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\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, carefully choose the smaller powers. चरण 1: \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। चरण 2: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। चरण 3: ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें।
The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। चरण 3: परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें।
For LCM, take the greater exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
This gives \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\).
Step 3
Exam Tip
While finding LCM, do not leave out any prime factor. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\) मिलता है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य निकालते समय कोई भी अभाज्य गुणनखंड छोड़ना नहीं चाहिए।
For two numbers, product of numbers (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The other number is \(\frac{18\times540}{90}=108\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, write the formula first and then calculate. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{18\times540}{90}=108\) होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले सूत्र लिखकर फिर गणना करें।
Since the product is directly given, the other number is \(15120\div 216\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15120\div 216=70\). On checking, the HCF of (216) and (70) is (2), so the given HCF (36) is inconsistent.
Step 3
Exam Tip
In exams, if conditions conflict, first compute the basic quotient and then verify the condition. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल सीधे दिया है, इसलिए दूसरी संख्या \(15120\div 216\) होगी। चरण 2: \(15120\div 216=70\)। जाँच में (216) और (70) का महत्तम समापवर्तक (2) है, इसलिए दी गई शर्तों में महत्तम समापवर्तक (36) मेल नहीं खाता। चरण 3: परीक्षा में यदि शर्तें असंगत लगें, तो पहले मूल भागफल और फिर शर्त की जाँच करें।
For LCM, take the highest power of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^4\), \(3^3\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
Do not miss a prime factor that appears in only one number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: सबसे बड़ी घातें \(2^4\), \(3^3\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: किसी भी अभाज्य गुणनखंड को छोड़ना सबसे सामान्य गलती होती है।
Divide the total product by the given number to get the other number.
Step 2
Why this answer is correct
\(15120\div 216=70\), so the other number is (70).
Step 3
Exam Tip
In such questions, find the quotient accurately before doing any extra work. चरण 1: दूसरी संख्या पाने के लिए कुल गुणनफल को दी गई संख्या से भाग दें। चरण 2: \(15120\div 216=70\), इसलिए दूसरी संख्या (70) है। चरण 3: ऐसे प्रश्न में अतिरिक्त गणना से पहले भागफल को सही निकालें।
While dividing, check place value carefully to avoid calculation errors. चरण 1: दो संख्याओं के लिए ( गुणनफल\(=\)महत्तम समापवर्तक\(\times\)लघुत्तम समापवर्त्य) होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{12960}{36}=360\) है। चरण 3: भाग करते समय अंतिम शून्य और स्थानमान सावधानी से देखें।
For two numbers, product of the numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The other number \(=\frac{18\times 540}{90}=108\).
Step 3
Exam Tip
Apply this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{18\times 540}{90}=108\) होगी। चरण 3: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू करें।
LCM takes \(2^5\), \(3^4\), (5), and (11), so the ratio becomes \(2^2\times3^2\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
Subtract powers when dividing prime factor forms. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) आएँगी। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^5\), \(3^4\), (5), (11) आएँगे, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^2\times5\times11\) होगा। चरण 3: अनुपात में समान घातें घटाकर उत्तर जल्दी निकालें।
When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: घातांक जोड़ने पर \(2^{3+2}\times 3^{2+4}\times 5\times 7=2^5\times 3^6\times 5\times 7\)। चरण 3: जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं।
The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest exactly divisible number, find the LCM. चरण 1: ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। चरण 2: \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। चरण 3: सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
HCF contains only the prime factors common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest exponent of (2) is (3) and of (3) is (1). (5) and (7) are not common to all. Hence the answer is \(2^3\times 3\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first identify prime factors common to all. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल वे अभाज्य गुणनखंड आते हैं जो तीनों में हों। चरण 2: (2) का छोटा घातांक (3) और (3) का छोटा घातांक (1) है। (5) और (7) तीनों में साथ नहीं हैं। इसलिए उत्तर \(2^3\times 3\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में समान गुणनखंड पहचानना सबसे जरूरी है।
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
Use only primes common to all numbers. चरण 1: सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। चरण 3: सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें।
LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। चरण 2: (2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। चरण 3: जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है।
A. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
For two numbers, HCF \(\times\) LCM (=) product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
This direct relation is for two numbers.
Step 3
Exam Tip
Do not apply this formula blindly to three numbers in exams. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। चरण 2: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू होता है। चरण 3: परीक्षा में इस सूत्र को तीन संख्याओं पर बिना जाँच के लागू न करें।
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
For two numbers, their product equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) in the product is (2+5=7).
Step 3
Exam Tip
If only one prime exponent is asked, add only that prime's exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) का घातांक (2+5=7) होगा। चरण 3: केवल पूछे गए अभाज्य का घातांक जोड़कर जल्दी उत्तर मिल सकता है।
A. (a=2) और (b=2) संभव हैं/(a=2) and (b=2) are possible
Step 1
Concept
In HCF, the smaller power of each common prime is used.
Step 2
Why this answer is correct
For prime (2), the smaller power must be (2), so (a=2) is possible; for prime (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
In unknown power questions, focus on the minimum-power condition. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में प्रत्येक समान अभाज्य की छोटी घात आती है। चरण 2: (2) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (a=2) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। चरण 3: अज्ञात घातों वाले प्रश्न में छोटी घात की शर्त पर ध्यान दें।
A correct pair must give both HCF (24) and LCM (720).
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\) and \(240=2^4\times 3\times 5\). Their HCF is \(2^3\times 3=24\) and LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\).
Step 3
Exam Tip
For option checking, prime factorise first. चरण 1: किसी सही जोड़ी में महत्तम समापवर्तक (24) और लघुत्तम समापवर्त्य (720) दोनों मिलने चाहिए। चरण 2: \(72=2^3\times 3^2\) और \(240=2^4\times 3\times 5\)। इनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3=24\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। चरण 3: विकल्प जाँच में पहले अभाज्य गुणनखंडन करें।
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before trying pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। चरण 2: (420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
Subtract the remainder (5) from each number to get (132), (180), and (252).
Step 2
Why this answer is correct
Find their HCF. \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), so the common part is \(2^2\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
In same-remainder problems, subtract the remainder first. चरण 1: शेषफल (5) हटाने पर संख्याएँ (132), (180), और (252) मिलती हैं। चरण 2: इनका महत्तम समापवर्तक निकालें। \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), इसलिए समान भाग \(2^2\times 3=12\) है। चरण 3: समान शेषफल वाले प्रश्न में पहले शेषफल घटाएँ।
किसी विद्यालय में (72) लड़के और (96) लड़कियाँ हैं। हर पंक्ति में लड़कों और लड़कियों की अलग-अलग समान संख्या रखनी है, और प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम होनी चाहिए। एक पंक्ति में कितने विद्यार्थी होंगे?
\(72=2^3\times3^2\) and \(96=2^5\times3\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal grouping, use HCF. चरण 1: अधिकतम समान संख्या के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(96=2^5\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 3: पंक्ति या समूह की अधिकतम समान संख्या वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
The time when they ring together again is the LCM of (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\). The LCM is \(2^3\times 3^2\times 5=360\).
Step 3
Exam Tip
Use LCM for repeated-time meeting problems. चरण 1: साथ दोबारा बजने का समय (18), (24), और (30) का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। चरण 2: \(18=2\times 3^2\), \(24=2^3\times 3\), \(30=2\times 3\times 5\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^2\times 5=360\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लगाएँ।
The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), and \(30=2\times3\times5\), so LCM \(=2^3\times3^2\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
For repeated time events, use LCM. चरण 1: साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), \(30=2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^2\times5=360\) है। चरण 3: दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें।
Since all sweets must be divided equally, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), and \(240=2^4\times 3\times 5\). The common smallest part is \(2^4\times 3=48\).
Step 3
Exam Tip
For greatest equal grouping, use HCF. चरण 1: हर प्रकार की मिठाई बराबर बँटनी है, इसलिए महत्तम समापवर्तक निकालेंगे। चरण 2: \(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), और \(240=2^4\times 3\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^4\times 3=48\) है। चरण 3: सबसे अधिक बराबर बाँटने वाले प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें।
यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^3\times5\) और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) की घात क्या होगी?
The product of two numbers equals HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (2) are (5) and (2), so the total power is (7).
Step 3
Exam Tip
When multiplying prime powers with the same base, add the powers. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) की घातें (5) और (2) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (7) होगी। चरण 3: अभाज्य घातों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
The HCF is \(2^3\times 3^2\times 5\) and the LCM is \(2^5\times 3^4\times 5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(On division, subtract exponents, so (\frac{\)LCM}{HCF\(}=2^2\times 3^2\times 5).\)
Step 3
Exam Tip
In such ratios, subtract smaller exponents from larger exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\times 5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^2\) होगा। \(चरण 2: भाग देने पर घातांक घटेंगे, इसलिए (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}=22\times 32\times 5)। चरण 3: अनुपात में बड़े घातांक से छोटे घातांक घटाएँ।
Since product (=) HCF \(\times\) LCM, the LCM is (391).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (391) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
\(This relation is very useful in two-number problems. चरण 1: दो संख्याओं के लिए (xy=\)महत्तम समापवर्तक\(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य) होता है। चरण 2: इसलिए (xy) को महत्तम समापवर्तक से भाग देने पर लघुत्तम समापवर्त्य मिलता है। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।
A number divisible by both must be a multiple of their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
The LCM contains \(2^3\), \(3^4\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, every required prime power must be present. चरण 1: जो संख्या दोनों से विभाजित हो, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^3\), \(3^4\), (5) और (7) आएँगे। चरण 3: विभाज्यता जाँचते समय हर अभाज्य की पर्याप्त घात होनी चाहिए।
If the HCF of two numbers is (1), the numbers are co-prime.
Step 2
Why this answer is correct
For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM, so \(7429=1\times\) LCM. Hence the LCM is (7429).
Step 3
Exam Tip
The LCM of co-prime numbers equals their product. चरण 1: जब दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) हो, तो वे सह-अभाज्य होती हैं। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए \(7429=1\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। अतः लघुत्तम समापवर्त्य (7429) है। चरण 3: सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।
\(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF. चरण 1: पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। चरण 2: \(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। चरण 3: महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें।
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3^2\) है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^2\times 5\times 7\) है। यदि एक संख्या \(2^5\times 3^2\times 5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
The larger power of (2) is \(2^5\), and that of (3) is \(3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not assume the larger given number is always the LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए प्रत्येक अभाज्य की बड़ी घात चुनें। चरण 2: (2) की बड़ी घात \(2^5\) और (3) की बड़ी घात \(3^2\) है, इसलिए उत्तर \(2^5\times3^2\) है। चरण 3: बड़ी संख्या को ही लघुत्तम समापवर्त्य मान लेना हमेशा सही नहीं होता।
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit. चरण 1: पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। चरण 2: \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें।
The common primes are (2) and (3), with smaller powers \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is not written in HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लिखें।
HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
First form the HCF, then add its exponents. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। चरण 3: पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए।
This formula is directly reliable for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(15\times630=9450\), इसलिए गुणनफल (9450) है। चरण 3: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सीधे भरोसेमंद है।
LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
While counting distinct factors, do not count powers separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। चरण 3: अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें।
The powers of (5) are (3) and (1), so \(5^3\) appears in the LCM.
Step 3
Exam Tip
Compare powers separately for each prime base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (5) की घातें (3) और (1) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में \(5^3\) आएगा। चरण 3: घातों की तुलना अलग-अलग अभाज्य आधार पर करें।
दो संख्याएँ \(2^a\times 3^2\times 5\) और \(2^4\times 3^b\times 7\) हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\) है, तो ((a,b)) के लिए कौन सा विकल्प सही है?
In the HCF, the exponent of (2) must be (\min(a,4)=3), so (a=3) fits.
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (3) must be (\min(2,b)=2), so \(b\geq 2\); among the options, ((3,2)) fits.
Step 3
Exam Tip
For unknown exponents, apply the smaller-exponent rule. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में (2) का घातांक (\min(a,4)=3) होना चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है। चरण 2: (3) का घातांक (\min(2,b)=2) होना चाहिए, इसलिए \(b\geq 2\); दिए विकल्पों में ((3,2)) सही बैठता है। चरण 3: अज्ञात घातांक वाले प्रश्न में छोटे घातांक का नियम लगाएँ।
एक दुकानदार के पास (126) लाल पेन और (210) नीले पेन हैं। वह समान प्रकार के अधिकतम पैकेट बनाना चाहता है ताकि हर पैकेट में लाल पेन की संख्या समान और नीले पेन की संख्या समान हो। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(126=2\times3^2\times7\) and \(210=2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
For maximum equal distribution, find the HCF. चरण 1: अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। चरण 2: \(126=2\times3^2\times7\) और \(210=2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times7=42\) है। चरण 3: अधिकतम समान बाँटने वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक खोजें।
दो संख्याएँ \(2^a\times 3\times 5^2\) और \(2^2\times 3^4\times 5^b\) हैं। यदि उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^3\) है, तो ((a,b)) क्या होगा?
For (2), (\max(a,2)=5), so (a=5). For (5), (\max(2,b)=3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
To match an LCM, compare the required largest exponents. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़े घातांक आते हैं। चरण 2: (2) के लिए (\max(a,2)=5), इसलिए (a=5)। (5) के लिए (\max(2,b)=3), इसलिए (b=3)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में लक्ष्य घातांक पाने के लिए बड़े घातांक की तुलना करें।
Remainder (0) means the number is divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(75=3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
For the smallest such number, use LCM. चरण 1: हर बार शेष (0) का अर्थ है कि संख्या सभी दी गई संख्याओं से विभाजित होगी। चरण 2: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(75=3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। चरण 3: सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें।
The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
When the greatest exact divisor is asked, find the HCF. चरण 1: ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। चरण 2: \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। चरण 3: सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें।
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5\) है। यदि एक संख्या \(2^4\times3\times5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
The other number is (\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33).
Step 3
Exam Tip
While dividing prime forms, subtract powers of the same base. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या (=\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33) है। चरण 3: अभाज्य रूप में भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ।
The smallest such number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), and \(72=2^3\times 3^2\). The LCM is \(2^3\times 3^3\times 5=1080\).
Step 3
Exam Tip
Remainder (0) means exact divisibility by all numbers. चरण 1: सबसे छोटी ऐसी संख्या इन तीनों का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। चरण 2: \(45=3^2\times 5\), \(54=2\times 3^3\), और \(72=2^3\times 3^2\)। लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times 3^3\times 5=1080\) है। चरण 3: शेषफल (0) का अर्थ है संख्या सभी से पूरी तरह विभाजित हो।
A. उनका महत्तम समापवर्तक (1) होगा/Their HCF will be (1)
Step 1
Concept
HCF contains only common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
If there is no common prime factor, the only common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
Treat such numbers as coprime to solve quickly. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंड ही आते हैं। चरण 2: यदि कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो केवल (1) साझा भाजक बचता है। चरण 3: ऐसी संख्याओं को सहाभाज्य समझकर प्रश्न जल्दी हल करें।
A. दोनों संख्याओं का गुणनफल (9450) है/The product of the two numbers is (9450)
Step 1
Concept
For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the product is \(15\times 630=9450\). The sum or the exact numbers are not fixed without more information.
Step 3
Exam Tip
In relation-based questions, choose only what is definitely proved. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: इसलिए गुणनफल \(15\times 630=9450\) निश्चित है। योग या संख्याएँ अलग जानकारी के बिना निश्चित नहीं होतीं। चरण 3: संबंध आधारित प्रश्न में केवल निश्चित रूप से सिद्ध होने वाला कथन चुनें।
Prime factorise: \(84=2^2\times3\times7\) and \(198=2\times3^2\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The common smaller powers are (2) and (3), so HCF \(=2\times3=6\).
Step 3
Exam Tip
Before choosing a statement, check HCF and LCM carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड करें: \(84=2^2\times3\times7\) और \(198=2\times3^2\times11\)। चरण 2: समान छोटी घातें (2) और (3) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3=6\) है। चरण 3: सही कथन चुनने से पहले महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य दोनों की जाँच कर लें।
