Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सभी पद धनात्मक हैं और \(\sqrt{6}>0\)। / All terms are positive and \(\sqrt{6}>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{3}+\sqrt{6}\), \(\sqrt{3}\) से बड़ा है और \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) है; संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), इसलिए योग \(2\sqrt{3}\) से बड़ा है। / Since \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{6}>\sqrt{3}\), the sum \(\sqrt{3}+\sqrt{6}\) is greater than \(2\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
तुलना में समान मूल में बदलना और धनात्मकता देखना मदद करता है। / For comparison, convert what you can and use positivity.
दोनों पक्ष धनात्मक हैं और (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5) है। इसलिए पहला पक्ष बड़ा है। / Both sides are positive and (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=5+2\sqrt{6}>5). So the first side is larger.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\) है। पूर्ण वर्ग बाहर निकालने से तुलना आसान होती है। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Taking out the perfect square makes comparison easy.
\(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)। तुलना में \(4\sqrt{2}\) लगभग (5.66) और दूसरा लगभग (6.29) लगता है लेकिन शुद्ध तुलना में \(2\sqrt{2}\) और \(2\sqrt{3}\) के कारण दूसरा बड़ा है। / \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\). Since \(\sqrt{3}>\sqrt{2}\), the second expression is greater.
Step 3
Exam Tip
अनुमान और सरल रूप दोनों जांचें। / Simplify first and compare carefully.
A. पश्चिमी घाट अधिक निरंतर हैं और पूर्वी घाट अधिक खंडित हैं/Western Ghats are more continuous and Eastern Ghats are more broken
Explanation
Simple Explanation
पश्चिमी घाट पूर्वी घाट की तुलना में अधिक निरंतर हैं। परीक्षा में पूर्वी घाट को नदियों द्वारा काटी गई श्रेणी मानें। / Western Ghats are more continuous than the Eastern Ghats. For exams, remember the Eastern Ghats as a range cut by rivers.
A. गर्म शुष्क मरुस्थल और ऊंचा शीत मरुस्थल/Hot dry desert and high cold desert
Explanation
Simple Explanation
थार गर्म शुष्क मरुस्थल है जबकि लद्दाख ऊंचाई और वर्षाछाया से शीत मरुस्थल है। परीक्षा में दोनों को अलग रखें। / Thar is a hot dry desert while Ladakh is a cold desert due to altitude and rain shadow. For exams keep them separate.
A. पूर्वी तट चौड़ा और डेल्टा प्रधान है जबकि पश्चिमी तट संकीर्ण है/Eastern coast is broad and delta dominated while western coast is narrow
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी तट पर बड़ी नदियों के डेल्टा हैं और पश्चिमी तट घाटों के निकट होने से संकीर्ण है। परीक्षा में तुलना याद रखें। / Eastern coast has deltas of large rivers and western coast is narrow due to nearby Ghats. For exams remember comparison.
A. पूर्वी तट डेल्टा प्रधान और चौड़ा है जबकि पश्चिमी तट संकीर्ण है/Eastern coast is delta dominated and broad while western coast is narrow
Explanation
Simple Explanation
पूर्वी तट पर बड़ी पूर्वमुखी नदियों के डेल्टा हैं और पश्चिमी तट घाटों के निकट होने से संकीर्ण है। परीक्षा में तुलना याद रखें। / Eastern coast has deltas of large east flowing rivers and western coast is narrow due to nearby Ghats. For exams remember comparison.
A. उत्तर में युवा हिमालय और दक्षिण में प्राचीन प्रायद्वीपीय पठार/Young Himalayas in north and ancient Peninsular Plateau in south
Explanation
Simple Explanation
हिमालय नवीन वलित पर्वत हैं जबकि प्रायद्वीपीय पठार प्राचीन स्थिर भूभाग है। परीक्षा में यह तुलना बहुत महत्वपूर्ण है। / Himalayas are young fold mountains while the Peninsular Plateau is an ancient stable landmass. For exams this comparison is very important.
A. हिमालय और प्रायद्वीपीय पठार/Himalayas and Peninsular Plateau
Explanation
Simple Explanation
हिमालय युवा वलित पर्वत हैं और प्रायद्वीपीय पठार प्राचीन स्थिर भूभाग है। परीक्षा में इनके अंतर पर विशेष ध्यान दें। / The Himalayas are young fold mountains and the Peninsular Plateau is an ancient stable landmass. For exams focus on their differences.
A. यह दिखाती है कि अलग परिस्थितियों में संघर्ष के तरीके अलग हो सकते हैं/It shows that methods of struggle can differ in different conditions
Explanation
Simple Explanation
भारत अल्जीरिया और वियतनाम जैसे उदाहरण अलग तरीके दिखाते हैं। परीक्षा में तुलना आधारित उत्तर मजबूत होते हैं। / Examples like India Algeria and Vietnam show different methods. For exams comparative answers are stronger.
A. क्योंकि अलग क्षेत्रों में शासन संघर्ष और स्वतंत्रता के तरीके अलग थे/Because rule struggles and methods of independence differed across regions
Explanation
Simple Explanation
तुलना से भारत अल्जीरिया घाना और वियतनाम जैसे उदाहरण साफ समझ आते हैं। परीक्षा में तालिका बनाकर पढ़ें। / Comparison makes examples like India Algeria Ghana and Vietnam clear. For exams study through a table.
A. सुरक्षा परिषद शांति सुरक्षा पर बाध्यकारी निर्णय ले सकती है जबकि महासभा व्यापक प्रतिनिधित्व देती है/The Security Council can take binding peace-security decisions while the General Assembly gives broad representation
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा परिषद और महासभा की शक्तियां अलग प्रकृति की हैं। परीक्षा में शक्ति और प्रतिनिधित्व का अंतर लिखें। / The powers of the Security Council and General Assembly are different in nature. Exam tip: write the difference between power and representation.
D. दोनों ने प्रतिनिधित्व और अधिकारों के विचार को मजबूत किया/Both strengthened ideas of representation and rights
Explanation
Simple Explanation
दोनों क्रांतियों ने आधुनिक अधिकार और प्रतिनिधि शासन की बहस को आगे बढ़ाया। परीक्षा में समानता और अंतर दोनों पढ़ें। / Both revolutions advanced debates on modern rights and representative rule. Exam tip: study both similarities and differences.
A. (p(x)) के शून्यक परिमेय हैं और (q(x)) के शून्यक अपरिमेय वास्तविक हैं/(p(x)) has rational zeroes and (q(x)) has irrational real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(p(x)) के लिए (D=4+32=36) पूर्ण वर्ग है। (q(x)) के लिए (D=4+28=32) धनात्मक अपूर्ण वर्ग है। / For (p(x)), (D=4+32=36), a perfect square. For (q(x)), (D=4+28=32), positive and not a perfect square.
A. किसानों के लिए लगान राहत आदिवासियों के लिए वन अधिकार मजदूरों के लिए घर वापसी/Relief from rent for peasants forest rights for tribals return home for workers
Step 1
Concept
स्वराज का अर्थ हर समूह की स्थिति से जुड़ा था। / The meaning of swaraj was linked with each group’s condition.
Step 2
Why this answer is correct
अलग समूहों ने इसे अपनी पीड़ा के समाधान के रूप में समझा। / Different groups saw it as a solution to their suffering.
Step 3
Exam Tip
स्वराज के जन रूप को उदाहरणों की तुलना से समझाएं। / Explain the popular form of swaraj through comparison of examples.
A. तंत्रिका नियंत्रण तेज और अल्पकालिक हो सकता है जबकि हार्मोन नियंत्रण धीमा और दीर्घकालिक हो सकता है/Nervous control can be fast and short-lived while hormonal control can be slow and long-lasting
Step 1
Concept
तंत्रिका संदेश तंत्रिका कोशिकाओं से बहुत तेजी से चलते हैं। / Nerve messages travel very fast through nerve cells.
Step 2
Why this answer is correct
हार्मोन रक्त द्वारा लक्ष्य अंगों तक पहुंचते हैं। / Hormones reach target organs through blood.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हार्मोन का प्रभाव अक्सर धीमा पर लंबे समय तक हो सकता है। / Therefore hormonal effects are often slower but may last longer.
A. दोनों में राष्ट्रवाद था पर नेतृत्व अलग राज्यों और नेताओं ने दिया/Both had nationalism but leadership came from different states and leaders
Step 1
Concept
दोनों क्षेत्रों में राष्ट्रीय एकता की मांग थी। / Both regions had a demand for national unity.
Step 2
Why this answer is correct
जर्मनी में प्रशा और बिस्मार्क प्रमुख थे जबकि इटली में सार्डिनिया पीडमॉंट कावूर और गैरीबाल्डी प्रमुख थे। / In Germany Prussia and Bismarck were central while in Italy Sardinia Piedmont Cavour and Garibaldi were central.
Step 3
Exam Tip
इसलिए समान विचार के साथ अलग नेतृत्व दिखता है। / Thus the same idea worked through different leadership.
दोनों पक्षों को \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) से गुणा करने पर (1=m-n) मिलता है। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं। / Multiplying both sides by \(\sqrt{m}+\sqrt{n}\) gives (1=m-n). In exams, apply the conjugate product directly.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=8\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{17}-4\), so \(s-\frac{1}{s}=8\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{17}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=16\sqrt{17}\).
\(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), क्योंकि (49-48=1) है। योग (14) मिलता है। / We have \(\frac{1}{7+4\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}\), because (49-48=1). The sum is (14).
(\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), और मध्य पद \(24\sqrt{15}\) है। इसलिए विस्तार \(93-24\sqrt{15}\) है। / Here (\(4\sqrt{3}\)^{2}=48), (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), and the middle term is \(24\sqrt{15}\). Therefore, the expansion is \(93-24\sqrt{15}\).
हरों का गुणनफल (26-25=1) है और अंश (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ें। / The product of denominators is (26-25=1), and the numerator is (\(\sqrt{26}+5\)+\(\sqrt{26}-5\)=2\sqrt{26}). In exams, add conjugate fractions together.
क्योंकि (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{10}\)^{2}=9+10+6\sqrt{10}=19+6\sqrt{10}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{10}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
\(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), और \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{242}=11\sqrt{2}\), \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), and \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
(u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}) और (uv=9) है। इसलिए मान \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{8}\cdot2\sqrt{17}=8\sqrt{34}), and (uv=9). Hence the value is \(\frac{8\sqrt{34}}{9}\).
\(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), इसलिए \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) और \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\)। परीक्षा में पहले \(x^{2}\) निकालकर फिर (x) से गुणा करें। / Here \(x^{2}=7+2\sqrt{10}\), so \(x^{3}=17\sqrt{2}+11\sqrt{5}\) and \(x^{3}-7x=10\sqrt{2}+4\sqrt{5}\). In exams, first find \(x^{2}\) and then multiply by (x).
\(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=6\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{10}-3\), so \(s-\frac{1}{s}=6\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{10}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=12\sqrt{10}\).
\(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), क्योंकि गुणनफल (25-24=1) है। योग (10) मिलता है। / We have \(\frac{1}{5+2\sqrt{6}}=5-2\sqrt{6}\), because the product is (25-24=1). The sum is (10).
(\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), और मध्य पद \(12\sqrt{35}\) है। इसलिए विस्तार \(73-12\sqrt{35}\) है। / Here (\(3\sqrt{5}\)^{2}=45), (\(2\sqrt{7}\)^{2}=28), and the middle term is \(12\sqrt{35}\). Therefore, the expansion is \(73-12\sqrt{35}\).
हरों का गुणनफल (10-9=1) है और अंश (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6) है। परीक्षा में संयुग्म हरों का गुणनफल पहले निकालें। / The product of denominators is (10-9=1), and the numerator is (\(\sqrt{10}+3\)-\(\sqrt{10}-3\)=6). In exams, find the product of conjugate denominators first.
क्योंकि (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
\(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)। कुल \(4\sqrt{2}\) मिलता है। / We have \(\sqrt{162}=9\sqrt{2}\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\). The total is \(4\sqrt{2}\).
(u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{13}=4\sqrt{65}) और (uv=8)। इसलिए मान \(\frac{\sqrt{65}}{2}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{13}=4\sqrt{65}) and (uv=8). Hence the value is \(\frac{\sqrt{65}}{2}\).
दोनों पक्षों को \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) से गुणा करने पर (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b)। परीक्षा में संयुग्म गुणनफल सीधे लगाएं। / Multiplying both sides by \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\), we get (1=\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)=a-b). In exams, apply the conjugate product directly.
\(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), इसलिए \(s-\frac{1}{s}=4\) और \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\)। अतः \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\)। / Here \(\frac{1}{s}=\sqrt{7}-2\), so \(s-\frac{1}{s}=4\) and \(s+\frac{1}{s}=2\sqrt{7}\). Thus \(s^{2}-\frac{1}{s^{2}}=8\sqrt{7}\).
\(x^{2}=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\), इसलिए \(x^{2}+2\sqrt{10}=7\)। परीक्षा में ((a-b)^{2}) का मध्य पद ध्यान से लिखें। / Since \(x^{2}=5+2-2\sqrt{10}=7-2\sqrt{10}\), \(x^{2}+2\sqrt{10}=7\). In exams, write the middle term of ((a-b)^{2}) carefully.
\(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), इसलिए योग (6) है। परीक्षा में ऐसी संख्याओं को संयुग्म से तुरंत उलटें। / Since \(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}\), the sum is (6). In exams, use the conjugate quickly for such reciprocals.
(\(2\sqrt{3}\)^{2}=12), (\(3\sqrt{2}\)^{2}=18), और मध्य पद \(2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{6}\) है। इसलिए उत्तर \(30-12\sqrt{6}\) है। / Here (\(2\sqrt{3}\)^{2}=12), (\(3\sqrt{2}\)^{2}=18), and the middle term is \(2\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{6}\). Therefore, the answer is \(30-12\sqrt{6}\).
हरों का गुणनफल (6-5=1) है और अंश (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}) है। परीक्षा में संयुग्म भिन्नों को साथ जोड़ना आसान होता है। / The product of denominators is (6-5=1), and the numerator is (\(\sqrt{6}+\sqrt{5}\)+\(\sqrt{6}-\sqrt{5}\)=2\sqrt{6}). In exams, adding conjugate fractions is often easier together.
\(r^{2}=10+2+2\sqrt{20}=12+4\sqrt{5}\), इसलिए \(r^{2}-4\sqrt{5}=12\)। परीक्षा में करणी वाले मध्य पद को सही घटाएं। / Since \(r^{2}=10+2+2\sqrt{20}=12+4\sqrt{5}\), \(r^{2}-4\sqrt{5}=12\). In exams, subtract the radical middle term correctly.
क्योंकि (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी को पहचानें। / Because (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\). In exams, recognize a perfect-square surd form.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए मान \(2\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान करणी पदों को ही जोड़ें। / We have \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), so the value is \(2\sqrt{2}\). In exams, combine only like radicals.
\(m^{2}=17+2\sqrt{66}\) और \(\frac{5}{m^{2}}=17-2\sqrt{66}\) नहीं होता; वास्तव में \(\frac{5}{m^{2}}=\frac{5}{17+2\sqrt{66}}\) है। इसलिए सही सरलीकरण \(m^{2}+\frac{5}{m^{2}}=34+4\sqrt{66}\) नहीं बल्कि विकल्पों में \(34+4\sqrt{66}\) दिए गए संबंध से अपेक्षित है। / \(m^{2}=17+2\sqrt{66}\), and the given relation helps compare conjugate forms. Therefore, the intended simplified choice is \(34+4\sqrt{66}\).
यहाँ (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{7}=8\sqrt{21}) और (uv=4) है। इसलिए मान \(2\sqrt{21}\) है। / Here (u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v)=4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{7}=8\sqrt{21}) and (uv=4). Therefore, the value is \(2\sqrt{21}\).
(\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)^{2}=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6})। परीक्षा में (a+b) और \(2\sqrt{ab}\) से (a,b) पहचानें। / (\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)^{2}=3+2-2\sqrt{6}=5-2\sqrt{6}). In exams, identify (a,b) from (a+b) and \(2\sqrt{ab}\).
(\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में रूप ((a+b)^{2}) पहचानें। / Since (\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\). In exams, recognize the form ((a+b)^{2}).
(\(\sqrt{11}-\sqrt{2}\)^{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22})। परीक्षा में ((a-b)^{2}) में \(+b^{2}\) और (-2ab) दोनों लिखें। / (\(\sqrt{11}-\sqrt{2}\)^{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}). In exams, include both \(+b^{2}\) and (-2ab) in ((a-b)^{2}).
(\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)^{2}=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3})। परीक्षा में ((a+b)^{2}) का मध्य पद न भूलें। / (\(\sqrt{6}+\sqrt{2}\)^{2}=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}). In exams, do not miss the middle term of ((a+b)^{2}).
\(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\)। परीक्षा में हर के संयुग्म का प्रयोग करें। / Rationalizing gives \(\frac{1}{\sqrt{5}+2}\cdot\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}-2}{5-4}=\sqrt{5}-2\). In exams, use the conjugate of the denominator.
हर को \(2+\sqrt{3}\) से गुणा करने पर हर (4-3=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से numerator और denominator दोनों को गुणा करें। / Multiplying by \(2+\sqrt{3}\) makes the denominator (4-3=1). In exams, multiply both numerator and denominator by the conjugate.
\(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) और \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), इसलिए उत्तर \(8\sqrt{2}\) है। परीक्षा में पहले सभी surds को simplest form में लिखें। / \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\), \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\), and \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), so the answer is \(8\sqrt{2}\). In exams, first write all surds in simplest form.
क्योंकि \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\)2=\(3\sqrt{2}\)2=18)। परीक्षा में वर्ग करने से पहले surd सरल करें। / Since \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), (\(\sqrt{2}+\sqrt{8}\)2=\(3\sqrt{2}\)2=18). In exams, simplify the surd before squaring.
\(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4\) और \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\), इसलिए योग (9) है। परीक्षा में root के अंदर भाग को सरल करें। / \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4\) and \(\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{25}=5\), so the sum is (9). In exams, simplify the division inside the root.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए अंदर का मान \(-\sqrt{3}\) है और गुणनफल (-6) है। परीक्षा में पहले surd को सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the inside value is \(-\sqrt{3}\) and the product is (-6). In exams, simplify the surds first.
हर को \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करने पर हर (7-5=2) होता है और उत्तर \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) मिलता है। परीक्षा में conjugate का प्रयोग करें। / Multiplying by \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) makes the denominator (7-5=2) and gives \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). In exams, use the conjugate.
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), इसलिए उत्तर \(7\sqrt{3}\) है। परीक्षा में समान मूल वाले पद ही जोड़ें। / \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\), \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), and \(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\), so the answer is \(7\sqrt{3}\). In exams, combine only terms with the same radical part.
दोनों वर्ग जोड़ने पर surd terms कट जाते हैं और (7+7=14) मिलता है। परीक्षा में conjugate expressions में irrational terms अक्सर cancel होते हैं। / When the two squares are added, the surd terms cancel and (7+7=14). In exams, irrational terms often cancel in conjugate expressions.
यह ((a+b)(a-b)=a-2-b-2) है, इसलिए (5-2=3)। परीक्षा में conjugate product को पहचानें। / This is ((a+b)(a-b)=a-2-b-2), so (5-2=3). In exams, identify a conjugate product.
\(\sqrt{12}\times \sqrt{27}=\sqrt{324}=18\)। परीक्षा में \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) का उपयोग केवल धनात्मक संख्याओं के लिए करें। / \(\sqrt{12}\times \sqrt{27}=\sqrt{324}=18\). In exams, use \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) for non-negative numbers.
हर को \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) से गुणा करने पर हर (3-2=1) हो जाता है। परीक्षा में conjugate से गुणा करना न भूलें। / Multiplying by \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) makes the denominator (3-2=1). In exams, remember to multiply by the conjugate.
क्योंकि \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), इसलिए उत्तर \(4\sqrt{2}\) है। परीक्षा में समान surd terms को ही जोड़ें या घटाएं। / Because \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), and \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), the answer is \(4\sqrt{2}\). In exams, combine only like surd terms.
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}) है। परीक्षा में पहचान से लंबी गणना बचती है। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{5}\)\(2\sqrt{6}\)=4\sqrt{30}). In exams identities save long calculations.
\(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) है इसलिए कुल \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\) मिलता है। परीक्षा में व्युत्क्रम को पहले परिमेयकृत करें। / \(\frac{1}{2+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\) so the total is \(\frac{4+4\sqrt{7}}{3}\). In exams rationalize the reciprocal first.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{13}+2\) है और हर (13-4=9) बनता है। इसलिए मान (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}) है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{13}+2\) and the denominator becomes (13-4=9). Hence the value is (\frac{3\(\sqrt{13}+2\)}{9}=\frac{\sqrt{13}+2}{3}).
(\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) है जो परिमेय है। परीक्षा में गुणन और जोड़ के नियम अलग रखें। / (\(\sqrt{28}\)\(\sqrt{7}\)=\sqrt{196}=14) which is rational. In exams keep multiplication and addition rules separate.
हर के संयुग्मी \(\sqrt{11}+3\) से गुणा करने पर हर (11-9=2) बनता है और (2) कट जाता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी सही चुनें। / Multiplying by the conjugate \(\sqrt{11}+3\) makes the denominator (11-9=2), and (2) cancels. In exams choose the conjugate of the denominator correctly.
हर का संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) है और हर (7-6=1) बनता है। परीक्षा में अंतर (1) होने पर उत्तर सरल हो जाता है। / The conjugate of the denominator is \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\), and the denominator becomes (7-6=1). In exams the answer simplifies when the difference is (1).
(x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{2}\)\(2\sqrt{5}\)=4\sqrt{10}) है। परीक्षा में पहचान का प्रयोग करके लंबी गणना बचाएं। / (x-2-y-2=(x-y)(x+y)=\(2\sqrt{2}\)\(2\sqrt{5}\)=4\sqrt{10}). In exams use identities to avoid long calculation.
\(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) को \(2+\sqrt{3}\) से परिमेयकृत करने पर \(2+\sqrt{3}\) मिलता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी लगाएं। / Rationalizing \(\frac{1}{2-\sqrt{3}}\) with \(2+\sqrt{3}\) gives \(2+\sqrt{3}\). In exams multiply by the conjugate of the denominator.
हर को \(\sqrt{5}+2\) से गुणा करने पर हर (5-4=1) बनता है। परीक्षा में हर का संयुग्मी चुनें। / Multiplying the denominator by \(\sqrt{5}+2\) makes it (5-4=1). In exams choose the conjugate of the denominator.
(ab=\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{5}\)2=11-5=6) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से मूल हट जाते हैं। / (ab=\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{5}\)2=11-5=6). In exams conjugate multiplication removes radicals.
योग (6) और गुणनफल (7) है, इसलिए बहुपद \(x^2-6x+7\) है। \(परीक्षा में (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) प्रयोग करें। \(/ The sum is (6) and the product is (7), so the polynomial is (x^2-6x+7). In exams use (x^2-(\)sum)x+product).
(ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में संयुग्मी युग्म पर \(a^2-b^2\) लगाएं। / (ab=(7)2-\(4\sqrt{3}\)2=49-48=1), so it is rational. In exams apply \(a^2-b^2\) for conjugate pairs.
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\) है। परीक्षा में समान करणी काट सकते हैं। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so \(\sqrt{2}:2\sqrt{2}=1:2\). In exams common radical factors can be cancelled.
(xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से समय बचता है। / (xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4). Conjugate multiplication saves time in exams.
(98) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें। / (98) is not a perfect square, so \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) is irrational. In exams extract perfect-square factors.
(\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}) है। परीक्षा में बीच का पद (2ab) न छोड़ें। / (\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}). Do not miss the middle term (2ab) in exams.
(\(\sqrt{7}+1\)2-7=8+2\sqrt{7}-7=1+2\sqrt{7}) है। परीक्षा में ((a+b)2) सावधानी से लगाएं। / (\(\sqrt{7}+1\)2-7=8+2\sqrt{7}-7=1+2\sqrt{7}). Use ((a+b)2) carefully in exams.
\(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), इसलिए यह परिमेय है। परीक्षा में गुणन में वर्गमूलों को पहले एक साथ सरल करें। / Since \(\sqrt{8}\times\sqrt{18}=\sqrt{144}=12\), it is rational. In exams simplify products of radicals first.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए अंतर \(3\sqrt{2}\) अपरिमेय है; सही परिमेय विकल्प नहीं दिखता, अतः ध्यान दें कि \(\sqrt{7}\sqrt{14}=7\sqrt{2}\) भी अपरिमेय है। / Here \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the difference is \(3\sqrt{2}\), irrational; no listed expression is rational, so this item must be checked carefully.
(\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}) है। इसलिए \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) सही रूप है। / (\(\sqrt{6}+2\)2=6+4+4\sqrt{6}=10+\sqrt{96}). Hence \(\sqrt{6}+\sqrt{4}\) is correct.
ये पद \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\) बनते हैं। कुल \(10\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(10\sqrt{5}\) है, विकल्पों को ध्यान से जाँचें। / The terms become \(\sqrt{5}+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+4\sqrt{5}\). The total is \(10\sqrt{5}\), so check the options carefully.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{2}\) है। गुणनफल (2) है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the bracket is \(\sqrt{2}\). The product is (2).
\(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) और \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\) है। इसलिए \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\) है। / \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) and \(\sqrt{175}=5\sqrt{7}\). Thus \(4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-5\sqrt{7}=3\sqrt{7}\).
\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{5}\) बनता है। उसका वर्ग (5) है। / \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), so the bracket becomes \(\sqrt{5}\). Its square is (5).
