\(यदि (2^4\times3^2\times5) किसी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य है और महत्तम समापवर्तक (2^2\times3) है, तो (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}) क्या होगा?
Subtract powers of the same bases: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Remember the exponent rule for division. चरण 1: अनुपात में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देना है। चरण 2: समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\)। चरण 3: अभाज्य घातों में भाग का नियम याद रखें।
Prime factorise: \(196=2^2\times7^2\), \(225=3^2\times5^2\), and \(308=2^2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), (7), and (11), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
Count distinct prime bases, not powers. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(196=2^2\times7^2\), \(225=3^2\times5^2\), \(308=2^2\times7\times11\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5), (7) और (11) होंगे, इसलिए कुल (5) हैं। चरण 3: घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें।
Prime factorise: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Count distinct prime bases, not powers. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(112=2^4\times7\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(225=3^2\times5^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (7) होंगे, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातों को नहीं, अलग अभाज्य आधारों को गिनें।
Prime factorise: \(80=2^4\times5\), \(144=2^4\times3^2\), and \(225=3^2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), and (5), so the count is (3).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers as separate primes. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(80=2^4\times5\), \(144=2^4\times3^2\), \(225=3^2\times5^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3) और (5) होंगे, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य न गिनें।
Check prime factors: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), and (11), so the count is (3).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers as separate primes. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड देखें: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), \(121=11^2\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (11) होंगे, इसलिए संख्या (3) है। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य न गिनें।
Check prime factors: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(84=2^2\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so the count is (4).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers as separate primes. चरण 1: संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड देखें: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(84=2^2\times3\times7\)। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5), (7) होंगे, इसलिए संख्या (4) है। चरण 3: घातों को अलग अभाज्य न गिनें।
While dividing, simplify the division carefully. चरण 1: संबंध है, गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{2016}{24}=84\)। चरण 3: भाग देते समय पहले सरल भाग करें।
After division, you can check by multiplying \(18\times72\). चरण 1: संबंध है, गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{1296}{18}=72\)। चरण 3: भाग करने के बाद \(18\times72\) से जांच कर सकते हैं।
You can check the answer by multiplying (12) and (60). चरण 1: संबंध है, गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{720}{12}=60\)। चरण 3: भाग देते समय अंतिम उत्तर को फिर से संबंध में जांच सकते हैं।
यदि \(2^6\times3^2\times5\), \(2^4\times3^5\times7\) और \(2^2\times5^2\times13\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) है, तो (L) में कितने भिन्न अभाज्य गुणनखंड होंगे?
The LCM contains all distinct primes appearing in the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), (7), and (13), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
Count only distinct prime bases, not their powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी संख्याओं में आने वाले सभी भिन्न अभाज्य शामिल होंगे। चरण 2: भिन्न अभाज्य (2), (3), (5), (7) और (13) हैं, इसलिए कुल (5) हैं। चरण 3: घातें नहीं, केवल अलग अभाज्य आधार गिनें।
The LCM contains all distinct primes appearing in both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), and (17), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Count only distinct prime bases, not their powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी भिन्न अभाज्य शामिल होंगे। चरण 2: भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (17) हैं, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातें नहीं, केवल अलग अभाज्य आधार गिनें।
The LCM includes all distinct primes appearing in the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), and (13), so there are (4).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers; count only distinct prime bases. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी भिन्न अभाज्य शामिल होंगे। चरण 2: यहाँ भिन्न अभाज्य (2), (3), (5) और (13) हैं, इसलिए कुल (4) हैं। चरण 3: घातें गिननी नहीं हैं, केवल अलग अभाज्य आधार गिनने हैं।
\(3^2\times5^2=225\), so the LCM is (225). चरण 1: \(45=3^2\times5\) और \(75=3\times5^2\)। चरण 2: बड़ी घातें \(3^2\) और \(5^2\) ली जाती हैं। चरण 3: \(3^2\times5^2=9\times25=225\), इसलिए उत्तर (225) है।
LCM includes all distinct prime factors appearing in the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
The distinct primes are (2), (3), (5), (7), and (11), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
Do not count powers as separate primes. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड (2), (3), (5), (7), (11) हैं, इसलिए कुल (5) भिन्न अभाज्य हैं। चरण 3: भिन्न अभाज्य गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें।
LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
While counting distinct factors, do not count powers separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। चरण 2: यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। चरण 3: अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें।
The other number is \(\frac{54\times4158}{378}=594\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(378=54\times7\) and simplify the division first. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{54\times4158}{378}=594\) है। चरण 3: \(378=54\times7\) देखकर भाग को पहले सरल करें।
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(4620\div84=55\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, first test this necessary condition. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(4620\div84=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें।
\(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), and \(924=2^2\times3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2^2\times3=12\) and \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), so \(L\div H=385\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, check common primes first and then all distinct primes. चरण 1: \(420=2^2\times3\times5\times7\), \(660=2^2\times3\times5\times11\), \(924=2^2\times3\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2^2\times3=12\) और \(L=2^2\times3\times5\times7\times11=4620\), इसलिए \(L\div H=385\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी अलग अभाज्य देखें।
In division, subtract powers of the same base. चरण 1: \(H=2^5\times3^3\times5\) और \(L=2^8\times3^7\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{8-5}\times3^{7-3}\times5^{2-1}=2^3\times3^4\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
After factoring out HCF (90), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=90rs=6930), so (rs=77).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (90) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (90rs=6930), इसलिए (rs=77) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Since (3) and (11) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times3\times11=858\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(78=26\times3\) और \(286=26\times11\) हैं। चरण 2: (3) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times3\times11=858\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
यदि \(2^4\times3^7\times5\) और \(2^6\times3^3\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (7) and (3), so (L) has (7) and (H) has (3).
Step 3
Exam Tip
Keep the higher-power and lower-power rules separate. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (7) और (3) हैं, इसलिए (L) में (7) और (H) में (3) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग रखें।
The other number is \(\frac{55\times3575}{275}=715\).
Step 3
Exam Tip
Use \(275=55\times5\) to simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{55\times3575}{275}=715\) है। चरण 3: \(275=55\times5\) देखकर भाग सरल करें।
The powers of (2) are (6), (8), and (5), so the highest power is (8).
Step 3
Exam Tip
In LCM, do not add powers; take the highest power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की सबसे बड़ी घात लेनी है। चरण 2: (2) की घातें (6), (8) और (5) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (8) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में घातें जोड़ते नहीं, बड़ी घात लेते हैं।
\(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\), and \(255=3\times5\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
The required primes are (2), (3), (5), and (17), so the LCM is (510).
Step 3
Exam Tip
Take a common prime once and include every distinct prime. चरण 1: \(102=2\times3\times17\), \(170=2\times5\times17\) और \(255=3\times5\times17\) है। चरण 2: सभी जरूरी अभाज्य (2), (3), (5) और (17) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (510) है। चरण 3: समान अभाज्य को एक बार और अलग अभाज्य को जरूर शामिल करें।
The second number has \(3^3\), so (b=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात (6) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(3^3\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
The powers of (11) are (1) and (2), so (L) contains \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (11) की घातें (1) और (2) हैं, इसलिए (L) में \(11^2\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(990) is not exactly divisible by (44), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before searching for pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: (990) को (44) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
(7) appears from (343) as \(7^3\), so its power in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is still included in the LCM. चरण 1: \(128=2^7\), \(192=2^6\times3\) और \(343=7^3\) है। चरण 2: (7) केवल (343) से \(7^3\) के रूप में आएगा, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में घात (3) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1517).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1517) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
When difference is asked, first find the LCM correctly. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{264\times396}{132}=792\) है। चरण 2: अंतर (792-132=660) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले लघुत्तम समापवर्त्य सही निकालें।
यदि \(2^6\times3^2\times5^4\) और \(2^3\times3^5\times5\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (4) and (1), so (L) has (4) and (H) has (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (4) और (1) हैं, इसलिए (L) में (4) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
After taking out HCF (84), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=84rs=5460), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (84) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (84rs=5460), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Do not forget to reduce the ratio to simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{330\times462}{66}=2310\) है। चरण 2: अनुपात (2310:66=35:1) होगा। चरण 3: अनुपात को सबसे सरल रूप में लिखना न भूलें।
The powers of (3) are (2) and (4), so the total power is (6).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (4) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (6) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
यदि \(m=2^5\times3^a\times5^2\) और \(n=2^3\times3^4\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^7\times5^3\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
The highest power of (3) must be (7), so (a=7); the highest power of (5) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
Identify the maximum powers in LCM. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की सबसे बड़ी घात (7) चाहिए, इसलिए (a=7); (5) की सबसे बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें।
Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
Do not count reversed order as a new pair. चरण 1: संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें।
HCF is \(2^4\times3^2\times5\), and LCM is \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^7\times3^6\times5^3\times7\times11\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^4\times5^2\times7\times11\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The other number is \(\frac{45\times3465}{315}=495\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(315=45\times7\) to calculate quickly. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{45\times3465}{315}=495\) है। चरण 3: \(315=45\times7\) देखकर गणना जल्दी करें।
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1248\div96=13\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, first test this necessary condition. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(1248\div96=13\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचने में सबसे पहले यह आवश्यक शर्त देखें।
\(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), and \(770=2\times5\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=2\times11=22\) and \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), so \(L\div H=105\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, first check common primes and then all distinct primes. चरण 1: \(330=2\times3\times5\times11\), \(462=2\times3\times7\times11\), \(770=2\times5\times7\times11\) है। चरण 2: \(H=2\times11=22\) और \(L=2\times3\times5\times7\times11=2310\), इसलिए \(L\div H=105\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में पहले साझा और फिर सभी भिन्न अभाज्य देखें।
In division, subtract powers of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^3\times5\) और \(L=2^7\times3^6\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{7-4}\times3^{6-3}\times5^{2-1}=2^3\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
After factoring out HCF (81), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=81rs=4617), so (rs=57).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (81) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (81rs=4617), इसलिए (rs=57) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
The powers of (3) are (5), (2), and (4), so the highest power is (5).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (5), (2) और (4) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (5) होगी। चरण 3: घातों को जोड़ने के बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, here the product equals \(288\times432\).
Step 3
Exam Tip
Apply this relation directly for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। चरण 2: इसलिए यहाँ यह गुणनफल \(288\times432\) के बराबर होगा। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें।
Since (11) and (10) are coprime, HCF is (26) and LCM is \(26\times11\times10=2860\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check if the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(286=26\times11\) और \(260=26\times10\) हैं। चरण 2: (11) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (26) और लघुत्तम समापवर्त्य \(26\times11\times10=2860\) है। चरण 3: विकल्प में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता जाँचें।
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^3\times3^6\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (6), so (L) has (6) and (H) has (2).
Step 3
Exam Tip
Keep the higher-power and lower-power rules separate. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (6) हैं, इसलिए (L) में (6) और (H) में (2) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग रखें।
The other number is \(\frac{33\times2145}{165}=429\).
Step 3
Exam Tip
Use \(165=33\times5\) to simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{33\times2145}{165}=429\) है। चरण 3: \(165=33\times5\) देखकर भाग सरल करें।
The powers of (2) are (5), (7), and (4), so the highest power is (7).
Step 3
Exam Tip
In LCM, do not add powers; take the highest power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की सबसे बड़ी घात लेनी है। चरण 2: (2) की घातें (5), (7) और (4) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (7) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में घातें जोड़ते नहीं, बड़ी घात लेते हैं।
\(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\), and \(245=5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are (2), (3), (5), and \(7^2\), so LCM \(=2\times3\times5\times49=1470\).
Step 3
Exam Tip
Take the common highest power \(7^2\) only once. चरण 1: \(98=2\times7^2\), \(147=3\times7^2\) और \(245=5\times7^2\) है। चरण 2: बड़ी घातें (2), (3), (5) और \(7^2\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2\times3\times5\times49=1470\) है। चरण 3: समान बड़ी घात \(7^2\) को एक बार ही लें।
The second number has \(3^3\), so (b=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात (6) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(3^3\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
\(132=2^2\times3\times11\) and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) appears only in the second number as \(5^1\), so its power in the LCM is (1).
Step 3
Exam Tip
A prime appearing in only one number is included in the LCM. चरण 1: \(132=2^2\times3\times11\) और \(220=2^2\times5\times11\) है। चरण 2: (5) केवल दूसरी संख्या में \(5^1\) के रूप में है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में इसकी घात (1) होगी। चरण 3: केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है।
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1950\div75=26\), which is a whole number, so such whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, first inspect this quotient. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(1950\div75=26\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँच में पहले यह भागफल देखें।
Let the numbers be (21m) and (21n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(21mn=2310), so \(mn=110=2\times5\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
Do not count the reversed order again. चरण 1: संख्याओं को (21m) और (21n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (21mn=2310), इसलिए \(mn=110=2\times5\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। चरण 3: जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें।
\(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\), and \(289=17^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (17) in the LCM is (2).
Step 3
Exam Tip
For LCM, choose the highest power. चरण 1: \(68=2^2\times17\), \(85=5\times17\) और \(289=17^2\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (17) की सबसे बड़ी घात (2) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात चुनें।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (1147).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1147) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
When difference is asked, find the LCM correctly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{224\times336}{112}=672\) है। चरण 2: अंतर (672-112=560) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले लघुत्तम समापवर्त्य सही निकालें।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (6+10=16).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(64=2^6\) और \(5120=2^{10}\times5\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (6+10=16) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
यदि \(2^8\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^6\times5^4\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (4), so (L) has (4) and (H) has (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (4) हैं, इसलिए (L) में (4) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
After taking out HCF (72), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=72rs=4680), so (rs=65).
Step 3
Exam Tip
First divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (72) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (72rs=4680), इसलिए (rs=65) है। चरण 3: पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
Always reduce the ratio to its simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{264\times396}{132}=792\) है। चरण 2: अनुपात (792:132=6:1) होगा। चरण 3: अनुपात को अंत में सबसे सरल रूप में लिखें।
The powers of (2) are (4) and (7), so the total power is (11).
Step 3
Exam Tip
When multiplying powers with the same base, add the exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (2) की घातें (4) और (7) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (11) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
For LCM, identify the maximum power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की सबसे बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात पहचानें।
Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
Do not split the same prime factor into both parts. चरण 1: संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें।
HCF is \(2^3\times3^2\times5\), and LCM is \(2^6\times3^5\times5^2\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
On division, subtract powers to get \(2^3\times3^3\times5\times13\).
Step 3
Exam Tip
In ratios, subtract exponents of the same base. चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times3^5\times5^2\times13\) होगा। चरण 2: भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए \(2^3\times3^3\times5\times13\) मिलता है। चरण 3: अनुपात में समान आधारों की घातें घटाएँ।
The other number is \(\frac{54\times2970}{270}=594\).
Step 3
Exam Tip
Simplify the division first to reduce calculation work. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{54\times2970}{270}=594\) है। चरण 3: पहले (270) से सरल भाग देकर गणना छोटी करें।
Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime. चरण 1: संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। चरण 3: जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें।
\(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
\(H=3\times7=21\) and \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), so \(L\div H=60\).
Step 3
Exam Tip
For three numbers, find HCF and LCM by their separate rules. चरण 1: \(252=2^2\times3^2\times7\), \(315=3^2\times5\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\) है। चरण 2: \(H=3\times7=21\) और \(L=2^2\times3^2\times5\times7=1260\), इसलिए \(L\div H=60\) है। चरण 3: तीन संख्याओं में महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य अलग-अलग नियमों से निकालें।
In division, subtract exponents of the same base. चरण 1: \(H=2^4\times3^2\times5\) और \(L=2^6\times3^5\times5^2\) होगा। चरण 2: \(\frac{L}{H}=2^{6-4}\times3^{5-2}\times5^{2-1}=2^2\times3^3\times5\) है। चरण 3: भाग में समान आधारों की घातें घटाएँ।
After factoring out HCF (63), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=63rs=2079), so (rs=33).
Step 3
Exam Tip
In such questions, first divide the LCM by the HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (63) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (63rs=2079), इसलिए (rs=33) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग दें।
The powers of (3) are (4), (2), and (3), so the highest power is (4).
Step 3
Exam Tip
Choose the highest power instead of adding the powers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की सबसे बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: (3) की घातें (4), (2) और (3) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (4) है। चरण 3: घातों को जोड़ने की बजाय सबसे बड़ी घात चुनें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
So here the product equals \(216\times360\).
Step 3
Exam Tip
Apply this formula directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। चरण 2: इसलिए यहाँ गुणनफल \(216\times360\) के बराबर होगा। चरण 3: यह सूत्र केवल दो संख्याओं पर सीधे लागू करें।
Since (7) and (12) are coprime, HCF is (22) and LCM is \(22\times7\times12=1848\).
Step 3
Exam Tip
In options, factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime. चरण 1: \(154=22\times7\) और \(264=22\times12\) हैं। चरण 2: (7) और (12) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) और लघुत्तम समापवर्त्य \(22\times7\times12=1848\) है। चरण 3: विकल्पों में महत्तम समापवर्तक बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें।
यदि \(2^5\times3^2\times5\) और \(2^2\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (3) की घात और (H) में (3) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power of (3), and HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (3) are (2) and (5), so (L) has (5) and (H) has (2).
Step 3
Exam Tip
Remember the higher-power and lower-power rules separately. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए (L) में (5) और (H) में (2) होगी। चरण 3: बड़ी और छोटी घात के नियम अलग-अलग याद रखें।
The other number is \(\frac{27\times1701}{189}=243\).
Step 3
Exam Tip
Notice \(189=27\times7\) to simplify quickly. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{27\times1701}{189}=243\) है। चरण 3: पहले \(189=27\times7\) देखकर गणना सरल करें।
The powers of (2) are (4), (6), and (5), so the highest power is (6).
Step 3
Exam Tip
In LCM, do not add powers; take the highest power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की सबसे बड़ी घात लेनी है। चरण 2: (2) की घातें (4), (6) और (5) हैं, इसलिए सबसे बड़ी घात (6) होगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में घातें जोड़ते नहीं, बड़ी घात लेते हैं।
The second number has \(3^2\), so (b=5) gives the required highest power (5).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (3) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में \(3^2\) है, इसलिए पहली संख्या में (b=5) होने पर बड़ी घात (5) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
\(120=2^3\times3\times5\) and \(168=2^3\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
In the LCM, (7) appears from the second number as \(7^1\).
Step 3
Exam Tip
A prime present in one number is included in the LCM. चरण 1: \(120=2^3\times3\times5\) और \(168=2^3\times3\times7\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (7) केवल दूसरी संख्या से \(7^1\) के रूप में आएगा। चरण 3: जो अभाज्य किसी एक संख्या में हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में शामिल होता है।
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1890\div54=35\) is not exact, so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
Check this necessary condition before searching for pairs. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(1890\div54=35\) पूर्णांक नहीं है, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। चरण 3: जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें।
Let the numbers be (15m) and (15n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(15mn=420), so \(mn=28=2^2\times7\); the unordered coprime pairs are ((1,28)) and ((4,7)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
(m) and (n) must not share a prime factor. चरण 1: संख्याओं को (15m) और (15n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (15mn=420), इसलिए \(mn=28=2^2\times7\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,28)) और ((4,7)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। चरण 3: (m) और (n) में समान अभाज्य नहीं आना चाहिए।
Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (899).
Step 3
Exam Tip
For coprime numbers, the LCM equals the product. चरण 1: सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। चरण 2: दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (899) है। चरण 3: सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है।
When difference is asked, find both values clearly first. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{180\times252}{36}=1260\) है। चरण 2: अंतर (1260-36=1224) होगा। चरण 3: अंतर पूछे जाने पर पहले दोनों मान स्पष्ट निकालें।
Product equals HCF times LCM, so the power of (2) is (5+9=14).
Step 3
Exam Tip
Add exponents when multiplying powers with the same base. चरण 1: \(32=2^5\) और \(1536=2^9\times3\) है। चरण 2: गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+9=14) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ें।
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
LCM takes the higher power, while HCF takes the lower power.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of (5) are (1) and (3), so (L) has power (3) and (H) has power (1).
Step 3
Exam Tip
Do not interchange the two rules. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। चरण 2: (5) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में (3) और (H) में (1) होगी। चरण 3: दोनों नियमों को उल्टा न करें।
After factoring out HCF (40), (r) and (s) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
LCM (=40rs=1680), so (rs=42).
Step 3
Exam Tip
Factor out the HCF to make the question shorter. चरण 1: महत्तम समापवर्तक (40) बाहर निकालने पर (r) और (s) सहाभाज्य होते हैं। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य (40rs=1680), इसलिए (rs=42) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर प्रश्न छोटा कर लें।
Always write ratios in simplest form. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{154\times231}{77}=462\) होगा। चरण 2: अनुपात \(\frac{462}{77}=6\) है, इसलिए अनुपात (6:1) है। चरण 3: अनुपात को हमेशा सरल रूप में लिखें।
The powers of (3) are (2) and (5), so the total power is (7).
Step 3
Exam Tip
Exponents of the same base add during multiplication. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: (3) की घातें (2) और (5) जुड़ेंगी, इसलिए कुल घात (7) होगी। चरण 3: समान आधारों के गुणन में घातें जोड़ी जाती हैं।
यदि \(m=2^3\times3^a\times5^2\) और \(n=2^5\times3^2\times5^b\times11\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^6\times5^4\times11\) है, तो कौन-सा मान सही है?
The highest power of (3) must be (6), so (a=6); the highest power of (5) must be (4), so (b=4).
Step 3
Exam Tip
In unknown-power LCM questions, identify the maximum power. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की सबसे बड़ी घात (6) चाहिए, इसलिए (a=6); (5) की सबसे बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (b=4)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य के अज्ञात घात वाले प्रश्न में अधिकतम घात पहचानें।
Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs. चरण 1: संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। चरण 2: (18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। चरण 3: वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें।
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such whole numbers are possible
Step 1
Concept
For two whole numbers, the HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1320\div24=55\), which is a whole number, so such numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, test this divisibility condition first. चरण 1: दो पूर्ण संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(1320\div24=55\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचने के लिए पहले यही divisibility शर्त देखें।
The other number is \(\frac{36\times1620}{180}=324\).
Step 3
Exam Tip
Write the relation first and then simplify the division. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{36\times1620}{180}=324\) है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले संबंध लिखें और फिर भाग को सरल करें।
Look at the powers of (5). (48) has no factor (5), \(75=3\times5^2\), and \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest power of (5) in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
A missing prime has power zero, but still compare the existing highest power. चरण 1: (5) की घातों को देखें। (48) में (5) नहीं है, \(75=3\times5^2\) और \(125=5^3\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की सबसे बड़ी घात (3) होगी। चरण 3: जिस अभाज्य की घात शून्य हो, उसे तुलना में भूलें नहीं।
The other number is \(\frac{21\times1386}{198}=147\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying the division first makes the calculation faster. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: दूसरी संख्या \(=\frac{21\times1386}{198}=147\) है। चरण 3: भाग को पहले सरल करने से गणना जल्दी होती है।
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\div15=28\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
For existence checks, test divisibility first. चरण 1: महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। चरण 2: \(420\div15=28\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। चरण 3: अस्तित्व जाँचते समय पहले विभाज्यता देखें।
The powers of (3) are (1) and (3), so (L) contains \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
Compare powers only for the same base. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात आती है। चरण 2: (3) की घातें (1) और (3) हैं, इसलिए (L) में \(3^3\) होगा। चरण 3: घातों की तुलना समान आधार पर ही करें।
\(For two numbers, LCM (=\frac{\)first number\(\times\)second number}{HCF}).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{154\times231}{77}=462\).
Step 3
Exam Tip
\(First calculate (154\div77=2) for a quicker solution. चरण 1: दो संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (=\frac{\)पहली संख्या\(\times\)दूसरी संख्या}{महत्तम समापवर्तक}) होता है। चरण 2: \(\frac{154\times231}{77}=462\) है। \(चरण 3: पहले (154\div77=2) करके गणना तेज करें\)।
You can divide first by (7) and then by (4) to simplify. चरण 1: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=\frac{70560}{28}=2520\) है। चरण 3: भाग को पहले (7) और फिर (4) से सरल कर सकते हैं।
The second number has power (4), so (a=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
For LCM, check the maximum-power condition. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। चरण 2: दूसरी संख्या में (2) की घात (4) है, इसलिए पहली संख्या में (a=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें।
\(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), and \(270=2\times3^3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^2\), \(3^4\), and (5), so LCM \(=4\times81\times5=1620\).
Step 3
Exam Tip
Use the highest powers to get the final value. चरण 1: \(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\) है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^2\), \(3^4\), (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(4\times81\times5=1620\) है। चरण 3: सबसे बड़ी घातों को लेकर अंतिम मान निकालें।
