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समीकरण के हल (3) और (4) हैं इसलिए दोनों समुच्चय समान हैं। पहले समीकरण हल करें फिर अवयव मिलाएं। / The solutions of the equation are (3) and (4), so the two sets are equal. First solve the equation and then match the elements.
(2) और (5) निश्चित हैं तथा (7) हटेगा, बाकी (4) अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / (2) and (5) are fixed and (7) is excluded, while the remaining (4) elements are free. Hence the number is \(2^4=16\).
यहाँ 2 को शामिल और 7 को बाहर मान लिया गया है। शेष तत्व {3,5} स्वतंत्र हैं — प्रत्येक के दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अत: कुल उपसमुच्चय = \(2^{2}=4\)। नजदीकी गलती: विकल्प D (8) उस त्रुटि से आता है जहाँ तीन स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (यानी 2 को फिक्स न किया जाए)। परीक्षा-सुझाव: पहले किन तत्वों को फिक्स/निकालना है तय कर लें, फिर बचे तत्वों पर \(2^{\text{free elements}}\) लागू करें। / Fix 2 as included and 7 as excluded. The remaining elements {3,5} are free, each can be either included or excluded, so number of subsets = \(2^{2}=4\). Closest distractor: 8 arises if one mistakenly treats all three other elements as free (i.e. forgets that 2 is fixed). Exam tip: first fix included/excluded elements, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) for the count.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव बनते हैं और \({{\varnothing}}\) (A) का उपसमुच्चय है। पावर सेट में अवयव हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), and \({{\varnothing}}\) is a subset of (A). In a power set, elements are always subsets.
किसी भी उपसमुच्चय के लिए अवयवों का चयन क्रमहीन होता है, इसलिए यह संयोजन की समस्या है। 5 तत्वों में से 3 चुनने के तरीके की संख्या \\(
\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=10
\\) है। इसलिए सही उत्तर 10 है। निकटतम भ्रामक विकल्प 15 इसलिए गलत है क्योंकि वह किसी गलत संयोजन या अनुचित गणना का परिणाम हो सकता है — वास्तविक सही संयोजन 5 में से 3 चुनने पर 10 ही देता है। परीक्षा सुझाव: हमेशा यह याद रखें कि उपसमुच्चयों के लिए क्रम मायने नहीं रखता, अतः संयोजन \\(\binom{n}{r}\) का प्रयोग करें। / Selection of elements for a subset is unordered, so this is a combinations problem. The number of ways to choose 3 elements from 5 is \\(
\binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!2!}=10
\\). Hence 10 is correct. The closest distractor 15 is incorrect — it comes from a mistaken calculation, not from the correct combination formula for 5 choose 3. Exam tip: for counting r-element subsets of an n-element set always use \\(\binom{n}{r}\) because order does not matter.
(B) (A) और (C) के बीच है और (A=C) है, इसलिए (B) भी उसी के बराबर होगा। उपसमुच्चय शृंखला में बराबरी की स्थिति ध्यान से देखें। / (B) lies between (A) and (C), and (A=C), so (B) must also be equal to them. In subset chains, check equality conditions carefully.
({2}) पूरा एक अवयव है, लेकिन (2) अलग से अवयव नहीं है। नेस्टेड समुच्चय में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण होते हैं। / ({2}) is one whole element, but (2) is not separately an element. Braces are very important in nested sets.
गणित शब्द के अलग अक्षर (ग,ण,ि,त) जैसे लिखने से भ्रम हो सकता है, पर प्रश्न अंग्रेजी शब्द (GANIT) पर है। (G,A,N,I,T) पांच अलग अक्षर हैं। / The word (GANIT) has five distinct letters (G,A,N,I,T). Check whether repeated letters exist before counting.
दोहराए गए अक्षर एक बार गिने जाते हैं, इसलिए (LEVEL) से (L,E,V) मिलते हैं। समुच्चय में पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। / Repeated letters are counted once, so (LEVEL) gives (L,E,V). Repetition is not counted in sets.
\(18=2\times3^2\) है, पर समुच्चय में (3) एक बार लिखा जाता है। गुणनखंड और समुच्चय की गिनती अलग रखें। / \(18=2\times3^2\), but (3) is written once in a set. Keep factorization and set counting separate.
16 के सभी धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 4, 8, 16. प्रश्न में शर्त है कि x सम हो, इसलिए 1 को बाहर कर दिया जाता है और शेष सम भाजक {2,4,8,16} हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें 1 शामिल है जो सम नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि 6 16 का भाजक नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 2 गायब है। परिक्षा-सूत्र: पहले सभी भाजक लिखें, फिर दिए हुए गुण (जैसे सम/विषम) लागू करें। / All positive divisors of 16 are 1, 2, 4, 8, 16. Applying the condition that x is even removes 1, leaving the even divisors {2,4,8,16}. Option B is wrong because it includes 1 (which is odd); C is wrong because 6 is not a divisor of 16; D is wrong because 2 is omitted. Exam tip: list all divisors first, then apply the required property (even/odd, prime, etc.).
A. \(C\subset A\) और \(C\neq A\)/\(C\subset A\) and \(C\neq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{1,3,5,15\}\) है और (C) के सभी अवयव (A) में हैं। अतिरिक्त (15) होने से (C) उचित उपसमुच्चय है। / \(A=\{1,3,5,15\}\), and all elements of (C) are in (A). The extra (15) makes (C) a proper subset.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय अवयव होते हैं, साधारण संख्या (4) नहीं। पावर सेट में अवयव स्वयं उपसमुच्चय होते हैं। / (P(A)) contains subsets of (A) as elements, not the ordinary number (4). Elements of a power set are themselves subsets.
(P(A)) में (A) के सभी उपसमुच्चय होते हैं और दो अवयव चुनने की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। यहां पूरी शक्ति समुच्चय की संख्या नहीं पूछी गई है। / (P(A)) contains all subsets of (A), and the number of two element subsets is \(\binom{4}{2}=6\). The question is not asking the total size of the power set.
यदि (A) (B) का उपसमुच्चय है और दोनों में समान संख्या में अवयव हैं, तो वे बराबर हैं। समान कार्डिनैलिटी यहां महत्वपूर्ण संकेत है। / If (A) is a subset of (B) and both have the same number of elements, they are equal. Equal cardinality is the key clue here.
उचित उपसमुच्चय में (A) और (B) बराबर नहीं हो सकते, इसलिए (n(A)) (7) नहीं होगा। उचित उपसमुच्चय में कम अवयव होने चाहिए। / In a proper subset, (A) and (B) cannot be equal, so (n(A)) cannot be (7). A proper subset must have fewer elements here.
(B) के दोनों अवयव (A) में हैं और (A) में अतिरिक्त अवयव हैं। इसलिए (B) (A) का उचित उपसमुच्चय है। / Both elements of (B) are in (A), and (A) has extra elements. So (B) is a proper subset of (A).
(10<x<16) में (11) से (15) तक प्राकृतिक संख्याएं आती हैं। खुली सीमा में (10) और (16) शामिल नहीं होते। / For (10<x<16), the natural numbers are (11) to (15). Open boundaries do not include (10) and (16).
\(A=\{3,4,5,6\}\) है और ({3,5,6}) इसमें पूरा है पर बराबर नहीं। उचित उपसमुच्चय में कम से कम एक अवयव छूटता है। / \(A=\{3,4,5,6\}\), and ({3,5,6}) lies inside it but is not equal. A proper subset misses at least one element.
A के सदस्य दो वस्तुएँ हैं: रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) और संख्या 1. इसीलिए \(\varnothing\in A\) सत्य है। विकल्प B गलत है क्योंकि A का तत्व 1 है पर {1} (यानी 1 का एक सेट) A का तत्व नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि कोई भी तत्व रिक्त समुच्चय का सदस्य नहीं होता। विकल्प D गलत है क्योंकि {\varnothing,1} बराबर A के है, इसलिए वह A का proper subset नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: सदैव "तत्व (element)" और "उपसमुच्चय (subset)" में अंतर स्पष्ट कर लें। / The set A contains exactly two elements: the empty set \(\varnothing\) and the number 1. Therefore \(\varnothing\in A\) is true. Option B is false because although 1\in A, the set {1} is not an element of A. Option C is false since nothing belongs to the empty set. Option D is false because {\varnothing,1} equals A, so it is not a proper subset of A. Exam tip: always distinguish between an element \(\in\) and a subset \(\subset or \subseteq\) when checking statements.
\(\varnothing\) (A) का अवयव है इसलिए \({\varnothing}\) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) अवयव है, पर (1) अवयव नहीं है। / \(\varnothing\) is an element of (A), so \({\varnothing}\) is a subset of (A). ({1}) is an element, but (1) is not.
(1) हटेगा और (6) निश्चित होगा, बाकी (2,3,4,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय बनते हैं। / (1) is excluded and (6) is fixed, while (2,3,4,5) are free. So \(2^4=16\) subsets are formed.
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और जिनमें (p,q) दोनों नहीं हैं वे \(2^2=4\) हैं। अतः उत्तर (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those containing neither (p) nor (q) are \(2^2=4\). Hence the answer is (16-4=12).
(1,2) दोनों होने पर \(2^2=4\) और दोनों न होने पर \(2^2=4\) विकल्प हैं। कुल (8) उपसमुच्चय बनते हैं। / When both (1,2) are included there are \(2^2=4\) choices, and when neither is included there are \(2^2=4\) choices. Total is (8).
यहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\) है। यदि हम \(4\) को शामिल करना निश्चित कर दें तो शेष तीन तत्व (1,2,3) प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं (शामिल या न शामिल)। अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या \(2^3=8\) होगी। सामान्य गलतियाँ: कभी‑कभी लोग सभी उपसमुच्चयों \(2^4=16\) को ही उत्तर मान लेते हैं, पर प्रश्न केवल उन उपसमुच्चयों के बारे में है जिनमें \(4\) मौजूद है—इसलिए उत्तर आधा होता है। परीक्षा सुझाव: किसी n‑तत्व सेट में किसी विशेष तत्व को अनिवार्य मानने पर उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\). Fixing \(4\) as included leaves three elements (1,2,3), each of which can be either present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. A common error is to use the total number of subsets \(2^4=16\); but the question asks only for subsets that contain 4, which is exactly half of the total. Exam tip: for an n‑element set, the number of subsets containing a given element is \(2^{n-1}\).
अधिकतम दो अवयव का अर्थ (0,1,2) अवयव हैं। संख्या \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) है। / At most two elements means (0,1,2) elements. The count is \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\).
कम से कम तीन अवयव का अर्थ तीन या चार अवयव हैं। संख्या \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\) है। / At least three elements means three or four elements. The count is \(\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=4+1=5\).
\(x^2=9\) के पूर्णांक हल (-3) और (3) हैं। वर्ग वाले समीकरण में ऋणात्मक हल भी जांचें। / The integer solutions of \(x^2=9\) are (-3) and (3). Check the negative solution in square equations too.
A. \(C\subset A\) और \(C\neq A\)/\(C\subset A\) and \(C\neq A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{-4,4\}\) है और \(C=\{4\}\) इसका उचित उपसमुच्चय है। केवल धनात्मक हल लेने से गलती हो सकती है। / \(A=\{-4,4\}\), and \(C=\{4\}\) is its proper subset. Taking only the positive solution can cause an error.
(x-2-5x+6=(x-2)(x-3)) है इसलिए हल (2,3) हैं। पहले समीकरण हल करें फिर समुच्चय लिखें। / (x-2-5x+6=(x-2)(x-3)), so the solutions are (2,3). First solve the equation and then write the set.
पहला कदम समीकरण को गुणनखंडों में लिखना है: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\)। इसलिए हल \(x=1\) और \(x=3\) हैं। चूँकि \(x\in\mathbb{N}\) है, अतः \(A=\{1,3\}\)। दिया गया \(B=\{1\}\) है, जो \(A\) का उपसमुच्चय है पर समान नहीं है, इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है (\(B\subset A,\;B\neq A\))। निकटतम ग़लत विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) में तत्व \(3\) भी है। परिक्षा-सूत्र: जब सेट में \(x\in\mathbb{N}\) दिया हो तो केवल धनात्मक पूर्णांकों को ही हल में रखें और बहुधा समीकरण को गुणनखंडों में विभाजित कर हल निकालें। / Factor the quadratic: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), so the roots are \(x=1\) and \(x=3\). With the restriction \(x\in\mathbb{N}\), we get \(A=\{1,3\}\). Since \(B=\{1\}\), B is a proper subset of A, i.e. \(B\subset A\) and \(B\neq A\). The closest distractor \(A=B\) is incorrect because A contains the additional element 3. Exam tip: always apply the domain restriction (here \(\mathbb{N}\)) and factor quadratics to list all elements of the set.
D. न \(A\subseteq B\) और न \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
(1) (B) में नहीं है और (4) (A) में नहीं है। कुछ साझा अवयव होना उपसमुच्चय के लिए पर्याप्त नहीं है। / (1) is not in (B), and (4) is not in (A). Having some common elements is not enough for subset relation.
समुच्चय \(A\) के सभी अवयव — 2, 4 और 6 — समुच्चय \(B\) में मौजूद हैं। समुच्चय \(B\) में अतिरिक्त अवयव 1 और 8 भी हैं, इसलिए \(A\) और \(B\) समकक्ष नहीं हैं और \(A\) एक उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(B\) के अवयव सभी \(A\) में नहीं हैं; विकल्प (C) गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय समान नहीं हैं; विकल्प (D) गलत है क्योंकि 1 और 8 \(A\) के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी उपसमुच्चय की जाँच के लिए पहले \(A\) के हर तत्व को \(B\) में खोजें और फिर अतिरिक्त तत्वों पर ध्यान दें। / Every element of \(A\) (2, 4, 6) is present in \(B\), while \(B\) contains extra elements 1 and 8. Therefore \(A\) is a proper subset of \(B\). Option B is false because not all elements of \(B\) are in \(A\); C is false because the sets are not equal; D is false because 1 and 8 are not elements of \(A\). Exam tip: to verify subset relations, check membership of each element of the smaller set in the larger set, then look for any extra elements.
(30) से कम (6) के धनात्मक गुणज (6,12,18,24) हैं। कम से कम और कम का अंतर याद रखें। / The positive multiples of (6) less than (30) are (6,12,18,24). Remember the difference between at most and less than.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं। सीमा पर दी संख्या शामिल है या नहीं, यह जांचें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15). Check whether the boundary number is included or not.
24 के सम भाजक वे प्राकृतिक संख्या हैं जो 24 को बिना शेष विभाजित करती हैं और सम होने चाहिए। इन्हें लिखने पर \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\) आता है। विकल्प C में 10 है, जो 24 का भाजक नहीं है, अतः C, A का उपसमुच्चय नहीं है। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प B ({8,12,24}) सभी A के ही तत्व हैं इसलिए सही उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: किसी भी विकल्प को जाँचते समय पहले वास्तविक सेट A के तत्व लिख लें; शून्य समुच्चय हमेशा किसी भी सेट का उपसमुच्चय होता है। / Even divisors of 24 are natural numbers that divide 24 evenly and are even. So \(A=\{2,4,6,8,12,24\}\). Option C contains 10, which is not a divisor of 24, therefore C is not a subset of A. A closest distractor, option B ({8,12,24}), consists entirely of elements of A and thus is a valid subset. Exam tip: list the elements of the given set first and then check membership; remember the empty set is a subset of every set.
(9) के धनात्मक भाजक (1,3,9) हैं। भाजक सूची बनाते समय (1) और संख्या स्वयं को शामिल करें। / The positive divisors of (9) are (1,3,9). While listing divisors, include (1) and the number itself.
({1,2}) (A) का अवयव है, पर इसके अवयव (1,2) से बना समुच्चय (A) का उपसमुच्चय भी हो सकता है; यहां विकल्प असत्य नहीं है। सही असत्य विकल्प नहीं दिखता, इसलिए ध्यान दें कि सभी दिए कथन सत्य हैं। / This set has (1), (2), and ({1,2}) as elements. All four statements are actually true, so this question checks careful reading.
\({1,2}\subseteq A\) के लिए \(2\in A\) होना चाहिए, पर (2) अलग अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / For \({1,2}\subseteq A\), \(2\in A\) must be true, but (2) is not a separate element. Keep element and subset distinct.
समुच्चय \(A\) में कुल 4 अवयव हैं। किसी निश्चित अवयव (यहाँ \(0\)) को शामिल करने वाले प्रत्येक उपसमुच्चय में शेष के तीन अवयवों में से प्रत्येक को शामिल या बहिष्कृत किया जा सकता है। इसलिए विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) होगी और अवयव \(0\) कुल 8 बार आएगा। विकल्प 16 गलत है क्योंकि वह सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^4\) है और उन उपसमुच्चयों को भी गिनती करता है जिनमें \(0\) नहीं है। परीक््षा टिप: किसी भी \(n\)- अवयव वाले समुच्चय में कोई भी निश्चित अवयव \(2^{n-1}\) उपसमुच्चयों में आता है। / Set \(A\) has 4 elements. For a fixed element (here \(0\)), each of the other three elements can be either present or absent in a subset, giving \(2^3=8\) subsets that contain \(0\). Thus \(0\) appears 8 times in total. Option 16 is incorrect because it is the total number of subsets \(2^4\), which also counts subsets without \(0\). Exam tip: An element of an \(n\)-element set appears in exactly \(2^{n-1}\) subsets.
पांच अवयवों वाले समुच्चय में कोई निश्चित अवयव \(2^{4}=16\) उपसमुच्चयों में आता है। एक अवयव निश्चित रखकर बाकी चार को स्वतंत्र मानें। / In a five element set, any fixed element appears in \(2^4=16\) subsets. Fix one element and let the other four vary freely.
दो विषम और दो सम अवयव हैं, और सम योग के लिए विषम अवयवों की संख्या सम होनी चाहिए। कुल \(2\times4=8\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / There are two odd and two even elements, and an even sum needs an even number of odd elements. This gives \(2\times4=8\) subsets.
सभी अवयव विषम हैं, इसलिए विषम योग के लिए उपसमुच्चय में विषम संख्या में अवयव होने चाहिए। \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\) है। / All elements are odd, so an odd sum needs an odd number of elements in the subset. \(\binom{4}{1}+\binom{4}{3}=4+4=8\).
D. \(A\neq B\) और कोई भी दूसरे का उपसमुच्चय नहीं/\(A\neq B\) and neither is a subset of the other
Explanation
Simple Explanation
(A) के अवयव संख्याएं हैं जबकि (B) के अवयव एकल समुच्चय हैं। कोष्ठक बदलने से समुच्चय बदल जाता है। / Elements of (A) are numbers, while elements of (B) are singleton sets. Changing braces changes the set.
(P(A)) में (A) के उपसमुच्चय होते हैं, और ({{1}}) (A) का उपसमुच्चय है। ({1}) (A) का अवयव है, पर पावर सेट का अवयव बनने के लिए उपसमुच्चय होना चाहिए। / (P(A)) contains subsets of (A), and ({{1}}) is a subset of (A). ({1}) is an element of (A), but an element of the power set must be a subset.
(1) निश्चित है, इसलिए बाकी (5) अवयवों में से (2) चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। / (1) is fixed, so choose (2) elements from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{2}=10\).
पहले तत्व 5 को बाहर कर दें; बचे हुए तत्व {1,2,3,4} में से किसी भी दो को चुनना है। इसलिए संख्या है \\(\\binom{4}{2} = 6\\)। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि यह किसी त्रुटिपूर्ण, अधूरा गणना दर्शाता है। विकल्प C (8) गलत है — 8 किसी मान्य \(nCk\) का परिणाम नहीं है यहाँ। विकल्प D (10) गलत है; 10 बराबर होता है \(\\binom{5}{2}\\), जो तब मिलेगा जब 5 को बाहर न किया गया हो। परीक्षा टिप: किसी तत्व को "शामिल नहीं" करना हो तो पहले उसे सेट से हटा दें और बची वस्तुओं पर \(nCk\) लागू करें। / Exclude the element 5 first; then choose 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is \\(\\binom{4}{2}=6\\). Option A (4) is an undercount due to incorrect selection. Option C (8) is not a valid result of a correct combination computation for this case. Option D (10) equals \\(\\binom{5}{2}\\), which you get only if you do not exclude 5. Exam tip: When a specific element must be excluded, remove it first and then apply combinations to the remaining elements.
\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) है और पहला विकल्प इसमें पूरा शामिल है। परिमाण वाली शर्त में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों देखें। / \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), and the first option is fully included in it. In absolute value conditions, check both negative and positive values.
शर्त \(|x|<3\) का अर्थ है \(-3<x<3\)। पूर्णांकों के लिए इस अंतराल के अंदर आने वाले मान हैं
\(-2,-1,0,1,2\)। अतः \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), जो बिल्कुल \(B\) के बराबर है। इसलिए \(A=B\) सत्य है।
विकल्प B और C असत्य हैं क्योंकि वे किसी सेट को दूसरे का proper subset मानते हैं
(यानि \(A\neq B\))—यहाँ वास्तविकता में दोनों दिशाओं में समावेशन होते हुए भी समता成立 करती है, इसलिए proper subset का दावा गलत है।
विकल्प D गलत है क्योंकि \(3\) परिशर्त \(|x|<3\) को पूरा नहीं करता।
परीक्षा सुझाव: पहले \(|x|<3\) को \(-3<x<3\) में बदलें और तब केवल पूर्णांक लिखें — इससे सेट के तत्व जल्दी स्पष्ट हो जाते हैं। / The inequality \(|x|<3\) is equivalent to \(-3<x<3\).
For integers the elements in this interval are \(-2,-1,0,1,2\). Hence \(A=\{-2,-1,0,1,2\}=B\), so \(A=B\) is correct.
Options B and C are incorrect because they assert a proper-subset relation (\(A\neq B\)), which is false here — although both \(A\subset B\) and \(B\subset A\) hold, that implies equality, not a proper subset.
Option D is false because \(3\) does not satisfy \(|x|<3\).
Exam tip: Convert the absolute-value condition to an interval and list integer members to decide equality quickly.
A. \(B\subset A\) और \(C\subset A\)/\(B\subset A\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(B) और (C) के सभी अवयव (A) में हैं और दोनों (A) से छोटे हैं। एक ही समुच्चय के कई उचित उपसमुच्चय हो सकते हैं। / All elements of (B) and (C) are in (A), and both are smaller than (A). One set can have many proper subsets.
किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^{n(A)}\) से दी जाती है, जहाँ \(n(A)\) A के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n(A)=3\), अतः \(2^3=8\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 8 तत्व होंगे। विकल्प A (6) गलत है क्योंकि यह सही फार्मूला द्वारा नहीं आता; C (9) गलत है — 9 का कोई सम्बन्ध \(2^{n}\) नियम से नहीं बनता; D (12) भी गलत है क्योंकि यह 2^{3} से बड़ा अवैध मान है। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें और फिर \(2^{n(A)}\) लागू करें। / The number of subsets of a set A is given by \(2^{n(A)}\), where \(n(A)\) is the number of elements in A. Here \(n(A)=3\), so \(2^3=8\). Thus \(\mathcal{P}(A)\) has 8 elements. Option A (6) is incorrect because it does not follow the \(2^{n}\) rule; C (9) is incorrect — 9 is not equal to \(2^{3}\); D (12) is also incorrect as it exceeds the correct count. Exam tip: count the elements first, then use \(2^{n}\) to find the size of the power set.
यदि समुच्चय में (n) तत्व हों, तो घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहां \(2^4=16\), इसलिए यह नियम याद रखें। / If a set has (n) elements, its power set has \(2^n\) elements. Here \(2^4=16\), so remember this rule.
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams, always check the universal set before finding a complement.
(\mathcal{P}(A)) के तत्व हमेशा (A) के उपसमुच्चय होते हैं। (a) स्वयं तत्व है उपसमुच्चय नहीं। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). The symbol (a) is an element not a subset.
घात समुच्चय का हर तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({a,{c}}) के दोनों तत्व (A) में हैं, इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. Both elements of ({a,{c}}) are in (A), so it is correct.
पूरक में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। (U) बदले तो पूरक भी बदल सकता है। / The complement contains elements of (U) that are not in (A). If (U) changes the complement may change.
\(2^n=32\) से (n=5), इसलिए कुल उपसमुच्चय (32) हैं। उचित उपसमुच्चय में स्वयं (A) नहीं आता, इसलिए संख्या (31) होगी। / From \(2^n=32\), we get (n=5), so total subsets are (32). A proper subset excludes (A) itself, so the number is (31).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और उचित उपसमुच्चय में (A) स्वयं शामिल नहीं होता। इसलिए संख्या (15) है। / Total subsets are \(2^4=16\) and a proper subset excludes (A) itself. Therefore the number is (15).
घातसमुच्चय की संख्या मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) के अनुसार \(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=32\) है, और \(32=2^5\) होने से \(n=5\) आता है। अतः A में 5 तत्व हैं। निकटवर्ती गलत विकल्पों की व्याख्या: यदि कोई कहे कि उत्तर 4 है तो वह \(2^4=16\) को भूल रहा है; यदि 6 चुना जाए तो \(2^6=64\) होगा। विकल्प 16 यह भ्रम प्रदर्शित करता है कि प्रश्न में दिए गए 32 को सीधे ही उत्तर मान लिया गया — पर 32 घातसमुच्चय की संख्या है न कि मूल समुच्चय का। परीक्षा-सूत्र: घातसमुच्चय के लिए हमेशा नियम याद रखें — यदि मूल समुच्चय में \(n\) तत्व हैं तो घातसमुच्चय में \(2^n\) तत्व होंगे। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^n\). Given \(2^n=32\) and since \(32=2^5\), we get \(n=5\). So A has 5 elements. Why other options are wrong: 4 would correspond to \(2^4=16\), 6 would give \(2^6=64\), and 16 confuses the power set size with the original set size. Exam tip: remember the formula |\(\mathcal{P}(A)\)| = \(2^{|A|}\) and match powers of two quickly (16, 32, 64...).
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय होता है, वह स्वयं रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में एक तत्व होता है। / The empty set has only one subset, the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has one element.
यहाँ \(A=\{\emptyset\}\) है, अर्थात् सेट A का एक ही तत्व है और वह तत्व खाली समुच्चय \(\emptyset\) है। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या नियमतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। इसलिए \(n=1\) होने पर उपसमुच्चय होंगे \(2^1=2\)। उन दो उपसमुच्चयों को लिखें: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) — यही \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। अक्सर छात्रों की सामान्य भूल यह है कि वे \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\) को एक ही समझ लेते हैं; यदि सेट खुद खाली होता (यानी \(A=\emptyset\)) तब उपसमुच्चय केवल एक (\(2^0=1\)) होते — यही वजह से विकल्प A गलत है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में दिए गए सेट को ध्यान से पढ़ें — यह खाली सेट नहीं बल्कि खाली सेट को घटक के रूप में रखता है। / Here \(A=\{\emptyset\}\), so A has exactly one element, namely the empty set \(\emptyset\). The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). With \(n=1\) we get \(2^1=2\) subsets. Explicitly the subsets are \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\), which are the two elements of \(\mathcal{P}(A)\). A common mistake is to confuse \(\emptyset\) (the empty set) with \(\{\emptyset\}\) (a set containing the empty set); if A were \(\emptyset\) then there would be \(2^0=1\) subset, so option A would be correct only in that different case. Exam tip: always check whether the empty set is an element of the set or the set itself is empty.
(A') खाली होने का अर्थ है कि (U) में (A) के बाहर कोई तत्व नहीं है। इसलिए (A) और (U) समान हैं। / (A') being empty means there is no element of (U) outside (A). Hence (A) and (U) are equal.
B. यह संदर्भ के सभी विचाराधीन तत्वों को रखता है/It contains all elements under consideration
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय संदर्भ के अनुसार सभी विचाराधीन तत्वों का समुच्चय होता है। इसे हमेशा प्रश्न के संदर्भ से पहचानें। / A universal set contains all elements under discussion in the given context. Always identify it from the question context.
दोनों (A) के उपसमुच्चय हैं इसलिए दोनों (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। घात समुच्चय में पूरा (A) भी शामिल होता है। / Both are subsets of (A), so both are elements of (\mathcal{P}(A)). The power set also contains (A) itself.
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। एकल तत्व और एकल समुच्चय में अंतर रखें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Keep a single element and a singleton set distinct.
घात समुच्चय (power set) का मूल सिद्धांत यह है कि यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका घात समुच्चय में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ \(A\) में तीन अलग-अलग तत्व हैं इसलिए \(n(A)=3\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\)। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह किसी सामान्य गणितीय नियम (जैसे permutations या combinations) से गलत तरीके से जोड़ा जा सकता है — पर घात समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) ही प्रयोग होगा। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा \(n(A)\) पहचानें फिर तुरंत \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / The power set of a set with \(n\) elements contains \(2^n\) subsets. Here the set \(A\) has three distinct elements, so \(n(A)=3\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^{3}=8\). Option 6 is a plausible distractor but incorrect — it might arise from confusing with permutations/combinations, but the correct formula for a power set is \(2^n\). Exam tip: always compute \(n(A)\) first and then apply \(2^{n(A)}\).
यहाँ A के तत्व दो हैं: संख्या 1 और एक एकल सदस्य जिसका चेहरा \(\{2\}\) है। ध्यान दें कि \(2\) और \(\{2\}\) अलग-अलग चीज़ें हैं; \(\{2\}\) एक तत्व के रूप में गिना गया है, न कि 2 का वैयक्तिक तत्व। यदि किसी सेट में \(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चय की संख्या \(2^2=4\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 3 है — यह तब होगा जब कोई गलती से भीतरी संख्या \(2\) को अलग तत्व मान ले, जो गलत है। परीक्षा संकेत: हर सदस्य को यह जांचकर गिनें कि वह सामान्य तत्व है या एक ही तत्व वाला उपसमुच्चय। / Set A has two elements: the number 1 and the single element set \(\{2\}\). Note that 2 and \(\{2\}\) are different — \(\{2\}\) is counted as one element, not as the element 2 separately. For a set with \(n\) elements there are \(2^n\) subsets. Here \(n=2\), so the number of subsets is \(2^2=4\). The closest distractor 3 arises if someone mistakenly treats both 2 and \(\{2\}\) as separate elements; that is incorrect. Exam tip: always check whether an item is an element or a subset before counting elements.
\(A'=U\setminus A=\{b,c\}\) जिसमें दो तत्व हैं। किसी भी संचय S के लिए शक्ति समूह का कार्दिनालिटी नियम \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\) है। इसलिए \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\)। निकटवर्ती विचलन: विकल्प A (2) केवल \(A'\) के तत्वों की संख्या है, शक्ति समूह की संख्या नहीं। परीक्षा युक्ति: किसी भी सेट के पावर सेट की संख्या तुरंत \(2^{\text{(तत्वों की संख्या)}}\) से निकालें। / Here \(A'=U\setminus A=\{b,c\}\), which has 2 elements. The cardinality of a power set follows \(|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}\). Thus \(|\mathcal{P}(A')|=2^{2}=4\). Closest distractor: option A (2) mistakes the number of elements of \(A'\) for the number of subsets. Exam tip: Always apply \(2^{\text{number of elements}}\) to get the size of a power set quickly.
\(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है इसलिए यह उसके घात समुच्चय का तत्व है। यह बहुत सामान्य परीक्षा भ्रम है। / \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is an element of its power set. This is a common exam confusion.
रिक्त समुच्चय में (U) का कोई तत्व नहीं है इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। पूरक हमेशा संदर्भ पर निर्भर है। / The empty set contains no element of (U), so its complement is the whole (U). Complement always depends on the context.
एकल उपसमुच्चय प्रत्येक एक तत्व से बनता है इसलिए उनकी संख्या (n(A)) के बराबर होती है। यहां संख्या (5) है। / Each singleton subset is formed from one element, so their number equals (n(A)). Here the number is (5).
दो तत्वों वाले उपसमुच्चय चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। निश्चित आकार के उपसमुच्चयों में संयोजन का प्रयोग करें। / The number of two-element subsets is \({}^4C_2=6\). Use combinations for subsets of fixed size.
तीन तत्वों वाला एक ही उपसमुच्चय (A) स्वयं है। पूरा समुच्चय भी घात समुच्चय का तत्व होता है। / There is only one three-element subset which is (A) itself. The whole set is also an element of the power set.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय होते हैं, जिसमें हमेशा खाली समुच्चय \(\emptyset\) और स्वयं \(A\) शामिल रहते हैं। दिया गया \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) केवल दो सदस्य दिखाता है, इसलिए A का केवल एक तत्व है और वह नॉन-खाली उपसमुच्चय \(\{x\}\) के रूप में मौजूद है। अतः \(A=\{x\}\)। निकटतम भ्रमित करने वाला विकल्प \(\{\emptyset\}\) इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(A=\{\emptyset\}\) होता तो \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\) मिलता, जो दिया हुआ नहीं है। परीक्षा सुझाव: पहले \(|\mathcal{P}(A)|\) से \(|A|\) का अनुमान लगाएँ — अगर \(\mathcal{P}(A)\) में 2 तत्व हैं तो \(|A|=1\)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) consists of all subsets of \(A\), always including \(\emptyset\) and \(A\) itself. Here \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{x\}\}\) has exactly two elements, so \(A\) must have one element, and the non-empty subset shown is \(\{x\}\). Therefore \(A=\{x\}\). The closest distractor \(\{\emptyset\}\) is wrong because if \(A=\{\emptyset\}\) then \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\), not the given set. Exam tip: use |P(A)|=2^{|A|} — two elements in the power set means |A|=1.
समूह \(A\) में 2 तत्व हैं। शक्ति समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) के तत्वों की संख्या के लिए सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(B)=2^{2}=4\). विकल्प '2' गलत है क्योंकि वह केवल मूल समूह के तत्वों की संख्या है, न कि उसके उपसमुच्चयों की संख्या; विकल्प '8' तब मिलता अगर \(A\) में 3 तत्व होते (\(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: छोटी सेटों पर उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध करके जल्दी सत्यापित कर लें और सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) याद रखें। / Set \(A\) has 2 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(B)=2^{2}=4\). Option '2' is incorrect because it gives the number of elements of A, not the number of subsets; option '8' would occur only if A had 3 elements (\(2^3=8\)). Exam tip: memorize \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) and for small sets verify by listing subsets.
दो तत्वों वाले समुच्चय का घात समुच्चय चार उपसमुच्चयों से बनता है। तत्वों को उपसमुच्चय की तरह लिखना जरूरी है। / The power set of a two-element set has four subsets. The elements must be written as subsets.
({0,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह (A) का उपसमुच्चय है। अतः यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / All elements of ({0,2}) are in (A), so it is a subset of (A). Hence it is an element of (\mathcal{P}(A)).
तीन तत्वों वाले उपसमुच्चयों की संख्या \({}^5C_3=10\) है। निश्चित आकार की गिनती में क्रम नहीं माना जाता। / The number of three-element subsets is \({}^5C_3=10\). Order is not considered in fixed-size subset counting.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चय \(A\) के सभी उपसमुच्चय आते हैं। चूँकि \(A\) के चार तत्व हैं, इसलिए स्वयं \(A\)=\(\{a,b,c,d\}\) ही एकमात्र चार-तत्वीय उपसमुच्चय है। विकल्प C में तीन तत्व हैं, B में दो और A विकल्प शून्य-तत्वीय है, अतः वे सभी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प की तत्व-गणना करके सीधे यह जाँच लें कि उसकी कार्डिनैलिटी मांगी गई संख्या से मिलती है या नहीं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Since \(A\) has four elements, \(A\) itself (\(\{a,b,c,d\}\)) is the only subset with four elements. Option C has three elements, B has two and A is the empty set, so they are incorrect. Exam tip: count the elements in each subset to quickly verify the required cardinality.
घात समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) है जहाँ \(n=n(A)\)। हमें \(2^{n}=16\) चाहिए। \(2^{4}=16\) होने पर \(n=4\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटभ्रामक विकल्पों की जाँच: \(n(A)=3\) के लिए \(2^{3}=8\) और \(n(A)=8\) के लिए \(2^{8}=256\) — ये 16 नहीं देते; \(n(A)=2\) पर \(2^{2}=4\)। परीक्षा टिप: सीधे समीकरण \(2^{n}=16\) लिखकर या 16 को द्विघातों के रूप में पहचानकर \(n\) निकालें। / The cardinality of a power set is given by \(2^{n}\), where \(n=n(A)\). We need \(2^{n}=16\). Since \(2^{4}=16\), \(n=4\), so option C is correct. Checking distractors: for \(n=3\), \(2^{3}=8\); for \(n=8\), \(2^{8}=256\); for \(n=2\), \(2^{2}=4\) — none equal 16. Exam tip: Solve \(2^{n}=16\) directly or recognise 16 as a power of 2 to find \(n\).
छह तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^6=64\) होते हैं। हर तत्व के लिए शामिल या न शामिल दो विकल्प होते हैं। / A six-element set has \(2^6=64\) subsets. Each element has two choices included or not included.
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक उसी संदर्भ में रिक्त होता है। (U) के बाहर कोई विचाराधीन तत्व नहीं माना जाता। / The complement of the universal set is empty in that context. No considered element lies outside (U).
(\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) होता है इसलिए उसका सदस्य \(\emptyset\) है। \({\emptyset}\) पूरा घात समुच्चय है सदस्य नहीं। / (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}), so its member is \(\emptyset\). \({\emptyset}\) is the whole power set not its member.
A. \(A\subseteq U\) नहीं है/\(A\subseteq U\) is not true
Explanation
Simple Explanation
पूरक सामान्यतः तब लिया जाता है जब \(A\subseteq U\) हो। यहां (d), (U) में नहीं है इसलिए समस्या है। / Complement is normally taken when \(A\subseteq U\). Here (d) is not in (U), so there is a problem.
सेट \(A\) के विषम तत्व 1 और 3 हैं। इसलिए विषम एकल उपसमुच्चय \(\{1\}\) और \(\{3\}\) होंगे — कुल 2। निकटतम भ्रामक विकल्प C (3) गलत है क्योंकि वह किसी अतिरिक्त तत्व को गिनता है जो सेट में मौजूद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी गुण (जैसे 'विषम') के आधार पर एकल उपसमुच्चयों की संख्या सीधे उस गुण वाले तत्त्वों की संख्या के बराबर होती है। / The odd elements of \(A\) are 1 and 3, so the singleton subsets are \(\{1\}\) and \(\{3\}\), giving a total of 2. The closest distractor C (3) is incorrect because it counts an extra element not present in the set. Exam tip: The number of singleton subsets with a given property equals the number of elements in the set that satisfy that property.
यदि \(x\) को रखना निश्चित है तो बचे हुए दो तत्त्व \(y\) और \(z\) के लिए प्रत्येक के पास दो‑दो विकल्प हैं: शामिल या नहीं। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) है। विकल्प (8) गलत है क्योंकि वह \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है, न कि केवल वे जिनमें \(x\) है। विकल्प (3) तब गलत होगा जब कोई \(x\), \(x,y\), \(x,z\) को मात्र गिन लें और \(x,y,z\) को भूल जाएँ। परीक्षा सुझाव: सामान्य सूत्र याद रखें — किसी n तत्त्वों वाले समुच्चय में किसी निश्चित तत्त्व को रखने वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। / Fixing \(x\) means each of the remaining elements \(y\) and \(z\) can either be present or absent, so there are \(2^2=4\) subsets containing \(x\). Option (8) is the total number of subsets of \(A\) (\(2^3=8\)) and thus not restricted to those that contain \(x\). Option (3) misses the case where both \(y\) and \(z\) are included. Exam tip: use the formula — for a set of size \(n\), the number of subsets that contain a given element is \(2^{n-1}\).
किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। इनमें से एक उपसमुच्चय खाली (empty) है, अत: खाली नहीं उपसमुच्चय = \(8-1=7\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह खाली उपसमुच्चय को भी गिनता है; विकल्प A (6) एक उपसमुच्चय कम गिन रहा है; विकल्प D (9) असंभव है क्योंकि यह \(2^n\) से बड़ा है। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के गैर-खाली उपसमुच्चयों के लिए हमेशा \(2^n-1\) प्रयोग करें। / The number of subsets of an n-element set is given by \(2^n\). Here \(n=3\), so total subsets are \(2^3=8\). One of these is the empty subset, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Choice C (8) is incorrect because it includes the empty set; A (6) undercounts by one; D (9) exceeds the total possible subsets. Exam tip: use the formula \(\text{non-empty subsets}=2^n-1\).
ऐसे उपसमुच्चय जिनमें a नहीं है, वे सब {b, c} के उपसमुच्चय होते हैं। प्रत्येक तत्व (b और c) के लिए दो विकल्प हैं — शामिल करना या न करना — इसलिए कुल संख्या \(2^2=4\) है। अक्सर त्रुटि यह होती है कि केवल खाली समुच्चय और एकल तत्व गिने जाते हैं (जिससे 2 आता है) — यह गलत है क्योंकि {b,c} (दो तत्वों वाला) भी एक वैध उपसमुच्चय है। परीक्शा सुझाव: किसी तत्व को बाहर मानकर बाकी तत्वों के लिए शामिल/न-शामिल विकल्पों को गुणा करें। / Subsets that do not contain a are exactly the subsets of {b,c}. Each of b and c has two choices (include or exclude), so the total is \(2^2=4\). A common mistake is to count only the empty set and one singleton (giving 2), but the two-element subset {b,c} must also be counted. Exam tip: fix excluded elements first, then use the 2-choice rule for each remaining element and multiply.
कम से कम तीन तत्व वाले उपसमुच्चय में या तो तीन तत्व होते हैं या चार। तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{3}=4\) है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या \(\binom{4}{4}=1\) है। अतः कुल = \(4+1=5\)। विकल्प A (4) केवल तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती है और चार-तत्व वाले उपसमुच्चय को शामिल नहीं करता — इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: "कम से कम k" मतलब सम करें \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\)। / Subsets with at least three elements can have either three or four elements. Number of 3-element subsets is \(\binom{4}{3}=4\) and number of 4-element subsets is \(\binom{4}{4}=1\). Therefore total = \(4+1=5\). Option A (4) counts only the 3-element subsets and misses the single 4-element subset, so it is incorrect. Exam tip: For "at least k" choose sums, use \(\sum_{r=k}^{n}\binom{n}{r}\).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में किसी सेट \(A\) के सभी उपसमुच्चयों की संख्या होती है और यह \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) = \(|A|\)। दिए अनुसार \(2^n=8\) से \(n=3\)। कुल उपसमुच्चय 8 हैं; इनमें से खाली उपसमुच्चय एक ही होता है, अतः खाली नहीं उपसमुच्चयों की संख्या \(8-1=7\) है। निकटवर्ती विकल्पों का भेद: विकल्प A (3) केवल सेट के तत्वों की संख्या बताता है, विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, और विकल्प B (6) गलत घटाव पर आधारित है। परीक्षा सुझाव: तुरंत सोचें \(2^n\) से \(n\) निकालें और खाली उपसमुच्चय एक घटाएँ। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements where \(n=|A|\). Given \(2^n=8\), so \(n=3\). Thus there are 8 total subsets and exactly one of them is the empty set, so the number of non-empty subsets is \(8-1=7\). Why other choices are wrong: option A (3) confuses the number of elements of \(A\) with the number of non-empty subsets; option D (8) is the total number of subsets including the empty set; option B (6) has no correct basis here. Exam tip: use \(2^n\) to find \(n\) and then subtract 1 to exclude the empty set.
पहला कदम पूरक निकालना है: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). उसके बाद पावर सेट में \(A'\) के सभी सबसेट आते हैं। \(\mathcal{P}(A')\) में खाली समुच्चय और \(A'\) स्वयं सबसेट के रूप में होंगे, अर्थात् \(\{\emptyset,\{3\}\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसमें \(3\) को एक तत्व के रूप में दिखाया गया है जबकि पावर सेट में उस तत्व का सबसेट \(\{3\}\) होना चाहिए। विकल्प C वास्तव में \(\mathcal{P}(A)\) का हिस्सा है, और विकल्प D यूनिवर्सल सेट है — ये दोनों गलत निदेशित उत्तर हैं। परीक्षा टिप: पहले पूरक निकालें, फिर पावर सेट लें; पावर सेट के तत्व स्वयं सबसेट होते हैं (नाम मात्र के तत्व नहीं)। / First compute the complement: \(A'=U\setminus A=\{3\}\). The power set contains all subsets of \(A'\), so \(\mathcal{P}(A')\) is the set of subsets of \(\{3\}\), namely \(\{\emptyset,\{3\}\}\). Option B is incorrect because it lists \(3\) instead of the subset \(\{3\}\). Option C lists \(\{\{1\},\{2\}\}\), which corresponds to subsets of \(A\) (not \(A'\)), and option D is the universal set \(U\). Exam tip: always form the complement first, then list its subsets — remember elements of a power set are subsets, so use \(\{3\}\) not \(3\).
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें। / Set (A) has (5) elements, so its power set has \(2^5=32\) elements. In exams, first count the elements of the original set.
(3) को रखना निश्चित है और बाकी (1,5) चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Keeping (3) is fixed and the remaining (1,5) may be chosen or not chosen. So the number is \(2^2=4\).
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (1,4,6,8) सही पूरक हैं। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore (1,4,6,8) form the correct complement.
कुल उपसमुच्चय (128) हैं और उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता। इसलिए संख्या (128-1=127) होगी। / There are (128) total subsets, and a proper subset does not include the whole set itself. So the number is (128-1=127).
(b) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({b}) तत्व है। इसलिए ({a,b}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (b) itself is not an element of (A); ({b}) is an element. So ({a,b}) is not a subset of (A).
घात समुच्चय का तत्व हमेशा मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({p,q}) में केवल (A) के तत्व हैं, इसलिए यह सही है। / An element of a power set is always a subset of the original set. ({p,q}) contains only elements of (A), so it is correct.
(3) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({3}) तत्व है। इसलिए ({1,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (3) itself is not an element of (A); ({3}) is an element. So ({1,3}) is not a subset of (A).
रिक्त समुच्चय में (0) तत्व हैं, इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में \(2^0=1\) तत्व होता है। याद रखें कि \(\varnothing\) भी एक उपसमुच्चय है। / The empty set has (0) elements, so (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has \(2^0=1\) element. Remember that \(\varnothing\) is also a subset.
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) तत्व है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^1=2\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) element. Therefore its power set has \(2^1=2\) elements.
(A') में (2,4,6,8) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। / (A') contains (2,4,6,8), so it has (4) elements. A complement is always taken with respect to the given universal set.
एक कक्षा के (40) विद्यार्थियों में (18) गणित क्लब में और (15) विज्ञान क्लब में हैं। यदि (6) विद्यार्थी दोनों क्लब में हैं, तो किसी भी क्लब में नहीं होने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(n\(A\cup B\)=18+15-6=27), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (40-27=13) हैं। ऐसे प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय कुल विद्यार्थियों का होता है। / (n\(A\cup B\)=18+15-6=27), so students outside are (40-27=13). In such questions, the universal set is the total group.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। संघ के पूरक में केवल वे तत्व आते हैं जो दोनों से बाहर हों। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). The complement of a union contains elements outside both sets.
किसी समुच्चय के पूरक का पूरक वही समुच्चय होता है। इसे द्वि-पूरक नियम कहते हैं। / The complement of the complement of a set is the set itself. This is called the double complement law.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई तत्व नहीं हो सकता। इसलिए \(A=\varnothing\) है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) cannot contain any element. Hence \(A=\varnothing\).
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n(\mathcal{P}(A))=26=64)। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so (n(A)=6). Hence (n(\mathcal{P}(A))=26=64).
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए (5) नहीं, बल्कि ({5}) घात समुच्चय का तत्व है। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
\(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है कि \(\{7\}\subseteq A\)। यदि एक एकल तत्वों वाला सेट \(\{7\}\) \(A\) का उपसैट है, तो इसका मतलब है कि 7, \(A\) का सदस्य है, यानी \(7\in A\)। विकल्प B (\(\{7\}\in A\)) का अर्थ यह होगा कि \(A\) का एक तत्व स्वयं सेट \(\{7\}\) है — यह आवश्यक नहीं है। विकल्प C (\(A=\{7\}\)) बहुत अधिक कड़ा है — \(A\) में और भी तत्व हो सकते हैं। विकल्प D स्पष्ट रूप से विरोधाभासी है। परीक्षा युक्ति: पक्का करें कि आप 'तत्व' (\(\in\)) और 'उपसैट' (\(\subseteq\)) के बीच फर्क याद रखें; \(X\in\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होता है \(X\subseteq A\)। / \(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) means \(\{7\}\subseteq A\). If the singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), then the element 7 belongs to \(A\); hence \(7\in A\) is definitely true. Option B (\(\{7\}\in A\)) would mean the set \(\{7\}\) is itself an element of \(A\), which is not implied. Option C (\(A=\{7\}\)) is stronger — it claims no other elements are in \(A\). Option D contradicts the conclusion. Exam tip: clearly distinguish '\(x \in A\)' (element) from '{x} \subseteq A' (singleton subset); membership in the power set means subset, not element-of-A unless explicitly stated.
\(\varnothing\), \({\varnothing}\), और ({1}) सभी (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / \(\varnothing\), \({\varnothing}\), and ({1}) are all subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
हर समुच्चय का रिक्त समुच्चय और स्वयं वह समुच्चय उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए दोनों हमेशा उसके घात समुच्चय में होते हैं। / The empty set and the set itself are subsets of every set. Therefore both are always in its power set.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है। घात समुच्चय के अंदर उपसमुच्चयों को उनके आकार से भी गिना जा सकता है। / The number of subsets with exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). Inside a power set, subsets can also be counted by their size.
एक निश्चित तत्व रखने के बाद बाकी (4) तत्व चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) होगी। / After fixing one element, each of the remaining (4) elements may be chosen or not chosen. So the number is \(2^4=16\).
यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व उसके पूरक में आते हैं। अतः \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so all elements of (U) lie in its complement. Hence \(\varnothing'=U\).
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं और केवल \(\varnothing\) रिक्त है। इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (8-1=7) हैं। / Total subsets are \(2^3=8\), and only \(\varnothing\) is empty. So non-empty subsets are (8-1=7).
एक-तत्वीय उपसमुच्चय हर मूल तत्व से एक बनता है। (4) तत्वों से (4) singleton subsets बनेंगे। / A singleton subset is formed from each original element. From (4) elements, there will be (4) singleton subsets.
ठीक (3) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। ऐसे हर चयन से (\mathcal{P}(A)) का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (3) elements is \(\binom{5}{3}=10\). Each such choice is an element of (\mathcal{P}(A)).
दो तत्वों वाले समुच्चय के (4) उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में तत्व उपसमुच्चय होते हैं, अकेले (0) और (1) नहीं। / A two-element set has (4) subsets. In a power set, the elements are subsets, not the single numbers (0) and (1).
\(A\cap B={b}\) है, इसलिए उसका पूरक (U) में (b) को छोड़कर बाकी तत्व हैं। अतः ({a,c,d}) सही है। / \(A\cap B={b}\), so its complement is all elements of (U) except (b). Hence ({a,c,d}) is correct.
किसी सेट X के पावर सेट का कार्डिनैलिटी नियम है \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\)। इसलिए अनुपात \(16:8=2:1\) होगा। विकल्प B (4:3) गलत है क्योंकि वह मूल सेटों A और B का अनुपात \(4:3\) है, पावर सेटों का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट के लिए हमेशा \(2^{n}\) लागू करें और अंतिम अनुपात को सरलतम रूप में लिखें। / For any set X, the power-set cardinality is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). Thus \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\). The ratio is \(16:8=2:1\). Option B (4:3) is incorrect because it represents the ratio of the original sets A and B, not their power sets. Exam tip: compute \(2^{n}\) for each set first, then simplify the resulting ratio by dividing by the greatest common divisor.
(LEVEL) के अलग-अलग अक्षर (L,E,V) हैं, इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (LEVEL) are (L,E,V), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार ही गिने जाते हैं, इसलिए \(A=\{1,2,3\}\)। इस कारण (n(\mathcal{P}(A))=23=8)। / Repeated elements are counted only once in a set, so \(A=\{1,2,3\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
(6) तत्वों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व है। / The number of ways to choose (5) elements from (6) is \(\binom{6}{5}=6\). Each choice is one element of the power set.
किसी समुच्चय में कुल उपसमुच्चयों की संख्या अगर उसके तत्वों की संख्या n हो तो वह \,\(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=256\)। क्योंकि \(256=2^8\), इसलिए \(n=8\)। निकट के भ्रामक विकल्पों में से \(7\) के लिए \(2^7=128\) और \(9\) के लिए \(2^9=512\) होंगे, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) होती है और प्रमुख गुणांकों (powers of 2) से मिलान करके जल्दी उत्तर मिल जाता है। / If a set has n elements, the total number of subsets is given by \(2^n\). Here \(2^n=256\). Since \(256=2^8\), we get \(n=8\). Close distractors fail because \(2^7=128\) and \(2^9=512\), so 7 and 9 are incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n\) and recognize powers of 2 (128, 256, 512...) to answer quickly.
यदि \(A\subseteq B\) है, तो (B) के बाहर के तत्व (A) के बाहर भी होंगे। इसलिए \(B'\subseteq A'\) होता है। / If \(A\subseteq B\), then every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\).
A के तत्व स्पष्ट रूप से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के पावर सेट की संख्यात्मक प्राप्ति के नियम के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) होगा — यानी यदि किसी ने सेट में 4 तत्व गिने होते। विकल्प D (64) तब गलत है जब किसी ने ग़लत तरीके से 6 तत्व मान लिए (\(2^6\))। परीक्षा संकेत: तत्वों की संख्या तर्कसंगत तरीके से गिनें — पूर्णांक के लिए अंत-बिंदु गुणा नियम का प्रयोग करें (उपरि - निचली + 1)। / The elements of A are clearly \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n(A)=5\). The cardinality of a power set is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). Option B (16) would correspond to \(2^4\), i.e. miscounting A as having 4 elements; option D (64) corresponds to \(2^6\), i.e. miscounting 6 elements. Quick exam tip: for integer ranges use (upper − lower + 1) to find the number of elements, then compute \(2^n\).
यहाँ 1 को शामिल करना और 4 को बाहर रखना निश्चित है। शेष दो तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के दो-दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं): कुल विकल्प = \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र निर्णय मानकर \(2^3=8\) गिनता है (अर्थात् 4 को स्वतंत्र मानना) — जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले फिक्स किए गए तत्व तय कर लें, फिर शेष मुक्त तत्वों पर \(2^{\text{#free elements}}\) लागू करें। / Include 1 and exclude 4 are fixed choices. The remaining elements 2 and 3 are free, each can be either present or absent, giving \(2^2=4\) possible subsets. Thus the correct count is 4. Option 8 is a common mistake (it counts \(2^3\), treating 4 as free). Exam tip: fix required/included or excluded elements first, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) to count subsets.
कम से कम (4) तत्व का अर्थ (4) या (5) तत्व है। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / At least (4) elements means (4) or (5) elements. The number is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
(2) और (5) को रखना निश्चित है, बाकी (4) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। / Keeping (2) and (5) is fixed, and the remaining (4) elements are free. Therefore the number of subsets is \(2^4=16\).
यदि हम 1 और 2 को हटाते हैं तो बचते हैं {3,4,5} — कुल 3 तत्व। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या =
\(2^{\text{(तत्त्वों की संख्या)}}\) इसलिए यहाँ \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। 16 (\(2^4\)) वाला विकल्प आम गलती है जब कोई एक ही तत्व हटाने या तत्वों की गिनती गलत कर लेता है। 4 (\(2^2\)) और 32 (\(2^5\)) भी गलत हैं — क्रमशः तभी मिलेंगे जब बचते हुए तत्त्व 2 या 5 माने जाएँ। परीक्षा सजेशन: पहले बचने वाले तत्वों की संख्या गिनें, फिर सीधे \(2^n\) लागू करें। / Removing 1 and 2 leaves {3,4,5}, which has 3 elements. Number of subsets = \(2^{\text{number of elements}}\), so \(2^3=8\). The option 16 (\(2^4\)) is a common mistake from miscounting elements (treating 4 remaining elements). Options 4 (\(2^2\)) and 32 (\(2^5\)) correspond to mistakenly using 2 or 5 elements respectively. Exam tip: always count the remaining elements after restrictions, then use \(2^n\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल (8) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (7) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has (8) total subsets. For proper subsets, only (A) itself is removed, so (7) remain.
\(A\cup B={1,2,3,4}\), इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\), so it has (4) elements. Therefore its power set has \(2^4=16\) elements.
(A) में (4) तत्व हैं इसलिए (\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग तत्व गिनें। / Set (A) has (4) elements so (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. In exams first count the distinct elements of the original set.
पहला कदम है समूहनिर्दिष्ट परिप्रेक्ष्य में पूरक निकालना: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। किसी सेट के पावर सेट में उसके सभी संभव उपसमूह होते हैं और उनकी संख्या \(2^{n(\text{set})}\) से दी जाती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\)। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(8\) ऐसा मानने पर आता है कि कोई छात्र गलती से \(n(A')=3\) मान ले जिससे \(2^3=8\) निकले — यह गलत है क्योंकि वास्तविक \(A'\) में 4 तत्व हैं। परिक्षा-सुझाव: पहले पूरक के तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^{n}\) का प्रयोग करें; इस क्रम का उल्टा न करें। / First find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so \(n(A')=4\). The number of subsets (power set size) of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\). The closest wrong choice, 8, would result from mistakenly taking \(n(A')=3\) and computing \(2^3\); 4 would be wrong if one confuses the set size with the power set size. Exam tip: always count elements of the complement first, then apply \(2^{n}\).
पावर सेट का नियम है कि यदि किसी समुच्चय \(A\) में \(n\) तत्व हैं तो उसकी पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ दिया है \(n(\mathcal{P}(A))=512\)। चूँकि \(512=2^9\), इसलिए \(n(A)=9\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: यदि \(n(A)=8\) होता तो \(2^8=256\) और यदि \(n(A)=10\) होता तो \(2^{10}=1024\) — दोनों 512 नहीं देते। परीक्षा टिप: शक्तियों के मान \(2^5, 2^6, …, 2^{10}\) याद रखें ताकि ऐसे प्रश्न तेज़ी से हल हो सकें। / The power-set rule states that if a set \(A\) has \(n\) elements then \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) subsets. Given \(n(\mathcal{P}(A))=512\) and since \(512=2^9\), we conclude \(n(A)=9\). Checking nearby distractors: for \(n(A)=8\), \(2^8=256\); for \(n(A)=10\), \(2^{10}=1024\) — neither equals 512. Exam tip: memorize powers of 2 \(e.g. 2^5…2^{10}\) to answer such questions quickly.
किसी समुच्चय के कुल उपसमुच्चय की संख्या 2^n होती है जहाँ n तत्वों की संख्या है. यहाँ 2^n = 1024, इसलिए n = 10. किसी समुच्चय के उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, अतः उनकी संख्या कुल उपसमुच्चयों में से 1 घटाकर मिलेगी: 1024 − 1 = 1023. विकल्प 1024 गलत है क्योंकि वह पूरा समुच्चय भी गिनता है; 512 गलत है क्योंकि वह 29 है; 10 स्पष्टतः असंगत है। परीक्षा टिप: पहले 2^n = 1024 से n निकालें (यहाँ n=10), फिर उचित उपसमुच्चय = 2^n − 1 करें। / The number of all subsets of a set with n elements is 2^n. Given 2^n = 1024, we get n = 10. A proper subset excludes the set itself, so the count is total subsets minus one: 1024 − 1 = 1023. Option 1024 is incorrect because it counts the whole set as well; 512 corresponds to 29 and is therefore wrong; 10 is not relevant. Exam tip: identify n by recognizing 1024 = 210 (or use log2), then compute proper subsets as 2^n − 1.
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({r,t}) में केवल (A) के तत्व हैं इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({r,t}) contains only elements of (A) so it is correct.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
(A) में दो अलग-अलग तत्व हैं इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग समझें। / Set (A) has two distinct elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as different.
यदि किसी समुच्चय A में n तत्व हों तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ A = \(\{a\}\) के लिए n = 1, अतः \(\mathcal{P}(\{a\})\) में \(2^1 = 2\) तत्व होंगे। अब उन 2 तत्वों का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\) में कुल \(2^2 = 4\) तत्व होंगे। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलता अगर शुरूआती समुच्चय में 3 तत्व होते (\(2^{2^3}=256\) नहीं—यहां चरणबद्ध गिनती लागू करें)। परीक्षा युक्ति: पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें (n), फिर सामान्य सूत्र \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert=2^{2^n}\) या चरण-दर-चरण \(2^n\) और फिर \(2^{(2^n)}\) के बजाय छोटे मामलों में सीधे \(2^{2^n}\) से गणना करें। / If a set A has n elements then its power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Here A = \(\{a\}) so n = 1, therefore \(\mathcal{P}(\{a\})\) has \(2^1 = 2\) elements. The power set of that set, \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\), therefore has \(2^2 = 4\) elements. Hence 4 is correct. Option C (8) is incorrect — that would correspond to a different starting size; do the counting stepwise rather than guessing. Exam tip: use the general formula \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert = 2^{2^n}\) for a set of size n, or compute \(2^n\) first and then take the power set of that result for small n.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। प्रतिच्छेद के पूरक में कम से कम एक समुच्चय से बाहर वाले तत्व आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). The complement of an intersection includes elements outside at least one set.
24 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — कुल 8 तत्व। इसलिए \(n(A)=8\)। किसी समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प 128 है — वह तब होता यदि तत्व केवल 7 होते (\(2^7\)) यानी एक भाजक छूट गया हो। परीक्षा-सुझाव: भाजकों की संख्या तेज़ी से पाने के लिए 24 का गुणनकर्ता रूप लिखें \(24=2^3\times3^1\) और divisors की संख्या \((3+1)(1+1)=8\) लागू करें। / The positive divisors of 24 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — a total of 8 elements, so \(n(A)=8\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^{n(A)}\) elements, hence \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\). The closest distractor 128 would correspond to \(2^7\), i.e. missing one divisor. Exam tip: use prime factorization \(24=2^3\times3^1\) and the divisor-count formula \((3+1)(1+1)=8\) to get the number of divisors quickly.
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
A. \(m\in A\) और \(n\in A\)/\(m\in A\) and \(n\in A\)
Explanation
Simple Explanation
\({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \({m,n}\subseteq A\)। इसलिए (m) और (n) दोनों (A) के तत्व होंगे। / \({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) means \({m,n}\subseteq A\). Therefore both (m) and (n) are elements of (A).
दिए गए तीनों विकल्प (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / All three given options are subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
\(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए \(\varnothing\) हमेशा (\mathcal{P}(A)) का तत्व होगा। / \(\varnothing\) is a subset of every set. Therefore \(\varnothing\) is always an element of (\mathcal{P}(A)).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। \(\varnothing\) और (A) को हटाने पर (14) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / Total subsets are \(2^4=16\). Removing \(\varnothing\) and (A) leaves (14) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{5}{2}=10\). Each choice becomes an element of the power set.
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
दो निर्दिष्ट तत्वों को उपसमुच्चयों में शामिल नहीं करने का मतलब है कि हम उन दोनों को हटा कर शेष तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें। A के कुल 5 तत्व हैं; दो हटाने पर बचे 3 तत्व होंगे, जिनके सभी उपसमुच्चयों की संख्या है \(2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प A (4) तब ग़लत होगा जब केवल 2 तत्व शेष मान लिए जाएँ — यहाँ 3 तत्व शेष हैं, इसलिए 4 सही नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के n तत्वों के सभी उपसमुच्चय की संख्या \(2^n\) से दी जाती है; किसी विशिष्ट तत्व को “नहीं रखना” मतलब उसे हटाकर शेष पर \(2^{\text{शेष}}\,\) गिनना। / Not containing the two specified elements means exclude those two and count subsets of the remaining elements. From 5 elements, removing the two leaves 3 elements, whose subsets number is \(2^3=8\). Thus 8 is correct. Note on distractors: option A (4) would correspond to mistakenly assuming only 2 elements remain (giving \(2^2=4\)), so it is incorrect here. Exam tip: remember that a set with n elements has \(2^n\) subsets; when certain elements are forbidden, subtract them first and apply \(2^{\text{remaining}}\).
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing})। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}).
यदि दो समुच्चय समान हैं (यहाँ A = U), तो उनका हर उपसमुच्चय भी समान होगा। इसलिए दोनों के उपसमुच्चयों का समूह, यानी उनका घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\), भी बराबर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी समुच्चय का घातसमुच्चय कभी शून्य समुच्चय नहीं होता; यहाँ तक कि शून्य समुच्चय के लिए भी \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(U)\) के तत्त्व U के उपसमुच्चय होते हैं, U के तत्व नहीं—इसलिए वे सामान्यतः A के तत्व नहीं होते ताकि समावेशन \(\subset\) सही रहे। विकल्प D गलत है क्योंकि समान घातसमुच्चय का परस्पर छेद्य वही घातसमुच्चय होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: सेट-सम्बन्धों में स्पष्ट करें कि घातसमुच्चय के तत्त्व उपसमुच्चय होते हैं, तत्व नहीं; और याद रखें कि \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)। / If two sets are equal (here A = U), they have exactly the same subsets. Hence their power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Option B is false because a power set is never empty; even \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\). Option C is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(U)\) are subsets of U, not elements of U, so inclusion \(\mathcal{P}(U)\subset A\) generally does not hold. Option D is false because the intersection of identical power sets is the same power set, not the empty set. Exam tip: distinguish between 'element of a set' and 'subset of a set' and remember the identity: A = B implies \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। केवल \(\varnothing\) रिक्त है इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (15) होंगे। / Total subsets are \(2^4=16\). Only \(\varnothing\) is empty so there are (15) non-empty subsets.
हर मूल तत्व से एक एक-तत्वीय उपसमुच्चय बनता है। (5) तत्वों से (5) singleton subsets बनेंगे। / Each original element forms one singleton subset. From (5) elements, there are (5) singleton subsets.
ठीक (4) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) है। ऐसे हर उपसमुच्चय को घात समुच्चय में गिना जाता है। / The number of ways to choose exactly (4) elements is \(\binom{6}{4}=15\). Every such subset is counted in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में (2) और (3) अकेले नहीं बल्कि ({2}) और ({3}) आते हैं। / A two-element set has four subsets. In the power set, (2) and (3) appear as ({2}) and ({3}), not alone.
मूल सिद्धांत: किसी सेट A के पदसमूह (power set) का तत्वों की संख्या \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\)। अनुपात \(64:16\) को सरल करने पर \(4:1\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। नजदीकी भ्रमजनक विकल्प A (3:2) या C (6:4) गलत हैं क्योंकि वे केवल मूल सेटों के तत्वों के अनुपात \(n(A):n(B)=6:4=3:2\) को दर्शाते हैं, न कि उनके पदसमूहों के तत्वों के अनुपात को। परīk्षा सुझाव: जल्दी समाधान के लिए हमेशा याद रखें \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\) और अनुपात को साधारणतः घटाकर लिखें। / Core concept: the cardinality of the power set is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). So \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\). Their ratio is \(64:16\), which simplifies to \(4:1\); hence option B is correct. A (3:2) or C (6:4) are common distractors because they reflect the ratio of the original sets \(n(A):n(B)=6:4=3:2\), not the ratio of the sizes of the power sets. Exam tip: apply \(2^{n}\) for power sets and simplify ratios by dividing by the greatest common divisor.
पहला कदम सेट \(A\) के तत्त्वों की संख्या गिनना है। शर्त \(5<x<11\) के अनुसार \(A=\{6,7,8,9,10\}\) और इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के power set (\(\mathcal{P}(A)\)) में तत्त्वों की संख्या हमेशा \(2^{n(A)}\) होती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। सबसे करीबी भ्रामक विकल्प C (64) तब ही सही होता यदि \(n(A)\) = 6 माना गया हो — यह गिनती की त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्त्व सीधे लिखकर गिनें और फिर फॉर्मूला \(2^{n(A)}\) लागू करें। / First count the elements of \(A\). From \(5<x<11\) we get \(A=\{6,7,8,9,10\}\), so \(n(A)=5\). The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). The closest wrong choice C (64) would correspond to mistakenly taking \(n(A)=6\). Exam tip: list elements to avoid off-by-one errors, then use \(2^{n(A)}\).
(MOON) के अलग-अलग अक्षर (M,O,N) हैं इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (MOON) are (M,O,N), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार गिने जाते हैं इसलिए \(A=\{4,5,6,7\}\)। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=24=16)। / Repeated elements are counted once in a set, so \(A=\{4,5,6,7\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=24=16).
किसी समुच्चय के यदि \(n\) तत्व हों तो उसके कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। यहाँ \(2^n=2048\) और \(2048=2^{11}\), अतः \(n=11\)। निकटभ्रष्ट विकल्पों का परीक्षण करने पर \(2^{10}=1024\) और \(2^{12}=4096\) आते हैं, इसलिए 10 या 12 सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: बड़े घातांक वाले मानों के लिए सीधे लॉग लें — \(n=\log_2 2048=11\)। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here \(2^n=2048\) and since \(2048=2^{11}\), we get \(n=11\). Checking nearby powers: \(2^{10}=1024\) and \(2^{12}=4096\), so 10 or 12 are incorrect. Exam tip: use base-2 logarithm for quick calculation — \(n=\log_2 2048=11\).
2 को शामिल करना और 5 को बहिष्कृत करना निश्चित है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व हैं \(\{1,3,4\}\) — तीन तत्व। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के लिए दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अत: कुल विकल्प \(2^3=8\)। विकल्प (16) तब आएगा जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (गलती से 2 या 5 की शर्त न मानना)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले निश्चित शामिल/बहिष्कृत तत्व अलग कर दें, फिर शेष स्वतंत्र तत्वों के लिए \(2^{n}\) लागू करें। / Including 2 and excluding 5 are fixed constraints, so the remaining free elements are \(\{1,3,4\}\) — three elements. Each free element can either be present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. The distractor 16 would arise if one incorrectly treated four elements as free (i.e., ignored a fixed inclusion/exclusion). Exam tip: fix the required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{number of free elements}}\).
"कम से कम 5" का अर्थ है 5 या 6 तत्व। 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{5}=6\) और 6-तत्त्व वाला पूरा सेट की संख्या \(\binom{6}{6}=1\) है। अतः कुल उपसमुच्चय \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\) हैं। विकल्प A (6) केवल उन उपसमुच्चयों की गिनती देता है जिनमें ठीक 5 तत्व हैं और पूरा सेट शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: "कम से कम k" को अक्सर "ठीक k, ठीक k+1, ..." के रूप में जोड़कर या पूरक गिनकर तेज़ी से हल करें। / "At least 5" means subsets with 5 or 6 elements. Number with 5 elements is \(\binom{6}{5}=6\) and with 6 elements is \(\binom{6}{6}=1\). So total is \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\). Option A (6) counts only the 5-element subsets and omits the whole set, so it is incorrect. Exam tip: sum the binomial counts for the required sizes or use complement counting when convenient.
(3) और (7) को रखना तय है और बाकी (5) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) होगी। / Including (3) and (7) is fixed and the remaining (5) elements are free. So the number is \(2^5=32\).
यदि हम 1, 2 और 3 को शामिल नहीं करना चाहते तो बचते हैं तत्व {4,5,6} — कुल 3 तत्व। किसी n‑तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या पॉवर सेट के सिद्धांत के अनुसार
\(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी।
नज़दीकी भ्रामक विकल्प 16 है — वह तब सही होता अगर बचे हुए तत्व 4 होते (क्योंकि \(2^4=16\))। परीक्षा टिप: पहले उन तत्वों की गिनती करें जिन्हें आप रखने/न रखने पर विचार कर रहे हैं, फिर \(2^{\text{गिने गए तत्वों की संख्या}}\) लगाएँ। / If none of 1, 2, 3 are allowed, the remaining elements are {4,5,6} — that is 3 elements. The number of subsets of an n‑element set is given by the power set size \(2^n\). Here \(n=3\), so the number of subsets is \(2^3=8\).
The closest distractor 16 would be correct only if 4 elements remained (since \(2^4=16\)). Exam tip: first count how many elements remain after restrictions, then compute \(2^{\text{remaining elements}}\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल \(2^4=16\) तत्व हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (15) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. For proper subsets, remove only (A) itself, so (15) remain.
\(A\cup B={2,4,6,8,10}\) है इसलिए इसमें (5) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={2,4,6,8,10}\), so it has (5) elements. Hence its power set has \(2^5=32\) elements.
कम से कम एक तत्व वाले उपसमुच्चय अरिक्त उपसमुच्चय होते हैं। कुल \(2^3=8\) में से \(\varnothing\) हटाने पर (7) बचते हैं। / Subsets with at least one element are non-empty subsets. From total \(2^3=8\), removing \(\varnothing\) leaves (7).
