Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (5) तत्व हैं, इसलिए घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें। / Set (A) has (5) elements, so its power set has \(2^5=32\) elements. In exams, first count the elements of the original set.
(3) को रखना निश्चित है और बाकी (1,5) चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^2=4\) होगी। / Keeping (3) is fixed and the remaining (1,5) may be chosen or not chosen. So the number is \(2^2=4\).
(A') में (U) के वे तत्व आते हैं जो (A) में नहीं हैं। इसलिए (1,4,6,8) सही पूरक हैं। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Therefore (1,4,6,8) form the correct complement.
कुल उपसमुच्चय (128) हैं और उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं गिना जाता। इसलिए संख्या (128-1=127) होगी। / There are (128) total subsets, and a proper subset does not include the whole set itself. So the number is (128-1=127).
(b) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({b}) तत्व है। इसलिए ({a,b}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (b) itself is not an element of (A); ({b}) is an element. So ({a,b}) is not a subset of (A).
घात समुच्चय का तत्व हमेशा मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({p,q}) में केवल (A) के तत्व हैं, इसलिए यह सही है। / An element of a power set is always a subset of the original set. ({p,q}) contains only elements of (A), so it is correct.
(3) स्वयं (A) का तत्व नहीं है, बल्कि ({3}) तत्व है। इसलिए ({1,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (3) itself is not an element of (A); ({3}) is an element. So ({1,3}) is not a subset of (A).
रिक्त समुच्चय में (0) तत्व हैं, इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)) में \(2^0=1\) तत्व होता है। याद रखें कि \(\varnothing\) भी एक उपसमुच्चय है। / The empty set has (0) elements, so (\mathcal{P}\(\varnothing\)) has \(2^0=1\) element. Remember that \(\varnothing\) is also a subset.
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) तत्व है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^1=2\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) element. Therefore its power set has \(2^1=2\) elements.
(A') में (2,4,6,8) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। / (A') contains (2,4,6,8), so it has (4) elements. A complement is always taken with respect to the given universal set.
एक कक्षा के (40) विद्यार्थियों में (18) गणित क्लब में और (15) विज्ञान क्लब में हैं। यदि (6) विद्यार्थी दोनों क्लब में हैं, तो किसी भी क्लब में नहीं होने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
(n\(A\cup B\)=18+15-6=27), इसलिए बाहर के विद्यार्थी (40-27=13) हैं। ऐसे प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय कुल विद्यार्थियों का होता है। / (n\(A\cup B\)=18+15-6=27), so students outside are (40-27=13). In such questions, the universal set is the total group.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B')। संघ के पूरक में केवल वे तत्व आते हैं जो दोनों से बाहर हों। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). The complement of a union contains elements outside both sets.
किसी समुच्चय के पूरक का पूरक वही समुच्चय होता है। इसे द्वि-पूरक नियम कहते हैं। / The complement of the complement of a set is the set itself. This is called the double complement law.
यदि (A) का पूरक पूरा (U) है, तो (A) में कोई तत्व नहीं हो सकता। इसलिए \(A=\varnothing\) है। / If the complement of (A) is the whole (U), then (A) cannot contain any element. Hence \(A=\varnothing\).
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं, इसलिए (n(A)=6)। अतः (n(\mathcal{P}(A))=26=64)। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18), so (n(A)=6). Hence (n(\mathcal{P}(A))=26=64).
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए (5) नहीं, बल्कि ({5}) घात समुच्चय का तत्व है। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So ({5}), not (5), is an element of the power set.
\(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है कि \(\{7\}\subseteq A\)। यदि एक एकल तत्वों वाला सेट \(\{7\}\) \(A\) का उपसैट है, तो इसका मतलब है कि 7, \(A\) का सदस्य है, यानी \(7\in A\)। विकल्प B (\(\{7\}\in A\)) का अर्थ यह होगा कि \(A\) का एक तत्व स्वयं सेट \(\{7\}\) है — यह आवश्यक नहीं है। विकल्प C (\(A=\{7\}\)) बहुत अधिक कड़ा है — \(A\) में और भी तत्व हो सकते हैं। विकल्प D स्पष्ट रूप से विरोधाभासी है। परीक्षा युक्ति: पक्का करें कि आप 'तत्व' (\(\in\)) और 'उपसैट' (\(\subseteq\)) के बीच फर्क याद रखें; \(X\in\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होता है \(X\subseteq A\)। / \(\{7\} \in \mathcal{P}(A)\) means \(\{7\}\subseteq A\). If the singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), then the element 7 belongs to \(A\); hence \(7\in A\) is definitely true. Option B (\(\{7\}\in A\)) would mean the set \(\{7\}\) is itself an element of \(A\), which is not implied. Option C (\(A=\{7\}\)) is stronger — it claims no other elements are in \(A\). Option D contradicts the conclusion. Exam tip: clearly distinguish '\(x \in A\)' (element) from '{x} \subseteq A' (singleton subset); membership in the power set means subset, not element-of-A unless explicitly stated.
\(\varnothing\), \({\varnothing}\), और ({1}) सभी (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / \(\varnothing\), \({\varnothing}\), and ({1}) are all subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
हर समुच्चय का रिक्त समुच्चय और स्वयं वह समुच्चय उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए दोनों हमेशा उसके घात समुच्चय में होते हैं। / The empty set and the set itself are subsets of every set. Therefore both are always in its power set.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। अरिक्त उचित उपसमुच्चयों के लिए \(\varnothing\) और (A) हटाने पर (6) बचते हैं। / Total subsets are \(2^3=8\). Removing \(\varnothing\) and (A) gives (6) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है। घात समुच्चय के अंदर उपसमुच्चयों को उनके आकार से भी गिना जा सकता है। / The number of subsets with exactly (2) elements is \(\binom{4}{2}=6\). Inside a power set, subsets can also be counted by their size.
एक निश्चित तत्व रखने के बाद बाकी (4) तत्व चुने या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए संख्या \(2^4=16\) होगी। / After fixing one element, each of the remaining (4) elements may be chosen or not chosen. So the number is \(2^4=16\).
यदि किसी विशेष तत्व को शामिल न किया जाए तो बचे हुए तत्वों की संख्या 6−1=5 है। किसी सेट के n तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः यहाँ उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^5=32\\) होगी। वैकल्पिक तर्क: कुल उपसमुच्चय \\(2^6=64\\) हैं और किसी दिए हुए तत्व को शामिल करने/नकरने के दो विकल्प होते हैं, इसलिए आधे यानी \\(2^5\\) ऐसे उपसमुच्चय होंगे जो उसे नहीं रखते। गलत विकल्पों का कारण: 64 कुल उपसमुच्चय हैं (इसलिए गलत), 63 गैर-खाली सभी उपसमुच्चयों का संख्या है (\(2^6-1\)), और 16 \(2^4\) होगा यदि सिर्फ 4 तत्व बचे होते — इसलिए वे भ्रामक हैं। परीक्षा-सुझाव: इस प्रकार के प्रश्नों के लिए सीधे सूत्र \(2^{n-1}\) याद रखें या पूरक गिनती (half of \(2^n\)) का प्रयोग करें। / If the particular element is excluded, 6−1=5 elements remain. A set with n elements has \(2^n\) subsets, so here the number is \(2^5=32\). Alternatively, of the total \(2^6=64\) subsets, exactly half will not contain the chosen element, giving \(2^5\). Why other options are wrong: 64 is the total number of subsets, 63 equals the number of non-empty subsets (\(2^6-1\)), and 16 equals \(2^4\) which would be the count if only 4 elements remained. Exam tip: use the formula \(2^{n-1}\) for “subsets not containing a given element” or reason by splitting presence/absence of that element.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता, इसलिए (U) के सभी तत्व उसके पूरक में आते हैं। अतः \(\varnothing'=U\)। / The empty set has no elements, so all elements of (U) lie in its complement. Hence \(\varnothing'=U\).
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं और केवल \(\varnothing\) रिक्त है। इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (8-1=7) हैं। / Total subsets are \(2^3=8\), and only \(\varnothing\) is empty. So non-empty subsets are (8-1=7).
एक-तत्वीय उपसमुच्चय हर मूल तत्व से एक बनता है। (4) तत्वों से (4) singleton subsets बनेंगे। / A singleton subset is formed from each original element. From (4) elements, there will be (4) singleton subsets.
ठीक (3) तत्व चुनने के तरीके \(\binom{5}{3}=10\) हैं। ऐसे हर चयन से (\mathcal{P}(A)) का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (3) elements is \(\binom{5}{3}=10\). Each such choice is an element of (\mathcal{P}(A)).
दो तत्वों वाले समुच्चय के (4) उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में तत्व उपसमुच्चय होते हैं, अकेले (0) और (1) नहीं। / A two-element set has (4) subsets. In a power set, the elements are subsets, not the single numbers (0) and (1).
\(A\cap B={b}\) है, इसलिए उसका पूरक (U) में (b) को छोड़कर बाकी तत्व हैं। अतः ({a,c,d}) सही है। / \(A\cap B={b}\), so its complement is all elements of (U) except (b). Hence ({a,c,d}) is correct.
किसी सेट X के पावर सेट का कार्डिनैलिटी नियम है \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\)। इसलिए अनुपात \(16:8=2:1\) होगा। विकल्प B (4:3) गलत है क्योंकि वह मूल सेटों A और B का अनुपात \(4:3\) है, पावर सेटों का नहीं। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट के लिए हमेशा \(2^{n}\) लागू करें और अंतिम अनुपात को सरलतम रूप में लिखें। / For any set X, the power-set cardinality is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). Thus \(n(\mathcal{P}(A))=2^{4}=16\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^{3}=8\). The ratio is \(16:8=2:1\). Option B (4:3) is incorrect because it represents the ratio of the original sets A and B, not their power sets. Exam tip: compute \(2^{n}\) for each set first, then simplify the resulting ratio by dividing by the greatest common divisor.
(LEVEL) के अलग-अलग अक्षर (L,E,V) हैं, इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (LEVEL) are (L,E,V), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार ही गिने जाते हैं, इसलिए \(A=\{1,2,3\}\)। इस कारण (n(\mathcal{P}(A))=23=8)। / Repeated elements are counted only once in a set, so \(A=\{1,2,3\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
(6) तत्वों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व है। / The number of ways to choose (5) elements from (6) is \(\binom{6}{5}=6\). Each choice is one element of the power set.
किसी समुच्चय में कुल उपसमुच्चयों की संख्या अगर उसके तत्वों की संख्या n हो तो वह \,\(2^n\) होती है। यहाँ \(2^n=256\)। क्योंकि \(256=2^8\), इसलिए \(n=8\)। निकट के भ्रामक विकल्पों में से \(7\) के लिए \(2^7=128\) और \(9\) के लिए \(2^9=512\) होंगे, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^n\) होती है और प्रमुख गुणांकों (powers of 2) से मिलान करके जल्दी उत्तर मिल जाता है। / If a set has n elements, the total number of subsets is given by \(2^n\). Here \(2^n=256\). Since \(256=2^8\), we get \(n=8\). Close distractors fail because \(2^7=128\) and \(2^9=512\), so 7 and 9 are incorrect. Exam tip: use the formula \(2^n\) and recognize powers of 2 (128, 256, 512...) to answer quickly.
यदि \(A\subseteq B\) है, तो (B) के बाहर के तत्व (A) के बाहर भी होंगे। इसलिए \(B'\subseteq A'\) होता है। / If \(A\subseteq B\), then every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\).
A के तत्व स्पष्ट रूप से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के पावर सेट की संख्यात्मक प्राप्ति के नियम के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) होगा — यानी यदि किसी ने सेट में 4 तत्व गिने होते। विकल्प D (64) तब गलत है जब किसी ने ग़लत तरीके से 6 तत्व मान लिए (\(2^6\))। परीक्षा संकेत: तत्वों की संख्या तर्कसंगत तरीके से गिनें — पूर्णांक के लिए अंत-बिंदु गुणा नियम का प्रयोग करें (उपरि - निचली + 1)। / The elements of A are clearly \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n(A)=5\). The cardinality of a power set is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). Option B (16) would correspond to \(2^4\), i.e. miscounting A as having 4 elements; option D (64) corresponds to \(2^6\), i.e. miscounting 6 elements. Quick exam tip: for integer ranges use (upper − lower + 1) to find the number of elements, then compute \(2^n\).
यहाँ 1 को शामिल करना और 4 को बाहर रखना निश्चित है। शेष दो तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के दो-दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं): कुल विकल्प = \(2^2=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प 8 इसलिए गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र निर्णय मानकर \(2^3=8\) गिनता है (अर्थात् 4 को स्वतंत्र मानना) — जो यहाँ लागू नहीं है। परीक्षा टिप: पहले फिक्स किए गए तत्व तय कर लें, फिर शेष मुक्त तत्वों पर \(2^{\text{#free elements}}\) लागू करें। / Include 1 and exclude 4 are fixed choices. The remaining elements 2 and 3 are free, each can be either present or absent, giving \(2^2=4\) possible subsets. Thus the correct count is 4. Option 8 is a common mistake (it counts \(2^3\), treating 4 as free). Exam tip: fix required/included or excluded elements first, then use \(2^{\text{number of remaining elements}}\) to count subsets.
कम से कम (4) तत्व का अर्थ (4) या (5) तत्व है। संख्या \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\) है। / At least (4) elements means (4) or (5) elements. The number is \(\binom{5}{4}+\binom{5}{5}=5+1=6\).
(2) और (5) को रखना निश्चित है, बाकी (4) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। / Keeping (2) and (5) is fixed, and the remaining (4) elements are free. Therefore the number of subsets is \(2^4=16\).
यदि हम 1 और 2 को हटाते हैं तो बचते हैं {3,4,5} — कुल 3 तत्व। किसी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या =
\(2^{\text{(तत्त्वों की संख्या)}}\) इसलिए यहाँ \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। 16 (\(2^4\)) वाला विकल्प आम गलती है जब कोई एक ही तत्व हटाने या तत्वों की गिनती गलत कर लेता है। 4 (\(2^2\)) और 32 (\(2^5\)) भी गलत हैं — क्रमशः तभी मिलेंगे जब बचते हुए तत्त्व 2 या 5 माने जाएँ। परीक्षा सजेशन: पहले बचने वाले तत्वों की संख्या गिनें, फिर सीधे \(2^n\) लागू करें। / Removing 1 and 2 leaves {3,4,5}, which has 3 elements. Number of subsets = \(2^{\text{number of elements}}\), so \(2^3=8\). The option 16 (\(2^4\)) is a common mistake from miscounting elements (treating 4 remaining elements). Options 4 (\(2^2\)) and 32 (\(2^5\)) correspond to mistakenly using 2 or 5 elements respectively. Exam tip: always count the remaining elements after restrictions, then use \(2^n\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल (8) उपसमुच्चय हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (7) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has (8) total subsets. For proper subsets, only (A) itself is removed, so (7) remain.
\(A\cup B={1,2,3,4}\), इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={1,2,3,4}\), so it has (4) elements. Therefore its power set has \(2^4=16\) elements.
