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A. सामाजिक उद्देश्य और आर्थिक गतिविधि साथ संभव हैं/Social purpose and economic activity can coexist
Explanation
Simple Explanation
सामाजिक उद्यम आय के माध्यम से अपना प्रभाव टिकाऊ बना सकता है। परीक्षा में लाभ और सामाजिक मूल्य को विरोधी न मानें। / A social enterprise can sustain its impact through income. In exams do not treat profit and social value as opposites.
A. सामाजिक उद्देश्य और आर्थिक गतिविधि साथ संभव हैं/Social purpose and economic activity can coexist
Explanation
Simple Explanation
सामाजिक उद्यम टिकाऊ आय से सामाजिक प्रभाव बनाए रख सकता है। परीक्षा में आय और सामाजिक उद्देश्य को विरोधी न मानें। / A social enterprise may sustain social impact through stable income. In exams do not treat income and social purpose as opposites.
चौड़ाई आधी हुई है इसलिए ऊँचाई भी (60) से आधी होकर (30) होगी। परीक्षा में समान गुणक रखें। / The width is halved so the height must also be halved from (60) to (30). Keep the same scale factor in exams.
(x-2+4x+7=x-2+4x+4+3=(x+2)2+3) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (4) जोड़कर संतुलन करें। / Here (x-2+4x+7=x-2+4x+4+3=(x+2)2+3). Exam tip: add (4) to make a square and balance it.
\(x^2+2x+5\) में पहले \(x^2+2x\) का पूर्ण वर्ग बनाते हैं। \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), इसलिए \(x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C को फैलाने पर मध्य पद \(-2x\) मिलता है, जो दिए गए व्यंजक से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\) पहचान का प्रयोग करें। / First complete the square for \(x^2+2x\). Since \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), we get \(x^2+2x+5=x^2+2x+1+4=(x+1)^2+4\). Therefore, option A is correct. Expanding option C gives a middle term of \(-2x\), so it cannot match the given expression. Exam tip: use the identity \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\).
छोटा कोना \(36=6^2\) और बड़ा वर्ग (25a-2=(5a)2) है। परीक्षा में क्षेत्रफल से भुजा निकालें। / The small corner is \(36=6^2\) and the large square is (25a-2=(5a)2). In exams, derive side lengths from areas.
प्राकृतिक वृद्धि 1800 है और शुद्ध प्रवास ऋणात्मक 1400 है इसलिए कुल वृद्धि 400 है। परीक्षा में प्राकृतिक और प्रवास घटक अलग करें। / Natural increase is 1800 and net migration is negative 1400 so total growth is 400. Exam tip: separate natural and migration components.
प्राकृतिक वृद्धि 400 है और शुद्ध प्रवास ऋणात्मक 400 है इसलिए कुल परिवर्तन शून्य है। परीक्षा में संतुलित प्रक्रियाएं पहचानें। / Natural increase is 400 and net migration is negative 400 so total change is zero. Exam tip: identify balanced processes.
प्राकृतिक वृद्धि शून्य है और शुद्ध प्रवास 350 है इसलिए कुल वृद्धि 350 है। परीक्षा में दोनों घटक अलग निकालें। / Natural increase is zero and net migration is 350 so total growth is 350. Exam tip: calculate both components separately.
प्राकृतिक वृद्धि 600 है और शुद्ध प्रवास ऋणात्मक 200 है इसलिए कुल वृद्धि 400 है। परीक्षा में हर घटक अलग निकालें। / Natural increase is 600 and net migration is negative 200 so total growth is 400. Exam tip: calculate each component separately.
प्राकृतिक वृद्धि 900 है और ऋणात्मक प्रवास 600 घटाता है इसलिए कुल परिवर्तन 300 है। परीक्षा में प्रवास का चिन्ह ध्यान से लगाएं। / Natural increase is 900 and negative migration subtracts 600 so total change is 300. Exam tip: apply the migration sign carefully.
वास्तविक परिवर्तन (600-250+150-200=300) है। परीक्षा में प्रवास को जोड़ना और घटाना न भूलें। / Actual change is (600-250+150-200=300). Exam tip: do not forget to add and subtract migration.
प्राकृतिक परिवर्तन ऋणात्मक 150 है और प्रवास 300 जोड़ता है इसलिए कुल वृद्धि 150 है। परीक्षा में प्राकृतिक कमी को प्रवास से संतुलित करना समझें। / Natural change is negative 150 and migration adds 300 so total increase is 150. Exam tip: understand how migration can balance natural decrease.
(600-350=250) इसलिए शुद्ध प्रवास सकारात्मक 250 है। परीक्षा में आव्रजन अधिक हो तो जनसंख्या बढ़ सकती है। / (600-350=250) so net migration is positive 250. Exam tip: when in migration is higher population can rise.
मृत्यु जन्म से 60 अधिक हैं इसलिए प्राकृतिक परिवर्तन कमी दिखाएगा। परीक्षा में अधिक मृत्यु को ऋणात्मक परिवर्तन से जोड़ें। / Deaths are 60 more than births so natural change shows decrease. Exam tip: connect higher deaths with negative change.
जनसंख्या में वृद्धि = \(26000-25000=1000\) है। वृद्धि दर = \(\frac{1000}{25000}\times100=4\%\) होगी, इसलिए सही उत्तर \(4\%\) है। \(5\%\) लेने पर वृद्धि 1250 होती, जो यहाँ की वास्तविक वृद्धि 1000 से अधिक है। परीक्षा टिप: प्रतिशत वृद्धि निकालते समय प्रारम्भिक (पुरानी) जनसंख्या को हर में रखें। / The population increase is \(26000-25000=1000\). Therefore, the growth rate is \(\frac{1000}{25000}\times100=4\%\), so \(4\%\) is correct. A rate of \(5\%\) would mean an increase of 1250, not 1000. Exam tip: use the initial (old) population as the denominator for percentage growth.
प्राकृतिक वृद्धि 1500 है और ऋणात्मक प्रवास 800 घटाता है इसलिए कुल वृद्धि 700 है। परीक्षा में प्रवास का चिन्ह ध्यान से लगाएं। / Natural increase is 1500 and negative migration subtracts 800 so total growth is 700. Exam tip: apply the migration sign carefully.
प्राकृतिक वृद्धि 1600 है और ऋणात्मक प्रवास 900 घटाता है इसलिए कुल वृद्धि 700 है। परीक्षा में प्रवास का चिन्ह सही लगाएं। / Natural increase is 1600 and negative migration subtracts 900 so total growth is 700. Exam tip: apply the migration sign correctly.
प्राकृतिक वृद्धि 1400 है और शुद्ध प्रवास ऋणात्मक 400 है इसलिए कुल वृद्धि 1000 है। परीक्षा में प्रवास को अलग चरण में गिनें। / Natural increase is 1400 and net migration is negative 400 so total growth is 1000. Exam tip: count migration as a separate step.
पूर्ण वृद्धि नई जनसंख्या से पुरानी जनसंख्या घटाने पर मिलती है। परीक्षा में वास्तविक अंतर को पूर्ण वृद्धि कहें। / Absolute growth is found by subtracting old population from new population. Exam tip: call the actual difference absolute growth.
वृद्धि 10 लाख है और \( \frac{10}{50}\times100=20 \) प्रतिशत है। परीक्षा में प्रतिशत के लिए वृद्धि को आधार से भाग दें। / Increase is 10 lakh and \( \frac{10}{50}\times100=20 \) percent. Exam tip: divide increase by base for percentage.
75 लाख में से 60 लाख घटाने पर 15 लाख वृद्धि मिलती है। परीक्षा में अंतिम और प्रारंभिक संख्या का अंतर लें। / Subtracting 60 lakh from 75 lakh gives 15 lakh increase. Exam tip: take the difference between final and initial number.
मृत्यु जन्म से 250 अधिक हैं इसलिए प्राकृतिक परिवर्तन ऋणात्मक होगा। परीक्षा में अधिक मृत्यु को कमी से जोड़ें। / Deaths are 250 more than births so natural change will be negative. Exam tip: connect higher deaths with decline.
मृत्यु जन्म से 200 अधिक हैं इसलिए प्राकृतिक परिवर्तन ऋणात्मक होगा। परीक्षा में अधिक मृत्यु को कमी से जोड़ें। / Deaths are 200 more than births so natural change will be negative. Exam tip: connect higher deaths with decline.
कुल परिवर्तन सभी जोड़ने और घटाने वाले घटकों से तय होता है। परीक्षा में only natural change से निष्कर्ष न निकालें। / Total change depends on all adding and reducing components. Exam tip: do not conclude only from natural change.
जनसंख्या में वास्तविक वृद्धि = 12600 − 12000 = 600। प्रतिशत वृद्धि = \(\frac{600}{12000}\times100=5\%\)। इसलिए सही उत्तर 5 प्रतिशत है। 6 प्रतिशत वृद्धि को कुल नई जनसंख्या के आधार पर लेने जैसी गलती से आ सकता है; प्रतिशत वृद्धि के लिए हमेशा प्रारम्भिक जनसंख्या आधार होती है। परीक्षा टिप: पहले वृद्धि ज्ञात करें, फिर उसे पुरानी जनसंख्या से भाग देकर 100 से गुणा करें। / Actual population increase = 12600 − 12000 = 600. Percentage growth = \(\frac{600}{12000}\times100=5\%\). Therefore, 5 percent is correct. A value such as 6 percent may result from using the new total population as the base, but percentage growth is calculated using the initial population. Exam tip: first find the increase, divide it by the original population, and multiply by 100.
A. 6 लाख की कमी और 10 प्रतिशत घटाव/Decrease of 6 lakh and 10 percent decline
Explanation
Simple Explanation
कमी 6 लाख है और \( \frac{6}{60}\times100=10 \) प्रतिशत घटाव है। परीक्षा में घटाव को वृद्धि न लिखें। / Decrease is 6 lakh and \( \frac{6}{60}\times100=10 \) percent decline. Exam tip: do not write decline as growth.
B. पूर्ण वृद्धि ऋणात्मक 400 है/Absolute growth is negative 400
Explanation
Simple Explanation
बाद की जनसंख्या कम है इसलिए वास्तविक अंतर ऋणात्मक है। परीक्षा में घटाव की दिशा ध्यान रखें। / Later population is lower so the actual difference is negative. Exam tip: note the direction of subtraction.
(1200-800-600=-200) इसलिए कुल जनसंख्या 200 घटेगी। परीक्षा में ऋणात्मक प्रवास को घटाएं। / (1200-800-600=-200) so total population will decrease by 200. Exam tip: subtract negative migration.
(1000-600+200=600) इसलिए कुल वृद्धि 600 होगी। परीक्षा में जन्म से मृत्यु घटाकर शुद्ध प्रवास जोड़ें। / (1000-600+200=600) so total growth will be 600. Exam tip: subtract deaths from births and add net migration.
\(24000 \div 600 = 40\) इसलिए क्षेत्रफल 40 वर्ग किलोमीटर है। परीक्षा में क्षेत्रफल के लिए जनसंख्या को घनत्व से भाग दें। / \(24000 \div 600 = 40\) so area is 40 square kilometres. Exam tip: divide population by density to find area.
D. 400 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर/400 persons per square kilometre
Explanation
Simple Explanation
\(36000 \div 90 = 400\) इसलिए घनत्व 400 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर है। परीक्षा में गणना के बाद सही इकाई जोड़ें। / \(36000 \div 90 = 400\) so the density is 400 persons per square kilometre. Exam tip: add the correct unit after calculation.
C. 400 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर/400 persons per square kilometre
Explanation
Simple Explanation
\(24000 \div 60 = 400\) इसलिए घनत्व 400 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर होगा। परीक्षा में शून्यों को सरल करके भाग करें। / \(24000 \div 60 = 400\) so the density will be 400 persons per square kilometre. Exam tip: simplify zeros before division.
C. 200 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर/200 persons per square kilometre
Explanation
Simple Explanation
\(6000 \div 30 = 200\) इसलिए घनत्व 200 व्यक्ति प्रति वर्ग किलोमीटर है। परीक्षा में शून्य हटाकर सरल भाग करें। / \(6000 \div 30 = 200\) so the density is 200 persons per square kilometre. Exam tip: simplify division carefully.
A. पश्चिमी राजस्थान और आसपास के शुष्क भाग/Western Rajasthan and nearby dry parts
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी राजस्थान और आसपास के भाग कम वर्षा वाले क्षेत्र हैं। परीक्षा में कम वर्षा की सीमा को मरुस्थलीय क्षेत्रों से जोड़ें। / Western Rajasthan and nearby areas are low rainfall regions. Exam tip: connect low rainfall with desert areas.
ये संकेत हिमाद्री या महान हिमालय की पहचान हैं। परीक्षा में ऊंचाई और ग्रेनाइट कोर को हिमाद्री से जोड़ें। / These clues identify Himadri or Great Himalaya. Exam tip: connect height and granite core with Himadri.
\((a+b)(a-b)\) में मध्य के पद \(-ab\) और \(+ab\) कट जाते हैं, इसलिए परिणाम \(a^2-b^2\) होता है। \((a+b)^2\) में \(+2ab\) आता है। परीक्षा टिप: विपरीत चिह्न वाले समान द्विपदों को अंतर के वर्ग के रूप में पहचानें। / In \((a+b)(a-b)\), the middle terms \(-ab\) and \(+ab\) cancel, leaving \(a^2-b^2\). In \((a+b)^2\), a \(+2ab\) term appears. Exam tip: identify same binomials with opposite signs as a difference of squares.
D. महिला राजनीतिक संगठन की व्यापकता/Spread of women's political organisation
Explanation
Simple Explanation
क्लबों की संख्या महिलाओं की सक्रियता और संगठन दिखाती है। परीक्षा में संख्या को अर्थ से जोड़ें। / The number of clubs shows women's activity and organisation. Exam tip: connect the number with meaning.
C. महिलाओं की संगठित राजनीतिक भागीदारी व्यापक थी/Organised political participation of women was widespread
Explanation
Simple Explanation
क्लबों की संख्या महिला राजनीतिक सक्रियता दिखाती है। परीक्षा में संख्या को केवल रटने के बजाय अर्थ से जोड़ें। / The number of clubs shows women's political activism. Exam tip: connect the number with its meaning.
B. यह संगठित राजनीतिक गतिविधि थी/It was organized political activity
Explanation
Simple Explanation
कई क्लबों का बनना संगठन का प्रमाण है। संख्या को महिला राजनीतिक सक्रियता से जोड़ें। / Formation of many clubs is evidence of organization. Link the number with women's political activity.
A. महिला राजनीतिक गतिविधि व्यापक थी/Women's political activity was widespread
Explanation
Simple Explanation
क्लबों की संख्या महिलाओं की संगठित भागीदारी दिखाती है। परीक्षा में संख्या को गतिविधि से जोड़ें। / The number of clubs shows organised participation of women. Exam tip: connect the number with activity.
A. महिलाओं में व्यापक राजनीतिक संगठन की कोशिश थी/There was an effort of broad political organization among women
Explanation
Simple Explanation
लगभग 60 क्लबों की संख्या महिला राजनीतिक गतिविधि का विस्तार दिखाती है। संख्या को संगठन से जोड़ें। / The number of about 60 clubs shows expansion of women's political activity. Link the number with organization.
C. क्योंकि एस्टेट आधारित मतदान में उसकी संख्या प्रभावहीन हो सकती थी/Because voting by estate could make its larger number ineffective
Explanation
Simple Explanation
प्रतिनिधियों की संख्या तभी शक्ति बनती जब हर प्रतिनिधि का वोट गिना जाता। इसलिए पद्धति संख्या से अधिक निर्णायक थी। / The number of deputies became power only if each deputy's vote was counted. So the method was more decisive than number.
C. क्योंकि एस्टेट आधारित मतदान संख्या के लाभ को निष्प्रभावी कर सकता था/Because estate based voting could neutralize the advantage of numbers
Explanation
Simple Explanation
प्रतिनिधि संख्या अधिक थी पर एक एस्टेट एक वोट से प्रभाव घट जाता था। संख्या और मतदान पद्धति अलग तथ्य हैं। / The number of deputies was higher but one estate one vote reduced its effect. Number and voting method are separate facts.
B. क्योंकि एस्टेट आधारित मतदान में उनकी संख्या का लाभ कम हो जाता था/Because estate based voting reduced the advantage of their numbers
Explanation
Simple Explanation
संख्या अधिक होने पर भी एक एस्टेट एक वोट से तृतीय एस्टेट कमजोर होता था। इसे मतदान विवाद से जोड़ें। / Even with more numbers the Third Estate became weak under one estate one vote. Link it with the voting dispute.
A. क्योंकि प्रतिनिधियों की संख्या वोट में सीधे नहीं बदलती थी/Because the number of representatives did not directly turn into votes
Explanation
Simple Explanation
मतदान एस्टेट से होता तो संख्या का लाभ खत्म हो जाता था। यही तृतीय एस्टेट का मुख्य विरोध था। / If voting was by estate the advantage of numbers disappeared. This was the main objection of the Third Estate.
B. क्योंकि मतदान अभी भी एस्टेट के आधार पर हो सकता था/Because voting could still be by estate
Explanation
Simple Explanation
प्रतिनिधि अधिक थे पर एक एस्टेट एक वोट की पद्धति से असर कम होता था। इसे प्रतिनिधित्व विवाद समझें। / Representatives were more but one estate one vote reduced their effect. Understand this as a representation dispute.
211 से 260 तक कुल
50 संख्याएँ हैं। समान्तर श्रेणी का योग
a
सूत्र
\(S=\frac{n}{2}(पहला\ पद+अंतिम\ पद)\) लगाने पर
\(S=\frac{50}{2}(211+260)=25\times471=11775\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। 11675 जैसी निकट राशि प्रायः पदों की संख्या गलत गिनने पर मिल सकती है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या हमेशा \(अंतिम-प्रथम+1\) लें। / There are 50 terms from 211 to 260, inclusive. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(\text{first term}+\text{last term})\), we get \(S=\frac{50}{2}(211+260)=25\times471=11775\). Hence, option B is correct. A nearby value such as 11675 may result from counting the number of terms incorrectly. Exam tip: when both endpoints are included, use \(\text{last}-\text{first}+1\) for the number of terms.
यहाँ \(S_k\) प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{n+3}-S_{n-2}\) में \(1\) से \(n-2\) तक के पद कट जाते हैं और शेष \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=5n+5\) बचता है। अतः \(5n+5=760\), जिससे \(5n=755\) और \(n=151\) मिलता है। \(152\) लेने पर योगांतर \(765\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो आंशिक योगों का अंतर निकालते समय केवल बीच के शेष पद लिखें। / Here, \(S_k\) denotes the sum of the first \(k\) natural numbers. In \(S_{n+3}-S_{n-2}\), the terms from \(1\) to \(n-2\) cancel, leaving \((n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=5n+5\). Thus, \(5n+5=760\), so \(5n=755\) and \(n=151\). If \(n=152\), the difference would be \(765\), so it is not correct. Exam tip: when subtracting two partial sums, write only the uncancelled consecutive terms.
101 से 160 तक के योग के लिए पहले 1 से 160 तक के योग में से 1 से 100 तक का योग घटाएँ। अतः \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\)। इसलिए सही उत्तर 7830 है। 7780 जैसे विकल्प सामान्यतः घटाव या गुणा में छोटी गणना-त्रुटि से मिलते हैं। परीक्षा टिप: किसी भी लगातार प्राकृतिक संख्याओं के अंतराल का योग निकालने में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) का उपयोग करें। / To find the sum from 101 to 160, subtract the sum from 1 to 100 from the sum from 1 to 160. Thus, \(S_{160}-S_{100}=\frac{160\times161}{2}-\frac{100\times101}{2}=12880-5050=7830\). Hence, 7830 is the correct answer. An option such as 7780 can result from a small subtraction or multiplication error. Exam tip: for a range of consecutive natural numbers, use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\).
दोनों समीकरण जोड़ने पर \(2S_n=1296\), इसलिए \(S_n=648\)। समीकरणों को जोड़कर \(S_n\) जल्दी मिलता है। / Adding the two equations gives \(2S_n=1296\), so \(S_n=648\). Adding equations gives \(S_n\) quickly.
\(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\) इसलिए (n=120) है। \(2S_n\) को क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{120}=\frac{120\times121}{2}=7260\), so (n=120). Match \(2S_n\) with the product of consecutive numbers.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{200}=\frac{200\times201}{2}=20100\) और \(S_{160}=\frac{160\times161}{2}=12880\)। इसलिए अपेक्षित अंतर \(20100-12880=7220\) है। यह वास्तव में 161 से 200 तक की संख्याओं का योग है; इसलिए 7120 जैसा विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग अलग-अलग निकालने के बजाय शेष क्रम 161 से 200 पहचानकर भी जाँच कर सकते हैं। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{200}=\frac{200\times201}{2}=20100\) and \(S_{160}=\frac{160\times161}{2}=12880\). Therefore, the required difference is \(20100-12880=7220\). It is also the sum of the numbers from 161 to 200, so an option such as 7120 is incorrect. Exam tip: You can verify such a difference by recognising the remaining sequence from 161 to 200.
कुल ब्लॉक \(S_r=3160\) हैं और \(S_{79}=3160\), इसलिए पंक्तियां (79) हैं। ऐसी आकृति में कुल वस्तुएं त्रिभुज संख्या बनाती हैं। / Total blocks are \(S_r=3160\), and \(S_{79}=3160\), so there are (79) rows. Such figures form a triangular number.
अंतर \(S_{120}-S_{60}=7260-1830=5430\) है। तुलना में दोनों योगों को अलग-अलग निकालें। / The difference is \(S_{120}-S_{60}=7260-1830=5430\). In comparison questions, find both sums separately.
योग \(S_{160}-S_{120}=12880-7260=5620\) है। (121) से शुरू होने पर (120) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{160}-S_{120}=12880-7260=5620\). When starting from (121), subtract the sum up to (120).
\(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460\) इसलिए (n=104) है। \(2S_n\) को क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{104}=\frac{104\times105}{2}=5460\), so (n=104). Match \(2S_n\) with the product of consecutive numbers.
58 से 112 तक कुल पदों की संख्या
\(112-58+1=55\) है। समांतर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)\) होगा। अतः \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\)। इसलिए सही उत्तर 4675 है। 4735 जैसा विकल्प पदों की संख्या या औसत में गलत गणना करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: दोनों सिरों सहित पदों की संख्या निकालते समय हमेशा \(+1\) लगाएँ। / There are \(112-58+1=55\) terms from 58 to 112. Using the arithmetic progression sum formula, \(S=\frac{n}{2}(a+l)\), we get \(S=\frac{55}{2}(58+112)=\frac{55}{2}\times170=4675\). Hence, 4675 is correct. A value such as 4735 can result from an error in counting terms or finding the average. Exam tip: always include \(+1\) when counting terms from one endpoint to another.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\)। इसलिए \(S_{40}+S_{60}-S_{50}=820+1830-1275=1375\)। 1385 जैसा उत्तर प्रायः किसी एक योग की गणना में त्रुटि से आता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक \(S_n\) का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\), \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\), and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_{40}+S_{60}-S_{50}=820+1830-1275=1375\). An answer such as 1385 can result from an error while evaluating one of the sums. Exam tip: calculate each \(S_n\) separately before performing the final addition and subtraction.
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। अतः \(S_{60}:S_{30}=1830:465=122:31\)। विकल्प \(61:15\) निकट लगता है, पर यह दिए गए योगों का सरलीकृत अनुपात नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों योग निकालने के बजाय \(\frac{60\times61}{30\times31}\) में समान गुणकों को काटकर भी अनुपात ज्ञात किया जा सकता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Hence, \(S_{60}:S_{30}=1830:465=122:31\). Option \(61:15\) may appear close, but it is not the simplified ratio of the two sums. Exam tip: you can also cancel common factors directly in \(\frac{60\times61}{30\times31}\) instead of calculating both sums fully.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\) से \(n=95\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं, अर्थात् \(96+97+98+99+100\), का योग है, जो \(490\) है। \(495\) तब मिलता यदि 101 को भी जोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\), we get \(n=95\). Hence, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five natural numbers: \(96+97+98+99+100=490\). The value \(495\) would result if 101 were also included. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) always represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\)। अतः अनुपात \(4095:1830=273:122\) है। \(3:2\) केवल 90 और 60 का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों का अनुपात निकालते समय \(n(n+1)/2\) में \(n+1\) गुणक को भी अवश्य शामिल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\). Therefore, \(4095:1830=273:122\). The ratio \(3:2\) is only the ratio of 90 to 60, not of their sums. Exam tip: When comparing such sums, include the \(n+1\) factor in \(n(n+1)/2\).
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\)। इसलिए अंतर \(1830-820=1010\) है। यह \(41\) से \(60\) तक की संख्याओं के योग के बराबर भी है; \(1000\) लेने पर यह अंतर सही नहीं मिलता। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर पूछने पर बीच की बची हुई संख्याओं का योग भी लिया जा सकता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\). Therefore, the difference is \(1830-820=1010\). It is also the sum of the numbers from \(41\) to \(60\); \(1000\) does not give the correct difference. Exam tip: the difference of two such sums can be found by adding the remaining consecutive terms directly.
\(3160=S_{79}\), इसलिए \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\) नहीं बल्कि सही मान (385) है। विकल्पों को अंतिम गणना से जरूर मिलाएं। / \(3160=S_{79}\), so \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\), not (390). Always match options with the final calculation.
(51) से (60) तक कुल 10 क्रमागत संख्याएँ हैं। इनका औसत \(\frac{51+60}{2}=55.5\) है, इसलिए योग \(10\times55.5=555\) होगा। विकल्प 545 सही नहीं है, क्योंकि वह इन 10 संख्याओं के सही औसत से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में क्रमागत संख्याओं का योग निकालने के लिए \(\text{पदों की संख्या}\times\text{पहला और अंतिम पद का औसत}\) विधि अपनाएँ। / There are 10 consecutive numbers from 51 to 60. Their average is \(\frac{51+60}{2}=55.5\), so the sum is \(10\times55.5=555\). Option 545 is incorrect because it does not result from the correct average of these 10 numbers. Exam tip: for consecutive terms, use \(\text{number of terms}\times\text{average of first and last terms}\).
पहली 70 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 61 से 70 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर \(=61+62+\cdots+70\)। यह 10 पदों की समांतर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\)। इसलिए सही उत्तर 655 है। 645 सही नहीं है, क्योंकि 61 से 70 तक के 10 पदों का औसत \(65.5\) है, अतः योग \(10\times65.5=655\) होगा। परीक्षा टिप: दो क्रमिक ‘पहले n’ योगों का अंतर बीच में बचने वाले पदों का योग होता है। / Subtracting the sum of the first 60 natural numbers from the sum of the first 70 leaves only the numbers from 61 to 70. Thus, the difference is \(61+62+\cdots+70\). This is an arithmetic progression with 10 terms, so its sum is \(\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\). Therefore, 655 is correct. 645 is incorrect because the average of the 10 numbers from 61 to 70 is \(65.5\), giving a total of \(10\times65.5=655\). Exam tip: The difference between two “first n” sums equals the sum of the terms left in between.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अतः आवश्यक अंतर \(1830-210=1620\) है। यह वास्तव में 21 से 60 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर शेष पदों की सीमा अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(1830-210=1620\). It is also the sum of the natural numbers from 21 to 60. Exam tip: when subtracting two partial sums, check the range of terms left over.
अंतर (61+62+63+64=250) है। पास के दो योगों का अंतर बीच के पदों का योग होता है। / The difference is (61+62+63+64=250). The difference of two nearby sums equals the sum of the terms in between.
पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 60 भी शामिल है। अतः पहली 59 संख्याओं का योग प्राप्त करने के लिए 60 घटाएँ: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\)। इसलिए सही उत्तर 1770 है। 1780 प्राप्त करने के लिए 50 घटाना पड़ता, जो यहाँ अंतिम पद नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योग में एक पद कम करने पर वही अंतिम पद घटता है। / The sum of the first 60 natural numbers includes the last number, 60. Therefore, subtract 60 to get the sum of the first 59 numbers: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\). Hence, 1770 is correct. Getting 1780 would mean subtracting 50, which is not the last term here. Exam tip: when reducing a consecutive natural-number sum by one term, subtract the omitted last term.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(n=60\) रखने पर \(\frac{60\times61}{2}=30\times61=1830\) प्राप्त होता है। \(1800\) जैसी संख्या \(60\times60/2\) लेने से आ सकती है, लेकिन सूत्र में \(n+1=61\) अवश्य आता है। परीक्षा टिप: क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Substituting \(n=60\), we get \(\frac{60\times61}{2}=30\times61=1830\). A value such as \(1800\) may result from incorrectly using \(60\times60/2\), but the formula must include \(n+1=61\). Exam tip: for consecutive natural numbers starting from 1, use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
160वाँ मान पाने के लिए n(n+6)=160 हल करते हैं। अतः n²+6n−160=0, यानी (n−10)(n+16)=0। n एक धनात्मक पद-संख्या है, इसलिए n=10 होगा। n=−16 मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: पद-संख्या वाले प्रश्नों में केवल धनात्मक पूर्णांक मूल ही स्वीकार करें। / To obtain the value 160, solve n(n+6)=160. This gives n²+6n−160=0, or (n−10)(n+16)=0. Since n is a positive term number, n=10. The root n=−16 is not valid. Exam tip: for term-number questions, accept only positive integer roots.
क्रमागत पदों में संबंध \(a_{n+1}=2a_n+4\) है: \(4\to12\to28\to60\). इस पुनरावृत्ति का पद \(a_n=2^{n+2}-4\) होता है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(8-4=4\) और \(n=2\) पर \(16-4=12\) मिलता है। विकल्प \(2^{n+2}+4\) में पहला पद 12 आएगा, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: घातांकीय क्रम में पहले दो पद रखकर सूत्र की त्वरित जाँच करें। / The consecutive terms satisfy \(a_{n+1}=2a_n+4\): \(4\to12\to28\to60\). The corresponding nth term is \(a_n=2^{n+2}-4\). Checking, for \(n=1\), it gives \(8-4=4\), and for \(n=2\), it gives \(16-4=12\). The option \(2^{n+2}+4\) gives 12 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: substitute the first two values of \(n\) to check a proposed sequence formula quickly.
यहाँ \(a_n=15n\) है और (15n=105) से (n=7) है। परीक्षा में गुणज पहचानकर पद संख्या निकालें। / Here \(a_n=15n\), and (15n=105) gives (n=7). In exams, identify the multiple and find the term number.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 20 और सार्वांतर 20 है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=20n\) होगा। \(20n=160\) से \(n=8\) प्राप्त होता है, इसलिए 160 आठवाँ पद है। सातवाँ पद 140 होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को प्रत्येक पद के गुणक से मिलाएँ या nवाँ पद का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term 20 and common difference 20. Therefore, its nth term is \(a_n=20n\). From \(20n=160\), we get \(n=8\), so 160 is the eighth term. The seventh term is 140, so it is not correct. Exam tip: To find a term number, use the nth-term formula or identify the multiple of the common factor.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 20 और सार्वांतर 20 है। अतः सातवाँ पद \(a_7=20+(7-1)\times20=140\) होगा। 120 छठा पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद संख्या लिखकर गिनने या \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र लगाने से गलती नहीं होती। / This is an arithmetic progression with first term 20 and common difference 20. Therefore, \(a_7=20+(7-1)\times20=140\). The number 120 is the sixth term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write the term number or use \(a_n=a+(n-1)d\) to avoid counting errors.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=15\) और सार्वांतर \(d=15\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=15+(n-1)15=15n\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 0 मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n=1\) रखकर जाँचें कि प्रथम पद सही आ रहा है या नहीं। / This is an arithmetic progression with first term \(a=15\) and common difference \(d=15\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=15+(n-1)15=15n\). In option B, putting \(n=1\) gives the first term as 0, so it is incorrect. Exam tip: Substitute \(n=1\) in a proposed rule to check whether it gives the first term.
शून्य पद ज्ञात करने के लिए दिए गए व्यंजक में \(a_n=0\) रखें: \(60-6n=0\)। अतः \(6n=60\), इसलिए \(n=10\)। इसलिए 10वाँ पद शून्य है। 9वाँ पद शून्य नहीं होगा, क्योंकि \(a_9=60-6(9)=6\)। परीक्षा टिप: किसी पद का मान शून्य पूछे जाने पर पहले \(a_n=0\) रखकर \(n\) हल करें। / To find the zero term, set \(a_n=0\) in the given expression: \(60-6n=0\). Thus, \(6n=60\), so \(n=10\). Therefore, the 10th term is zero. The 9th term is not zero because \(a_9=60-6(9)=6\). Exam tip: When asked for a zero term, first put \(a_n=0\) and solve for \(n\).
\(15\cdot2^{n-1}=3840\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(15\cdot2^{n-1}=3840\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, factor first and compare powers.
\(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=9\), और \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=9\), and \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\). The same multiplier applies over the same gap.
पद (9,18,36,72,144,288,576,1152) हैं, इसलिए (600) से छोटा सबसे बड़ा पद (576) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (9,18,36,72,144,288,576,1152), so the greatest term below (600) is (576). In boundary questions, check the next term too.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और पद (640,320,160,80,40,20,10,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the terms are (640,320,160,80,40,20,10,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\)। इसलिए सही उत्तर 7665 है। 7680 जैसी संख्या तब आ सकती है जब सूत्र में घटाव या अंतिम गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग से लिखकर फिर योग का सूत्र लगाएँ। / For this GP, the first term is \(a=15\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\). Hence, 7665 is correct. A value such as 7680 can result from an error in subtraction or in the final calculation. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting in the GP sum formula.
\(10\cdot4^{n-1}=10240\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(10\cdot4^{n-1}=10240\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
पद (2,10,50,250,1250,6250) हैं, इसलिए (6000) से छोटा सबसे बड़ा पद (1250) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (2,10,50,250,1250,6250), so the greatest term below (6000) is (1250). The next term crosses the limit.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(160=10r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=5\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_6=a_2r^4\), so \(160=10r^4\) and (r=2), hence \(a_1=5\). Divide by the ratio to move backward.
पद \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\) हैं, इसलिए यह सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\), so it is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
एक संयंत्र में पहले दिन 160 इकाइयों का उत्पादन होता है और प्रत्येक अगले दिन उत्पादन पिछले दिन का \(\frac{3}{2}\) गुना हो जाता है। एक विद्यार्थी ने पहले चार दिनों का कुल उत्पादन 1120 बताया, क्योंकि उसने प्रतिदिन 160 इकाइयाँ जोड़ दीं। सही निष्कर्ष कौन-सा है?
C. विद्यार्थी ने गुणोत्तर श्रेणी को समांतर श्रेणी समझ लिया; सही कुल उत्पादन 1300 इकाइयाँ है।/The student treated a geometric progression as an arithmetic progression; the correct total production is 1300 units.
Explanation
Simple Explanation
उत्पादन क्रमशः 160, 240, 360 और 540 है; इसलिए योग \(160+240+360+540=1300\) है। 1120 में 160 का स्थिर अंतर माना गया है, जो AP की गलती है। परीक्षा में पहले समान अनुपात जाँचें। / The outputs are 160, 240, 360 and 540, so \(160+240+360+540=1300\). The total 1120 assumes a fixed increase of 160, which is arithmetic progression reasoning. Exam tip: verify the common ratio first.
\(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\) इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_3}=r^3=\frac{160}{20}=8\), so (r=2). In exams the ratio of distant terms gives a power based on position gap.
पहला पद (60) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (60) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(30\times\frac{1}{2}=15\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(30\times\frac{1}{2}=15\). In exams apply fractional ratios carefully.
पहले चार पदों का योग (15+30+60+120=225) है और औसत \(\frac{225}{4}\) है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। औसत के प्रश्न में पहले योग निकालें। / The sum of the first four terms is (15+30+60+120=225), and the average is \(\frac{225}{4}\), so none of the given options is correct. In average questions, first find the sum.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(20\times\frac{1}{2}=10\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(20\times\frac{1}{2}=10\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात \(r=40\div10=4\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=40\div10=4\). In exams divide the second term by the first term for (r).
\(a_5\), \(a_3\) और \(a_7\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_5=\frac{60}{2}=30\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_5\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_7\), so \(a_5=\frac{60}{2}=30\). The average of symmetric terms is the middle term.
यहाँ (a=60) और (d=-6), इसलिए (a_{12}=60+11(-6)=-6)। घटती श्रेढ़ी में पद ऋणात्मक भी हो सकते हैं। / Here (a=60) and (d=-6), so (a_{12}=60+11(-6)=-6). In a decreasing progression, terms can become negative.
अंतर (-5) है, इसलिए पद (65,60,55,50,45,40) हैं। परीक्षा में पहला पद भी गिनें। / The difference is (-5), so the terms are (65,60,55,50,45,40). In exams, include the first term while counting.
\(7\cdot2^{n-1}+4\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(7\cdot2^{n-1}+4\) gives the given terms. In exams, also check constant addition in geometric forms.
सामान्य पद \(a_n=68-8n\) है और (68-8n=-4) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=68-8n\), and (68-8n=-4) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
दिया है कि \(a_n=60-5n\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=9\) रखें: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 20 तब मिलता यदि \(5\times 9\) को गलत तरीके से 40 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या के स्थान पर \(n\) का मान सावधानी से रखें। / Given \(a_n=60-5n\), substitute \(n=9\) to find the ninth term: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\). Therefore, 15 is correct. The value 20 could result from incorrectly calculating \(5\times9\) as 40. Exam tip: substitute the term number for \(n\) carefully in a general-term formula.
