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चौथा पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n=4\) रखें: \(a_4=4+8=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। विकल्प 13 तब मिलता यदि \(n=5\) रखा जाता, इसलिए वह पाँचवाँ पद है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में उपस्क्रिप्ट \(n\) पद की संख्या बताता है। / To find the fourth term, substitute \(n=4\) in the formula: \(a_4=4+8=12\). Therefore, the correct answer is 12. Option 13 would result from using \(n=5\), so it is the fifth term. Exam tip: the subscript \(n\) in \(a_n\) indicates the term number.
क्रम का प्रथम पद 7 और सार्वांतर 4 है। अतः \(a_n=7+(n-1)\times4=4n+3\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 1 मिलता है, 7 नहीं। परीक्षा में पहले पद और सार्वांतर दोनों जाँचें। / The first term is 7 and the common difference is 4. Thus \(a_n=7+(n-1)\times4=4n+3\). Option B gives 1 when \(n=1\), not 7. Exam tip: verify both the first term and common difference.
\(n^2+1\) के लिए क्रमागत पदों का अंतर \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\) है, जो n के साथ बदलता है। AP में अंतर स्थिर होता है। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप हमेशा AP देता है। / For \(n^2+1\), the difference of consecutive terms is \((n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\), which changes with n. An AP needs a constant difference. Exam tip: any form \(pn+q\) represents an AP.
वर्ग संख्याओं के अनुक्रम में nवाँ पद \(n^2\) होता है। अतः आठवाँ पद \(8^2=64\) होगा। \(49=7^2\) सातवाँ पद है, जबकि \(81=9^2\) नौवाँ पद है। परीक्षा टिप: वर्ग संख्या अनुक्रम में पद का क्रमांक लेकर उसका वर्ग करें। / In a square-number sequence, the nth term is \(n^2\). Therefore, the eighth term is \(8^2=64\). \(49=7^2\) is the seventh term, while \(81=9^2\) is the ninth term. Exam tip: square the term number to find a term in this sequence.
पाँचवें पद के लिए n = 5 रखें। तब a₅ = 5² + 3 = 25 + 3 = 28 होता है, इसलिए सही विकल्प 28 है। 27 केवल 5² + 2 लेने पर मिलता, जो दिए गए नियम के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: nवाँ पद ज्ञात करते समय पहले n का सही मान सूत्र में रखकर घात की गणना करें। / For the fifth term, substitute n = 5. Thus, a₅ = 5² + 3 = 25 + 3 = 28, so 28 is the correct option. The value 27 would result from using 5² + 2, which is not the given rule. Exam tip: while finding an nth term, first substitute the correct value of n and then evaluate the power.
पहला पद (2) और अंतर (4) है, इसलिए \(a_n=4n-2\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (2) and the difference is (4), so \(a_n=4n-2\). In exams, check the first term by putting (n=1).
यहाँ \(a_n=8n\) है और (8n=72) से (n=9) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Here \(a_n=8n\), and (8n=72) gives (n=9). In exams, equate the given term to the general term.
दिया है कि \(a_n=2^n\)। छठे पद के लिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6=64\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 64 है। \(2^5=32\) पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में पद संख्या के स्थान पर सीधे \(n\) रखकर गणना करें। / Given \(a_n=2^n\), substitute \(n=6\) for the sixth term: \(a_6=2^6=64\). Therefore, 64 is correct. \(2^5=32\) is the fifth term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: To find a term, substitute its position directly for \(n\) in the nth-term formula.
A. यह एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्वांतर 4 है।/It is an arithmetic progression with common difference 4.
Explanation
Simple Explanation
\(n=1,2,3\) रखने पर पद 5, 9, 13 मिलते हैं। लगातार पदों का अंतर \(9-5=4\) और \(13-9=4\) है, इसलिए यह सार्वांतर 4 वाली समांतर श्रेणी है। परीक्षा में दो लगातार पदों का अंतर जाँचें। / Putting \(n=1,2,3\) gives 5, 9, 13. The consecutive differences are \(9-5=4\) and \(13-9=4\), so it is an AP with common difference 4, not a GP. Exam tip: compare consecutive differences to identify an AP.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद 12 और सार्वांतर 12 है। अतः सातवाँ पद \(a_7=12+(7-1)\times 12=84\) होगा। 72 छठा पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा में पद संख्या गिनने के बजाय \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 12 and common difference 12. Therefore, \(a_7=12+(7-1)\times 12=84\). The number 72 is the sixth term, so it is a close but incorrect option. In exams, use \(a_n=a+(n-1)d\) instead of counting terms one by one.
नौवें पद के लिए n=9 रखें: a_9=18-9=9। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 तब मिलता यदि n=10 रखा जाता, इसलिए पद संख्या को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय दिए गए सूत्र में n के स्थान पर सीधे पद संख्या लिखें। / For the ninth term, substitute n=9: a_9=18-9=9. Therefore, the correct answer is 9. The value 8 would result from using n=10, so the term number must be substituted carefully. Exam tip: to find the nth term, directly replace n in the given formula with the required term number.
पहला पद (7) और अंतर (4) है, इसलिए \(a_n=4n+3\) है। परीक्षा में (n=1) पर नियम मिलाएँ। / The first term is (7) and the difference is (4), so \(a_n=4n+3\). In exams, match the rule at (n=1).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(d=4\), इसलिए \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\)। विकल्प C में प्रथम पद 7 होगा। परीक्षा टिप: \(n=1\) रखकर प्रथम पद जाँचें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). With \(a=3\) and \(d=4\), \(a_n=3+4(n-1)=4n-1\). Option C gives first term 7, not 3. Exam tip: put \(n=1\) to check the first term.
यह विषम संख्याओं का अनुक्रम है, जिसका nवाँ पद \(a_n=2n-1\) होता है। \(2n-1=31\) रखने पर \(2n=32\), इसलिए \(n=16\) मिलता है। अतः 31 सोलहवाँ पद है। पंद्रहवाँ पद \(2(15)-1=29\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: विषम संख्याओं के अनुक्रम में nवाँ पद हमेशा \(2n-1\) लिखें। / This is the sequence of odd numbers, whose nth term is \(a_n=2n-1\). Putting \(2n-1=31\) gives \(2n=32\), so \(n=16\). Therefore, 31 is the sixteenth term. The fifteenth term is \(2(15)-1=29\), so it is not correct. Exam tip: for a sequence of odd numbers, use \(2n-1\) as the nth-term formula.
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=3^3+1=27+1=28\)। इसलिए सही उत्तर \(28\) है। \(27\) निकटतम विकल्प है, लेकिन वह केवल \(3^3\) का मान है; उसमें \(+1\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गणना का क्रम ध्यान से पूरा करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=3^3+1=27+1=28\). Therefore, the correct answer is \(28\). The nearby option \(27\) is only the value of \(3^3\); the \(+1\) still has to be added. Exam tip: while finding a term, substitute the value of \(n\) first and then complete the operations in order.
दिए गए पदों को 3 से भाग देने पर \(1,4,9,16\) प्राप्त होते हैं, जो क्रमशः \(1^2,2^2,3^2,4^2\) हैं। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=3n^2\) है। \(a_n=3n\) में दूसरा पद 6 आता है, जबकि दिया गया दूसरा पद 12 है। परीक्षा टिप: पहले कुछ पदों में गुणांक और वर्ग/घन जैसे पैटर्न पहचानें। / Dividing the given terms by 3 gives \(1,4,9,16\), which are \(1^2,2^2,3^2,4^2\) respectively. Therefore, the \(n\)th term is \(a_n=3n^2\). For \(a_n=3n\), the second term would be 6, not 12. Exam tip: Check early terms for a common multiplier and square or cube patterns.
दिया है \(a_n=\frac{n+3}{2}\)। \(a_7\) ज्ञात करने के लिए \(n=7\) रखें: \(a_7=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5\)। इसलिए सही विकल्प 5 है। 4 का मान तब आता जब अंश में 8 होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का सही मान रखकर फिर गणना करें। / Given \(a_n=\frac{n+3}{2}\). To find \(a_7\), substitute \(n=7\): \(a_7=\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5\). Therefore, 5 is the correct option. The value 4 would result only if the numerator were 8, so it is not correct here. Exam tip: for an nth-term formula, substitute the given value of \(n\) before simplifying.
(n=1) पर (2) और (n=2) पर \(\frac{5}{2}\) मिलता है। परीक्षा में भिन्न नियम को पहले दो पदों से मिलाएँ। / At (n=1), it gives (2), and at (n=2), it gives \(\frac{5}{2}\). In exams, match a fractional rule with the first two terms.
दूसरा पद ज्ञात करने के लिए n के स्थान पर 2 रखें: \(a_2=4^2=4\times4=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। 8, \(4^2\) का मान नहीं है; यह 4 को 2 से गुणा करने पर मिलता है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम का पद निकालते समय पहले उपयुक्त n का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / To find the second term, substitute \(n=2\): \(a_2=4^2=4\times4=16\). Therefore, the correct answer is 16. The value 8 comes from multiplying 4 by 2, not from evaluating \(4^2\). Exam tip: first substitute the required value of n in the formula, then calculate the exponent carefully.
समान्तर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। यहाँ \(a=4\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=4+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) पर पहला पद 7 बनता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / The formula for an AP is \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=4\) and \(d=3\) gives \(a_n=4+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 7, not the first term 4. Exam tip: test a formula with \(n=1\).
पहला पद (6) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_n=7n-1\) है। परीक्षा में (n=1) पर पहला पद जाँचें। / The first term is (6) and the difference is (7), so \(a_n=7n-1\). In exams, check the first term at (n=1).
A. यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर 4 है/It is an arithmetic progression with common difference 4
Explanation
Simple Explanation
\(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\) सभी \(n\) के लिए समान है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात स्थिर होता है। परीक्षा में क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4\) is constant for every \(n\), so the sequence is an arithmetic progression. A GP needs a constant ratio instead. Exam tip: check consecutive differences first.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 20 और सार्वांतर 20 है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=20n\) होगा। \(20n=160\) से \(n=8\) प्राप्त होता है, इसलिए 160 आठवाँ पद है। सातवाँ पद 140 होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को प्रत्येक पद के गुणक से मिलाएँ या nवाँ पद का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term 20 and common difference 20. Therefore, its nth term is \(a_n=20n\). From \(20n=160\), we get \(n=8\), so 160 is the eighth term. The seventh term is 140, so it is not correct. Exam tip: To find a term number, use the nth-term formula or identify the multiple of the common factor.
चौथे पद के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{5\times4}{2}=\frac{20}{2}=10\)। इसलिए सही उत्तर 10 है। विकल्प 12 तब मिलता यदि गणना में \(20\) को गलत तरीके से विभाजित किया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का मान रखकर फिर चरणबद्ध सरलीकरण करें। / For the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{5\times4}{2}=\frac{20}{2}=10\). Therefore, the correct answer is 10. Option 12 would result from an incorrect division of 20. Exam tip: in an nth-term formula, substitute the value of \(n\) first and then simplify step by step.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद \(a=\frac{5}{2}\) और सार्वांतर \(d=\frac{5}{2}\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=\frac{5}{2}+(n-1)\frac{5}{2}=\frac{5n}{2}\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 5 मिलता है, जबकि पहला पद \(\frac{5}{2}\) है। परीक्षा टिप: सूत्र चुनने के बाद \(n=1\) रखकर पहले पद से मिलान अवश्य करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=\frac{5}{2}\) and common difference \(d=\frac{5}{2}\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=\frac{5}{2}+(n-1)\frac{5}{2}=\frac{5n}{2}\). In option B, putting \(n=1\) gives 5, whereas the first term is \(\frac{5}{2}\). Exam tip: after choosing a formula, substitute \(n=1\) to check whether it gives the first term.
तीसरे पद के लिए n=3 रखें: a_3=33+2=27+2=29। इसलिए सही उत्तर 29 है। 27 केवल 33 का मान है; इसमें दिया गया +2 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n का मान सूत्र में रखें, फिर घात और अन्य संक्रियाएँ क्रम से करें। / For the third term, put n=3: a_3=33+2=27+2=29. Therefore, 29 is correct. 27 is only the value of 33 and misses the given +2. Exam tip: To find an nth term, substitute the value of n first, then follow the order of operations.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=7\) और \(d=3\) रखने पर \(a_n=7+3(n-1)\) मिलता है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 10 आता है। परीक्षा में पहले पद की जाँच के लिए \(n=1\) रखें। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Substituting \(a=7\) and \(d=3\) gives \(a_n=7+3(n-1)\). In option B, putting \(n=1\) gives 10, not the first term 7. Exam tip: always test a formula using \(n=1\).
यहाँ \(a_n=15n\) है और (15n=105) से (n=7) है। परीक्षा में गुणज पहचानकर पद संख्या निकालें। / Here \(a_n=15n\), and (15n=105) gives (n=7). In exams, identify the multiple and find the term number.
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=3(3+2)=3\times5=15\)। इसलिए सही उत्तर \(15\) है। \(18\) जैसे विकल्प तब मिल सकते हैं जब \(n+2\) या गुणा की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में पद संख्या के स्थान पर सही \(n\) रखकर चरणों में सरल करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=3(3+2)=3\times5=15\). Therefore, the correct answer is \(15\). A value such as \(18\) may result from an error in evaluating \(n+2\) or in multiplication. Exam tip: substitute the term number correctly for \(n\), then simplify step by step.
दिया गया अनुक्रम \(3,8,15,24\) है। \(a_n=n(n+2)\) रखने पर \(a_1=1(3)=3\), \(a_2=2(4)=8\), \(a_3=3(5)=15\) और \(a_4=4(6)=24\) मिलते हैं। इसलिए सही पद \(a_n=n(n+2)\) है। निकट विकल्प \(n(n+1)+1\) से पहला पद 3 मिलता है, लेकिन दूसरा पद 7 आता है, 8 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / For the sequence \(3,8,15,24\), substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n(n+2)\) gives \(3,8,15,24\), respectively. Hence, \(a_n=n(n+2)\) is correct. The close distractor \(n(n+1)+1\) gives the first term as 3, but its second term is 7, not 8. Exam tip: verify an nth-term formula using at least the first two or three terms.
समानांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=4\), \(d=3\), इसलिए \(a_n=4+3(n-1)\)। जाँच हेतु \(n=1\) रखने पर पहला पद 4 मिलता है। / For an AP, \(a_n=a+(n-1)d\). Here \(a=4\) and \(d=3\), so \(a_n=4+3(n-1)\). Putting \(n=1\) gives 4; this is a quick exam check for the first term.
इस अनुक्रम का प्रत्येक पद 11 के क्रमिक गुणज के रूप में है, इसलिए इसका nवाँ पद \(a_n=11n\) होगा। \(11n=99\) रखने पर \(n=9\) प्राप्त होता है। अतः 99 नौवाँ पद है। आठवाँ पद 88 होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पद को पहले पद से भाग देकर पद संख्या जाँचें। / Each term in the sequence is a successive multiple of 11, so its nth term is \(a_n=11n\). Putting \(11n=99\) gives \(n=9\). Therefore, 99 is the ninth term. The eighth term is 88, so it is not correct. Exam tip: for such sequences, divide the given term by the common multiple to check its position.
A. यह 5 सार्वांतर वाली समांतर श्रेणी है/It is an arithmetic progression with common difference 5.
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a_{n+1}-a_n=5(n+1)-2-(5n-2)=5\), प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर स्थिर है। अतः यह 5 सार्वांतर वाली समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर होने पर AP पहचानें। / Since \(a_{n+1}-a_n=5(n+1)-2-(5n-2)=5\), the difference between consecutive terms is constant. Hence it is an AP with common difference 5. In exams, check \(a_{n+1}-a_n\) to identify an AP.
पहला पद (10) और अंतर (3) है, इसलिए \(a_n=3n+7\) है। परीक्षा में (n=1) पर पहला पद जाँचें। / The first term is (10) and the difference is (3), so \(a_n=3n+7\). In exams, check the first term at (n=1).
चौथे पद के लिए n के स्थान पर 4 रखें: \(a_4=4^2+4+1=16+4+1=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 20 तब मिलता है जब \(4^2\) के बाद केवल 4 जोड़ा जाए और स्थिर पद 1 छूट जाए। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद में पहले दिए गए पद संख्या का मान रखकर क्रम से गणना करें। / For the fourth term, substitute n = 4: \(a_4=4^2+4+1=16+4+1=21\). Therefore, 21 is the correct answer. The value 20 would result if the constant term 1 were omitted after adding \(4^2\) and 4. Exam tip: To find an nth term, substitute the required value of n and simplify step by step.
दिया गया अनुक्रम 3, 7, 13, 21 है। \(a_n=n^2+n+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(3,7,13,21\) प्राप्त होते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प \(a_n=3n+1\) से पहले दो पद 4 और 7 मिलते हैं, अतः वह अनुक्रम से मेल नहीं खाता। परीक्षा में नियम जाँचने के लिए \(n=1\) और \(n=2\) रखने पर कम-से-कम दो पद अवश्य मिलाएँ। / For the given sequence, substitute \(n=1,2,3,4\) into \(a_n=n^2+n+1\). This gives \(3,7,13,21\), so option A is correct. The close distractor \(a_n=3n+1\) gives 4 as its first term, not 3. Exam tip: test a proposed nth-term formula with at least the first two values of \(n\).
\(a_n=5-3n\) में \(n\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए प्रत्येक अगले पद में 3 की कमी होती है और सार्वांतर \(-3\) है। विकल्प B में सार्वांतर \(+3\) होगा। परीक्षा टिप: \(a_n=pn+q\) में सार्वांतर \(p\) होता है। / In \(a_n=5-3n\), the coefficient of \(n\) is \(-3\), so every next term decreases by 3 and the common difference is \(-3\). Option B has common difference \(+3\). Exam tip: for \(a_n=pn+q\), the common difference is \(p\).
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें पहला पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=14\) है। इसलिए \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)14=14n\)। अतः सही विकल्प \(a_n=14n\) है। \(a_n=14n+14\) लेने पर पहला पद 28 मिलेगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पहले \(n=1\) रखकर जाँचें कि दिया गया सूत्र पहला पद देता है या नहीं। / This is an arithmetic sequence with first term \(a=14\) and common difference \(d=14\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)14=14n\). Hence, \(a_n=14n\) is correct. If \(a_n=14n+14\), the first term would be 28, so it is incorrect. Exam tip: put \(n=1\) in the formula to check whether it gives the first term.
\(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\) है। परीक्षा में पहले (n) का मान रखकर भिन्न सरल करें। / \(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\). In exams, substitute the value of (n) first and simplify the fraction.
इसका नियम (a_n=\frac{n(n+1)}{2}) है और \(a_6=21\) है। परीक्षा में त्रिभुज संख्या का पैटर्न पहचानें। / Its rule is (a_n=\frac{n(n+1)}{2}), and \(a_6=21\). In exams, recognize the triangular-number pattern.
\(n=1\) रखने पर पहला पद \(4(1)+3=7\) मिलता है। हर अगला \(n\) बढ़ाने पर पद 4 बढ़ता है, इसलिए अनुक्रम 7, 11, 15, ... है। परीक्षा टिप: पहला पद और सार्वांतर दोनों जाँचें। / Putting \(n=1\) gives the first term \(4(1)+3=7\). Increasing \(n\) by 1 raises each term by 4, so the sequence is 7, 11, 15, .... Exam tip: check both the first term and common difference.
यहाँ \(a_n=16n\) है और (16n=112) से (n=7) है। परीक्षा में गुणज पहचानकर पद संख्या निकालें। / Here \(a_n=16n\), and (16n=112) gives (n=7). In exams, identify the multiple and find the term number.
\(a_n=n^2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः 1, 4, 9, 16 मिलते हैं, जो वर्ग संख्याएँ हैं। \(n^3\) से 1, 8, 27 मिलेंगे। परीक्षा में शुरुआती पद जाँचें। / For \(a_n=n^2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives 1, 4, 9, 16, which are square numbers. \(n^3\) gives 1, 8, 27 instead. In exams, verify a rule using the first few terms.
पदों को क्रमशः \(5\times1^2,\;5\times2^2,\;5\times3^2,\;5\times4^2\) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=5n^2\) होगा। विकल्प \(5n\) से केवल \(5,10,15,20\) मिलते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के गुणज वाला अनुक्रम दिखे तो पहले \(n^2\) के रूप में पद जाँचें। / The terms can be written as \(5\times1^2,\;5\times2^2,\;5\times3^2,\;5\times4^2\). Hence, the \(n\)th term is \(a_n=5n^2\). The option \(5n\) gives \(5,10,15,20\), so it does not match the sequence. Exam tip: when terms are multiples of square numbers, first test a form involving \(n^2\).
\(a_n=5n-2\) में \(n\) का गुणांक स्थिर है, इसलिए क्रमागत पदों का अंतर \(a_{n+1}-a_n=5\) रहता है। अतः यह समानांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा टिप: \(pn+q\) रूप पहचानें। / For \(a_n=5n-2\), the consecutive difference is \(a_{n+1}-a_n=5\), which is constant. Hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: identify AP terms in the form \(pn+q\).
क्रमागत पदों के अंतर \(6,10,14\) हैं, जिनके अंतर \(4\) हैं। इसलिए पद द्विघात रूप में होने चाहिए। \(a_n=2n^2-1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(1,7,17,31\) प्राप्त होते हैं, अतः विकल्प A सही है। निकटतम विकल्प \(2n^2+1\) के लिए पहला पद \(3\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: किसी सूत्र को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए जाँचें। / The successive differences are \(6,10,14\), whose differences are constant at \(4\). Hence, the terms should follow a quadratic expression. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=2n^2-1\) gives \(1,7,17,31\), so option A is correct. The closest distractor, \(2n^2+1\), gives \(3\) as its first term and is therefore incorrect. Exam tip: test a proposed formula using at least the first three terms.
\(n=1,2,3\) रखने पर \(2n-1\) से क्रमशः 1, 3, 5 प्राप्त होते हैं, इसलिए यह विषम प्राकृतिक संख्याओं का नियम है। \(2n\) से 2, 4, 6 अर्थात सम संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा में पहले तीन पद जाँचें। / Putting \(n=1,2,3\) in \(2n-1\) gives 1, 3, and 5, so it generates the odd natural numbers. In contrast, \(2n\) gives 2, 4, and 6, which are even numbers. Exam tip: verify a rule using the first three terms.
\(a_n=3n^2+2\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(5,14,29,50\) प्राप्त होते हैं। इसलिए यह दिया गया अनुक्रम बनाता है। \(a_n=n^2+4\) का पहला पद 5 तो है, पर दूसरा पद 8 होगा, 14 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों पर जाँचें। / For \(a_n=3n^2+2\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,29,50\), respectively. Hence, it generates the given sequence. Although \(a_n=n^2+4\) gives the first term as 5, its second term is 8, not 14. Exam tip: test an nth-term formula using at least the first two or three terms.
चौथे पद के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{4(4+3)}{2}=\frac{4\times7}{2}=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। 16 तब मिलता यदि \(4+3\) के स्थान पर गलती से 8 लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें, फिर क्रम से गणना करें। / For the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{4(4+3)}{2}=\frac{4\times7}{2}=14\). Therefore, the correct answer is 14. A value such as 16 can result from incorrectly evaluating \(4+3\). Exam tip: in an nth-term formula, substitute the given value of \(n\) first and then simplify step by step.
अंतर (3,4,5) बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर (6) और पाँचवाँ पद (20) है। परीक्षा में बदलते अंतर को क्रम से देखें। / The differences (3,4,5) are increasing, so the next difference is (6) and the fifth term is (20). In exams, observe changing differences in order.
