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A. यूरोपीय स्वतंत्रता आदर्श उपनिवेशों में दासता के साथ मौजूद थे/European liberty ideals coexisted with slavery in colonies
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति ने दास विद्रोह को स्वतंत्र राज्य निर्माण से जोड़ा। परीक्षा में इसे अटलांटिक क्रांतियों में अलग पहचानें। / The Haitian Revolution linked slave revolt with independent state formation. For exams distinguish it among Atlantic revolutions.
A. क्योंकि इससे क्रांति के आदर्शों और सामाजिक वास्तविकता का विरोधाभास समझ आता है/Because it shows the contradiction between revolutionary ideals and social reality
Explanation
Simple Explanation
अमेरिकी क्रांति में अधिकारों की भाषा थी पर दासता बनी रही। परीक्षा में आदर्श और सीमा दोनों लिखें। / The American Revolution had the language of rights but slavery continued. For exams write both ideals and limits.
A. वे अधिकारों की सार्वभौमिक भाषा देते थे पर समाजों में असमानताएं बनी थीं/They gave universal language of rights but inequalities remained in societies
Explanation
Simple Explanation
ज्ञानोदय ने अधिकारों की भाषा दी जिसे अलग समूहों ने अपने संघर्षों में अपनाया। परीक्षा में सार्वभौमिक आदर्श और वास्तविक सीमा लिखें। / The Enlightenment gave a language of rights that different groups adopted in struggles. For exams write universal ideals and real limits.
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। / In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। / Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method.
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लेकर (p) और (q) सहअभाज्य माने जाते हैं। / At the start, \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form, so (p) and (q) are assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। / The proof shows both are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
यही साफ और सही विरोधाभास है। / This is the clear and correct contradiction.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
(p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। / We started by taking (p) and (q) as coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है। / Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction.
A. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) are found even
Step 1
Concept
शुरुआत में (p) और (q) को सहअभाज्य माना गया था। / At the start, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, यानी दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / The proof shows both (p) and (q) are even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास दिखाता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction shows that \(\sqrt{2}\) is not rational.
A. \(\sqrt{7}\) परिमेय होगा/\(\sqrt{7}\) would be rational
Step 1
Concept
मान लें \(2+\sqrt{7}\) परिमेय है। / Assume \(2+\sqrt{7}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
तब (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) परिमेय होगा, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। / Then (\sqrt{7}=\(2+\sqrt{7}\)-2) would be rational, but \(\sqrt{7}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोध सिद्ध करने में ज्ञात परिमेय संख्या को घटाकर मूल को अलग करें। / In contradiction proofs, isolate the surd using rational operations.
A. स्वतंत्रता के नाम पर कभी बाहरी नियंत्रण भी लगाया गया/External control was sometimes imposed in the name of liberty
Step 1
Concept
फ्रांसीसी विचार स्वतंत्रता की बात करते थे। / French ideas spoke of liberty.
Step 2
Why this answer is correct
पर कई क्षेत्रों में फ्रांसीसी शासन बाहरी नियंत्रण जैसा लगा। / But in many territories French rule appeared as external control.
Step 3
Exam Tip
इसलिए राष्ट्रवाद में मुक्ति और प्रभुत्व का विरोधाभास समझना जरूरी है। / So it is important to understand the contradiction between liberation and domination.
A. श्रम नियंत्रण के नए वैधानिक रूप/New legal forms of labour control
Explanation
Simple Explanation
दासता समाप्त होने के बाद भी नियंत्रित श्रम के रूप बने रहे। परीक्षा में कैरेबियन और भारतीय अनुबंधित श्रम याद रखें। / Even after abolition of slavery controlled labour forms remained. For exams remember Caribbean and Indian indentured labour.
A. क्योंकि दास विद्रोह ने औपनिवेशिक शासन को चुनौती देकर स्वतंत्र राज्य बनाया/Because a slave revolt challenged colonial rule and created an independent state
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति दासता विरोध और स्वतंत्रता का संयुक्त उदाहरण है। परीक्षा में अटलांटिक इतिहास याद रखें। / The Haitian Revolution is a combined example of anti slavery and independence. For exams remember Atlantic history.
A. दास विद्रोह ने औपनिवेशिक शासन से स्वतंत्र राज्य बनाया/A slave revolt created an independent state from colonial rule
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति दासता विरोधी स्वतंत्रता का विशेष उदाहरण है। परीक्षा में इसे कैरेबियन से जोड़ें। / The Haitian Revolution is a special example of anti slavery independence. For exams connect it with the Caribbean.
A. क्योंकि दास विद्रोह ने स्वतंत्र राज्य निर्माण किया/Because a slave revolt created an independent state
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति ने दासता विरोध और स्वतंत्रता को साथ जोड़ा। परीक्षा में इसे कैरेबियन इतिहास से जोड़ें। / The Haitian Revolution linked anti slavery and independence. For exams connect it with Caribbean history.
A. इसने दास विद्रोह को सफल स्वतंत्रता संघर्ष में बदला/It turned a slave revolt into a successful independence struggle
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति दासता विरोध और स्वतंत्र राज्य निर्माण दोनों से जुड़ी थी। परीक्षा में इसे कैरेबियन इतिहास से जोड़ें। / The Haitian Revolution was linked with anti slavery and independent state formation. For exams connect it with Caribbean history.
हैती क्रांति कैरेबियन में दासता विरोधी स्वतंत्रता संघर्ष थी। परीक्षा में इसे दास विद्रोह और स्वतंत्रता से जोड़ें। / The Haitian Revolution was an anti slavery independence struggle in the Caribbean. For exams connect it with slave revolt and freedom.
A. क्योंकि उपनिवेशी समाज में आर्थिक शोषण नस्ली श्रेणी और कानूनी स्थिति से जुड़ा था/Because colonial exploitation was tied to racial category and legal status
Explanation
Simple Explanation
सेंट डोमिंग में सामाजिक स्थिति नस्ल और दासता से निर्धारित होती थी। परीक्षा में सामाजिक संरचना को कारण के रूप में देखें। / In Saint-Domingue social status was shaped by race and slavery. For exams see social structure as a cause.
C. क्योंकि स्वतंत्रता के आदर्शों के साथ दासता बनी रही/Because slavery continued alongside ideals of liberty
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्रता की भाषा और दासता की वास्तविकता में बड़ा विरोधाभास था। परीक्षा में क्रांति की उपलब्धि और सीमा दोनों लिखें। / There was a major contradiction between the language of liberty and the reality of slavery. For exams write both achievement and limitation.
हैती क्रांति दासता विरोधी संघर्ष और स्वतंत्रता का महत्वपूर्ण उदाहरण है। परीक्षा में हैती को फ्रांसीसी उपनिवेश और दास विद्रोह से जोड़ें। / The Haitian Revolution is an important example of anti-slavery struggle and independence. For exams connect Haiti with French colony and slave revolt.
A. बसाहटी अल्पसंख्यक स्वतंत्रता दावा और अफ्रीकी बहुसंख्यक शासन की मांग का टकराव/Clash between settler minority independence claim and African majority rule demand
Explanation
Simple Explanation
रोडेशिया में स्वतंत्रता का प्रश्न बहुसंख्यक अधिकार से जुड़ा था। परीक्षा में जिम्बाब्वे संदर्भ याद रखें। / In Rhodesia the question of independence was linked with majority rights. For exams remember Zimbabwe context.
A. शासन के लिए बनाई शिक्षा ने शासन की आलोचना की भाषा भी दी/Education made for rule also gave the language to criticize rule
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक शिक्षा ने प्रशासनिक कर्मचारी और आलोचनात्मक नेतृत्व दोनों बनाए। परीक्षा में शिक्षित मध्यवर्ग याद रखें। / Colonial education produced both administrative workers and critical leadership. For exams remember the educated middle class.
A. बुनियादी ढांचा अक्सर स्थानीय कल्याण से अधिक निर्यात और नियंत्रण के लिए बनाया गया/Infrastructure was often built more for export and control than local welfare
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक विकास को उसके उद्देश्य और लाभार्थी से परखना चाहिए। परीक्षा में रेल बंदरगाह और खदानें जोड़ें। / Colonial development should be judged by its purpose and beneficiaries. For exams connect railways ports and mines.
A. कानून व्यवस्था घोषित होती थी पर अधिकार और दंड में नस्ली या प्रशासनिक भेद रह सकता था/Rule of law was declared but rights and punishments could remain racially or administratively unequal
Explanation
Simple Explanation
औपनिवेशिक कानून नियंत्रण और वैधता दोनों का साधन था। परीक्षा में कानून और न्याय का अंतर समझें। / Colonial law was a tool of both control and legitimacy. For exams understand the difference between law and justice.
A. सभ्यता और व्यापार की भाषा के पीछे अफ्रीकी क्षेत्रों पर यूरोपीय दावा बढ़ा/European claims over African territories increased behind language of civilization and trade
Explanation
Simple Explanation
बर्लिन सम्मेलन ने शक्ति असमानता और प्रतिनिधित्व की कमी दिखायी। परीक्षा में अफ्रीकी सीमाओं की विरासत जोड़ें। / The Berlin Conference showed power inequality and lack of representation. For exams add the legacy of African borders.
A. अंतरराष्ट्रीय भाषा के बावजूद वास्तविक प्रशासन बाहरी शक्तियों के हाथ रहा/Despite international language actual administration remained with outside powers
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने पुराने नियंत्रण को नए रूप में जारी रखा। परीक्षा में प्रथम विश्व युद्ध बाद की व्यवस्था याद रखें। / The mandate system continued old control in a new form. For exams remember post World War I order.
A. खनिज लाभ के साथ भूमि क्षति विस्थापन और श्रम शोषण जुड़ा था/Mineral profit was linked with land damage displacement and labour exploitation
Explanation
Simple Explanation
खनन औपनिवेशिक संसाधन दोहन का प्रमुख उदाहरण है। परीक्षा में पर्यावरण और समाज दोनों लिखें। / Mining is a major example of colonial resource extraction. For exams write both environment and society.
A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी/Locally born elites of European origin challenged Spanish authority
Explanation
Simple Explanation
क्रिओल नेतृत्व ने औपनिवेशिक समाज के भीतर सत्ता संघर्ष दिखाया। परीक्षा में बोलिवार और सान मार्टिन याद रखें। / Creole leadership showed power struggle within colonial society. For exams remember Bolivar and San Martin.
A. स्थानीय जन्मे यूरोपीय मूल के अभिजात वर्ग ने स्पेनी सत्ता को चुनौती दी/Locally born elites of European origin challenged Spanish authority
Explanation
Simple Explanation
क्रिओल नेतृत्व ने औपनिवेशिक सत्ता के भीतर मौजूद तनाव दिखाया। परीक्षा में बोलिवार और सान मार्टिन याद रखें। / Creole leadership showed tensions within colonial power. For exams remember Bolivar and San Martin.
A. आत्मनिर्णय की भाषा थी पर प्रशासन बाहरी शक्तियों के पास रहा/The language of self determination existed but administration remained with outside powers
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने नियंत्रण को नए अंतरराष्ट्रीय शब्दों में जारी रखा। परीक्षा में राष्ट्र संघ और प्रथम विश्व युद्ध बाद याद रखें। / The mandate system continued control in new international language. For exams remember League of Nations and post World War I.
A. आत्मनिर्णय की बात हुई लेकिन बाहरी प्रशासन जारी रहा/Self determination was discussed but outside administration continued
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने साम्राज्यवादी नियंत्रण को नए नाम से जारी रखा। परीक्षा में राष्ट्र संघ और प्रथम विश्व युद्ध बाद याद रखें। / The mandate system continued imperial control under a new name. For exams remember League of Nations and post World War I.
C. आत्मनिर्णय की बात हुई पर उपनिवेशों में साम्राज्यवादी हित बने रहे/Self determination was discussed but imperial interests continued in colonies
Explanation
Simple Explanation
वर्साय व्यवस्था में आदर्श और शक्ति राजनीति का अंतर था। परीक्षा में विल्सन के सिद्धांतों की सीमा याद रखें। / The Versailles order had a gap between ideals and power politics. For exams remember limits of Wilson's principles.
A. राज्य स्थिरता स्वीकार हुई पर नागरिक अधिकारों पर भी निगरानी बढ़ी/State stability was accepted but scrutiny of civil rights also increased
Explanation
Simple Explanation
हेलसिंकी ने डिटांट और मानवाधिकार दोनों को जोड़ा। परीक्षा में पूर्वी ब्लॉक पर नैतिक दबाव याद रखें। / Helsinki connected detente with human rights. For exams remember moral pressure on the Eastern bloc.
A. आर्थिक क्षेत्रीय एकीकरण के भीतर राष्ट्रीय नियंत्रण की मांग बनी रही/Demand for national control remained within economic regional integration
Explanation
Simple Explanation
ब्रेक्सिट ने राष्ट्रीय पहचान और क्षेत्रीय एकीकरण की बहस को तेज किया। परीक्षा में इसे आधुनिक यूरोप से जोड़ें। / Brexit intensified debate on national identity and regional integration. For exams connect it with modern Europe.
A. सुधार की इच्छा थी पर मॉस्को नियंत्रण ने स्वतंत्र प्रयोग सीमित किया/There was desire for reform but Moscow control limited independent experiment
Explanation
Simple Explanation
प्राग स्प्रिंग ने स्वतंत्र सुधार की सीमा उजागर की। परीक्षा में इसे ब्रेझनेव सिद्धांत से जोड़ें। / Prague Spring exposed the limits of independent reform. For exams connect it with the Brezhnev Doctrine.
A. सामाजिक उपलब्धियों और राजनीतिक स्वतंत्रता की सीमाओं के साथ/With social achievements and limits on political freedom
Explanation
Simple Explanation
कास्त्रो शासन की सामाजिक नीतियों की प्रशंसा हुई पर राजनीतिक नियंत्रण की आलोचना भी हुई। परीक्षा में संतुलित मूल्यांकन करें। / Castro's social policies were praised but political control was criticized. For exams make a balanced evaluation.
A. उन्हें दंडित किया गया लेकिन बाद में राष्ट्रीय नायिका और संत के रूप में सम्मान मिला/She was punished but later honored as national heroine and saint
Explanation
Simple Explanation
जोआन ऑफ आर्क का जीवन राजनीति धर्म और राष्ट्रीय स्मृति से जुड़ा है। परीक्षा में उन्हें सौ वर्षीय युद्ध से जोड़ें। / Joan of Arc's life is linked with politics religion and national memory. Exam tip: connect her with the Hundred Years' War.
A. विचारों में सुधारवाद था पर सत्ता केंद्रीकृत रही/Ideas showed reformism but power remained centralized
Explanation
Simple Explanation
कैथरीन महान प्रबोधन से प्रभावित थीं लेकिन निरंकुश शासन जारी रहा। परीक्षा में प्रबुद्ध निरंकुशता समझें। / Catherine was influenced by Enlightenment but absolute rule continued. Exam tip: understand enlightened absolutism.
A. महाद्वीपीय मुक्ति की भाषा के साथ घरेलू सत्ता केंद्रीकरण/Language of continental liberation with domestic centralization of power
Explanation
Simple Explanation
नक्रूमा अफ्रीकी एकता के समर्थक थे पर घरेलू सत्ता केंद्रीकरण पर आलोचना हुई। परीक्षा में आदर्श और शासन शैली दोनों देखें। / Nkrumah supported African unity but was criticized for domestic centralization. For exams see both ideals and style of rule.
A. वह सुधार की भाषा अपनाती थीं पर किसान दासता बनी रही/She used the language of reform but serfdom remained
Explanation
Simple Explanation
कैथरीन का शासन प्रबुद्ध निरंकुशता की सीमाएं दिखाता है। परीक्षा में विचार और सामाजिक वास्तविकता का अंतर लिखें। / Catherine's rule shows the limits of enlightened absolutism. For exams write the gap between ideas and social reality.
A. घरेलू सामाजिक सुधार और महंगा विदेशी युद्ध साथ-साथ/Domestic social reform and costly foreign war together
Explanation
Simple Explanation
जॉनसन ने सामाजिक सुधार किए पर वियतनाम युद्ध ने उनके शासन को विवादित बनाया। परीक्षा में घरेलू और विदेशी नीति दोनों याद रखें। / Johnson made social reforms but the Vietnam War made his rule controversial. For exams remember both domestic and foreign policy.
A. महिला नेतृत्व का उदय और अस्थिर लोकतांत्रिक राजनीति साथ-साथ/Rise of women leadership and unstable democratic politics together
Explanation
Simple Explanation
बेनजीर भुट्टो महिला नेतृत्व और पाकिस्तान की जटिल राजनीति दोनों से जुड़ी थीं। परीक्षा में संतुलित संदर्भ याद रखें। / Benazir Bhutto was linked with both women's leadership and complex politics of Pakistan. For exams remember a balanced context.
A. औद्योगिक प्रगति और सामाजिक असमानताओं का साथ-साथ बढ़ना/Industrial progress and social inequalities growing together
Explanation
Simple Explanation
विक्टोरियन युग में प्रगति के साथ श्रमिक और सामाजिक समस्याएं भी बढ़ीं। परीक्षा में युग को संतुलित दृष्टि से समझें। / The Victorian Age saw progress along with worker and social problems. For exams understand the age in a balanced way.
B. कानूनी समानता और वास्तविक शक्ति राजनीति का मिश्रण/A mixture of legal equality and real power politics
Explanation
Simple Explanation
चार्टर सभी राज्यों की समानता मानता है पर स्थायी सदस्यों को विशेष शक्ति भी देता है। परीक्षा में आदर्शवाद और शक्ति राजनीति दोनों लिखें। / The Charter accepts equality of states but also gives special power to permanent members. For exams write both idealism and power politics.
A. फ्रांस ने अधिकारों की बात की पर उपनिवेशी दासता तुरंत समाप्त नहीं हुई/France spoke of rights but colonial slavery did not end immediately
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों की भाषा और दासता की वास्तविकता में विरोध था। परीक्षा में हैती को फ्रांसीसी आदर्शों की परीक्षा मानें। / There was a contradiction between the language of rights and the reality of slavery. For exams treat Haiti as a test of French ideals.
B. सभ्यता और संरक्षकता की भाषा के साथ बाहरी नियंत्रण जारी रहा/External control continued with the language of civilization and trusteeship
Explanation
Simple Explanation
मंडेट प्रणाली ने आत्मनिर्णय और नियंत्रण के बीच तनाव दिखाया। परीक्षा में आदर्श शब्दों और वास्तविक शक्ति को अलग पढ़ें। / The mandate system showed tension between self-determination and control. For exams read ideal language and real power separately.
A. उसने अमेरिका को कमजोर किया पर उसे पूर्ण युद्ध में भी ला दिया/It weakened the USA but also brought it into full war
Explanation
Simple Explanation
हमले ने तत्काल नुकसान किया लेकिन अमेरिका की विशाल शक्ति युद्ध में उतर आई। परीक्षा में अल्पकालीन और दीर्घकालीन परिणाम अलग करें। / The attack caused immediate damage but brought America's huge power into war. For exams separate short-term and long-term results.
A. तुष्टीकरण रियायत पर और सामूहिक सुरक्षा संयुक्त रोक पर आधारित थी/Appeasement relied on concessions while collective security relied on joint resistance
Explanation
Simple Explanation
तुष्टीकरण ने आक्रामकता को शांत करने की कोशिश की जबकि सामूहिक सुरक्षा रोक लगाने की। परीक्षा में नीति का लक्ष्य पहचानें। / Appeasement tried to pacify aggression while collective security tried to resist it. For exams identify the aim of each policy.
A. स्वतंत्रता की भाषा के साथ जापानी प्रभुत्व और संसाधन नियंत्रण जुड़ा था/Language of liberation was linked with Japanese domination and resource control
Explanation
Simple Explanation
जापान ने एशियाई मुक्ति की भाषा प्रयोग की पर व्यवहार में साम्राज्यवादी नियंत्रण रहा। परीक्षा में प्रचार और वास्तविक नीति अलग करें। / Japan used the language of Asian liberation but in practice imperial control remained. For exams separate propaganda from actual policy.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होंगे/Both (p) and (q) will be divisible by (5)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=5q^2\) मिलता है इसलिए (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य होते हैं। यह सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / From \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=5q^2\) so both (p) and (q) are divisible by (5). This contradicts the coprime condition.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form
Step 1
Concept
विरोधाभास तभी बनेगा जब अंश और हर पहले से सहअभाज्य माने गए हों। / The contradiction works only when numerator and denominator are first assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप छूटने पर साझा गुणनखंड मिलना निर्णायक नहीं रहेगा। / If lowest form is missing, a common factor will not be decisive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभ में ही सरलतम भिन्न लिखें। / So write the fraction in lowest form at the start.
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं, जबकि वे सहअभाज्य माने गए थे। / This makes both (p) and (q) divisible by (3), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रमाण में समान गुणनखंड मिलना ही विरोध बनाता है। / In such proofs, finding a common factor creates the contradiction.
A. (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out even
Step 1
Concept
सहअभाज्य मानने का अर्थ है कि (p) और (q) में (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है। / Coprime means (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं, यानी उनमें (2) समान गुणनखंड है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), both (p) and (q) turn out even, so they have common factor (2).
Step 3
Exam Tip
यही विरोध सिद्ध करता है कि \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं है। / This contradiction proves that \(\sqrt{2}\) is not rational.
A. स्त्री आकृति राष्ट्र का प्रतीक बनी पर राजनीति में महिलाओं की भागीदारी सीमित रही/Women symbolised the nation but their political participation remained limited
Step 1
Concept
राष्ट्र को अक्सर स्त्री रूप में दिखाया गया। / The nation was often shown in female form.
Step 2
Why this answer is correct
पर उस समय वास्तविक महिलाओं के राजनीतिक अधिकार सीमित थे। / But real women had limited political rights at that time.
Step 3
Exam Tip
यह प्रतीक और वास्तविक समाज के बीच अंतर दिखाता है। / This shows a gap between symbol and social reality.
A. जबरन श्रम के पुराने रूप से नियंत्रित श्रम के नए रूपों की ओर बदलाव/Shift from older forced labour forms to new forms of controlled labour
Explanation
Simple Explanation
अनुबंधित श्रम दासता के बाद भी श्रम नियंत्रण की निरंतरता दिखाता है। परीक्षा में भारत और कैरेबियन संदर्भ याद रखें। / Indentured labour shows continuity of labour control after slavery. For exams remember India and Caribbean context.
A. दास विद्रोह ने औपनिवेशिक शासन से स्वतंत्र राज्य बनाया/A slave revolt created an independent state from colonial rule
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति ने दासता विरोध और स्वतंत्रता को जोड़ा। परीक्षा में अटलांटिक क्रांतियां याद रखें। / The Haitian Revolution linked anti slavery and independence. For exams remember Atlantic revolutions.
A. दास विद्रोह ने स्वतंत्र राज्य निर्माण का रूप लिया/A slave revolt turned into independent state formation
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति दासता विरोध और स्वतंत्रता का अद्वितीय उदाहरण है। परीक्षा में इसे कैरेबियन से जोड़ें। / The Haitian Revolution is a unique example of anti slavery and independence. For exams connect it with the Caribbean.
B. क्योंकि यह सफल दास विद्रोह और स्वतंत्रता संघर्ष बना/Because it became a successful slave revolt and independence struggle
Explanation
Simple Explanation
हैती क्रांति ने दासता और औपनिवेशिक शासन को चुनौती दी। परीक्षा में तूसां लूवेरतूर को याद रखें। / The Haitian Revolution challenged slavery and colonial rule. Exam tip: remember Toussaint Louverture.
A. क्योंकि इससे गृहयुद्ध का राजनीतिक और नैतिक अर्थ बदल गया/Because it changed the political and moral meaning of the Civil War
Explanation
Simple Explanation
लिंकन ने संघ की रक्षा को दासता विरोधी उद्देश्य से जोड़ा। परीक्षा में गृहयुद्ध को केवल क्षेत्रीय विवाद न मानें। / Lincoln linked preservation of the Union with the anti slavery cause. For exams do not treat the Civil War as only a regional dispute.
A. अटलांटिक दास व्यापार और उपनिवेशी अर्थव्यवस्था/Atlantic slave trade and colonial economy
Explanation
Simple Explanation
हैती का संघर्ष अटलांटिक दासता व्यवस्था को चुनौती देता था। परीक्षा में इसे वैश्विक दासता विरोध से जोड़ें। / Haiti's struggle challenged the Atlantic slavery system. For exams connect it with global anti slavery resistance.
हैती की सफलता ने अटलांटिक दुनिया में दासता और नस्लीय समानता पर बहस को तेज किया। परीक्षा में इसका प्रभाव केवल हैती तक सीमित न मानें। / Haiti's success intensified debates on slavery and racial equality in the Atlantic world. Exam tip: do not limit its impact only to Haiti.
हैती क्रांति ने औपनिवेशिक शासन और दासता दोनों को समाप्त करने की दिशा में काम किया। परीक्षा में इसे दोहरे संघर्ष के रूप में याद रखें। / The Haitian Revolution worked toward ending both colonial rule and slavery. Exam tip: remember it as a double struggle.
