Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A) में (4) तत्व हैं इसलिए (\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। परीक्षा में पहले मूल समुच्चय के अलग-अलग तत्व गिनें। / Set (A) has (4) elements so (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. In exams first count the distinct elements of the original set.
पहला कदम है समूहनिर्दिष्ट परिप्रेक्ष्य में पूरक निकालना: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\) इसलिए \(n(A')=4\)। किसी सेट के पावर सेट में उसके सभी संभव उपसमूह होते हैं और उनकी संख्या \(2^{n(\text{set})}\) से दी जाती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\)। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प \(8\) ऐसा मानने पर आता है कि कोई छात्र गलती से \(n(A')=3\) मान ले जिससे \(2^3=8\) निकले — यह गलत है क्योंकि वास्तविक \(A'\) में 4 तत्व हैं। परिक्षा-सुझाव: पहले पूरक के तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^{n}\) का प्रयोग करें; इस क्रम का उल्टा न करें। / First find the complement relative to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\), so \(n(A')=4\). The number of subsets (power set size) of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A'))=2^{4}=16\). The closest wrong choice, 8, would result from mistakenly taking \(n(A')=3\) and computing \(2^3\); 4 would be wrong if one confuses the set size with the power set size. Exam tip: always count elements of the complement first, then apply \(2^{n}\).
पावर सेट का नियम है कि यदि किसी समुच्चय \(A\) में \(n\) तत्व हैं तो उसकी पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ दिया है \(n(\mathcal{P}(A))=512\)। चूँकि \(512=2^9\), इसलिए \(n(A)=9\)। नज़दीकी भ्रामक विकल्पों की जाँच: यदि \(n(A)=8\) होता तो \(2^8=256\) और यदि \(n(A)=10\) होता तो \(2^{10}=1024\) — दोनों 512 नहीं देते। परीक्षा टिप: शक्तियों के मान \(2^5, 2^6, …, 2^{10}\) याद रखें ताकि ऐसे प्रश्न तेज़ी से हल हो सकें। / The power-set rule states that if a set \(A\) has \(n\) elements then \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) subsets. Given \(n(\mathcal{P}(A))=512\) and since \(512=2^9\), we conclude \(n(A)=9\). Checking nearby distractors: for \(n(A)=8\), \(2^8=256\); for \(n(A)=10\), \(2^{10}=1024\) — neither equals 512. Exam tip: memorize powers of 2 \(e.g. 2^5…2^{10}\) to answer such questions quickly.
किसी समुच्चय के कुल उपसमुच्चय की संख्या 2^n होती है जहाँ n तत्वों की संख्या है. यहाँ 2^n = 1024, इसलिए n = 10. किसी समुच्चय के उचित उपसमुच्चयों में पूरा समुच्चय शामिल नहीं होता, अतः उनकी संख्या कुल उपसमुच्चयों में से 1 घटाकर मिलेगी: 1024 − 1 = 1023. विकल्प 1024 गलत है क्योंकि वह पूरा समुच्चय भी गिनता है; 512 गलत है क्योंकि वह 29 है; 10 स्पष्टतः असंगत है। परीक्षा टिप: पहले 2^n = 1024 से n निकालें (यहाँ n=10), फिर उचित उपसमुच्चय = 2^n − 1 करें। / The number of all subsets of a set with n elements is 2^n. Given 2^n = 1024, we get n = 10. A proper subset excludes the set itself, so the count is total subsets minus one: 1024 − 1 = 1023. Option 1024 is incorrect because it counts the whole set as well; 512 corresponds to 29 and is therefore wrong; 10 is not relevant. Exam tip: identify n by recognizing 1024 = 210 (or use log2), then compute proper subsets as 2^n − 1.
घात समुच्चय का प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। ({r,t}) में केवल (A) के तत्व हैं इसलिए यह सही है। / Every element of a power set is a subset of the original set. ({r,t}) contains only elements of (A) so it is correct.
(1) स्वयं (A) का तत्व नहीं है बल्कि ({1}) तत्व है। इसलिए ({0,1}), (A) का उपसमुच्चय नहीं है। / (1) itself is not an element of (A); ({1}) is an element. So ({0,1}) is not a subset of (A).
(A) में दो अलग-अलग तत्व हैं इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) को अलग समझें। / Set (A) has two distinct elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Treat \(\varnothing\) and \({\varnothing}\) as different.
यदि किसी समुच्चय A में n तत्व हों तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। यहाँ A = \(\{a\}\) के लिए n = 1, अतः \(\mathcal{P}(\{a\})\) में \(2^1 = 2\) तत्व होंगे। अब उन 2 तत्वों का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\) में कुल \(2^2 = 4\) तत्व होंगे। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तब मिलता अगर शुरूआती समुच्चय में 3 तत्व होते (\(2^{2^3}=256\) नहीं—यहां चरणबद्ध गिनती लागू करें)। परीक्षा युक्ति: पहले मूल समुच्चय के तत्व गिनें (n), फिर सामान्य सूत्र \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert=2^{2^n}\) या चरण-दर-चरण \(2^n\) और फिर \(2^{(2^n)}\) के बजाय छोटे मामलों में सीधे \(2^{2^n}\) से गणना करें। / If a set A has n elements then its power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^n\) elements. Here A = \(\{a\}) so n = 1, therefore \(\mathcal{P}(\{a\})\) has \(2^1 = 2\) elements. The power set of that set, \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{a\}))\), therefore has \(2^2 = 4\) elements. Hence 4 is correct. Option C (8) is incorrect — that would correspond to a different starting size; do the counting stepwise rather than guessing. Exam tip: use the general formula \(\lvert\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\rvert = 2^{2^n}\) for a set of size n, or compute \(2^n\) first and then take the power set of that result for small n.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cap B\)'=A'\cup B')। प्रतिच्छेद के पूरक में कम से कम एक समुच्चय से बाहर वाले तत्व आते हैं। / By De Morgan's law, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'). The complement of an intersection includes elements outside at least one set.
24 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — कुल 8 तत्व। इसलिए \(n(A)=8\)। किसी समुच्चय का शक्ति-समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\)। निकटवर्ती भ्रामक विकल्प 128 है — वह तब होता यदि तत्व केवल 7 होते (\(2^7\)) यानी एक भाजक छूट गया हो। परीक्षा-सुझाव: भाजकों की संख्या तेज़ी से पाने के लिए 24 का गुणनकर्ता रूप लिखें \(24=2^3\times3^1\) और divisors की संख्या \((3+1)(1+1)=8\) लागू करें। / The positive divisors of 24 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 — a total of 8 elements, so \(n(A)=8\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^{n(A)}\) elements, hence \(n(\mathcal{P}(A))=2^8=256\). The closest distractor 128 would correspond to \(2^7\), i.e. missing one divisor. Exam tip: use prime factorization \(24=2^3\times3^1\) and the divisor-count formula \((3+1)(1+1)=8\) to get the number of divisors quickly.
एकल समुच्चय के उपसमुच्चय \(\varnothing\) और वही समुच्चय होते हैं। इसलिए घात समुच्चय में ({k}) आएगा, केवल (k) नहीं। / The subsets of a singleton set are \(\varnothing\) and the set itself. So the power set contains ({k}), not just (k).
A. \(m\in A\) और \(n\in A\)/\(m\in A\) and \(n\in A\)
Explanation
Simple Explanation
\({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \({m,n}\subseteq A\)। इसलिए (m) और (n) दोनों (A) के तत्व होंगे। / \({m,n}\in \mathcal{P}(A)\) means \({m,n}\subseteq A\). Therefore both (m) and (n) are elements of (A).
दिए गए तीनों विकल्प (A) के उपसमुच्चय हैं। इसलिए ये सभी (\mathcal{P}(A)) के तत्व हैं। / All three given options are subsets of (A). Therefore all of them are elements of (\mathcal{P}(A)).
\(\varnothing\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। इसलिए \(\varnothing\) हमेशा (\mathcal{P}(A)) का तत्व होगा। / \(\varnothing\) is a subset of every set. Therefore \(\varnothing\) is always an element of (\mathcal{P}(A)).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। \(\varnothing\) और (A) को हटाने पर (14) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / Total subsets are \(2^4=16\). Removing \(\varnothing\) and (A) leaves (14) non-empty proper subsets.
ठीक (2) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। हर चयन घात समुच्चय का एक तत्व बनता है। / The number of ways to choose exactly (2) elements is \(\binom{5}{2}=10\). Each choice becomes an element of the power set.
एक तत्व को रखना तय है और बाकी (6) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^6=64\) होगी। / One element is fixed to be included and the remaining (6) elements are free. So the number of subsets is \(2^6=64\).
दो निर्दिष्ट तत्वों को उपसमुच्चयों में शामिल नहीं करने का मतलब है कि हम उन दोनों को हटा कर शेष तत्वों के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें। A के कुल 5 तत्व हैं; दो हटाने पर बचे 3 तत्व होंगे, जिनके सभी उपसमुच्चयों की संख्या है \(2^3=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। गलत विकल्पों पर टिप्पणी: विकल्प A (4) तब ग़लत होगा जब केवल 2 तत्व शेष मान लिए जाएँ — यहाँ 3 तत्व शेष हैं, इसलिए 4 सही नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी सेट के n तत्वों के सभी उपसमुच्चय की संख्या \(2^n\) से दी जाती है; किसी विशिष्ट तत्व को “नहीं रखना” मतलब उसे हटाकर शेष पर \(2^{\text{शेष}}\,\) गिनना। / Not containing the two specified elements means exclude those two and count subsets of the remaining elements. From 5 elements, removing the two leaves 3 elements, whose subsets number is \(2^3=8\). Thus 8 is correct. Note on distractors: option A (4) would correspond to mistakenly assuming only 2 elements remain (giving \(2^2=4\)), so it is incorrect here. Exam tip: remember that a set with n elements has \(2^n\) subsets; when certain elements are forbidden, subtract them first and apply \(2^{\text{remaining}}\).
रिक्त समुच्चय का एकमात्र उपसमुच्चय वही रिक्त समुच्चय है। इसलिए (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing})। / The only subset of the empty set is the empty set itself. Therefore (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}).
यदि दो समुच्चय समान हैं (यहाँ A = U), तो उनका हर उपसमुच्चय भी समान होगा। इसलिए दोनों के उपसमुच्चयों का समूह, यानी उनका घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U)\), भी बराबर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि किसी भी समुच्चय का घातसमुच्चय कभी शून्य समुच्चय नहीं होता; यहाँ तक कि शून्य समुच्चय के लिए भी \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\) होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(U)\) के तत्त्व U के उपसमुच्चय होते हैं, U के तत्व नहीं—इसलिए वे सामान्यतः A के तत्व नहीं होते ताकि समावेशन \(\subset\) सही रहे। विकल्प D गलत है क्योंकि समान घातसमुच्चय का परस्पर छेद्य वही घातसमुच्चय होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: सेट-सम्बन्धों में स्पष्ट करें कि घातसमुच्चय के तत्त्व उपसमुच्चय होते हैं, तत्व नहीं; और याद रखें कि \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\)। / If two sets are equal (here A = U), they have exactly the same subsets. Hence their power sets are equal: \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(U)\). Option B is false because a power set is never empty; even \(\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}\). Option C is incorrect because elements of \(\mathcal{P}(U)\) are subsets of U, not elements of U, so inclusion \(\mathcal{P}(U)\subset A\) generally does not hold. Option D is false because the intersection of identical power sets is the same power set, not the empty set. Exam tip: distinguish between 'element of a set' and 'subset of a set' and remember the identity: A = B implies \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\).
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। केवल \(\varnothing\) रिक्त है इसलिए अरिक्त उपसमुच्चय (15) होंगे। / Total subsets are \(2^4=16\). Only \(\varnothing\) is empty so there are (15) non-empty subsets.
हर मूल तत्व से एक एक-तत्वीय उपसमुच्चय बनता है। (5) तत्वों से (5) singleton subsets बनेंगे। / Each original element forms one singleton subset. From (5) elements, there are (5) singleton subsets.
ठीक (4) तत्व चुनने की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) है। ऐसे हर उपसमुच्चय को घात समुच्चय में गिना जाता है। / The number of ways to choose exactly (4) elements is \(\binom{6}{4}=15\). Every such subset is counted in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में (2) और (3) अकेले नहीं बल्कि ({2}) और ({3}) आते हैं। / A two-element set has four subsets. In the power set, (2) and (3) appear as ({2}) and ({3}), not alone.
मूल सिद्धांत: किसी सेट A के पदसमूह (power set) का तत्वों की संख्या \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) होता है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) और \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\)। अनुपात \(64:16\) को सरल करने पर \(4:1\) मिलता है, इसलिए विकल्प B सही है। नजदीकी भ्रमजनक विकल्प A (3:2) या C (6:4) गलत हैं क्योंकि वे केवल मूल सेटों के तत्वों के अनुपात \(n(A):n(B)=6:4=3:2\) को दर्शाते हैं, न कि उनके पदसमूहों के तत्वों के अनुपात को। परīk्षा सुझाव: जल्दी समाधान के लिए हमेशा याद रखें \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\) और अनुपात को साधारणतः घटाकर लिखें। / Core concept: the cardinality of the power set is given by \(n(\mathcal{P}(X))=2^{n(X)}\). So \(n(\mathcal{P}(A))=2^6=64\) and \(n(\mathcal{P}(B))=2^4=16\). Their ratio is \(64:16\), which simplifies to \(4:1\); hence option B is correct. A (3:2) or C (6:4) are common distractors because they reflect the ratio of the original sets \(n(A):n(B)=6:4=3:2\), not the ratio of the sizes of the power sets. Exam tip: apply \(2^{n}\) for power sets and simplify ratios by dividing by the greatest common divisor.
पहला कदम सेट \(A\) के तत्त्वों की संख्या गिनना है। शर्त \(5<x<11\) के अनुसार \(A=\{6,7,8,9,10\}\) और इसलिए \(n(A)=5\)। किसी भी सेट के power set (\(\mathcal{P}(A)\)) में तत्त्वों की संख्या हमेशा \(2^{n(A)}\) होती है। अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\)। सबसे करीबी भ्रामक विकल्प C (64) तब ही सही होता यदि \(n(A)\) = 6 माना गया हो — यह गिनती की त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: पहले सेट के तत्त्व सीधे लिखकर गिनें और फिर फॉर्मूला \(2^{n(A)}\) लागू करें। / First count the elements of \(A\). From \(5<x<11\) we get \(A=\{6,7,8,9,10\}\), so \(n(A)=5\). The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\). Therefore \(n(\mathcal{P}(A))=2^5=32\). The closest wrong choice C (64) would correspond to mistakenly taking \(n(A)=6\). Exam tip: list elements to avoid off-by-one errors, then use \(2^{n(A)}\).
(MOON) के अलग-अलग अक्षर (M,O,N) हैं इसलिए (n(A)=3)। अतः घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। / The distinct letters of (MOON) are (M,O,N), so (n(A)=3). Therefore the power set has \(2^3=8\) elements.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व एक बार गिने जाते हैं इसलिए \(A=\{4,5,6,7\}\)। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=24=16)। / Repeated elements are counted once in a set, so \(A=\{4,5,6,7\}\). Hence (n(\mathcal{P}(A))=24=16).
किसी समुच्चय के यदि \(n\) तत्व हों तो उसके कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। यहाँ \(2^n=2048\) और \(2048=2^{11}\), अतः \(n=11\)। निकटभ्रष्ट विकल्पों का परीक्षण करने पर \(2^{10}=1024\) और \(2^{12}=4096\) आते हैं, इसलिए 10 या 12 सही नहीं हैं। परीक्षा-टिप: बड़े घातांक वाले मानों के लिए सीधे लॉग लें — \(n=\log_2 2048=11\)। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets. Here \(2^n=2048\) and since \(2048=2^{11}\), we get \(n=11\). Checking nearby powers: \(2^{10}=1024\) and \(2^{12}=4096\), so 10 or 12 are incorrect. Exam tip: use base-2 logarithm for quick calculation — \(n=\log_2 2048=11\).
2 को शामिल करना और 5 को बहिष्कृत करना निश्चित है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व हैं \(\{1,3,4\}\) — तीन तत्व। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के लिए दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अत: कुल विकल्प \(2^3=8\)। विकल्प (16) तब आएगा जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ (गलती से 2 या 5 की शर्त न मानना)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले निश्चित शामिल/बहिष्कृत तत्व अलग कर दें, फिर शेष स्वतंत्र तत्वों के लिए \(2^{n}\) लागू करें। / Including 2 and excluding 5 are fixed constraints, so the remaining free elements are \(\{1,3,4\}\) — three elements. Each free element can either be present or absent, giving \(2^3=8\) subsets. The distractor 16 would arise if one incorrectly treated four elements as free (i.e., ignored a fixed inclusion/exclusion). Exam tip: fix the required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{number of free elements}}\).
"कम से कम 5" का अर्थ है 5 या 6 तत्व। 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{5}=6\) और 6-तत्त्व वाला पूरा सेट की संख्या \(\binom{6}{6}=1\) है। अतः कुल उपसमुच्चय \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\) हैं। विकल्प A (6) केवल उन उपसमुच्चयों की गिनती देता है जिनमें ठीक 5 तत्व हैं और पूरा सेट शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: "कम से कम k" को अक्सर "ठीक k, ठीक k+1, ..." के रूप में जोड़कर या पूरक गिनकर तेज़ी से हल करें। / "At least 5" means subsets with 5 or 6 elements. Number with 5 elements is \(\binom{6}{5}=6\) and with 6 elements is \(\binom{6}{6}=1\). So total is \(\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=6+1=7\). Option A (6) counts only the 5-element subsets and omits the whole set, so it is incorrect. Exam tip: sum the binomial counts for the required sizes or use complement counting when convenient.
(3) और (7) को रखना तय है और बाकी (5) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) होगी। / Including (3) and (7) is fixed and the remaining (5) elements are free. So the number is \(2^5=32\).
यदि हम 1, 2 और 3 को शामिल नहीं करना चाहते तो बचते हैं तत्व {4,5,6} — कुल 3 तत्व। किसी n‑तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या पॉवर सेट के सिद्धांत के अनुसार
\(2^n\) होती है। यहाँ \(n=3\) है इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी।
नज़दीकी भ्रामक विकल्प 16 है — वह तब सही होता अगर बचे हुए तत्व 4 होते (क्योंकि \(2^4=16\))। परीक्षा टिप: पहले उन तत्वों की गिनती करें जिन्हें आप रखने/न रखने पर विचार कर रहे हैं, फिर \(2^{\text{गिने गए तत्वों की संख्या}}\) लगाएँ। / If none of 1, 2, 3 are allowed, the remaining elements are {4,5,6} — that is 3 elements. The number of subsets of an n‑element set is given by the power set size \(2^n\). Here \(n=3\), so the number of subsets is \(2^3=8\).
The closest distractor 16 would be correct only if 4 elements remained (since \(2^4=16\)). Exam tip: first count how many elements remain after restrictions, then compute \(2^{\text{remaining elements}}\).
(\mathcal{P}(A)) में कुल \(2^4=16\) तत्व हैं। उचित उपसमुच्चय के लिए केवल (A) को हटाते हैं, इसलिए (15) बचते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) elements. For proper subsets, remove only (A) itself, so (15) remain.
\(A\cup B={2,4,6,8,10}\) है इसलिए इसमें (5) तत्व हैं। अतः घात समुच्चय में \(2^5=32\) तत्व होंगे। / \(A\cup B={2,4,6,8,10}\), so it has (5) elements. Hence its power set has \(2^5=32\) elements.
कम से कम एक तत्व वाले उपसमुच्चय अरिक्त उपसमुच्चय होते हैं। कुल \(2^3=8\) में से \(\varnothing\) हटाने पर (7) बचते हैं। / Subsets with at least one element are non-empty subsets. From total \(2^3=8\), removing \(\varnothing\) leaves (7).
