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तर्क: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B^c\) (यानी \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा; अतः \(x\in A^c\)। इसलिए हर \(B^c\) का तत्व \(A^c\) में है यानी \(B^c\subseteq A^c\)। गलत विकल्पों के बारे में: विकल्प B उल्टा Inclusion दर्शाता है और सामान्यतः गलत है (सिर्फ तब सही होगा जब \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। विकल्प D तब ही सही हो सकता है जब \(A\cup B\) सार्वभौमिक सेट हो; यह सामान्य स्थिति नहीं है। परीक्षा सुझाव: तत्व-आधारित तर्क (element-wise) या वेन-आकृति से पूरक संबंध को जल्दी सत्यापित करें। / Reason: From \(A\subseteq B\) every element of \(A\) is in \(B\). If \(x\in B^c\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A^c\). Thus every element of \(B^c\) lies in \(A^c\), i.e. \(B^c\subseteq A^c\). About the distractors: option B reverses the inclusion and is false in general (true only if \(A=B\)); option C holds only when \(A=B\); option D asserts an empty intersection of complements which would mean \(A\cup B\) is the universal set — not generally true. Exam tip: Use element-wise proof or a Venn diagram; complements reverse subset relations.
\(A\cap B\) में जो 14 तत्व हैं, उनमें से 6 तत्व सभी तीनों सेटों \(A, B, C\) में भी होते हैं (यानी \(A\cap B\cap C\))। "केवल \(A\cap B\)" का मतलब है \(A\cap B\) में हों पर \(C\) में न हों। इसलिए केवल \(A\cap B\) के तत्व = \(14-6=8\)। विकल्प B (14) त्रि-प्रतिच्छेद को भी गिना हुआ कुल है; विकल्प D (6) केवल तीनों में साझा तत्व हैं। परीक्षा टिप: "केवल" देखते ही उन तत्वों को तीसरे सेट से घटा दें। / The 14 elements in \(A\cap B\) include the 6 elements that lie in all three sets (\(A\cap B\cap C\)). "Only in \(A\cap B\)" means in \(A\cap B\) but not in \(C\). So the count is \(14-6=8\). Option B (14) counts the triple-overlap as well; option D (6) counts only the elements common to all three. Exam tip: when a question asks for "only" elements in the intersection of two sets, subtract any elements that are also in the third set.
(A') में (U) के वे सदस्य आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में (1) को अभाज्य न मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). In exams remember that (1) is not prime.
समुच्चय \(U\) में 48 संख्याएँ हैं। \(A\) में 4 के 12 गुणज और \(B\) में 6 के 8 गुणज हैं। दोनों में समान संख्याएँ 12 के गुणज हैं, जिनकी संख्या 4 है। अतः समावेश-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cup B)=12+8-4=16\)। इसलिए \(n((A\cup B)')=48-16=32\)। विकल्प 16 केवल \(A\cup B\) की cardinality है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा-सूत्र: \(n(S')=n(U)-n(S)\)। / The universal set \(U\) contains 48 natural numbers. Set \(A\) has 12 multiples of 4, and set \(B\) has 8 multiples of 6. Their common elements are the multiples of 12, of which there are 4. By inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=12+8-4=16\). Therefore, \(n((A\cup B)')=48-16=32\). The value 16 represents the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: use \(n(S')=n(U)-n(S)\).
समुच्चय A के लिए शर्त \(x^2<10\) है, अर्थात \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\)। चूँकि \(3<\sqrt{10}<4\) और x पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय U में -5 से 5 तक के सभी पूर्णांक हैं; अतः A में न आने वाले तत्व \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: पूर्णांकों में \(x^2<10\) को जाँचते समय \(|x|\le3\) लें, जबकि \(|x|=4\) पर \(x^2=16\) हो जाता है। / For set A, the condition \(x^2<10\) is equivalent to \(-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\). Since \(3<\sqrt{10}<4\) and x is an integer, \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The universal set U contains all integers from -5 to 5, so the elements of U not in A are \(A'=U\setminus A=\{-5,-4,4,5\}\). Exam tip: for integer x, \(x^2<10\) gives \(|x|\le3\); the next integers, \(\pm4\), have square 16 and are excluded from A.
\(x^2-2x-15\le 0\) से \(-3\le x\le 5\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) पूर्णांक हैं। (U) में (17) सदस्य हैं, पर यहां पूरक (8) नहीं बल्कि (-8) से (-4) और (6) से (8) मिलाकर (8) होना चाहिए। / The inequality \(x^2-2x-15\le 0\) gives \(-3\le x\le 5\), so (A) has (9) integers. Since (U) has (17) elements, the complement has (17-9=8) elements.
(-2) समुच्चय (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में आएगा। (3) और (7) (A) में हैं, इसलिए पूरक में (3) नहीं और (7) के बाद के मान आएंगे। / The point (-2) is not in (A), so it is included in the complement. The points (3) and (7) are in (A), so (3) is excluded and values after (7) are included.
यदि \(A=A'\) हो, तो U का प्रत्येक अवयव एक साथ A में और A में नहीं होना चाहिए, जो असंभव है। अतः U में कोई अवयव नहीं हो सकता, इसलिए \(U=\varnothing\)। परीक्षा टिप: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / If \(A=A'\), every element of U would have to belong to A and not belong to A at the same time, which is impossible. Hence U has no elements, so \(U=\varnothing\). Exam tip: always take a complement relative to the stated universal set.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B\) में वे सभी अवयव होंगे जो \(B\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A'\cap B=B-A\), इसलिए \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\)। विकल्प 36, \(n(U)-n(B)\) है, जो \(B'\) की संख्या बताता है, न कि \(A'\cap B\) की। परीक्षा-युक्ति: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) सीधे लागू करें। / Since \(A\subseteq B\), the set \(A'\cap B\) contains the elements that are in \(B\) but not in \(A\). Thus, \(A'\cap B=B-A\), and \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=54-31=23\). Option 36 represents \(n(U)-n(B)\), which is the cardinality of \(B'\), not \(A'\cap B\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), use \(n(B-A)=n(B)-n(A)\) directly.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (20) हैं, इसलिए पूरक में (30-20=10) सदस्य हैं। समावेशन-बहिष्करण जल्दी लगाएं। / There are (20) numbers divisible by (2) or (3), so the complement has (30-20=10) elements. Use inclusion-exclusion quickly.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और (B) अभाज्य संख्याओं का। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर सभी विषम अभाज्य आएंगे। / (A') is the set of odd numbers and (B) is the set of primes. Thus \(A'\cap B\) contains all odd primes except (2).
U के सापेक्ष A′ = {b, d, f} और B′ = {a, d, e} हैं। इन दोनों समुच्चयों में समान तत्व केवल d है, इसलिए A′ ∩ B′ = {d}। विकल्प B पूरे U में से c को छोड़कर लगभग सभी तत्व दिखाता है, जबकि प्रतिच्छेद में केवल दोनों पूरकों के समान तत्व लिए जाते हैं। परीक्षा में पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय U को आधार अवश्य मानें। / With respect to U, A′ = {b, d, f} and B′ = {a, d, e}. The only common element is d, so A′ ∩ B′ = {d}. Option B does not represent the common elements of the two complements. As an exam tip, always use the given universal set when finding a complement; equivalently, De Morgan’s law gives A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′.
(n\(A \cup B\)=35+42-18=59), इसलिए पूरक (80-59=21) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A \cup B\)=35+42-18=59), so the complement is (80-59=21). Find the union first, then take the complement.
पहले \(A-B\) ज्ञात करें। समुच्चय \(B\) में उपस्थित \(6\) और \(12\) को \(A\) से हटाने पर \(A-B=\{2,4,8,10\}\) मिलता है। अब \(U\) में इस समुच्चय के सभी शेष अवयव इसका पूरक होंगे, इसलिए \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\)। विकल्प B केवल \(A-B\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के प्रत्येक अवयव की जाँच करें। / First find the difference: removing the elements 6 and 12, which belong to both \(A\) and \(B\), gives \(A-B=\{2,4,8,10\}\). The complement contains every element of \(U\) that is not in \(A-B\), so \((A-B)'=\{1,3,5,6,7,9,11,12\}\). Option B is just \(A-B\), not its complement. Exam tip: always take a complement relative to the stated universal set and check every element of \(U\).
पूरक हमेशा दिए गए (U) के अंदर ही लिया जाता है। इसलिए यहाँ (A') प्राकृतिक सम संख्याओं का समुच्चय है। / The complement is always taken inside the given (U). Thus (A') is the set of natural even numbers here.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x:x\in\mathbb{Z},\ 0\le x\le 10\}\) और \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x^2-5x+6=0\}\) है, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A'\) कौन-सा है?
दिया गया समीकरण \(x^2-5x+6=0\) को \((x-2)(x-3)=0\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए \(A=\{2,3\}\)। पूरक समुच्चय \(A'=U\setminus A\) होता है; अतः \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) में से 2 और 3 हटाने पर \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\) मिलता है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / Factorising the equation gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\), so \(A=\{2,3\}\). The complement is \(A'=U\setminus A\). Removing 2 and 3 from \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) gives \(A'=\{0,1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: always find the complement relative to the stated universal set.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार संघ का पूरक, प्रत्येक समुच्चय के पूरकों का प्रतिच्छेद होता है; इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में प्रतिच्छेद के स्थान पर संघ है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर \(\cup\) और \(\cap\) बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, the complement of a union is the intersection of the individual complements, so A is correct. Option B incorrectly keeps union. Exam tip: on taking a complement, interchange \(\cup\) and \(\cap\).
समुच्चय \(A\) में 1 से 50 तक 5 के गुणज आते हैं: \(5,10,15,\ldots,50\)। इनकी संख्या \(50/5=10\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के बाहर के अवयवों का समुच्चय है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\)। विकल्प 10 केवल \(n(A)\) है, \(n(A')\) नहीं। परीक्षा-टिप: परिमित समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 5 from 1 to 50: \(5,10,15,\ldots,50\). Their number is \(50/5=10\). Since \(A'\) consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(n(A')=n(U)-n(A)=50-10=40\). The value 10 is \(n(A)\), not \(n(A')\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
पूरक समुच्चय लेने की क्रिया उलटी करने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है, अर्थात् \((A')'=A\) और \((B')'=B\)। इसलिए \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। विकल्प B और C क्रमशः असंयुक्तता तथा पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को दर्शाते हैं, जो दिए गए कथन से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \((X')'=X\) को हमेशा याद रखें। / Taking the complement of both sides of \(A'=B'\) gives \((A')'=(B')'\). Since the complement of a complement is the original set, \((A')'=A\) and \((B')'=B\), so \(A=B\). Options B and C describe disjointness and coverage of the universal set, neither of which necessarily follows from the given condition. Exam tip: remember the identity \((X')'=X\).
\(x^2\ge 9\) से \(|x|\ge 3\) मिलता है, इसलिए \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\) है। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिनके लिए \(|x|<3\), अर्थात \(-3<x<3\)। इसलिए \(A'=(-3,3)\)। ध्यान रखें कि मूल असमानता में बराबर का चिह्न होने के कारण \(-3\) और \(3\) समुच्चय \(A\) में शामिल हैं, अतः पूरक में वे शामिल नहीं होंगे। / From \(x^2\ge 9\), we get \(|x|\ge 3\), so \(A=(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\). Since the universal set is \(\mathbb{R}\), its complement consists of the real numbers satisfying \(|x|<3\), or \(-3<x<3\). Hence, \(A'=(-3,3)\). The endpoints \(-3\) and \(3\) are excluded from the complement because they belong to \(A\). Exam tip: when taking the complement of an inequality containing \(\ge\), reverse it to a strict inequality \(<\).
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे, जो (100) तक (8) हैं। इसलिए पूरक में (100-8=92) सदस्य हैं। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (8) up to (100). So the complement has (100-8=92) elements.
A. समुच्चय \(U\) के वे सभी सदस्य जो \(A\) में नहीं हैं/All elements of \(U\) that are not in \(A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है और इसे \(U\setminus A\) से लिखा जाता है। इसलिए इसमें \(U\) के वे सदस्य होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(A\) के सदस्य सामान्यतः \(U\) के सदस्य होते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\) दोनों शर्तें याद रखें। / \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), and it is written as \(U\setminus A\). Thus, it contains every element of \(U\) that does not belong to \(A\). Option B is incorrect because the elements of \(A\) generally belong to \(U\). Exam tip: For a complement, remember both conditions \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
(25) तक वर्ग संख्याएं (1,4,9,16,25) हैं, इसलिए (n(A)=5) है। पूरक में (25-5=20) सदस्य होंगे। / The square numbers up to (25) are (1,4,9,16,25), so (n(A)=5). The complement has (25-5=20) elements.
समुच्चय के द्वि-पूरक नियम के अनुसार \((A')'=A\) होता है। यहाँ \(A' = \{2,4,6,8,10\}\) है, और इसका फिर से पूरक लेने पर मूल समुच्चय \(A=\{1,3,5,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B केवल \(A'\) है, जबकि प्रश्न में उसका भी पूरक पूछा गया है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर सदैव मूल समुच्चय वापस मिलता है। / By the double-complement law, \((A')'=A\). Here, \(A'=\{2,4,6,8,10\}\), and taking the complement once more gives the original set \(A=\{1,3,5,7,9\}\). Option B is only \(A'\), whereas the question asks for its complement as well. Exam tip: the complement of the complement of any set is the set itself.
संघ का पूरक पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है। यह डी मॉर्गन नियम का सीधा प्रयोग है। / The complement of a union equals the intersection of the complements. This is a direct use of De Morgan's law.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार संघ का पूरक, दोनों पूरकों के प्रतिच्छेद के बराबर होता है: \((A \cup B)' = A' \cap B'\)। विकल्प A में प्रतिच्छेद के लिए गलत नियम है; उसका पूरक \(A' \cup B'\) होता है। परीक्षा में डी मॉर्गन के दोनों नियम साथ याद रखें। / By De Morgan’s law, the complement of a union equals the intersection of the complements: \((A \cup B)' = A' \cap B'\). Option A uses the wrong rule; the complement of an intersection is \(A' \cup B'\). Exam tip: memorise both De Morgan laws as a pair.
(-2) समुच्चय (A) में है इसलिए पूरक में नहीं आएगा, पर (4) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में आएगा। / (-2) is in (A), so it is not in the complement, while (4) is not in (A), so it is in the complement.
क्योंकि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं, (n(A)=120-47=73)। पूरक में दिए गए आंकड़े को सीधे घटाएं। / Since (A) and (A') together form (U), (n(A)=120-47=73). Subtract the given complement count directly.
यदि (B) का कोई सदस्य (A) में नहीं है, तो हर सदस्य (A') में होगा। इसलिए \(B \subseteq A'\) अवश्य सत्य है। / If no element of (B) lies in (A), every element of (B) lies in (A'). Hence \(B \subseteq A'\) must be true.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,24\}\) है, \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ सम है}\}\) और \(B=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ विषम है}\}\) है, तो \(A'\) और \(B\) के बीच क्या संबंध है?
समुच्चय \(A\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ हैं। \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'\) उन सभी तत्वों का समुच्चय होगा जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं, अर्थात् सभी विषम संख्याएँ। यही समुच्चय \(B\) है, इसलिए \(A'=B\)। विकल्प B गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं, केवल उचित उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष बचे हुए तत्व लिखें। / Set \(A\) contains all even numbers in \(U\). Its complement relative to \(U\), denoted by \(A'\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), namely all the odd numbers. This is exactly set \(B\), so \(A'=B\). Option B is incorrect because the two sets are equal, not merely a proper subset. Exam tip: Find a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
(A' \cap B'=\(A \cup B\)') है। (2) या (5) से विभाज्य संख्याएं (24) हैं, इसलिए पूरक (40-24=16) है। / (A' \cap B'=\(A \cup B\)'). Numbers divisible by (2) or (5) are (24), so the complement is (40-24=16).
यदि c\(U=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x\le 7\}\u0005c\) और c\(A=\{x\in U\mid x+2>4\}\u0005c\) हैं, तो c\(A'\u0005c\) अर्थात् c\(U\u0005c\) में c\(A\u0005c\) का पूरक क्या है?
असमानता c\(x+2>4\u0005c\) से c\(x>2\u0005c\) प्राप्त होती है। इसलिए c\(A=\{3,4,5,6,7\}\u0005c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय c\(U\u0005c\) में इसके सभी शेष अवयव c\(A'=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\u0005c\) में होंगे। विकल्प D में 2 को c\(A\u0005c\) में शामिल किया गया है, जबकि c\(x>2\u0005c\) में 2 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर मूल समुच्चय के अवयव निर्धारित करें। / The inequality c\(x+2>4\u0005c\) gives c\(x>2\u0005c\). Hence, c\(A=\{3,4,5,6,7\}\u0005c\). The elements of c\(U\u0005c\) not in c\(A\u0005c\) form c\(A'=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\u0005c\). Option D incorrectly treats 2 as an element of c\(A\u0005c\), although c\(x>2\u0005c\) excludes 2. Exam tip: Find the original set within the stated universal set before taking its complement.
दिया है कि \(A-B=A\cap B'\)। अतः \((A-B)'=(A\cap B')'\)। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\), इसलिए \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\)। अतः सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा में अंतर और पूरक से जुड़े प्रश्नों में पहले \(A-B=A\cap B'\) लिखकर फिर डी मॉर्गन का नियम लागू करें। / Given \(A-B=A\cap B'\), we have \((A-B)'=(A\cap B')'\). By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Therefore, \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), so option A is correct. Exam tip: rewrite set difference as an intersection with the complement before applying De Morgan’s laws.
\(A \cup B\) में (1) और (4) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक में दोनों सिरों सहित ([1,4]) आएगा। / The set \(A \cup B\) does not include (1) and (4). Hence the complement includes both endpoints, giving ([1,4]).
A. (A') सार्वत्रिक समुच्चय से स्वतंत्र होता है/(A') is independent of the universal set
Explanation
Simple Explanation
पूरक सार्वत्रिक समुच्चय पर निर्भर करता है। इसलिए (A') को (U) बताए बिना निश्चित नहीं किया जा सकता। / The complement depends on the universal set. So (A') cannot be fixed without knowing (U).
समुच्चय A में U के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: A={4,8,12,16}। इसलिए A का पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो U में हैं, लेकिन A में नहीं हैं, अर्थात् A′={1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15}। विकल्प B, A स्वयं है, पूरक नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से दिए गए समुच्चय के सभी तत्व हटा दें। / The elements of U that are divisible by 4 are A={4,8,12,16}. Therefore, the complement A′ contains every element of U that is not in A, giving A′={1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15}. Option B represents A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove all elements of the given set from the universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(U\setminus A=A'\) होता है। इसलिए \((U\setminus A)'=(A')'=A\), क्योंकि किसी समुच्चय का दो बार पूरक लेने पर मूल समुच्चय प्राप्त होता है। विकल्प \(A'\) केवल पहले पूरक को दर्शाता है, अंतिम परिणाम को नहीं। परीक्षा-टिप: \((A')'=A\) की पहचान अवश्य याद रखें। / With respect to the universal set \(U\), \(U\setminus A=A'\). Hence, \((U\setminus A)'=(A')'=A\), because taking the complement twice gives the original set. Option \(A'\) represents only the first complement, not the final result. Exam tip: remember the double-complement identity \((A')'=A\).
\(A \cap B\) में (12) के गुणज होंगे और (60) तक ऐसे (5) हैं। इसलिए पूरक (60-5=55) है। / \(A \cap B\) contains multiples of (12), and there are (5) up to (60). Hence the complement is (60-5=55).
डी मॉर्गन से (A' \cup B'=\(A \cap B\)') है। \(A \cap B={2}\), इसलिए पूरक ({1,3,4,5,6,7,8}) है। / By De Morgan, (A' \cup B'=\(A \cap B\)'). Since \(A \cap B={2}\), the complement is ({1,3,4,5,6,7,8}).
(-1) (A) में नहीं है इसलिए पूरक में शामिल है, जबकि (6) (A) में है इसलिए पूरक में नहीं है। / The point (-1) is not in (A), so it is included in the complement, while (6) is in (A), so it is excluded.
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (1) अभाज्य नहीं है। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. Remember that (1) is not prime.
\(A \cup B=U\) का अर्थ है कि \(U\) का प्रत्येक अवयव या तो \(A\) में है या \(B\) में। इसलिए जो अवयव \(A\) में नहीं हैं, वे अनिवार्य रूप से \(B\) में होंगे; अतः \(A' \subseteq B\)। समानता आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(B\) में ऐसे अवयव भी हो सकते हैं जो \(A\) में हों। इसलिए विकल्प C निश्चित रूप से सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(A \cup B=U\) से पूरक लेने पर \(A' \cap B'=\varnothing\) मिलता है, जिससे सीधे \(A' \subseteq B\) निष्कर्षित किया जा सकता है। / The condition \(A \cup B=U\) means that every element of \(U\) belongs to at least one of \(A\) or \(B\). Hence, every element not in \(A\) must belong to \(B\), giving \(A' \subseteq B\). Equality is not necessary because \(B\) may also contain elements that are already in \(A\), so option C is not always true. Exam tip: Taking complements in \(A \cup B=U\) gives \(A' \cap B'=\varnothing\), which is equivalent to \(A' \subseteq B\).
किसी भी समुच्चय का अपने पूरक के साथ संघ पूरा (U) देता है। यह पूरक की मूल पहचान है। / The union of any set with its complement gives the whole (U). This is the basic identity of complement.
पूरक में केवल (U) के वे अक्षर आएंगे जो (A) में नहीं हैं। (f) को नहीं जोड़ना क्योंकि \(f \notin U\) है। / The complement contains only those letters of (U) that are not in (A). Do not add (f) because \(f \notin U\).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,30\}\) है और \(A=\{x:x\in U\text{ तथा }x\text{ का अंतिम अंक }0\text{ या }5\text{ है}\}\), तो \(n(A')\) का मान क्या है?
समुच्चय \(A\) में अंतिम अंक 0 या 5 वाले सदस्य \(\{5,10,15,20,25,30\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\)। परीक्षा में पूरक समुच्चय की संख्या निकालने के लिए सूत्र \(n(A')=n(U)-n(A)\) याद रखें। / The elements of \(A\) whose last digit is 0 or 5 are \(\{5,10,15,20,25,30\}\), so \(n(A)=6\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) in \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-6=24\). Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
सार्वत्रिक समुच्चय (U) का पूरक \(\varnothing\) होता है। इसलिए \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\) है। / The complement of the universal set (U) is \(\varnothing\). Hence \(A \cap U' = A \cap \varnothing=\varnothing\).
यदि A, B का उपसमुच्चय है, तो A के प्रत्येक अवयव B में भी होंगे। अतः जो अवयव B में नहीं हैं, वे निश्चित रूप से A में भी नहीं होंगे; इसलिए B' ⊆ A'। निकट विकल्प B में समावेशन की दिशा उलट गई है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर उपसमुच्चय का चिह्न उलटता है। / If A ⊆ B, every element of A lies in B. Hence, any element outside B must also be outside A, so B' ⊆ A'. Option B reverses this inclusion. Exam tip: taking complements reverses the subset relation.
\(A \cup B\) में (1) से (8) और (14) से (20) तक के सदस्य हैं। बीच के (9) से (13) तक पूरक में बचते हैं। / \(A \cup B\) contains elements from (1) to (8) and from (14) to (20). The middle elements from (9) to (13) remain in the complement.
(U) में (21) पूर्णांक हैं और \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) में (7) सदस्य हैं। अतः (n(A')=21-7=14) है। / There are (21) integers in (U), and \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) has (7) elements. Thus (n(A')=21-7=14).
हर (12) का गुणज (6) का भी गुणज होता है, इसलिए वह (A) में होगा। अतः (A') में (12) का कोई गुणज नहीं होगा। / Every multiple of (12) is also a multiple of (6), so it lies in (A). Hence no multiple of (12) lies in (A').
सार्वत्रिक समुच्चय \\(\\mathbb{R}\\) के सापेक्ष \\(A'= (0,\\infty)\\) और \\(B'=(-\\infty,2)\\) होंगे। इसलिए \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\)। 0, समुच्चय \\(A\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(A'\\) में नहीं आ सकता; इसी प्रकार 2, \\(B\\) में शामिल है, इसलिए वह \\(B'\\) में नहीं आ सकता। परीक्षा में पूरक लेते समय समापन बिंदुओं पर खुले और बंद कोष्ठकों पर विशेष ध्यान दें। / With respect to the universal set \\(\\mathbb{R}\\), \\(A'=(0,\\infty)\\) and \\(B'=(-\\infty,2)\\). Hence, \\(A'\\cap B'=(0,\\infty)\\cap(-\\infty,2)=(0,2)\\). The point 0 belongs to \\(A\\), so it cannot belong to \\(A'\\); similarly, 2 belongs to \\(B\\), so it cannot belong to \\(B'\\). Exam tip: carefully check whether each endpoint is included or excluded when taking complements.
समीकरण से \(A=\{5,6\}\) मिलता है, इसलिए (A') में (5) और (6) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय से ({7,8}) बचता है। / The equation gives \(A=\{5,6\}\), so (5) and (6) are not in (A'). From the given set, ({7,8}) remains.
मान लें कि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\) है। यदि \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) और \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), तो \(U\) के सापेक्ष \(A\cup B\) के पूरक समुच्चय में कितने सदस्य हैं?
60 तक 4 के 15 गुणज और 9 के 6 गुणज हैं। दोनों समुच्चयों में समान तत्व वे संख्याएँ हैं जो 4 और 9 दोनों से विभाज्य हों; इनका लघुत्तम समापवर्त्य 36 है और 60 तक केवल 36 ही ऐसा गुणज है। इसलिए \(n(A\cap B)=1\) और समावेशन-वर्जन सिद्धांत से \(n(A\cup B)=15+6-1=20\)। अतः पूरक समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(60-20=40\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक की cardinality निकालने से पहले union में overlap एक बार अवश्य घटाएँ; 39 वाला विकल्प इसी सामान्य भूल को दर्शाता है। / There are 15 multiples of 4 and 6 multiples of 9 up to 60. An element common to both sets must be divisible by \(\operatorname{lcm}(4,9)=36\); only 36 is such a multiple up to 60. Thus, \(n(A\cap B)=1\), and by inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=15+6-1=20\). Therefore, the complement has \(60-20=40\) elements. Exam tip: subtract the overlap once when counting a union before finding its complement; 39 results from mishandling this overlap.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), इसलिए (n\(A'\cap B'\)=84-18=66) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=14+6-2=18), (n\(A'\cap B'\)=84-18=66).
\(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\) मिलता है, इसलिए (A) में (9) सदस्य हैं। (U) में (21) सदस्य हैं, अतः (n(A')=12) है। / \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so (A) has (9) elements. Since (U) has (21) elements, (n(A')=12).
पूरक में (A) से बाहर के वास्तविक मान आते हैं। (-4) हटेगा, पर (2) और (6) शामिल होंगे। / The complement contains real values outside (A). The point (-4) is excluded, while (2) and (6) are included.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A'\cap B=B\setminus A\) होता है, अर्थात् यह \(B\) में वे अवयव हैं जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\)। विकल्प 97 केवल \(B\) की कुल संख्या है और उसमें \(A\) के अवयव भी शामिल हैं। परीक्षा-टिप: जब \(A\subseteq B\) हो, तो \(A'\cap B\) की जगह सीधे \(B\setminus A\) लिखकर हल करें। / Since \(A\subseteq B\), we have \(A'\cap B=B\setminus A\), which contains the elements of \(B\) that are not in \(A\). Therefore, \(n(A'\cap B)=n(B)-n(A)=97-64=33\). The value 97 is only the cardinality of \(B\), which also includes the elements of \(A\). Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A'\cap B\) with \(B\setminus A\).
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है। इसलिए \(A'\cap B\) में (2) को छोड़कर विषम अभाज्य संख्याएं होंगी। / (A') is the set of odd numbers. Thus \(A'\cap B\) contains odd prime numbers except (2).
\(A'\cap B'\) वही सदस्य हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं। \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), इसलिए उत्तर ({c,f}) है। / \(A'\cap B'\) contains elements not in \(A\cup B\). Since \(A\cup B={a,b,d,e,g,h}\), the answer is ({c,f}).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (15) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (45-3=42) है। / By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (15), so the complement has (45-3=42) elements.
\(A\cup B\) को वास्तविक रेखा से हटाने पर तीन भाग बचते हैं। सिरों की खुली-बंद स्थिति ध्यान से देखें। / Removing \(A\cup B\) from the real line leaves three parts. Watch the open and closed endpoints carefully.
विषम संख्याओं में से वर्ग संख्याएं (1) और (9) हटेंगी। इसलिए \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\) है। / From the odd numbers, the square numbers (1) and (9) are removed. Hence \(A'\cap B={3,5,7,11,13,15}\).
D. ऐसा कोई समुच्चय A नहीं हो सकता/No such set A can exist
Explanation
Simple Explanation
पूरक \(A'\) में वे अवयव होते हैं जो A में नहीं हैं। यदि \(A=A'\) हो, तो कोई अवयव एक साथ A में और A के बाहर होगा, जो असंभव है। परीक्षा टिप: \(A\cap A'=\varnothing\) सदैव याद रखें। / The complement \(A'\) contains elements not in A. If \(A=A'\), an element would have to be both in A and outside A, which is impossible. Exam tip: always use \(A\cap A'=\varnothing\).
(25) तक अभाज्य संख्याएं (9) हैं और उनमें (5) को हटाना होगा। (A') में (5) के गुणज नहीं आते, इसलिए (7) अभाज्य बचते हैं। / There are (9) primes up to (25), and (5) must be removed. Multiples of (5) are not in (A'), so (7) primes remain.
संबंध \(A\cap B'=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B'\) में भी है। इसलिए \(A\subseteq B'\) अवश्य सत्य है। इससे \(B\subseteq A\), \(A=B\) या \(A\cup B=U\) निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap X=A\) से हमेशा \(A\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The relation \(A\cap B'=A\) means that every element of \(A\) also belongs to \(B'\). Therefore, \(A\subseteq B'\) must be true. It does not imply \(B\subseteq A\), \(A=B\), or \(A\cup B=U\). Exam tip: from \(A\cap X=A\), immediately infer \(A\subseteq X\).
(A-B) में वे सम संख्याएं हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (35-5=30) है। इसलिए पूरक (70-30=40) है। / (A-B) contains even numbers not divisible by (7), and their count is (35-5=30). Therefore the complement has (70-30=40) elements.
\(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) है। यह गुणनफल \(x<2\) या \(x>4\) के लिए धनात्मक होता है, अतः \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\) है। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक \(A'=[2,4]\) होगा। विकल्प \((2,4)\) में 2 और 4 छूट जाते हैं, जबकि इन दोनों पर मूल व्यंजक 0 है और \(>0\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: सख्त असमिका \(>\) या \(<\) में मूल बिंदु हल-समुच्चय में नहीं आते, पर पूरक में आ सकते हैं। / \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\). The product is positive when \(x<2\) or \(x>4\), so \(A=(-\infty,2)\cup(4,\infty)\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) is therefore \(A'=[2,4]\). The option \((2,4)\) incorrectly excludes 2 and 4: at both points the expression equals 0, so neither point belongs to the set defined by \(>0\). Exam tip: for a strict inequality, check the zeroes separately when writing the complement.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\)। यहाँ \(A\cap B=\{6,12,18\}\), क्योंकि यही वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में समान हैं। अतः \(U\) से 6, 12 और 18 को हटाने पर \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\) मिलता है। विकल्प C केवल \(A'\cap B'\) को दर्शाता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरकों के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). Here, \(A\cap B=\{6,12,18\}\), since these are the elements common to both sets. Therefore, removing 6, 12, and 18 from \(U\) gives \(A'\cup B'=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17\}\). Option C represents \(A'\cap B'\), not the required union, so it is incorrect. Exam tip: Apply De Morgan’s law first whenever complements and unions or intersections appear together.
\(A'\cap B'\) का अर्थ विषम और वर्ग नहीं संख्याएं हैं। (40) तक (20) विषम संख्याओं में (1,9,25) वर्ग हैं, इसलिए (17) बचते हैं। / \(A'\cap B'\) means odd and non-square numbers. Among (20) odd numbers up to (40), (1,9,25) are squares, so (17) remain.
A' में U के वे तत्व हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए A = U − A' = {p, r, t, v}। अब B = {p, q, t, v} के साथ समान तत्व लेने पर A ∩ B = {p, t, v} मिलता है। विकल्प C केवल B को दर्शाता है और उसमें q शामिल है, जबकि q ∉ A। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय से मूल समुच्चय निकालें, फिर प्रतिच्छेद में केवल समान तत्व रखें। / A' contains the elements of U that are not in A. Hence, A = U − A' = {p, r, t, v}. The elements common to A and B = {p, q, t, v} are p, t, and v, so A ∩ B = {p, t, v}. Option C is just B and incorrectly includes q, which is not in A. Exam tip: First find the original set from its complement, then retain only the common elements for an intersection.
समुच्चय \(A\) में \(-3\) से बड़ी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(B\) में \(5\) तक की सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः \(A\cap B=(-3,5]\) होगा। \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(-3\) से छोटी या बराबर हैं अथवा \(5\) से बड़ी हैं: \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\)। विकल्प B में दोनों सिरों पर खुले और बंद चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय खुले सिरे को बंद तथा बंद सिरे को खुला कर दें। / Set \(A\) contains all real numbers greater than \(-3\), and \(B\) contains all real numbers less than or equal to \(5\). Therefore, \(A\cap B=(-3,5]\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) consists of numbers less than or equal to \(-3\) or greater than \(5\): \((A\cap B)'=(-\infty,-3]\cup(5,\infty)\). Option B uses incorrect open and closed endpoints. Exam tip: while taking a complement, an open endpoint becomes closed and a closed endpoint becomes open.
\(A\cap B\) में (30) के गुणज होंगे, जो (90) तक (3) हैं। इसलिए पूरक में (90-3=87) सदस्य हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (30), and there are (3) up to (90). So the complement has (90-3=87) elements.
(A') में (1,4,7,10) नहीं होंगे। दिए गए समुच्चय में से (4) और (10) हटाने पर ({2,6,8,12}) बचता है। / (A') does not contain (1,4,7,10). Removing (4) and (10) from the given set leaves ({2,6,8,12}).
\(A \subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में है। इसलिए जो अवयव \(B\) में नहीं हैं, वे \(A\) में भी नहीं होंगे; अतः \(B' \subseteq A'\)। विकल्प A में समावेशन की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर समुच्चयों का समावेशन उलट जाता है। / \(A \subseteq B\) means every element of \(A\) lies in \(B\). Hence, an element outside \(B\) must also be outside \(A\), so \(B' \subseteq A'\). Option A reverses the inclusion. Exam tip: taking complements reverses set inclusion.
समीकरण से \(A=\{4,5\}\) है। (5) से छोटे सदस्य (0,1,2,3,4) हैं, इनमें (4) हटेगा, इसलिए (4) नहीं बल्कि (4) सदस्य बचते हैं। / The equation gives \(A=\{4,5\}\). Elements less than (5) are (0,1,2,3,4), and (4) is removed, so (4) elements remain.
समुच्चय \(A\) में 100 तक 8 के गुणज हैं। इनकी संख्या \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\) है। चूँकि \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक है, इसलिए \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\)। ध्यान रखें कि पूरक की गणना हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में की जाती है। / Set \(A\) contains the multiples of 8 up to 100. Their number is \(\left\lfloor\frac{100}{8}\right\rfloor=12\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=100-12=88\). Exam tip: calculate a complement relative to the stated universal set, not relative to all integers.
\(|x-2|<5\) से \(-5<x-2<5\), अर्थात \(-3<x<7\), इसलिए \(A=(-3,7)\) है। चूँकि पूरक \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, खुले अंतराल के दोनों सीमा-बिंदु \(-3\) और \(7\) पूरक में शामिल होंगे: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\)। ध्यान रखें कि खुले समुच्चय का पूरक सामान्यतः बंद सिरों वाला होता है। / From \(|x-2|<5\), we get \(-5<x-2<5\), hence \(-3<x<7\), so \(A=(-3,7)\). Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), the boundary points \(-3\) and \(7\) are included in the complement: \(A'=(-\infty,-3]\cup[7,\infty)\). Exam tip: the complement of an open interval in \(\mathbb{R}\) has closed endpoints.
A. (U) में सम संख्याओं का समुच्चय/The set of even numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में सम नहीं यानी विषम संख्याएं हैं। इसलिए (A') में (U) की सम संख्याएं होंगी। / (A) contains numbers that are not even, meaning odd numbers. Therefore (A') contains the even numbers of (U).
\(A'\cap B\) का अर्थ (3) के वे गुणज हैं जो सम नहीं हैं। (36) तक (3) के (12) गुणज हैं, उनमें (6) सम हैं, इसलिए (6) बचते हैं। / \(A'\cap B\) means multiples of (3) that are not even. Up to (36), there are (12) multiples of (3), (6) of them are even, so (6) remain.
यदि दो समुच्चय मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए (B=A') है। / If two sets together form (U) and are disjoint, they are complements of each other. Hence (B=A').
पहले साझा अवयव ज्ञात करें: \(A\cap B=\{5\}\)। किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उसमें शामिल नहीं हैं। अतः \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\)। विकल्प C वास्तव में \(A\cup B\) है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लिखा जा सकता है। / The common element is \(A\cap B=\{5\}\). The complement contains every element of the universal set that is not in this intersection. Therefore, \((A\cap B)'=U-\{5\}=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\). Option C is actually \(A\cup B\), not the complement. Exam tip: By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
चूँकि पूरक सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिया गया है, इसलिए \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\)। समुच्चय \(B=[-2,6]\) में \([0,4]\) पूरा शामिल है, अतः \(A'\cap B=[0,4]\)। ध्यान रखें कि 0 और 4, \(A\) के खुले अंतरालों में नहीं हैं, इसलिए वे \(A'\) में शामिल होंगे। / Since the complement is taken relative to \(U=\mathbb{R}\), we have \(A'=\mathbb{R}\setminus A=[0,4]\). The set \(B=[-2,6]\) contains all of \([0,4]\), so \(A'\cap B=[0,4]\). Note that 0 and 4 are not included in the open intervals defining \(A\), so both belong to \(A'\).
(32) तक (2) की घातें (1,2,4,8,16,32) हैं, इसलिए (A) में (6) सदस्य हैं। पूरक में (32-6=26) सदस्य हैं। / Powers of (2) up to (32) are (1,2,4,8,16,32), so (A) has (6) elements. The complement has (32-6=26) elements.
किसी समुच्चय का पूरक संबंध \(A'=U-A\) होता है, इसलिए \(A=U-A'\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में से दिए गए अभाज्य सदस्य \(2,3,5,7,11,13,17,19\) हटाने पर \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\) प्राप्त होता है। ध्यान रखें कि \(1\) अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A\) में शामिल रहेगा। / For complementary sets, \(A'=U-A\), so \(A=U-A'\). Removing the given prime elements \(2,3,5,7,11,13,17,19\) from the universal set \(U\) leaves \(\{1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\}\). Remember that \(1\) is not a prime number, so it remains in \(A\).
\(A\setminus B\) में वे सभी अवयव होते हैं जो \(A\) में हैं, लेकिन \(B\) में नहीं हैं। यदि यह समुच्चय रिक्त है, तो \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) अवश्य सत्य है। विकल्प B के लिए \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में होना आवश्यक होता, जो दी गई शर्त से सिद्ध नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(A\setminus B=\varnothing\) को सीधे \(A\subseteq B\) के रूप में याद रखें। / The set \(A\setminus B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). If this difference is empty, no element of \(A\) lies outside \(B\); hence \(A\subseteq B\) must hold. Option B would require every element of \(B\) to belong to \(A\), which is not implied by the given condition. Exam tip: remember the equivalence \(A\setminus B=\varnothing\iff A\subseteq B\).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (9) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+9-3=12) हैं, इसलिए पूरक (42) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Numbers divisible by (9) or (6) are (6+9-3=12), so the complement is (42).
(A) में (-1) शामिल है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (A) includes (-1), so it is not in the complement. The point (3) is not in (A), so it is included in the complement.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि A का प्रत्येक तत्व B में है। इसलिए जो तत्व B में नहीं हैं, वे A में भी नहीं हो सकते; अतः \(B'\subseteq A'\)। विकल्प A में समावेशन की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर समावेशन का क्रम बदल जाता है। / \(A\subseteq B\) means every element of A belongs to B. Hence, an element outside B must also be outside A, so \(B'\subseteq A'\). Option A reverses the inclusion. Exam tip: taking complements reverses set inclusion.
(22) तक विषम संख्याएं (11) हैं। उनमें अभाज्य विषम (3,5,7,11,13,17,19) हटेंगे, इसलिए (4) विषम मिश्रित या (1) बचते हैं। / There are (11) odd numbers up to (22). Removing odd primes (3,5,7,11,13,17,19) leaves (4) odd non-prime numbers including (1).
(A') में (7) विषम सदस्य और (A) में (7) सम सदस्य हैं। इसलिए (n\(A'\times A\)=7\times 7=49) है। / (A') has (7) odd elements and (A) has (7) even elements. Hence (n\(A'\times A\)=7\times 7=49).
((x-1)(x+2)\ge 0) का हल \(x\le -2\) या \(x\ge 1\) है। इसलिए बीच के पूर्णांक (-1,0) पूरक में आते हैं। / The solution of ((x-1)(x+2)\ge 0) is \(x\le -2\) or \(x\ge 1\). Thus the middle integers (-1,0) are in the complement.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((A\cap B)'=A'\cup B'\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\)। इसलिए सही उत्तर 134 है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय उनके प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना न भूलें। विकल्प 165 में प्रतिच्छेद 31 नहीं घटाया गया है। / By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\). Therefore, using the inclusion–exclusion formula, \(n(A'\cup B')=n(A')+n(B')-n(A'\cap B')=76+89-31=134\). Hence, the correct answer is 134. Exam tip: while finding the cardinality of the union of two sets, subtract their intersection once. Option 165 results from adding the two cardinalities without this subtraction.
U के सापेक्ष A का पूरक A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} है। इसलिए A′ ∩ B = {4, 5}। अब U के सापेक्ष {4, 5} का पूरक लेने पर {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10} प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल A′ ∩ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: nested complement वाले प्रश्नों में पहले अंदर के समुच्चय का मान निकालें और अंत में पूरक लें। / The complement of A with respect to U is A′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Thus, A′ ∩ B = {4, 5}. Taking its complement in U gives {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}, so option A is correct. Option B is only A′ ∩ B, not its complement. Exam tip: in nested-complement questions, evaluate the inner expression first and take the final complement at the end.
सार्वत्रिक समुच्चय (U=mathbb{R}) के सापेक्ष (A=[1,infty)) का पूरक (A'=(-infty,1)) है, क्योंकि 1 इसमें शामिल है। इसी प्रकार, (B=(-infty,4)) का पूरक (B'=[4,infty)) है, क्योंकि 4, (B) में शामिल नहीं है। अतः \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty)। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय खुले सिरे बंद और बंद सिरे खुले हो जाते हैं। / With respect to the universal set (U=mathbb{R}), the complement of (A=[1,infty)) is (A'=(-infty,1)), since 1 is included in (A). The complement of (B=(-infty,4)) is (B'=[4,infty)), since 4 is not included in (B). Therefore, \(A'\cup B'\)=(-infty,1)\cup[4,infty). Exam tip: when taking a complement, open endpoints become closed and closed endpoints become open.
(9) से विभाज्य संख्याएं (9,18,27,36,45,54,63,72,81) हैं। इनमें वर्ग (9,36,81) हटेंगे, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य बचते हैं। / Numbers divisible by (9) are (9,18,27,36,45,54,63,72,81). Removing squares (9,36,81) leaves (6) members.
(3) अभाज्य है, इसलिए वह (A') में नहीं होगा। बाकी (3) के गुणज (6,9,12,15,18) पूरक में हैं। / (3) is prime, so it is not in (A'). The remaining multiples (6,9,12,15,18) are in the complement.
समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 पूर्णांक हैं। \(A\) के सदस्य \(1,5,9,13,17,21,25,29\) हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\)। विकल्प 8 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains the 30 integers from 1 through 30. The elements of \(A\) are \(1,5,9,13,17,21,25,29\), so \(n(A)=8\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) relative to \(U\), \(n(A')=n(U)-n(A)=30-8=22\). The value 8 counts the elements of \(A\), not its complement. Exam tip: for a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है, अर्थात् \(A'\cup A=U\)। इसलिए दिए गए व्यंजक का मान \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\) होगा। विकल्प \(U\) उस स्थिति में मिलता है जब \(\varnothing\) का पूरक लिया जाए, न कि यहाँ। परीक्षा में याद रखें: \(A\cup A'=U\) और \(A\cap A'=\varnothing\)। / The union of a set and its complement is the universal set: \(A'\cup A=U\). Hence, \((A'\cup A)'=U'=\varnothing\). The option \(U\) would be the result of taking the complement of the empty set, not of this expression. Exam tip: remember the complementary identities \(A\cup A'=U\) and \(A\cap A'=\varnothing\).
(A) में (4) के गुणज हैं और (B) में (8) के गुणज हैं। \(B'\cap A\) में (4) के वे गुणज आएंगे जो (8) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (4), and (B) contains multiples of (8). \(B'\cap A\) contains multiples of (4) that are not multiples of (8).
(A) में सभी वास्तविक संख्याएं हैं, पर (-2) और (5) नहीं हैं। इसलिए पूरक केवल ({-2,5}) है। / (A) contains all real numbers except (-2) and (5). Therefore the complement is only ({-2,5}).
(27) तक सम संख्याएं (13) हैं। इनमें (6,12,18,24) (3) से भी विभाज्य हैं, इसलिए (13-4=9) बचते हैं। / There are (13) even numbers up to (27). Among them (6,12,18,24) are also divisible by (3), so (13-4=9) remain.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \((A\cap B)'=A'\cup B'\) होता है। अर्थात जो तत्व A और B दोनों में नहीं हैं, वे A के बाहर या B के बाहर होंगे। विकल्प B में संघ के पूरक के लिए प्रतिच्छेद आता है। परीक्षा टिप: डी मॉर्गन में \(\cap\) और \(\cup\) परस्पर बदलते हैं। / By De Morgan’s law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\). An element outside the intersection must be outside A or outside B. In option B, the complement of a union gives an intersection. Exam tip: under complement, interchange \(\cap\) and \(\cup\).
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), इसलिए पूरक में (96-16=80) सदस्य हैं। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since (n\(A\cup B\)=12+8-4=16), the complement has (96-16=80) elements.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24) है। इसलिए पूरक में (120-24=96) सदस्य होंगे। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=15+8+6-1-3-2+1=24). Therefore the complement has (120-24=96) elements.
असमानता से \(3\le x\le 6\) मिलता है, इसलिए (A) में (4) सदस्य हैं। (U) में (25) सदस्य हैं, अतः (n(A')=25-4=21) नहीं बल्कि (21) होता है। / The inequality gives \(3\le x\le 6\), so (A) has (4) elements. Since (U) has (25) elements, (n(A')=25-4=21).
यहाँ (A=[-5,2]) और (B=(-2,4)) है, इसलिए \(A'\cap B=(2,4)\) होगा। इसका पूरक (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)) है। / Here (A=[-5,2]) and (B=(-2,4)), so \(A'\cap B=(2,4)\). Its complement is (\(-\infty,2]\cup[4,\infty\)).
(-5) (A) में नहीं है, (1) और (4) (A) में हैं, और (9) (A) में नहीं है। सिरों को देखकर पूरक ([-5,1)\cup(4,9]) होगा। / The point (-5) is not in (A), (1) and (4) are in (A), and (9) is not in (A). Checking endpoints gives ([-5,1)\cup(4,9]).
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\subseteq C\) से \(C'\subseteq B'\subseteq A'\) मिलता है। / Taking complements reverses inclusion. Hence \(A\subseteq B\subseteq C\) gives \(C'\subseteq B'\subseteq A'\).
(A-B) में (3) के वे गुणज हैं जो (7) से विभाज्य नहीं हैं, उनकी संख्या (14-2=12) है। इसलिए (n((A-B)')=42-12=30) नहीं बल्कि (30) होता है। / (A-B) contains multiples of (3) that are not divisible by (7), and their count is (14-2=12). Therefore (n((A-B)')=42-12=30).
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(5,8)=40) के गुणज आएंगे। (40) तक केवल (1) ऐसा सदस्य है, इसलिए पूरक (39) है। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(5,8)=40). Up to (40), there is only (1) such element, so the complement is (39).
पहले A ∪ B = {a, b, c, e, f, i} ज्ञात करें। अब इसका U के सापेक्ष पूरक लेने पर U में उपस्थित, लेकिन A ∪ B में अनुपस्थित अवयव मिलते हैं: {d, g}। विकल्प D गलत है क्योंकि f, A ∪ B में पहले से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: (A ∪ B)' निकालने के लिए पहले संघ बनाकर उसे U से घटाएँ। / First, A ∪ B = {a, b, c, e, f, i}. Its complement relative to U contains the elements that are in U but not in A ∪ B, namely {d, g}. Option D is incorrect because f already belongs to A ∪ B. Exam tip: To find the complement of a union, form the union first and then remove its elements from the universal set.
\(|x+1|\ge 4\) से \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\), अतः \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\) है। इसलिए \(\mathbb{R}\) में इसका पूरक \(A'=(-5,3)\) होगा। \(-5\) और \(3\) स्वयं \(A\) में शामिल हैं, इसलिए वे पूरक में शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|\ge r\) में हल सामान्यतः बाहरी अंतराल होते हैं, जबकि उसका पूरक आंतरिक खुला अंतराल होता है। / From \(|x+1|\ge 4\), we get \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\). Thus, \(A=(-\infty,-5]\cup[3,\infty)\). Its complement in \(\mathbb{R}\) is therefore \(A'=(-5,3)\). The endpoints \(-5\) and \(3\) are included in \(A\), so they cannot be included in its complement. Exam tip: For \(|x-a|\ge r\), the solution lies in the two outer intervals, and its complement is the open interval between the boundary points.
(B) की सम संख्याओं में से पूर्ण वर्ग (4) और (16) हटेंगे। इसलिए \(A'\cap B\) में बाकी सम संख्याएं आएंगी। / From the even numbers in (B), the perfect squares (4) and (16) are removed. Therefore \(A'\cap B\) contains the remaining even numbers.
(B) और (B') असंयुक्त होते हैं, इसलिए \(A\cap B\) और \(A\cap B'\) भी असंयुक्त हैं। दो असंयुक्त समान समुच्चय केवल \(\varnothing\) हो सकते हैं, इसलिए \(A=\varnothing\) आवश्यक है। / (B) and (B') are disjoint, so \(A\cap B\) and \(A\cap B'\) are also disjoint. Two equal disjoint sets must be \(\varnothing\), so \(A=\varnothing\) is necessary.
समावेशन-बहिष्करण से (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28) है। इसलिए पूरक (72-28=44) नहीं बल्कि (44) है। / By inclusion-exclusion, (n\(A\cup B\cup C\)=18+12+8-6-2-4+2=28). Therefore the complement is (72-28=44).
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B=[0,6]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)) है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B=[0,6]\), the complement is (\(-\infty,0\)\cup\(6,\infty\)).
यदि (A) में अभाज्य नहीं संख्याएं हैं, तो (A') में अभाज्य संख्याएं होंगी। (36) तक अभाज्य संख्याएं (11) हैं। / If (A) contains non-prime numbers, then (A') contains prime numbers. There are (11) primes up to (36).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{x\in\mathbb{Z}\mid -5\le x\le 15\}\) तथा \(A=\{x\in U\mid x\equiv 2 \pmod{5}\}\) है, तो \(n(A')\) का मान क्या है? यहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है।
\(-5\) से \(15\) तक कुल \(15-(-5)+1=21\) पूर्णांक हैं, इसलिए \(n(U)=21\)। \(x\equiv 2 \pmod{5}\) वाले सदस्य \(-3,2,7,12\) हैं, अतः \(n(A)=4\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\)। विकल्प 4 केवल \(A\) के सदस्यों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: परिमित समुच्चय में \(n(A')=n(U)-n(A)\) सूत्र का प्रयोग करें। / There are \(15-(-5)+1=21\) integers from \(-5\) to \(15\), so \(n(U)=21\). The integers satisfying \(x\equiv 2 \pmod{5}\) are \(-3,2,7,12\), hence \(n(A)=4\). Therefore, \(n(A')=n(U)-n(A)=21-4=17\). Option 4 gives the cardinality of \(A\), not its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A')=n(U)-n(A)\).
(n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60) है। क्योंकि (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), इसलिए (n\(A\cup B\)=300-60=240) है। / (n\(A'\cap B'\)=120+150-210=60). Since (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), (n\(A\cup B\)=300-60=240).
\(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय के वे सदस्य हैं जो 12 से छोटे या बराबर हैं, इसलिए \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\)। अब \(A'\cap B\) में इसी समुच्चय के केवल विषम सदस्य लिए जाएंगे, जो \(\{13,15,17,19\}\) हैं। विकल्प B में सम संख्याएं हैं और विकल्प D केवल \(A'\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर दिए गए समुच्चय से प्रतिच्छेद करें। / The set \(A\) contains all elements of the universal set that are less than or equal to 12, so \(A'=\{13,14,15,16,17,18,19,20\}\). Intersecting this with \(B\) retains only the odd elements, giving \(\{13,15,17,19\}\). Option B contains the even elements, while option D is just \(A'\), not its intersection with \(B\). Exam tip: find the complement first, then take the intersection with the other set.
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\) मिलता है। इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। / Taking the complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\). Therefore every element of (B) is in (A).
असमानता \(x^2+2x-8<0\) का हल (-4<x<2) है। इसलिए पूरक में (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)) आएगा। / The solution of \(x^2+2x-8<0\) is (-4<x<2). Hence the complement is (\(-\infty,-4]\cup[2,\infty\)).
(64) तक (4) से विभाज्य संख्याएं (16) हैं। इनमें (4,8,16,32,64) (2) की घातें हैं, इसलिए (11) नहीं बल्कि (11) बचते हैं। / There are (16) numbers divisible by (4) up to (64). Among them (4,8,16,32,64) are powers of (2), so (11) remain.
(A') विषम संख्याओं का समुच्चय है और उसमें से (B) के (1,3,5,13) हटेंगे। इसलिए ({7,9,11,15,17}) बचेगा। / (A') is the set of odd numbers, and (1,3,5,13) from (B) are removed. Thus ({7,9,11,15,17}) remains.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (30) के (3) गुणज हैं, इसलिए पूरक (100-3=97) है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (30), so the complement is (100-3=97).
\(A=[-7,-1)\) और \(B=(-3,5]\) का उभयनिष्ठ भाग \(A\cap B=(-3,-1)\) है। \(-3\), \(B\) में नहीं है और \(-1\), \(A\) में नहीं है, इसलिए दोनों सिरों को उभयनिष्ठ भाग में शामिल नहीं किया जाता। \(\mathbb{R}\) में इस खुले अंतराल का पूरक \(( -\infty,-3]\cup[-1,\infty)\) होगा। विकल्प C में \(-3\) और \(-1\) को गलत ढंग से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: खुले अंतराल का पूरक लेते समय उसके दोनों अंतिम बिंदु शामिल हो जाते हैं। / The common part of \(A=[-7,-1)\) and \(B=(-3,5]\) is \(A\cap B=(-3,-1)\). The point \(-3\) is not in \(B\), and \(-1\) is not in \(A\), so neither endpoint belongs to the intersection. The complement of this open interval in \(\mathbb{R}\) is \(( -\infty,-3]\cup[-1,\infty)\). Option C incorrectly excludes \(-3\) and \(-1\). Exam tip: when taking the complement of an open interval, both endpoints are included.
\(A\cap B'\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आती हैं। (23) अभाज्य है, इसलिए सही समुच्चय ({1,9,15,21}) होना चाहिए। / \(A\cap B'\) contains odd numbers that are not prime. Since (23) is prime, the correct set is ({1,9,15,21}).
किसी समुच्चय और उसके पूरक में कोई भी समान अवयव नहीं होता, इसलिए \\(A'\\cap A=\\varnothing\\)। सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष \\(\\varnothing\\)'=U\, अतः \\(A'\\cap A\\)'=U\। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: \\(A\\cap A'=\\varnothing\\) और \\(\\varnothing'=U\\) को याद रखें। / A set and its complement have no common elements, so \\(A'\\cap A=\\varnothing\\). Taking the complement relative to the universal set gives \\(\\varnothing'=U\\), hence \\(A'\\cap A\\)'=U\. Therefore, option A is correct. Exam tip: remember the identities \\(A\\cap A'=\\varnothing\\) and \\(\\varnothing'=U\\).
ऐसी संख्याएं (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47) हैं, यानी (10) सदस्य। इसलिए (n(A')=50-10=40) है। / Such numbers are (2,7,12,17,22,27,32,37,42,47), so there are (10) elements. Hence (n(A')=50-10=40).
(A) में वे पूर्णांक हैं जिनका परिमाण (4) से अधिक है। पूरक में \(|x|\le 4\) वाले पूर्णांक आएंगे। / (A) contains integers whose absolute value is greater than (4). The complement contains integers satisfying \(|x|\le 4\).
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष लिए जाते हैं। इसलिए \(A'=\{0\}\) और \(B'=\{1\}\)। अतः \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\)। परीक्षा-युक्ति: जो अवयव किसी समुच्चय में नहीं होते, वे उसके पूरक में होते हैं। / Complements are taken relative to the universal set \(U=\mathbb{R}\). Since \(A\) excludes only 0, \(A'=\{0\}\); similarly, \(B'=\{1\}\). Therefore, \(A'\cup B'=\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}\). Exam tip: identify the elements excluded from each set before finding its complement.
\(B\) में U की सभी विषम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(B'\) में U की सभी सम संख्याएँ होंगी। \(A\) में 5 के गुणज \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\) हैं। इन दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ सदस्य \(10,20,30\) हैं, अतः \(B'\cap A=\{10,20,30\}\)। विकल्प C केवल \(A\) है और उसमें विषम गुणज भी शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) की सीमा अवश्य ध्यान में रखें। / The set \(B\) contains all odd elements of \(U\), so its complement \(B'\) contains all even elements of \(U\). The multiples of 5 in \(A\) are \(\{5,10,15,20,25,30,35\}\). The common elements of \(B'\) and \(A\) are therefore \(10,20,30\), so \(B'\cap A=\{10,20,30\}\). Option C is just \(A\) and incorrectly includes the odd multiples of 5. Exam tip: Always take a complement with respect to the given universal set \(U\).
पहले A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16} प्राप्त होता है। U के वे अवयव जो इस संघ में नहीं हैं, अर्थात {5, 7, 10, 11, 13, 14}, उसका पूरक बनाते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं A ∪ B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ। / First, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16}. The elements of U that are not in this union are {5, 7, 10, 11, 13, 14}, so this is the complement of A ∪ B. Hence, option A is correct. Option B is the union itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove the elements of the given set from the specified universal set.
\(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष \(A=(-\infty,2]\) का पूरक \(A'=(2,\infty)\) होगा, क्योंकि 2 समुच्चय \(A\) में शामिल है। इसी प्रकार \(B=[-1,\infty)\) का पूरक \(B'=(-\infty,-1)\) है, क्योंकि −1 समुच्चय \(B\) में शामिल है। कोई वास्तविक संख्या एक साथ 2 से बड़ी और −1 से छोटी नहीं हो सकती, इसलिए \(A'\cap B'=\varnothing\) है। विकल्प \((2,\infty)\) केवल \(A'\) है, उनका प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय अंतराल के सिरों पर खुले और बंद कोष्ठकों को ध्यान से बदलें। / With respect to \(U=\mathbb{R}\), the complement of \(A=(-\infty,2]\) is \(A'=(2,\infty)\), since 2 belongs to \(A\). Similarly, the complement of \(B=[-1,\infty)\) is \(B'=(-\infty,-1)\), since −1 belongs to \(B\). No real number can be both greater than 2 and less than −1, so \(A'\cap B'=\varnothing\). The option \((2,\infty)\) represents only \(A'\), not the intersection. Exam tip: While taking complements of intervals, check endpoint inclusion carefully.
(A) में (3) के गुणज हैं और (B) में (9) के गुणज हैं। इसलिए \(A\cap B'\) में (3) के वे गुणज हैं जो (9) के गुणज नहीं हैं। / (A) contains multiples of (3) and (B) contains multiples of (9). Thus \(A\cap B'\) contains multiples of (3) that are not multiples of (9).
(A) का कोई सदस्य (B') में नहीं है, इसलिए (A) का हर सदस्य (B) में होगा। अतः \(A\subseteq B\) है। / No element of (A) is in (B'), so every element of (A) must be in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(7) के गुणज (7,14,21,28,35,42,49) हैं। इनमें केवल (49) पूर्ण वर्ग है, इसलिए (6) नहीं बल्कि (6) सदस्य (A') में हैं। / The multiples of (7) are (7,14,21,28,35,42,49). Only (49) is a perfect square, so (6) elements are in (A').
समुच्चय \(A\) में \(3\) शामिल नहीं है क्योंकि शर्त \(x<3\) है, इसलिए \(3\) उसके पूरक में शामिल होगा। दूसरी ओर, \(8\) समुच्चय \(A\) में शामिल है क्योंकि \(x\ge 8\), इसलिए \(8\) पूरक में शामिल नहीं होगा। अतः \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं को उलटकर सीमा-बिंदुओं की समावेशिता अवश्य जाँचें। / The number \(3\) is not in \(A\), because the condition is \(x<3\); hence \(3\) belongs to the complement. The number \(8\) is in \(A\), because \(x\ge 8\); hence \(8\) is excluded from the complement. Therefore, \(A'=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x<8\}=[3,8)\). Exam tip: when finding a complement, reverse the inequality conditions and carefully check whether each endpoint is included.
\(A'\cap B'\) वे संख्याएं हैं जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य नहीं हैं। (2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (40) हैं, इसलिए पूरक (20) है। / \(A'\cap B'\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). Numbers divisible by (2) or (3) are (40), so the complement is (20).
\(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) और \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) हैं। इसलिए \(A'\cup B'\) में (3,4,5) को छोड़कर सभी सदस्य हैं। / \(A=\{3,4,5,6,7,8\}\) and \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\). Thus \(A'\cup B'\) contains all elements except (3,4,5).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में 1 से 32 तक कुल 32 संख्याएँ हैं। इनमें 16 सम और 16 विषम संख्याएँ हैं। चूँकि \(A\) में सम संख्याएँ हैं, इसलिए उसके पूरक \(A'\) में 16 विषम संख्याएँ होंगी। अतः \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\)। याद रखें: यदि किसी समुच्चय में \(m\) अवयव हों, तो उसके कार्तीय वर्ग में \(m^2\) क्रमित युग्म होते हैं। / The universal set \(U\) contains 32 numbers, of which 16 are even and 16 are odd. Since \(A\) contains the even numbers, its complement \(A'\) contains the 16 odd numbers. Therefore, \(n(A'\times A')=n(A')\times n(A')=16\times16=256\). Exam tip: if a set has \(m\) elements, its Cartesian square contains \(m^2\) ordered pairs.
(45) तक (3) के (15) गुणज हैं। इनमें (9) के (5) गुणज (A) में हैं, इसलिए (15-5=10) बचते हैं। / There are (15) multiples of (3) up to (45). Among them (5) multiples of (9) are in (A), so (15-5=10) remain.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A\cup B\) के पूरक में वे तत्व होते हैं जो न \(A\) में हैं, न \(B\) में; अतः \((A\cup B)'=A'\cap B'\)। विकल्प A में प्रतिच्छेद के पूरक का नियम गलत लगाया गया है। परीक्षा टिप: संघ और प्रतिच्छेद बदलते हैं। / By De Morgan’s law, an element outside \(A\cup B\) belongs to neither \(A\) nor \(B\), so it must lie in both \(A'\) and \(B'\). Hence \((A\cup B)'=A'\cap B'\). Option A uses the wrong operation. Exam tip: complement swaps union and intersection.
(4) से विभाज्य सभी सदस्य (A') में दिए गए हैं। इसलिए (A) में (4) से विभाज्य कोई सदस्य नहीं है। / All elements divisible by (4) are listed in (A'). Therefore (A) has no element divisible by (4).
एक ही सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष पूरक लेने की क्रिया एक-एक होती है। \(A'=B'\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A=B\) मिलता है। \(A\cup B=U\) आवश्यक नहीं है। परीक्षा टिप: पूरक हमेशा उसी \(U\) के सापेक्ष लें। / Taking complements with respect to the same universal set \(U\) is a one-to-one operation. Taking complements on both sides of \(A'=B'\) gives \(A=B\). The condition \(A\cup B=U\) is not necessary. Exam tip: always identify the universal set before using complement laws.
(B) में (9,18,27,36,45,54) हैं। इनमें (18,36,54) (6) से विभाज्य हैं, इसलिए \(A'\cap B\) में (9,27,45) यानी (3) सदस्य हैं। / (B) contains (9,18,27,36,45,54). Among them (18,36,54) are divisible by (6), so \(A'\cap B\) has (9,27,45), that is (3) elements.
समीकरण \(x^2=4\) के वास्तविक हल \(x=-2\) और \(x=2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष पूरक \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\) होगा। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए समीकरण से समुच्चय \(A\) ज्ञात करें, फिर सार्वत्रिक समुच्चय में से उसके अवयव हटाएँ। / The real solutions of \(x^2=4\) are \(x=-2\) and \(x=2\), so \(A=\{-2,2\}\). With respect to the universal set \(\mathbb{R}\), its complement is \(A'=U\setminus A=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the elements of the given set, then remove them from the universal set.
डी मॉर्गन से (A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। इसलिए (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), जिसकी संख्या (50) है। / By De Morgan's law, (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Hence (\(A'\cap B'\)'=A\cup B), whose cardinality is (50).
A. ({1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,21,22})
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) में सम पूर्ण वर्ग (4) और (16) हैं। इन्हें (U) से हटाने पर पूरक मिलता है। / \(A\cap B\) contains even perfect squares (4) and (16). Removing them from (U) gives the complement.
(A) में (3) के (27) गुणज हैं और (B) में (27) के (3) गुणज हैं। इसलिए \(B'\cap A\) में (27-3=24) सदस्य हैं। / (A) has (27) multiples of (3), and (B) has (3) multiples of (27). Hence \(B'\cap A\) has (27-3=24) elements.
द्वि-पूरक नियम के अनुसार किसी भी समुच्चय के लिए \\((A')'=A\\) होता है। यहाँ \\(A\\) के सापेक्ष पूरक \\((-1,6)\\) है, क्योंकि \\-1 और 6 मूल समुच्चय में शामिल हैं। इसका फिर से पूरक लेने पर वे दोनों सीमांत बिंदु और बाहरी अंतराल वापस मिल जाते हैं, इसलिए \\((A')'=(-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: द्वि-पूरक में समुच्चय हमेशा अपने मूल रूप में लौट आता है। / By the double-complement law, \\((A')'=A\\) for every set. Here, the complement of \\(A\\) in \\(\\mathbb{R}\\) is \\((-1,6)\\), since \\-1 and 6 are included in \\(A\\). Taking the complement once more restores both endpoints and the two outer intervals, giving \\((-\\infty,-1]\\cup[6,\\infty)\\). Exam tip: the complement of a complement always returns the original set.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′। U में 10 के 9 गुणज और 18 के 5 गुणज हैं। दोनों में समान तत्व केवल 90 है, क्योंकि 10 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य 90 है। इसलिए n(A ∪ B) = 9 + 5 − 1 = 13 और n(A′ ∩ B′) = 90 − 13 = 77। परीक्षा-टिप: समावेशन-बहिष्करण में समान तत्वों को एक बार घटाना न भूलें; ऐसा न करने पर 76 प्राप्त होगा। / By De Morgan’s law, A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′. There are 9 multiples of 10 and 5 multiples of 18 in U. Their only common element is 90, since the least common multiple of 10 and 18 is 90. Thus, n(A ∪ B) = 9 + 5 − 1 = 13, and n(A′ ∩ B′) = 90 − 13 = 77. Exam tip: In the inclusion–exclusion formula, subtract the common elements once; failing to do so gives the distractor 76.
दो सीमित समुच्चयों के लिए \(n(A\times B)=n(A)\,n(B)\)। अतः \(72=8\times n(B)\), इसलिए \(n(B)=72/8=9\)। विकल्प B में \(n(A)=8\) को ही उत्तर मान लिया गया है, जबकि पूछा \(n(B)\) गया है। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल की कार्डिनैलिटी में दोनों समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का गुणन करें। / For two finite sets, \(n(A\times B)=n(A)\,n(B)\). Therefore, \(72=8\times n(B)\), giving \(n(B)=72/8=9\). Option B incorrectly repeats \(n(A)=8\), whereas the question asks for \(n(B)\). Exam tip: use the product rule for the cardinality of a Cartesian product, then divide by the known set cardinality.
