \(a_1=11\), अतः (a_n=11+(n-1)4=4n+7)। किसी मध्य पद से पहला पद निकालें। / From \(a_6=a_1+5d\), \(a_1=11\), hence (a_n=11+(n-1)4=4n+7). Use a middle term to find the first term.
पहला पद ज्ञात करने के लिए n=1 रखते हैं। अतः a_1=2(1)+9=11, इसलिए सही उत्तर 11 है। 9 केवल स्थिर पद है; यह पहला पद नहीं है, क्योंकि n=1 पर 2n का योगदान भी जुड़ता है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के सूत्र में पहला पद पाने के लिए n=1 रखें। / To find the first term, put n=1. Thus, a_1=2(1)+9=11, so 11 is correct. The number 9 is only the constant term, not the first term, because the contribution of 2n must also be included when n=1. Exam tip: substitute n=1 in any nth-term formula to obtain the first term.
दिया है कि श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=6n-1\) है। अतः \(n=15\) रखने पर \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 89 है। 91 लेने पर घटाव वाले \(-1\) पद की उपेक्षा हो जाती है। परीक्षा टिप: nवें पद के प्रश्न में पहले दिए गए सूत्र में \(n\) के स्थान पर अपेक्षित पद संख्या रखें। / The nth term is \(a_n=6n-1\). Substituting \(n=15\), we get \(a_{15}=6\times15-1=90-1=89\). Therefore, 89 is correct. The value 91 would result from ignoring the \(-1\) in the formula. Exam tip: for an nth-term question, substitute the required term number for \(n\) in the given formula.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। दिए गए पदों का अंतर \(a_9-a_4=43-18=25\) है और उनके स्थानों का अंतर \(9-4=5\) है, इसलिए \(d=25/5=5\)। अब \(a_4=a_1+3d\) से \(18=a_1+15\), अतः \(a_1=3\)। इसलिए \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\)। विकल्प \(5n+2\) में \(n=4\) रखने पर 22 मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके सूचकांकों के अंतर से \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic sequence, \(a_n=a_1+(n-1)d\). The difference between the given terms is \(a_9-a_4=43-18=25\), while the difference between their positions is \(9-4=5\). Hence, \(d=25/5=5\). Using \(a_4=a_1+3d\), we get \(18=a_1+15\), so \(a_1=3\). Therefore, \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\). Option \(5n+2\) gives 22 when \(n=4\), so it is incorrect. Exam tip: when two terms are given, first find \(d\) by dividing the difference of the terms by the difference of their indices.
अंतर (4) है इसलिए (a_n=7+(n-1)4=4n+3)। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग लिखें। / The difference is (4), so (a_n=7+(n-1)4=4n+3). In exams, write the first term and common difference first.
\(a_n=5n-2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) रहता है। अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), the consecutive difference is \(a_{n+1}-a_n=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: identify AP terms in the form \(pn+q\).
\(a_n=5-3n\) में \(n\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए प्रत्येक अगले पद में 3 की कमी होती है और सार्वांतर \(-3\) है। विकल्प B में सार्वांतर \(+3\) होगा। परीक्षा टिप: \(a_n=pn+q\) में सार्वांतर \(p\) होता है। / In \(a_n=5-3n\), the coefficient of \(n\) is \(-3\), so every next term decreases by 3 and the common difference is \(-3\). Option B has common difference \(+3\). Exam tip: for \(a_n=pn+q\), the common difference is \(p\).
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=4\), \(d=3\), इसलिए \(a_n=4+3(n-1)\)। जाँच हेतु \(n=1\) रखने पर पहला पद 4 मिलता है। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=4\) and \(d=3\), so \(a_n=4+3(n-1)\). Putting \(n=1\) gives 4; this is a quick exam check for the first term.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=7+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 10 आता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\) and \(d=3\) gives \(a_n=7+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 10, not the first term 7. Exam tip: always test a formula using \(n=1\).
समान्तर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। यहाँ \(a=4\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=4+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) पर पहला पद 7 बनता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / The formula for an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=4\) and \(d=3\) gives \(a_n=4+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 7, not the first term 4. Exam tip: test a formula with \(n=1\).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(d=4\), इसलिए \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\)। विकल्प C में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा टिप: \(n=1\) रखकर प्रथम पद जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). With \(a=3\) and \(d=4\), \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\). Option C gives first term 7, not 3. Exam tip: put \(n=1\) to check the first term.
\(n^2+1\) के लिए क्रमागत पदों का अंतर \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\) है, जो n के साथ बदलता है। AP में अंतर स्थिर होता है। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप हमेशा AP देता है। / For \(n^2+1\), the difference of consecutive terms is \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\), which changes with n. An AP needs a constant difference. Exam tip: any form \(pn+q\) represents an AP.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=3\) हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में प्रथम पद 10 बनता है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानें। / The nth term of an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=7\) and \(d=3\), so option A is correct. In option B, the first term becomes 10. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) before choosing the formula.
समान्तर श्रेणी में हर अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या \(d\) जोड़ने पर मिलता है। अतः \(a_n=a_{n-1}+d\), इसलिए \(d=a_n-a_{n-1}\)। योग या अनुपात सार्वांतर नहीं बताते। परीक्षा टिप: लगातार पदों का अंतर लें। / In an AP, each term is obtained by adding the fixed common difference \(d\) to the previous term. Thus, \(a_n=a_{n-1}+d\), so \(d=a_n-a_{n-1}\). A sum or ratio does not give the common difference. Exam tip: subtract consecutive terms.
अंकगणितीय अनुक्रम में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=4\) रखने पर विकल्प A मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) पर पद 11 आता है, 7 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\) and \(d=4\) gives option A. In option B, putting \(n=1\) gives 11 rather than the first term 7. Exam tip: always test the rule at \(n=1\).
\(a_n=4n+1\) रैखिक रूप \(pn+q\) में है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर स्थिर \(4\) रहता है; अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: AP के लिए \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर जाँचें। / \(a_n=4n+1\) has the linear form \(pn+q\), so consecutive terms differ by the constant \(4\); hence it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check whether \(a_{n+1}-a_n\) is constant.
\(a_n=3n+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), जो स्थिर है। इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(pn+q\) AP देता है। / For \(a_n=3n+1\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)+1]-(3n+1)=3\), a constant. Hence it is an AP. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: a linear form \(pn+q\) represents an AP.
समान्तर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=20\) और \(d=-3\) हैं, इसलिए \(a_n=20-3(n-1)\)। \(20-3n\) देने पर पहला पद 17 होगा। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=20\) and \(d=-3\), so \(a_n=20-3(n-1)\). Formula \(20-3n\) gives 17 as the first term. Exam tip: substitute \(n=1\) to check a proposed nth-term formula.
\(a_n=3n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\) है, जो हर \(n\) के लिए स्थिर है। इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=3n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3\), which is constant for every \(n\). Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: compare consecutive terms’ difference.
यहाँ पहला पद \(a=18\) और समान अंतर \(d=-4\) है। सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) लगाने पर \(a_n=18-4(n-1)\) मिलता है। \(18-4n\) रखने पर पहला पद 14 आ जाता है। परीक्षा में \(n=1\) रखकर सूत्र जाँचें। / Here \(a=18\) and \(d=-4\). Using \(a_n=a+(n-1)d\) gives \(18-4(n-1)\). The expression \(18-4n\) gives 14 when \(n=1\), not the first term 18. Exam tip: always test a proposed nth-term rule with \(n=1\).
\(a_3=a_1+12\) और \(a_{11}=a_1+60\), इसलिए \(2a_1+72=92\) और \(a_1=10\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_3=a_1+12\) and \(a_{11}=a_1+60\), so \(2a_1+72=92\) and \(a_1=10\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
यहाँ (a=19) और (d=6), इसलिए (a_{24}=19+23(6)=157)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=19) and (d=6), so (a_{24}=19+23(6)=157). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{15}=64+4(7)=92)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{15}=64+4(7)=92). First find (d), then move forward.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 16 और सार्वांतर 7 है। अतः \(a_{12}=16+11\times7=93\) तथा \(a_4=16+3\times7=37\)। इसलिए \(a_{12}+a_4=93+37=130\), अर्थात विकल्प C सही है। 123 प्राप्त करना पदों की संख्या या सार्वांतर गिनने में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लें। / The first term of this AP is 16 and the common difference is 7. Thus, \(a_{12}=16+11\times7=93\) and \(a_4=16+3\times7=37\). Therefore, \(a_{12}+a_4=93+37=130\), so option C is correct. A value such as 123 can result from counting the number of common differences incorrectly. Exam tip: always use \(n-1\) in \(a_n=a+(n-1)d\).
\(a_7=a_1+6d\), इसलिए \(50=a_1+54\) और \(a_1=-4\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_7=a_1+6d\), so \(50=a_1+54\) and \(a_1=-4\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_7\), \(a_4\) और \(a_{10}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_7=\frac{96}{2}=48\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_7\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{10}\), so \(a_7=\frac{96}{2}=48\). The average of symmetric terms is the middle term.
पहला और बारहवाँ पद (7) और (84) हैं, इसलिए योग (\frac{12(7+84)}{2}=546)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and twelfth terms are (7) and (84), so the sum is (\frac{12(7+84)}{2}=546). Use the first and last terms for the sum.
सामान्य पद \(a_n=6n+3\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (87) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+3\), and the greatest term below (90) is (87). In boundary questions, check nearby terms.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(10,17,24,31,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(10,17,24,31,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
(a_n=18+(n-1)7=7n+11), इसलिए (7n+11=102) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=18+(n-1)7=7n+11), so (7n+11=102) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद, पहले और तीसरे पद का औसत होता है। अतः \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\)। इससे \(12x+2=13x-5\), इसलिए \(x=7\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए \(x=6\) रखने पर दोनों क्रमागत अंतर बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: तीन लगातार AP पदों के लिए सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, the middle term is the average of the first and third terms. Hence, \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\). This gives \(12x+2=13x-5\), so \(x=7\). Therefore, option C is correct. For example, if \(x=6\), the two consecutive differences are not equal. Exam tip: for three consecutive AP terms, directly use \(2b=a+c\).
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=7\) और सार्वांतर \(d=9\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_6=7+5\times9=52\) तथा \(a_{10}=7+9\times9=88\)। इसलिए \(a_6+a_{10}=52+88=140\)। विकल्प 138 जैसी संख्या पदों की गणना में एक का अंतर लेने पर आ सकती है, पर सही योग 140 है। परीक्षा टिप: पद संख्या \(n\) के लिए \((n-1)d\) लेना न भूलें। / For this AP, the first term is \(a=7\) and the common difference is \(d=9\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_6=7+5\times9=52\) and \(a_{10}=7+9\times9=88\). Therefore, \(a_6+a_{10}=52+88=140\). A value such as 138 can result from an off-by-one error while counting terms, but the correct sum is 140. Exam tip: always use \((n-1)d\) for the \(n\)th term.
\(a_{10}\), \(a_5\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{15}\), so \(a_{10}=\frac{150}{2}=75\). The average of symmetric terms is the middle term.
सामान्य पद \(a_n=6n+11\) है और \(a_{16}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+11\), and \(a_{16}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(36,32,28,24,20,16,12,8,4,\ldots\) में पहला पद (36) और नौवाँ पद (4) है। विकल्पों में नौवें पद तक जांच करें। / In \(36,32,28,24,20,16,12,8,4,\ldots\), the first term is (36) and the ninth term is (4). Check options up to the ninth term.
आठ अंतरों में वृद्धि (48) है, इसलिए (d=6) और (a_{10}=31+4(6)=55)। \(a_{10}\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over eight gaps is (48), so (d=6) and (a_{10}=31+4(6)=55). \(a_{10}\) lies between the two given terms.
शून्य पद ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को 0 के बराबर रखते हैं: \(24-4n=0\)। अतः \(4n=24\), इसलिए \(n=6\)। इसलिए श्रेणी का छठा पद शून्य है। पाँचवें पद के लिए मान \(24-4(5)=4\) होगा, इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का स्थान निकालने के लिए \(a_n\) में उस पद का दिया हुआ मान रखकर \(n\) हल करें। / To find the zero term, set the given term equal to 0: \(24-4n=0\). Thus, \(4n=24\), so \(n=6\). Therefore, the sixth term of the progression is zero. For the fifth term, \(24-4(5)=4\), so it is not zero. Exam tip: To find the position of a specified term, substitute its value for \(a_n\) and solve for \(n\).
पहला और नौवाँ पद (5) और (69) हैं, इसलिए योग (\frac{9(5+69)}{2}=333)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first and ninth terms are (5) and (69), so the sum is (\frac{9(5+69)}{2}=333). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का दोगुना, पहले और तीसरे पदों के योग के बराबर होता है। अतः \(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)\)। इससे \(4p+10=5p+3\), इसलिए \(p=7\)। विकल्प 5 लेने पर तीनों पदों के बीच समान अंतर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: तीन लगातार AP पदों के लिए सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)\). This gives \(4p+10=5p+3\), so \(p=7\). If 5 is substituted, the three terms do not have a common difference. Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2b=a+c\) directly.
समांतर श्रेणी में
\(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। इसलिए \(a_{13}-a_8=5d=80-45=35\), अतः \(d=7\)। अब \(a_8=a_1+7d\) से \(45=a_1+49\), इसलिए \(a_1=-4\)। विकल्प \(-2\) लेने पर आठवाँ पद \(47\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में दो दिए गए पदों का अंतर लेकर पहले \(d\) निकालें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_{13}-a_8=5d=80-45=35\), so \(d=7\). Now, from \(a_8=a_1+7d\), we get \(45=a_1+49\), hence \(a_1=-4\). If \(-2\) were the first term, the eighth term would be \(47\), not \(45\). Exam tip: subtract the given terms first to find \(d\).
सामान्य पद \(a_n=5n+9\) है और (120) से छोटा सबसे बड़ा पद (119) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+9\), and the greatest term below (120) is (119). In boundary questions, check nearby terms.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_5=4+4d\) और \(a_9=4+8d\)। दिए गए अनुसार \((4+4d)+(4+8d)=80\), अर्थात \(8+12d=80\)। इसलिए \(12d=72\) और \(d=6\)। विकल्प 5 लेने पर पदों का योग \(68\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए पदों को \(a_1\) और \(d\) के रूप में लिखें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Hence, \(a_5=4+4d\) and \(a_9=4+8d\). Using the given condition, \((4+4d)+(4+8d)=80\), so \(8+12d=80\). Therefore, \(12d=72\) and \(d=6\). If the common difference were 5, the sum would be \(68\), not 80. Exam tip: first express each given term in terms of \(a_1\) and \(d\).
\(1,9,17,25,\ldots\) में (d=8), इसलिए \(a_3=17\) और \(a_9=65\) है। विकल्पों में दोनों शर्तें जांचें। / In \(1,9,17,25,\ldots\), (d=8), so \(a_3=17\) and \(a_9=65\). Check both conditions in the options.
पहला पद (11) और (d=9) है, इसलिए (a_n=11+(n-1)9=9n+2)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (11) and (d=9), so (a_n=11+(n-1)9=9n+2). You can check an option by putting (n=1).
(2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)) से (x=7), इसलिए पद (19,31,43) और अंतर (12) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)), (x=7), so the terms are (19,31,43) and the difference is (12). First find (x), then find the difference.
(72+(n-1)(-8)=0) से (8(n-1)=72) और (n=10)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (72+(n-1)(-8)=0), (8(n-1)=72) and (n=10). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
\(a_6\) और \(a_{14}\) से \(a_{10}\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_{10}=\frac{120}{2}=60\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_{10}\) is equidistant from \(a_6\) and \(a_{14}\), so \(a_{10}=\frac{120}{2}=60\). The average of symmetric terms is the middle term.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर के बराबर होता है। अतः
\(a_{12}-a_5=7d=68-26=42\), इसलिए \(d=6\)। अब \(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(26=a_1+4(6)\) और \(a_1=2\)। विकल्प 6 सार्वांतर है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n=a_1+(n-1)d\) में \(n-1\) का प्रयोग करें। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{12}-a_5=7d=68-26=42\), so \(d=6\). Now \(a_5=a_1+4d\), hence \(26=a_1+4(6)\), giving \(a_1=2\). Option 6 is the common difference, not the first term. Exam tip: use \(a_n=a_1+(n-1)d\), taking care to use \(n-1\).
पहले (6) पद (14,19,24,29,34,39) हैं और योग (159) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (14,19,24,29,34,39), and their sum is (159). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=8), इसलिए अंतर (72) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), and (d=8), so the difference is (72). Term difference depends on position difference.
पद \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (7)वाँ है। दिए विकल्पों में (7)वाँ सही है। / The terms are \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (7)th. Among the options, the (7)th is correct.
\(13,18,23,28,33,38,\ldots\) में छठा पद (38) और समान अंतर (5) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(13,18,23,28,33,38,\ldots\), the sixth term is (38) and the common difference is (5). Check each option up to the required term.
समांतर श्रेणी में समान अंतर स्थिर होता है। यहाँ \(a_{11}-a_3=8d=72-16=56\), अतः \(d=7\)। इसलिए \(a_7=a_3+4d=16+4\times7=44\)। विकल्प 42 गलत है, क्योंकि इससे \(a_3\) से \(a_7\) तक चार पदों का अंतर सही नहीं मिलेगा। परीक्षा टिप: जब दो पदों के सूचकांकों का मध्य दिया हो, तो मध्य पद उनके मानों का औसत भी होता है। / In an arithmetic progression, the common difference is constant. Here, \(a_{11}-a_3=8d=72-16=56\), so \(d=7\). Therefore, \(a_7=a_3+4d=16+4\times7=44\). Option 42 is incorrect because it does not give the required difference across four terms from \(a_3\) to \(a_7\). Exam tip: When a term’s index is midway between two given indices, its value is also the average of those two terms.
लगातार तीन पदों में (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
दिया है कि
\(a_n=9n-4\)। 113 किस स्थान पर है, इसके लिए \(a_n=113\) रखें: \(9n-4=113\Rightarrow 9n=117\Rightarrow n=13\)। अतः 113 श्रेणी का 13वाँ पद है। 12वाँ पद \(9(12)-4=104\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखें। / Given \(a_n=9n-4\). To find the position of 113, put \(a_n=113\): \(9n-4=113\Rightarrow 9n=117\Rightarrow n=13\). Therefore, 113 is the 13th term of the progression. The 12th term is \(9(12)-4=104\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, equate \(a_n\) to that term's value.
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(28=a_1+28\) और \(a_1=0\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(28=a_1+28\) and \(a_1=0\). To move backward from a given term, subtract common differences.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा समान अंतर के बराबर होता है। अतः \(a_{13}-a_4=(13-4)d=9d\)। यहाँ \(73-19=54\), इसलिए \(9d=54\) और \(d=6\)। 9, पदों के क्रमांकों का अंतर है, समान अंतर नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n-a_m=(n-m)d\) का प्रयोग करने से प्रथम पद ज्ञात किए बिना भी \(d\) निकाला जा सकता है। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{13}-a_4=(13-4)d=9d\). Here, \(73-19=54\), so \(9d=54\) and \(d=6\). Note that 9 is the difference between the term numbers, not the common difference. Exam tip: Use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find \(d\) without first finding the first term.
(S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]) में (n=11) रखने पर (407) और (n=12) रखने पर (480) मिलता है, इसलिए कोई विकल्प (539) नहीं देता। परीक्षा में विकल्प रखकर जाँच करें। / In (S_n=\frac{n}{2}[14+6(n-1)]), (n=11) gives (407) and (n=12) gives (480), so no option gives (539). In exams, check by substituting options.
यहाँ प्रथम पद \(a=24\) और सार्वांतर \(d=19-24=-5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(24+(n-1)(-5)=-11\) से \(24-5n+5=-11\), यानी \(29-5n=-11\)। इसलिए \(n=8\) प्राप्त होता है। अतः \((-11)\) आठवाँ पद है। सातवाँ पद \((-6)\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक अवश्य रखें। / Here, the first term is \(a=24\) and the common difference is \(d=19-24=-5\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(24+(n-1)(-5)=-11\). Thus, \(29-5n=-11\), which gives \(n=8\). Therefore, \((-11)\) is the eighth term. The seventh term is \((-6)\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: In a decreasing AP, make sure to use a negative common difference.
यहाँ प्रथम पद \(a=12\), सार्वांतर \(d=18-12=6\) और पदों की संख्या \(n=25\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(12)+24\times6]=\frac{25}{2}(168)=2100\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प C है। \(24\) को प्रथम पद मान लेना गलत होगा; वह \((n-1)\) का मान है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में \(n-1\) अवश्य जाँचें। / Here, the first term is \(a=12\), the common difference is \(d=18-12=6\), and the number of terms is \(n=25\). Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), \(S_{25}=\frac{25}{2}[2(12)+24\times6]=\frac{25}{2}(168)=2100\). Therefore, option C is correct. Taking \(24\) as the first term would be incorrect; it is the value of \((n-1)\). Exam tip: always check \(n-1\) carefully in the sum formula.
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर \(2x-x=x\), \(3x-2x=x\) है; अतः अंतर स्थिर है और यह समान्तर श्रेणी है। विकल्प D में अंतर बदलता है। परीक्षा टिप: दो लगातार अंतरों की तुलना करें। / In option A, consecutive differences are \(2x-x=x\) and \(3x-2x=x\), so the common difference is fixed. Option D has changing differences. Exam tip: compare two successive differences to identify an AP.
यहाँ प्रथम पद \(a=27\) और सार्वांतर \(d=35-27=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(123=27+(n-1)8\), इसलिए \((n-1)8=96\), \(n-1=12\) और \(n=13\)। विकल्प 12 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(n-1\) का मान है, पद संख्या \(n\) नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय अंत में \(n-1\) में 1 अवश्य जोड़ें। / Here, the first term is \(a=27\) and the common difference is \(d=35-27=8\). The nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(123=27+(n-1)8\), so \((n-1)8=96\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Option 12 is incorrect because it is the value of \(n-1\), not the term number \(n\). Exam tip: when finding the term number, remember to add 1 after calculating \(n-1\).
(7d=49) से (d=7) और (a+3d=20) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (7d=49), (d=7), and from (a+3d=20), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
क्रमागत पदों के अंतर समान होते हैं, इसलिए \(q-p=r-q\)। दोनों पक्षों को व्यवस्थित करने पर \(2q=p+r\) मिलता है। विकल्प B में मध्य पद का दुगुना नहीं लिया गया है। परीक्षा में पहले मध्य पद को जाँचें। / Consecutive AP terms have equal differences, so \(q-p=r-q\). Rearranging gives \(2q=p+r\), meaning the middle term is the average of the outer terms. Option B does not express this. Exam tip: test the middle term first.
समांतर श्रेणी में पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर के बराबर सार्वांतरों का गुणज होता है। यहाँ 13वाँ और 7वाँ पद 6 स्थान दूर हैं तथा अंतर 49−25=24 है, इसलिए d=24/6=4। परीक्षा में पदों के क्रमांक का अंतर लेना न भूलें। / In an AP, the difference between two terms equals the common difference times the gap in their term numbers. Here the terms are 6 positions apart and 49−25=24, so d=24/6=4. Exam tip: always subtract the term indices as well as the term values.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\)। दिए गए मानों से \(94-38=56=8d\), इसलिए \(d=7\) है। \(6\) लेने पर पदों का अंतर \(8\) होने के बावजूद अंतर केवल \(48\) आता, जो दिए गए \(56\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके मानों के अंतर को उनकी पद-संख्याओं के अंतर से भाग दें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{14}-a_6=(14-6)d=8d\). Using the given values, \(94-38=56=8d\), so \(d=7\). If \(d=6\), the difference across 8 positions would be only \(48\), not the required \(56\). Exam tip: when two terms are given, divide the difference of their values by the difference of their term numbers.
