Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
भारत रत्न 1954 में शुरू हुआ और 1955 में मरणोपरांत सम्मान की अनुमति जोड़ी गई। परीक्षा में दोनों नियम संबंधी वर्ष अलग याद रखें। / Bharat Ratna was instituted in 1954 and posthumous awards were allowed from 1955. Remember these two rule related years separately.
महावीर ने पार्श्वनाथ की चार व्रत परंपरा में ब्रह्मचर्य को प्रमुख रूप से जोड़ा माना जाता है। परीक्षा में तेईसवें और चौबीसवें तीर्थंकर का अंतर याद रखें। / Mahavira is considered to have added Brahmacharya prominently to Parshvanatha's four-vow tradition. For exams, remember the difference between the 23rd and 24th Tirthankaras.
पार्श्वनाथ से चार व्रत जोड़े जाते हैं जबकि महावीर ने ब्रह्मचर्य को अलग महाव्रत बनाया। परीक्षा में जैन व्रतों का विकास याद रखें। / Four vows are linked with Parshvanatha while Mahavira made Brahmacharya a separate great vow. For exams, remember development of Jain vows.
शुंग काल में सांची में तोरण और वेदिका जैसी संरचनाएं जोड़ी गईं। परीक्षा में स्तूप विकास को अलग-अलग कालों से जोड़ें। / During the Shunga period, gateways and railings were added at Sanchi. For exams, link stupa development with different periods.
अचर पद केवल \(3\cdot5=15\) से आता है। अचर पद के लिए अचर भागों का गुणन देखें। / The constant term comes only from \(3\cdot5=15\). For the constant term, multiply the constant parts.
((3x-2)\(2x^2+x-5\)=6x-3-x-2-17x+10), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (-1) है। विस्तार के बाद समान पद मिलाएं। / ((3x-2)\(2x^2+x-5\)=6x-3-x-2-17x+10), so the coefficient of \(x^2\) is (-1). Combine like terms after expansion.
अचर पद केवल ((-2)(-1)=2) से आता है। अचर पद के लिए अचर भागों का गुणन देखें। / The constant term comes only from ((-2)(-1)=2). For the constant term, multiply the constant parts.
((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), इसलिए गुणांक (-7) है। विस्तार के बाद समान पद मिलाएं। / ((2x-1)\(x^2-3x+4\)=2x-3-7x-2+11x-4), so the coefficient is (-7). Combine like terms after expansion.
अचर पद केवल ((-3)\cdot1=-3) से आता है। अचर पद के लिए अचर पदों का गुणन देखें। / The constant term comes only from ((-3)\cdot1=-3). For the constant term, multiply the constant parts.
((x-2)\(3x^2+4x-5\)=3x-3-2x-2-13x+10), इसलिए \(x^2\) का गुणांक (-2) है। विस्तार में समान पद मिलाएं। / ((x-2)\(3x^2+4x-5\)=3x-3-2x-2-13x+10), so the coefficient of \(x^2\) is (-2). Combine like terms after expansion.
प्रत्येक पद को (-3x) से गुणा करने पर \(-6x^3+12x^2-15x\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक के संकेत ध्यान से लगाएं। / Multiplying each term by (-3x) gives \(-6x^3+12x^2-15x\). Apply signs carefully with a negative multiplier.
प्रत्येक पद को (2x) से गुणा करने पर \(6x^3-10x^2+2x\) मिलता है। वितरण नियम का प्रयोग करें। / Multiplying each term by (2x) gives \(6x^3-10x^2+2x\). Use the distributive property.
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), इसलिए अंदर का मान \(-\sqrt{3}\) है और गुणनफल (-6) है। परीक्षा में पहले surd को सरल करें। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), so the inside value is \(-\sqrt{3}\) and the product is (-6). In exams, simplify the surds first.
गुणांक (-4) और (3) का गुणनफल (-12) है, और \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\) है। परीक्षा में गुणांक और घातांक अलग-अलग संभालें। / The product of coefficients (-4) and (3) is (-12), and \(a^{2-1}b^{-3+5}=ab^2\). In exams, handle coefficients and exponents separately.
वितरण से \(6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4\) मिलता है। परीक्षा में cross terms को सही sign के साथ जोड़ें। / By distribution, \(6x^2+8x-3x-4=6x^2+5x-4\). In exams, combine cross terms with the correct sign.
वितरण नियम से (x(x-3)+2(x-3)=x-2-x-6) मिलता है। परीक्षा में middle term का sign ध्यान से जांचें। / Using the distributive law, (x(x-3)+2(x-3)=x-2-x-6). In exams, check the sign of the middle term carefully.
गुणांक (2) और (-3) का गुणनफल (-6) है, और समान चरों की घातें जुड़ती हैं। परीक्षा में sign और exponents दोनों ध्यान से देखें। / The product of coefficients (2) and (-3) is (-6), and powers of like variables are added. In exams, watch both the sign and the exponents carefully.
गुणांक (18), \(x^{2+1}=x^3\) और \(y^{1+4}=y^5\) है। समान आधार की घातें जोड़ें। / The coefficient is (18), \(x^{2+1}=x^3\), and \(y^{1+4}=y^5\). Add exponents of like bases.
वितरण से \(4x^2-12x+5x-15=4x^2-7x-15\) है। समान पदों को अंत में जोड़ें। / By distribution, \(4x^2-12x+5x-15=4x^2-7x-15\). Combine like terms at the end.
वितरण नियम से \(x^2+4x+6x+24=x^2+10x+24\) मिलता है। मध्य पद समान पद जोड़कर बनता है। / By distribution, \(x^2+4x+6x+24=x^2+10x+24\). The middle term forms by combining like terms.
गुणांक (10), \(x^{3+1}=x^4\) और \(y^{1+2}=y^3\) है। समान आधार की घातें जोड़ें। / The coefficient is (10), \(x^{3+1}=x^4\), and \(y^{1+2}=y^3\). Add exponents of like bases.
गुणांक (12), \(x^{2+1}=x^3\) और \(y^{1+3}=y^4\) है। समान आधार की घातें जोड़ें। / The coefficient is (12), \(x^{2+1}=x^3\), and \(y^{1+3}=y^4\). Add exponents of like bases.
वितरण नियम से \(x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6\)। मध्य पद समान पद जोड़कर बनता है। / By distribution, \(x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6\). The middle term forms by combining like terms.
गुणांक \(5\cdot2=10\) और \(x^4\cdot x^3=x^7\) है। इसलिए गुणनफल \(10x^7\) है। / The coefficients give \(5\cdot2=10\), and \(x^4\cdot x^3=x^7\). So the product is \(10x^7\).
गुणा करके सरल करें \(\frac{5}{8}\cdot\frac{16}{15}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}\)। पहले काटने से गणना आसान होती है। / Multiply and simplify: \(\frac{5}{8}\cdot\frac{16}{15}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}\). Cancelling first makes calculation easier.
गुणांक \(6\cdot5=30\) और \(x\cdot x^2=x^3\) है। इसलिए उत्तर \(30x^3\) है। / The coefficients give \(6\cdot5=30\), and \(x\cdot x^2=x^3\). Therefore the answer is \(30x^3\).
\(5^4\) का अर्थ (5) को (4) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(5^4\) means multiplying (5) by itself (4) times. An exponent shows repeated multiplication.
गुणांक \(4\cdot3=12\) और \(x^3\cdot x^2=x^5\) है। इसलिए गुणनफल \(12x^5\) है। / The coefficients give \(4\cdot3=12\), and \(x^3\cdot x^2=x^5\). So the product is \(12x^5\).
गुणा करके सरल करें \(\frac{4}{7}\cdot\frac{14}{5}=\frac{56}{35}=\frac{8}{5}\)। पहले काटने से गणना आसान होती है। / Multiply and simplify: \(\frac{4}{7}\cdot\frac{14}{5}=\frac{56}{35}=\frac{8}{5}\). Cancelling first makes calculation easier.
गुणांक \(5\cdot4=20\) और \(x\cdot x^3=x^4\) है। इसलिए उत्तर \(20x^4\) है। / The coefficients give \(5\cdot4=20\), and \(x\cdot x^3=x^4\). Therefore the answer is \(20x^4\).
\(4^3\) का अर्थ (4) को (3) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(4^3\) means multiplying (4) by itself (3) times. An exponent shows repeated multiplication.
गुणांक \(3\cdot2=6\) और \(x^2\cdot x=x^3\) है। इसलिए गुणनफल \(6x^3\) है। / The coefficients give \(3\cdot2=6\), and \(x^2\cdot x=x^3\). So the product is \(6x^3\).
गुणा करके सरल करें \(\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\)। पहले काटना समय बचाता है। / Multiply and simplify: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}\). Cancelling first saves time.
पहले गुणांक \(4\cdot3=12\) और फिर \(x\cdot x^2=x^3\) करें। इसलिए उत्तर \(12x^3\) है। / First multiply coefficients \(4\cdot3=12\), then \(x\cdot x^2=x^3\). Therefore the answer is \(12x^3\).
\(2^5\) का अर्थ (2) को (5) बार गुणा करना है। घात बार-बार गुणा को दिखाती है। / \(2^5\) means multiplying (2) by itself (5) times. An exponent shows repeated multiplication.
(xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4) है। परीक्षा में संयुग्मी गुणन से समय बचता है। / (xy=\(\sqrt{6}\)2-\(\sqrt{2}\)2=6-2=4). Conjugate multiplication saves time in exams.
\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), इसलिए कोष्ठक \(\sqrt{2}\) है। गुणनफल (2) है। / \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), so the bracket is \(\sqrt{2}\). The product is (2).
\(3\sqrt{6}\times2\sqrt{6}=6\times6=36\) है। समान जड़ का गुणन परिमेय परिणाम दे सकता है। / \(3\sqrt{6}\times2\sqrt{6}=6\times6=36\). Multiplying same roots can give a rational result.
\(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(2\sqrt{5}\times3\sqrt{5}=6\times5=30\) है। समान जड़ का गुणन परिमेय परिणाम दे सकता है। / \(2\sqrt{5}\times3\sqrt{5}=6\times5=30\). Multiplying same roots can give a rational result.
\(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{10}\times\sqrt{40}=\sqrt{400}=20\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(\sqrt{24}\times\sqrt{6}=\sqrt{144}=12\) है। जड़ों के गुणन में अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \(\sqrt{24}\times\sqrt{6}=\sqrt{144}=12\). In root multiplication multiply the numbers inside.
A. गुणनफल परिमेय या अपरिमेय दोनों हो सकता है/The product can be rational or irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) परिमेय है पर \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) अपरिमेय है। इसलिए स्थिति पर निर्भर करता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) is rational but \(\sqrt{5}\times\sqrt{2}=\sqrt{10}\) is irrational. So it depends on the case.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। गुणन में जड़ों के अंदर के संख्याओं को गुणा करें। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). In multiplication multiply the numbers inside the roots.
\(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। / \(\sqrt{12}\times\sqrt{3}=\sqrt{36}=6\). The product of two irrational numbers is not always irrational.
\(3\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=6\times2=12\) है। समान जड़ का गुणन परिमेय परिणाम दे सकता है। / \(3\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=6\times2=12\). Multiplying same roots can give a rational result.
गैर शून्य परिमेय गुणक अपरिमेय संख्या को अपरिमेय ही रखता है। शर्त \(r\neq0\) महत्वपूर्ण है। / A non zero rational multiplier keeps an irrational number irrational. The condition \(r\neq0\) is important.
\(\sqrt{7}\times\sqrt{11}=\sqrt{77}\) है और (77) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{7}\times\sqrt{11}=\sqrt{77}\) and (77) is not a perfect square. So the result is irrational.
\(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। / \(\sqrt{5}\times\sqrt{45}=\sqrt{225}=15\). The product of two irrational numbers can be rational.
दो परिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय होता है। लेकिन परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता। / The product of two rational numbers is rational. But the result is not always an integer.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\) है जो अपरिमेय है। समान जड़ों का गुणन अक्सर परिमेय दे सकता है। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\), which is irrational. Multiplying equal roots can often give a rational number.
किसी भी वास्तविक संख्या को (0) से गुणा करने पर (0) मिलता है। (0) परिमेय संख्या है। / Multiplying any real number by (0) gives (0). (0) is a rational number.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\) है। दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय भी हो सकता है। / \(\sqrt{3}\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\). The product of two irrational numbers can be rational.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) अपरिमेय है। इसलिए हमेशा एक जैसा नहीं होता। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) is rational but \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\) is irrational. So it is not always one type.
गैर शून्य परिमेय संख्या से अपरिमेय को गुणा करने पर परिणाम अपरिमेय होता है। यहाँ \(3\neq0\) है। / Multiplying an irrational by a non zero rational gives an irrational result. Here \(3\neq0\).
पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। / In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2), \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3), और \(7^1\) को \(7^3\) बनाने के लिए \(7^2\) चाहिए। / \(2^5\) needs one more (2), \(3^2\) needs one more (3), and \(7^1\) needs \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
घातों को अगली (3) की गुणज तक पूरा करें। / Complete each exponent to the next multiple of (3).
(8=5+3), इसलिए (2a=5(2q+1)+3) और शेषफल (3) है। / (8=5+3), so (2a=5(2q+1)+3) and the remainder is (3).
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले प्रश्न में पहले शेषफल को गुणा करके फिर भाजक से बाँटें। / In multiplication-based questions, first multiply the old remainder and then divide by the divisor.
सीधे जोड़ने पर (3+7+11+15+19=55)। छोटे (n) में सीधा जोड़ भी उपयोगी है। / Adding directly (3+7+11+15+19=55). For small (n), direct addition is useful too.
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}=4\sqrt{29} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}+\sqrt{29}=4\sqrt{29} \). Do not add the numbers inside radicals directly.
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{19}+\sqrt{19}+\sqrt{19}=3\sqrt{19} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{19}+\sqrt{19}+\sqrt{19}=3\sqrt{19} \). Do not add the numbers inside radicals directly.
\( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) और \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), इसलिए योग \(5\sqrt{3}\) है। पहले मूलों को सरल करें। / \( \sqrt{12}=2\sqrt{3} \) and \( \sqrt{27}=3\sqrt{3} \), so the sum is \(5\sqrt{3}\). Simplify the radicals first.
दाईं ओर \( -\frac{5}{4}+\frac{7}{10}=-\frac{11}{20} \) मिलता है। भिन्नों में समान हर बनाकर जोड़ें। / Moving right gives \( -\frac{5}{4}+\frac{7}{10}=-\frac{11}{20} \). Use a common denominator to add fractions.
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), इसलिए \( \sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2} \)। समान मूलों को ही जोड़ा जाता है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \), so \( \sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2} \). Only like radicals can be added.
समान मूलों को जोड़ने पर \( \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13} \) होता है। मूल के अंदर संख्याएँ सीधे नहीं जोड़ी जातीं। / Adding like radicals gives \( \sqrt{13}+\sqrt{13}=2\sqrt{13} \). Do not add the numbers inside the radicals directly.
\( \sqrt{49}=7 \) और \( \sqrt{16}=4 \), इसलिए योग (11) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{49}=7 \) and \( \sqrt{16}=4 \), so the sum is (11). Find each square root first.
दाईं ओर \( -\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{12}\) मिलता है। भिन्नों में समान हर बनाकर जोड़ें। / Moving right gives \( -\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{1}{12}\). Use a common denominator to add fractions.
\(\sqrt{2}\approx1.414\) और \(\sqrt{3}\approx1.732\), इसलिए योग लगभग (3.146) है। योग के लिए अनुमानित मान जोड़ें। / \(\sqrt{2}\approx1.414\) and \(\sqrt{3}\approx1.732\), so the sum is about (3.146). Add approximate values for sums.
\(\sqrt{5}\approx2.24\), इसलिए \(2+\sqrt{5}\approx4.24\) है। यह (4) और (5) के बीच आता है। / \(\sqrt{5}\approx2.24\), so \(2+\sqrt{5}\approx4.24\). It lies between (4) and (5).
(2) से दाईं ओर (3) इकाई चलने पर (2+3=5) मिलता है। दाईं ओर जाने पर मान बढ़ता है। / Moving (3) units right from (2) gives (2+3=5). The value increases when moving right.
