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प्रतिशत ज्ञात करने के लिए संख्या को प्रतिशत के भिन्न रूप से गुणा करते हैं: \(40\% = \frac{40}{100}\)। अतः \(\frac{40}{100} \times 25 = 10\)। इसलिए सही उत्तर 10 है। विकल्प 5, 25 का 20 प्रतिशत है, 40 प्रतिशत नहीं। परीक्षा टिप: प्रतिशत को पहले \(\frac{p}{100}\) में बदलकर गुणा करें। / To find a percentage of a number, multiply the number by the fractional form of the percentage: \(40\% = \frac{40}{100}\). Thus, \(\frac{40}{100} \times 25 = 10\). Therefore, the correct answer is 10. Option 5 is 20% of 25, not 40%. Exam tip: convert \(p\%\) into \(\frac{p}{100}\) before multiplying.
C. अंकुरित बीजों का प्रतिशत/Percentage of germinated seeds
Explanation
Simple Explanation
मापा गया अंकुरण प्रतिशत आश्रित चर है क्योंकि यह तापमान के अनुसार बदल सकता है। परीक्षा में परिणाम के रूप में मापी गई राशि को आश्रित चर चुनें। / The measured germination percentage is the dependent variable because it may change with temperature. In exams choose the measured outcome as the dependent variable.
D. यह अलग नमूना आकार वाले समूहों की तुलना आसान बनाता है/It allows easier comparison of groups with different sample sizes
Explanation
Simple Explanation
प्रतिशत कुल बीज संख्या के अंतर को ध्यान में रखता है। असमान समूहों की तुलना में अनुपात अधिक उपयोगी होता है। / Percentage accounts for differences in total seed number. Proportions are more useful when comparing unequal groups.
A. स्वतंत्र चर और आश्रित चर/Independent and dependent variables
Explanation
Simple Explanation
तापमान बदला जाता है और अंकुरण प्रतिशत मापा जाता है। परीक्षा में कारण और परिणाम पहचानें। / Temperature is changed and germination percentage is measured. In exams identify cause and outcome.
हटे दाग का प्रतिशत मापा गया परिणाम है इसलिए यह आश्रित चर है। डिटर्जेंट की मात्रा स्वतंत्र चर है। / The percentage of stain removed is the measured outcome, so it is the dependent variable. Detergent amount is the independent variable.
अंकुरण प्रतिशत मापा गया परिणाम है इसलिए यह आश्रित चर है। प्रतिशत भी मात्रात्मक परिणाम हो सकता है। / Germination percentage is the measured outcome so it is the dependent variable. A percentage can be a quantitative outcome.
A. जब नमूनों के प्रारंभिक मान अलग हों/When samples have different initial values
Explanation
Simple Explanation
अलग प्रारंभिक मानों में प्रतिशत परिवर्तन तुलनात्मक वृद्धि दिखा सकता है। मूल मान और गणना दोनों सुरक्षित रखें। / With different initial values percentage change can show relative growth. Keep both original values and calculations.
A. छोटे प्रारंभिक मान से बड़ा प्रतिशत वास्तविक रूप से छोटा परिवर्तन हो सकता है/A large percentage from a small baseline may represent a small actual change
Explanation
Simple Explanation
प्रतिशत को वास्तविक मान और आधार रेखा के साथ समझना चाहिए। परीक्षा में सापेक्ष और वास्तविक परिवर्तन अलग करें। / A percentage should be interpreted with actual values and baseline. Distinguish relative and absolute change.
A. स्कोर पूरे ग्राहक आधार का सही प्रतिनिधित्व न कर सकता है/The score may not represent the entire customer base
Explanation
Simple Explanation
कम उत्तर दर में प्रतिक्रिया पक्षपात हो सकता है। परीक्षा में डेटा की गुणवत्ता और प्रतिनिधित्व जांचें। / A low response rate may create response bias. Examine data quality and representativeness.
C. संदर्भ की कमी से आंकड़ों का अर्थ अधूरा है/The data is incomplete in meaning due to missing context
Explanation
Simple Explanation
प्रतिशत का आधार न होने से आंकड़ों की सही व्याख्या कठिन होती है। संख्यात्मक संदेश में संदर्भ देना जरूरी है। / Without a stated base, percentages are difficult to interpret correctly. Numerical messages require context.
A. आंकड़ों की तार्किक शुद्धता गलत है/The data logic is incorrect
Explanation
Simple Explanation
वृत्त आलेख के सभी भाग पूरे का प्रतिनिधित्व करते हैं इसलिए कुल एक सौ होना चाहिए। परीक्षा में सजावट से पहले डेटा सत्यापित करें। / All sectors of a pie chart represent one whole, so their total must be one hundred. In exams, verify data before judging decoration.
A. आँकड़ों की विश्वसनीयता का आकलन कठिन होता है/It becomes difficult to judge the reliability of the data
Explanation
Simple Explanation
प्रतिशत के साथ आधार संख्या जानना सही व्याख्या के लिए उपयोगी है। परीक्षा में संदर्भहीन आँकड़ों से सावधान रहें। / Knowing the base number with percentages helps accurate interpretation. In exams be cautious with data lacking context.
A. वास्तविक परिवर्तन का आकार समझना कठिन है/The actual size of the change is difficult to understand
Explanation
Simple Explanation
बड़े प्रतिशत का वास्तविक प्रभाव प्रारंभिक मूल्य पर निर्भर करता है। परीक्षा में प्रतिशत और आधार मूल्य दोनों देखें। / The actual impact of a large percentage depends on the starting value. Check both percentage and base value in the exam.
समान प्रतिशत बहुत अलग कुल संख्याओं पर आधारित हो सकते हैं। परीक्षा में प्रतिशत के साथ आधार संख्या भी खोजें। / The same percentage may be based on very different totals. In exams, look for the base number along with percentages.
C. शीर्षक और आँकड़ों में विरोध/Conflict between title and data
Explanation
Simple Explanation
शीर्षक आँकड़ों से समर्थित नहीं है इसलिए दावा भ्रामक हो सकता है। परीक्षा में शीर्षक को दृश्य प्रमाण से मिलाएँ। / The title is not supported by the data, so the claim may be misleading. In exams, compare the headline with the visual evidence.
A. आँकड़ों की श्रेणियाँ एक-दूसरे से मिल सकती हैं या प्रस्तुति त्रुटिपूर्ण है/Categories may overlap or the presentation may be incorrect
Explanation
Simple Explanation
अतिव्यापी श्रेणियाँ या गणना की त्रुटि कुल प्रतिशत बढ़ा सकती है। परीक्षा में आँकड़ों की संरचना जाँचें। / Overlapping categories or calculation errors may make the total exceed one hundred. In exams, examine how data categories are defined.
D. मानों की सही व्याख्या कठिन होगी/Correct interpretation of the values will be difficult
Explanation
Simple Explanation
इकाई के बिना संख्या का अर्थ अस्पष्ट रहता है। प्रत्येक स्तंभ में माप की इकाई स्पष्ट लिखें। / A number remains ambiguous without its unit. Clearly state the unit of measurement for each column.
B. प्रतिशतों की गणना या वर्गीकरण गलत है/The percentage calculation or classification is incorrect
Explanation
Simple Explanation
कुल प्रतिशत सामान्यतः सौ होना चाहिए जब श्रेणियां पूरे समूह को बांटती हैं। गणना और दोहरी गिनती जांचें। / The total should generally be one hundred when categories divide the whole group. Check calculation and double counting.
C. आंकड़ा प्रस्तुति की त्रुटि/Data representation error
Explanation
Simple Explanation
पाई चार्ट के सभी भाग मिलकर पूरे का प्रतिनिधित्व करते हैं। परीक्षा में कुल और भागों की संगति जांचें। / All sections of a pie chart together represent the whole. Check consistency between the total and its parts in the exam.
B. उस पर तुरंत ध्यान दिलाने के लिए/To draw immediate attention to it
Explanation
Simple Explanation
बड़ा आकार और लाल रंग छूट की सूचना को प्रमुख बनाते हैं। परीक्षा में एक से अधिक जोर साधन देखें। / Large size and red colour make the discount information prominent. Look for more than one method of emphasis in exams.
A. चित्र और पाठ का कार्यात्मक अनुपात/Functional proportion between image and text
Explanation
Simple Explanation
चित्र और पाठ का आकार पाठ्य उद्देश्य के अनुसार संतुलित होना चाहिए। परीक्षा में संचार और अनुपात को जोड़ें। / The sizes of image and text should be balanced according to the communication purpose. Link proportion with communication in exams.
समानुपाती (50) प्रतिशत कमी में दोनों रैखिक माप आधे हो जाते हैं। परीक्षा में दोनों दिशाओं पर समान परिवर्तन करें। / In a proportional (50) percent reduction both linear dimensions become half. Apply the same change in both directions in exams.
A. रंग और आकार विरोधाभास से जोर/Emphasis through colour and size contrast
Explanation
Simple Explanation
लाल रंग और बड़ा आकार छूट को अन्य सूचना से अलग और प्रमुख बनाते हैं। परीक्षा में व्यावहारिक डिजाइन उदाहरण पहचानें। / The red colour and large size make the discount distinct and prominent. In exams identify practical design examples.
C. सार्वजनिक व्यवस्था, नैतिकता और स्वास्थ्य/Public order, morality and health
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद 25 की स्वतंत्रता सार्वजनिक व्यवस्था, नैतिकता और स्वास्थ्य के अधीन है। परीक्षा में इन तीनों सीमाओं को याद रखें। / Freedom under Article 25 is subject to public order, morality and health. In exams, remember these three limits.
A. सार्वजनिक धार्मिक संस्था में सभी वर्गों को प्रवेश देने की व्यवस्था/Arrangement to allow all classes into a public religious institution
Explanation
Simple Explanation
सभी वर्गों के लिए सार्वजनिक धार्मिक संस्था खोलना सामाजिक सुधार से जुड़ा है। परीक्षा में सार्वजनिक धार्मिक संस्था शब्द पर ध्यान दें। / Opening a public religious institution to all classes relates to social reform. In exams focus on public religious institution.
A. एक व्यक्ति अपनी आस्था चुनता है और दूसरा प्रश्न किसी विशेष धर्म के प्रचार हेतु कर से जुड़ा है/One person chooses belief and another question concerns tax for promoting a particular religion
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद पच्चीस व्यक्तिगत धार्मिक स्वतंत्रता और अनुच्छेद सत्ताईस धार्मिक कर से जुड़ा है। परीक्षा में अनुच्छेद संख्या को संदर्भ से मिलाएं। / Article 25 relates to individual religious freedom and Article 27 to religious tax. In exams match Article numbers with context.
A. धर्म की स्वतंत्रता असीमित नहीं और सामाजिक न्याय से संतुलित है/Freedom of religion is not unlimited and is balanced with social justice
Explanation
Simple Explanation
सामाजिक सुधार संवैधानिक संतुलन का हिस्सा है। परीक्षा में धार्मिक स्वतंत्रता और सुधार को विरोधी न मानें। / Social reform is part of constitutional balance. In exams do not treat religious freedom and reform as opposites.
D. राज्य धर्म से जुड़ी गैर धार्मिक प्रशासनिक गतिविधियों को कानून से नियंत्रित कर सकता है/The state can regulate non-religious administrative activities associated with religion by law
Explanation
Simple Explanation
धार्मिक कार्य और लौकिक प्रशासन अलग हो सकते हैं। परीक्षा में पूजा और प्रबंधन का अंतर पहचानें। / Religious acts and secular administration may be different. In exams identify the difference between worship and management.
A. क्योंकि इसमें विश्वास चुनने मानने और बदलने की आंतरिक स्वतंत्रता भी शामिल है/Because it also includes internal freedom to choose profess and change belief
Explanation
Simple Explanation
अंतरात्मा की स्वतंत्रता व्यक्ति के भीतर के विश्वास और चयन से जुड़ी है। परीक्षा में पूजा और विश्वास में अंतर समझें। / Freedom of conscience relates to inner belief and choice. In exams understand the difference between worship and belief.
C. अंतरात्मा और धर्म को मानने, पालन करने तथा प्रचार करने की स्वतंत्रता/Freedom of conscience and to profess, practise and propagate religion
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद 25 व्यक्ति को अंतरात्मा और धर्म संबंधी स्वतंत्रताएं देता है। परीक्षा में इसके तीन शब्द मानना, पालन और प्रचार याद रखें। / Article 25 gives freedom of conscience and religion-related freedoms. In exams, remember the three words profess, practise and propagate.
A. अनुच्छेद पच्चीस व्यक्ति की स्वतंत्रता से और अनुच्छेद छब्बीस धार्मिक समूहों से जुड़ा है/Article 25 concerns individuals and Article 26 concerns religious groups
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद पच्चीस व्यक्तिगत धार्मिक स्वतंत्रता और अनुच्छेद छब्बीस सामूहिक धार्मिक अधिकार से जुड़ा है। परीक्षा में व्यक्ति और समूह का अंतर याद रखें। / Article 25 concerns individual religious freedom and Article 26 concerns collective religious rights. In exams remember the individual-group difference.
A. व्यक्ति अपने विश्वास को स्वतंत्र रूप से चुन सकता है/A person may freely choose personal belief
Explanation
Simple Explanation
अंतरात्मा की स्वतंत्रता व्यक्ति की आस्था और विश्वास के स्वतंत्र चयन से जुड़ी है। परीक्षा में इसे अनुच्छेद पच्चीस का मूल आधार समझें। / Freedom of conscience is linked with free choice of faith and belief. In exams treat it as the core of Article 25.
B. अनुच्छेद पच्चीस व्यक्ति से और अनुच्छेद छब्बीस धार्मिक समूह से जुड़ा है/Article 25 relates to individuals and Article 26 to religious groups
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद पच्चीस व्यक्तिगत धार्मिक स्वतंत्रता और अनुच्छेद छब्बीस समूह अधिकारों से जुड़ा है। परीक्षा में अनुच्छेदों का यह अंतर याद रखें। / Article 25 relates to individual religious freedom and Article 26 to group rights. In exams remember this difference.
A. धर्म चुनने मानने और पालन करने की स्वतंत्रता/Freedom to choose profess and practice religion
Explanation
Simple Explanation
अनुच्छेद पच्चीस व्यक्ति की अंतरात्मा और धर्म पालन की स्वतंत्रता से जुड़ा है। परीक्षा में इसे व्यक्तिगत धार्मिक स्वतंत्रता के रूप में याद रखें। / Article 25 is linked with freedom of conscience and religious practice. In exams remember it as individual religious freedom.
A. क्योंकि इससे जनभागीदारी कमजोर दिख सकती है/Because it may show weak public participation
Explanation
Simple Explanation
कम मतदान भागीदारी की कमी का संकेत दे सकता है। परीक्षा में voter turnout को participation indicator मानें। / Low voting may indicate lack of participation. Exam tip: treat voter turnout as an indicator of participation.
A. क्योंकि स्वतंत्रता विकल्प समानता और निष्पक्षता भी देखनी होती है/Because freedom choice equality and fairness must also be seen
Explanation
Simple Explanation
अधिक मतदान तभी अर्थपूर्ण है जब प्रक्रिया स्वतंत्र और निष्पक्ष हो। परीक्षा में turnout और fairness का अंतर समझें। / High turnout is meaningful only when the process is free and fair. Exam tip: understand the difference between turnout and fairness.
A. क्योंकि मतदाताओं की स्वतंत्रता और विकल्प भी जरूरी हैं/Because voters' freedom and choices are also necessary
Explanation
Simple Explanation
उच्च मतदान तभी लोकतांत्रिक अर्थ रखता है जब मतदाता स्वतंत्र और सूचित हों। परीक्षा में संख्या के साथ स्वतंत्रता भी लिखें। / High turnout has democratic meaning only when voters are free and informed. In exams, write freedom along with numbers.
पहले का स्थिर पद (-25) है और दूसरे का (25) है इसलिए अंतर (-50) है। परीक्षा में वर्गों के अंतर और पूर्ण वर्ग को न मिलाएं। / The first constant term is (-25), and the second is (25), so the difference is (-50). Exam tip: do not mix difference of squares with perfect square.
भुजाएं (2x) और (5) हैं इसलिए मध्य पद \(-2\cdot2x\cdot5=-20x\) है। परीक्षा में (p<0) देखकर ऋण मान चुनें। / The parts are (2x) and (5), so the middle term is \(-2\cdot2x\cdot5=-20x\). Exam tip: choose the negative value using (p<0).
(25x-2=(5x)2) और \(36=6^2\), इसलिए मध्य पद \(2\cdot5x\cdot6=60x\) है। परीक्षा में दोनों वर्गमूलों का दुगुना गुणन करें। / (25x-2=(5x)2) and \(36=6^2\), so the middle term is \(2\cdot5x\cdot6=60x\). In exams, multiply twice the two square roots.
A. \((x-5)(x+5)=x^2-25\) होता है; सही गुणनखंड \((x-5)^2\) है।
Explanation
Simple Explanation
\((x-5)^2=x^2-2\cdot5x+5^2=x^2-10x+25\), इसलिए सही गुणनखंड \((x-5)^2\) है। \((x-5)(x+5)\) वर्गों का अंतर देकर \(x^2-25\) बनाता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग में मध्य पद \(\pm2ab\) जाँचें। / \((x-5)^2=x^2-2\cdot5x+5^2=x^2-10x+25\), so the correct factorisation is \((x-5)^2\). In contrast, \((x-5)(x+5)\) gives \(x^2-25\). Exam tip: check whether the middle term is \(\pm2ab\).
(16x-2=(4x)2), \(25=5^2\) और \(40x=2\cdot4x\cdot5\) है। परीक्षा में पहले और अंतिम पद के वर्गमूल देखें। / (16x-2=(4x)2), \(25=5^2\), and \(40x=2\cdot4x\cdot5\). In exams, check the square roots of first and last terms.
A. यह वर्गों का अंतर है और इसका गुणनखंडन \((x-5)(x+5)\) है/It is a difference of squares and factorises as \((x-5)(x+5)\).
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(25=5^2\) है, इसलिए \(x^2-25=x^2-5^2\)। सर्वसमिका \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से उत्तर A मिलता है। परीक्षा में स्थिर पद का पूर्ण वर्ग पहले पहचानें। / Since \(25=5^2\), we have \(x^2-25=x^2-5^2\). Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), it factorises as \((x-5)(x+5)\). Exam tip: check whether both terms are squares.
(9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), इसलिए मध्य पद \(-2\cdot3x\cdot5=-30x\) है। परीक्षा में दिए गए चिन्ह का पालन करें। / (9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), so the middle term is \(-2\cdot3x\cdot5=-30x\). In exams follow the given sign.
मध्य पद \(-10a=-2\cdot a\cdot5\) है इसलिए चिन्ह ऋणात्मक होगा। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह निर्णायक होता है। / The middle term \(-10a=-2\cdot a\cdot5\), so the sign is negative. In exams the sign of the middle term is decisive.
पहचान \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) में \(a=2x\), \(b=5\) रखें। मध्य पद \(-2\times2x\times5=-20x\) होगा। केवल वर्गों का अंतर लिखना गलत है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), take \(a=2x\) and \(b=5\). The middle term is \(-2\times2x\times5=-20x\). Writing only the squared terms is incorrect. Exam tip: always check the middle term and its sign.
(9x-2=(3x)2) और \(25=5^2\) है इसलिए मध्य पद \(2\cdot3x\cdot5=30x\) होगा। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों की जड़ें लेकर दुगुना गुणन करें। / (9x-2=(3x)2) and \(25=5^2\), so the middle term will be \(2\cdot3x\cdot5=30x\). Exam tip: take the roots of both square terms and multiply twice.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) लगाएँ। यहाँ \(a=x, b=5\), इसलिए मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) होगा और परिणाम \(x^2+10x+25\) है। परीक्षा में मध्य पद लिखना न भूलें। / Use \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). With \(a=x\) and \(b=5\), the middle term is \(2\times x\times5=10x\), giving \(x^2+10x+25\). Exam tip: always check for the middle term.
\(25=5^2\), इसलिए ऋणात्मक पूर्ण वर्ग में \(b=-2\cdot5=-10\) है। परीक्षा में संकेत शर्त जरूर पढ़ें। / Since \(25=5^2\), for the negative perfect square \(b=-2\cdot5=-10\). Exam tip: read the sign condition carefully.
A. मध्य पद \(10x\), \(2\cdot x\cdot5\) के बराबर है/The middle term \(10x\) equals \(2\cdot x\cdot5\)
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x^2=x^2\) और \(25=5^2\) हैं। मध्य पद \(2\cdot x\cdot5=10x\) होने से यह \(a^2+2ab+b^2\) का रूप है। परीक्षा में मध्य पद का चिह्न भी जाँचें। / Here, \(x^2=(x)^2\) and \(25=5^2\). Since the middle term is \(2\cdot x\cdot5=10x\), it matches \(a^2+2ab+b^2\). Exam tip: always check the sign of the middle term too.
A. वह \(2\times x\times 5=10x\) वाला मध्य पद भूल गया।/The middle term \(2\times x\times 5=10x\) has been omitted.
Explanation
Simple Explanation
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) में \(a=x\) और \(b=5\) रखने पर \(x^2+10x+25\) मिलता है। अतः \(10x\) मध्य पद छूटा है। परीक्षा में \(2ab\) पद अवश्य जाँचें। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), put \(a=x\) and \(b=5\) to get \(x^2+10x+25\). Thus, the \(10x\) middle term is missing. Exam tip: always check the \(2ab\) term.
यह व्यंजक वर्गों का अंतर है: \(25x^2-1=(5x)^2-1^2\)। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने पर \((5x-1)(5x+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प A और D पूर्ण वर्ग हैं; उन्हें फैलाने पर क्रमशः मध्य पद \(-10x\) और \(+10x\) मिलता है, जो दिए गए व्यंजक में नहीं है। परीक्षा टिप: गुणनखंडन से पहले जाँचें कि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं और उनके बीच घटाव है। / This expression is a difference of squares: \(25x^2-1=(5x)^2-1^2\). Applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) gives \((5x-1)(5x+1)\). Options A and D are perfect squares; on expansion, they contain middle terms \(-10x\) and \(+10x\), respectively, which are not present in the expression. Exam tip: before factorising, check whether both terms are perfect squares separated by subtraction.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) में \(a=x\), \(b=5\) रखने पर मध्य पद \(2\times x\times5=10x\) मिलता है। इसलिए A सही है; \(5x\) में 2 का गुणक नहीं है। परीक्षा में मध्य पद \(2ab\) जाँचें। / Using \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), put \(a=x\) and \(b=5\). The middle term is \(2\times x\times5=10x\), so A is correct. \(5x\) misses the factor 2. Exam tip: always check the \(2ab\) term.
पहले (4x-2-12xy+9y-2=(2x-3y)2) बनता है फिर \(25=5^2\) से वर्गों का अंतर लगाएं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग बनाकर अगला गुणनखंड करें। / First (4x-2-12xy+9y-2=(2x-3y)2), then use difference of squares with \(25=5^2\). Exam tip: form the perfect square and factor further.
(64a-3=(4a)3) और (125b-3=(5b)3) हैं। परीक्षा में अंतर के सूत्र में दूसरे कोष्ठक में धन (20ab) आएगा। / Here (64a-3=(4a)3) and (125b-3=(5b)3). Exam tip: in the difference formula, the second bracket has positive (20ab).
यह ((5x)2-2\cdot5x\cdot3y+(3y)2) है। परीक्षा में ऋण मध्य पद होने पर घटाव वाला वर्ग लें। / It is ((5x)2-2\cdot5x\cdot3y+(3y)2). Exam tip: use the subtraction square for a negative middle term.
मध्य पद ऋण है इसलिए पूर्ण वर्ग ((4m-5n)2) बनेगा। परीक्षा में वर्गमूल और चिह्न दोनों जांचें। / The middle term is negative, so the perfect square is ((4m-5n)2). Exam tip: check both square roots and sign.
यह वर्गों का अंतर है जहां (9a-2=(3a)2) और (25b-2=(5b)2) है। परीक्षा में दोनों पदों के वर्गमूल लें। / This is a difference of squares where (9a-2=(3a)2) and (25b-2=(5b)2). Exam tip: take square roots of both terms.
यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है क्योंकि \(25=5^2\) और \(10x=2\cdot5\cdot x\) है। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग की पहचान करें। / This is a perfect square trinomial because \(25=5^2\) and \(10x=2\cdot5\cdot x\). Exam tip: identify the perfect square first.
पहले तीन पद ((4a-3b)2) हैं और (25c-2=(5c)2) है। परीक्षा में दो-चरणीय गुणनखंडन करें। / The first three terms are ((4a-3b)2), and (25c-2=(5c)2). In exams, use two-step factorisation.
पहले तीन पद ((m+2n)2) हैं और फिर \(25=5^2\) घट रहा है। परीक्षा में छिपे वर्ग को पहचानें। / The first three terms are ((m+2n)2), and \(25=5^2\) is being subtracted. In exams, identify the hidden square.
पहले (4x-2-12xy+9y-2=(2x-3y)2), फिर वर्गों का अंतर लगाएं। परीक्षा में समूह का वर्गमूल सही लें। / First (4x-2-12xy+9y-2=(2x-3y)2), then apply difference of squares. In exams take the square root of the group correctly.
पहले (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2), फिर \(25=5^2\) लगाएं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहचानें। / First (x-2-4xy+4y-2=(x-2y)2), then use \(25=5^2\). In exams identify the perfect-square trinomial.
(4x-2=(2x)2), \(25=5^2\) और \(-20x=-2\cdot2x\cdot5\) है। परीक्षा में मध्य पद से चिन्ह तय करें। / (4x-2=(2x)2), \(25=5^2\), and \(-20x=-2\cdot2x\cdot5\). In exams decide the sign from the middle term.
पहले \(49a^2-70ab+25b^2\) को ((7a-5b)2) बनाएं। परीक्षा में फिर \(c^2\) के साथ अंतर वर्ग लगाएं। / First write \(49a^2-70ab+25b^2\) as ((7a-5b)2). Exam tip: then apply difference of squares with \(c^2\).
यह ((5m)3+(6n)3) है। परीक्षा में घनों के योग में दूसरे ब्रैकेट का मध्य पद ऋणात्मक होता है। / It is ((5m)3+(6n)3). Exam tip: in sum of cubes, the middle term of the second bracket is negative.
यह (\(3x^2\)2-2\cdot3x-2\cdot5+52) है। परीक्षा में \(x^4\) वाले पूर्ण वर्ग को भी पहचानें। / It is (\(3x^2\)2-2\cdot3x-2\cdot5+52). Exam tip: identify perfect squares involving \(x^4\) too.
\(4a^2-4ab+b^2\) को ((2a-b)2) लिखें। परीक्षा में फिर (25c-2=(5c)2) लगाकर अंतर वर्ग करें। / Write \(4a^2-4ab+b^2\) as ((2a-b)2). Exam tip: then use (25c-2=(5c)2) for difference of squares.
पहले \(25x^2-20xy+4y^2\) को ((5x-2y)2) बनाएं। परीक्षा में \(36=6^2\) से अंतर वर्ग लागू करें। / First write \(25x^2-20xy+4y^2\) as ((5x-2y)2). Exam tip: use \(36=6^2\) for difference of squares.
पहले \(9x^2+30xy+25y^2\) को ((3x+5y)2) बनाएं। परीक्षा में (49z-2=(7z)2) से अंतर वर्ग लगाएं। / First write \(9x^2+30xy+25y^2\) as ((3x+5y)2). Exam tip: use (49z-2=(7z)2) for difference of squares.
A. ( (4x+5y+6z)\(16x^2+25y^2+36z^2-20xy-30yz-24xz\) )
Explanation
Simple Explanation
यह ( (4x)3+(5y)3+(6z)3-3(4x)(5y)(6z) ) है। परीक्षा में \(a^3+b^3+c^3-3abc\) पहचान लागू करें। / It is ( (4x)3+(5y)3+(6z)3-3(4x)(5y)(6z) ). Exam tip: apply the identity \(a^3+b^3+c^3-3abc\).
पहले \(4p^2-12pq+9q^2\) को ((2p-3q)2) लिखें। परीक्षा में ऋणात्मक मध्य पद से ((a-b)2) पहचानें। / First write \(4p^2-12pq+9q^2\) as ((2p-3q)2). Exam tip: identify ((a-b)2) from the negative middle term.
(125x-3=(5x)3) है और यह घनों का अंतर है। परीक्षा में दूसरे गुणनखंड में (+5xy) रखें। / Since (125x-3=(5x)3), this is a difference of cubes. Exam tip: keep (+5xy) in the second factor.
(16a-2=(4a)2) और (25b-2=(5b)2), बीच का पद (-2(4a)(5b)) है। परीक्षा में ऋणात्मक पूर्ण वर्ग पहचानें। / Here (16a-2=(4a)2) and (25b-2=(5b)2), with middle term (-2(4a)(5b)). Exam tip: identify negative perfect squares.
A. दावा सही है, क्योंकि \((7a-5b)^2=49a^2-70ab+25b^2\)/The claim is correct because \((7a-5b)^2=49a^2-70ab+25b^2\).
Explanation
Simple Explanation
दावा सही है। पहचान \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\) में \(x=7a\), \(y=5b\) रखने पर मध्य पद \(-2\times7a\times5b=-70ab\) मिलता है। परीक्षा में दोनों वर्ग पदों के वर्गमूल लेकर मध्य पद जाँचें। / The claim is correct. Using \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\), take \(x=7a\) and \(y=5b\); the middle term is \(-2\times7a\times5b=-70ab\). Exam tip: check the square roots of end terms, then verify \(2xy\).
पहले तीन पद \(x^2-2xy+y^2\), \((x-y)^2\) के बराबर हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \((x-y)^2-25=(x-y)^2-5^2\) है। अंतर के वर्गों के सूत्र \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) से इसका गुणनखंडन \((x-y-5)(x-y+5)\) मिलता है। विकल्प B में \((x+y)^2\) बनने से मध्य पद \(+2xy\) होता है, जबकि प्रश्न में \(-2xy\) है। परीक्षा टिप: पहले पूर्ण वर्ग त्रिपद पहचानें, फिर अंतर के वर्गों का सूत्र लगाएँ। / The first three terms satisfy \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\). Hence the expression is \((x-y)^2-25=(x-y)^2-5^2\). Applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) gives \((x-y-5)(x-y+5)\). Option B would involve \((x+y)^2\), whose middle term is \(+2xy\), whereas the given expression has \(-2xy\). Exam tip: identify the perfect-square trinomial before applying the difference-of-squares identity.
A. सही गुणनखंडन \((7a-5b)^2\) है।/The correct factorisation is \((7a-5b)^2\).
Explanation
Simple Explanation
यह \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\) के रूप में है, जहाँ \(x=7a\) और \(y=5b\) हैं। इसलिए मध्य पद \(-2(7a)(5b)=-70ab\) मिलता है। विद्यार्थी का गुणनखंडन अंतर-वर्ग बनाकर मध्य पद हटाता है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह अवश्य मिलाएँ। / This matches \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\), with \(x=7a\) and \(y=5b\). The middle term is \(-2(7a)(5b)=-70ab\). The student used a difference-of-squares product, which cancels the middle term. Exam tip: always verify the middle-term sign.
(64a-2=(8a)2), (25b-2=(5b)2) और \(80ab=2\cdot8a\cdot5b\) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग की तीनों शर्तें मिलाएं। / (64a-2=(8a)2), (25b-2=(5b)2), and \(80ab=2\cdot8a\cdot5b\). In exams match all three conditions of a perfect square.
A. \((7x-5y)^2\) में मध्य पद \(-70xy\) आता है, जबकि दिए गए व्यंजक में मध्य पद नहीं है।/\((7x-5y)^2\) contains the middle term \(-70xy\), whereas the given expression has no middle term.
Explanation
Simple Explanation
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) में अंतिम पद धनात्मक होता है और मध्य पद भी आता है। यहाँ सही गुणनखंड \((7x-5y)(7x+5y)\) है। परीक्षा में वर्ग और वर्गों के अंतर का चिह्न अवश्य जाँचें। / In \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), a middle term occurs and the last term is positive. Here, use \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \((7x-5y)(7x+5y)\). Exam tip: check signs before choosing an identity.
(25p-2=(5p)2), (9q-2=(3q)2) और मध्य पद ऋणात्मक है। परीक्षा में चिन्ह से सही वर्ग चुनें। / (25p-2=(5p)2), (9q-2=(3q)2), and the middle term is negative. In exams choose the correct square by the sign.
\(25=5^2\) और मध्य पद \(-2\cdot m\cdot5\) है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह जरूर देखें। / \(25=5^2\) and the middle term is \(-2\cdot m\cdot5\). In exams always check the sign of the middle term.
(125x-3=(5x)3) और (216y-3=(6y)3) हैं। परीक्षा में घनों के अंतर में दूसरे ब्रैकेट के चिन्ह (+) और (+) होते हैं। / Here (125x-3=(5x)3) and (216y-3=(6y)3). Exam tip: in difference of cubes, signs in the second bracket are (+) and (+).
यह ((4m)3+(5n)3) है। परीक्षा में घनों के योग में दूसरे ब्रैकेट का मध्य पद ऋणात्मक होता है। / It is ((4m)3+(5n)3). Exam tip: in the sum of cubes, the middle term of the second bracket is negative.
A. यह पूर्ण वर्ग त्रिपद है; सही गुणनखंडन \((7p-5q)^2\) है।
Explanation
Simple Explanation
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) में \(a=7p\), \(b=5q\) रखने पर \(49p^2-70pq+25q^2\) मिलता है। जबकि \((7p-5q)(7p+5q)=49p^2-25q^2\) होता है और मध्य पद नहीं आता। परीक्षा टिप: मध्य पद को \(-2ab\) से मिलाएँ। / Using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), with \(a=7p\) and \(b=5q\), gives \(49p^2-70pq+25q^2\). But \((7p-5q)(7p+5q)=49p^2-25q^2\), so it has no middle term. Exam tip: check whether the middle term equals \(-2ab\).
दिया गया व्यंजक \(x^2+2xy+y^2-25\) में पहले तीन पद \((x+y)^2\) बनाते हैं और \(25=5^2\) है। अतः यह \((x+y)^2-5^2\) है। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने पर \((x+y-5)(x+y+5)\) मिलता है। विकल्प B में \((x-y)^2\) आएगा, जिसका मध्य पद \(-2xy\) होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: \(x^2\pm2xy+y^2\) को पहचानकर पहले उसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें। / In \(x^2+2xy+y^2-25\), the first three terms form \((x+y)^2\), and \(25=5^2\). Hence the expression is \((x+y)^2-5^2\). Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), we get \((x+y-5)(x+y+5)\). Option B would involve \((x-y)^2\), whose middle term is \(-2xy\), so it is incorrect. Exam tip: first recognise expressions of the form \(x^2\pm2xy+y^2\) as perfect squares.
\(25q^2\) को ((5q)2) लिखने पर अंतर वर्ग पहचान मिलती है। परीक्षा में पहले दोनों पदों को वर्ग के रूप में देखें। / Writing \(25q^2\) as ((5q)2) gives the difference of squares identity. Exam tip: first see both terms as squares.
यह व्यंजक दो वर्गों का अंतर है: \(16n^2=(4n)^2\) और \(25=5^2\)। सूत्र \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लगाने पर \(16n^2-25=(4n-5)(4n+5)\) मिलता है। \((16n-5)(16n+5)\) का प्रसार करने पर \(256n^2-25\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दोनों पदों के वर्गमूल पहचानें, फिर अंतर-वर्ग सूत्र लगाएँ। / This expression is a difference of squares: \(16n^2=(4n)^2\) and \(25=5^2\). Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), we get \(16n^2-25=(4n-5)(4n+5)\). Expanding \((16n-5)(16n+5)\) gives \(256n^2-25\), so it is not correct. Exam tip: identify the square roots of both terms before applying the difference-of-squares formula.
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) में \(a=5p\), \(b=2\) रखने पर मध्य पद \(-2\times5p\times2=-20p\) मिलता है। इसलिए विस्तार \(25p^2-20p+4\) है। परीक्षा में मध्य पद का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Using \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), take \(a=5p\) and \(b=2\). The middle term is \(-2\times5p\times2=-20p\), so the expansion is \(25p^2-20p+4\). Exam tip: always check the sign of the middle term.
यहाँ \(25=5^2\) है, इसलिए \(a^2-25=a^2-5^2\), जो दो वर्गों का अंतर है। अतः \(a^2-5^2=(a-5)(a+5)\)। वर्ग वाले सूत्रों में तीन पद होते हैं। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न के साथ दो पूर्ण वर्ग दिखें तो अंतर-वर्ग सूत्र जाँचें। / Since \(25=5^2\), we get \(a^2-25=a^2-5^2\), a difference of two squares. Hence \(a^2-5^2=(a-5)(a+5)\). The square identities apply to three-term expressions. Exam tip: look for two perfect squares separated by a minus sign.
यह व्यंजक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: \(25r^2=(5r)^2\) और \(9=3^2\)। साथ ही, \(-30r=-2\times 5r\times 3\) है। इसलिए \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) में \(a=5r\) और \(b=3\) रखने पर \(25r^2-30r+9=(5r-3)^2\) मिलता है। विकल्प A में मध्य पद \(+30r\) होगा। परीक्षा टिप: पहले और अंतिम पद के वर्गमूल लेकर मध्य पद को \(\pm2ab\) से मिलाइए। / The expression is a perfect-square trinomial: \(25r^2=(5r)^2\) and \(9=3^2\). Also, \(-30r=-2\times 5r\times 3\). Using \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), with \(a=5r\) and \(b=3\), we get \(25r^2-30r+9=(5r-3)^2\). In option A, the middle term would be \(+30r\). Exam tip: take the square roots of the first and last terms, then verify the middle term using \(\pm2ab\).
यह वर्गों के अंतर का रूप है, क्योंकि \(9a^2=(3a)^2\) और \(25b^2=(5b)^2\)। पहचान \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) में \(x=3a\) तथा \(y=5b\) रखने पर \((3a-5b)(3a+5b)\) प्राप्त होता है। विकल्प A का प्रसार \(9a^2-30ab+25b^2\) है, इसलिए वह दिए गए व्यंजक के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के अंतर में दोनों वर्गमूलों के योग और अंतर के गुणनखंड लिखें। / This is a difference of squares because \(9a^2=(3a)^2\) and \(25b^2=(5b)^2\). Applying \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) with \(x=3a\) and \(y=5b\) gives \((3a-5b)(3a+5b)\). Option A expands to \(9a^2-30ab+25b^2\), so it does not match the given expression. Exam tip: for a difference of squares, write the difference and sum of the two square roots as factors.
यह व्यंजक वर्गों का अंतर है: \(25x^2=(5x)^2\) तथा \(36=6^2\)। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) में \(a=5x\) और \(b=6\) रखने पर \(25x^2-36=(5x-6)(5x+6)\) मिलता है। \((5x-6)^2\) लेने पर मध्य पद \(-60x\) आ जाएगा, जो दिए गए व्यंजक में नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गों के अंतर में दोनों कारक समान होते हैं, केवल उनके बीच के चिह्न अलग होते हैं। / This expression is a difference of squares: \(25x^2=(5x)^2\) and \(36=6^2\). Using \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), with \(a=5x\) and \(b=6\), gives \(25x^2-36=(5x-6)(5x+6)\). If \((5x-6)^2\) were used, it would produce a middle term of \(-60x\), which is not present. Exam tip: in a difference of squares, the two factors have the same terms but opposite signs between them.
यह व्यंजक दो पूर्ण वर्गों का अंतर है: \(16a^2=(4a)^2\) तथा \(25b^2=(5b)^2\)। पहचान \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) लगाने पर \(16a^2-25b^2=(4a-5b)(4a+5b)\) मिलता है। विकल्प A और B में द्विपद का वर्ग है, जिनका प्रसार करने पर मध्य पद भी प्राप्त होता है; इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले जाँचें कि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं और उनके बीच ऋण चिह्न है। / This expression is a difference of two perfect squares: \(16a^2=(4a)^2\) and \(25b^2=(5b)^2\). Applying \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) gives \(16a^2-25b^2=(4a-5b)(4a+5b)\). Options A and B are squares of binomials and produce a middle term when expanded, so they are incorrect. Exam tip: first check whether both terms are perfect squares separated by a minus sign.
\(x^2-25=x^2-5^2\), जो दो वर्गों का अंतर है। पहचान \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) में \(a=x\) और \(b=5\) रखने पर \((x-5)(x+5)\) मिलता है। विकल्प B को फैलाने पर \(x^2+10x+25\) और विकल्प D को फैलाने पर \(x^2-10x+25\) मिलता है, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: स्थिर पद का वर्गमूल लेकर अंतर और योग वाले दो गुणनखंड लिखें। / \(x^2-25=x^2-5^2\), which is a difference of two squares. Applying \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) with \(a=x\) and \(b=5\) gives \((x-5)(x+5)\). Expanding option B gives \(x^2+10x+25\), while option D gives \(x^2-10x+25\), so neither is correct. Exam tip: take the square root of the constant term and write the difference and sum as the two factors.
(9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), और मध्य (30x) है। परीक्षा में वर्गों की जड़ से भुजा बनाएं। / (9x-2=(3x)2), \(25=5^2\), and the middle is (30x). In exams form the side from the roots of squares.
\(25=5^2\) है इसलिए कुल मध्य पद \(2\cdot x\cdot 5=10x\) होगा। परीक्षा में दोनों बराबर आयत जोड़ें। / Since \(25=5^2\), the total middle term is \(2\cdot x\cdot 5=10x\). Exam tip: add both equal rectangles.
A. भुजाएँ (s) और (5) वाले वर्ग/Squares with sides (s) and (5)
Explanation
Simple Explanation
\(25=5^2\) है इसलिए यह भुजा (s) और (5) वाले वर्गों का अंतर है। परीक्षा में घटाए गए वर्ग की भुजा पहचानें। / Since \(25=5^2\), it is the difference of squares with sides (s) and (5). Exam tip: identify the side of the removed square.
वर्ग मॉडल का कुल क्षेत्रफल \(u^2+10u+25\) है। इसमें \(25=5^2\) और \(10u=2\times u\times 5\) है। इसलिए \(u^2+10u+25=(u+5)^2\), अतः वर्ग की भुजा \(u+5\) है। \(u-5\) का वर्ग \(u^2-10u+25\) होता है, जिसमें मध्य पद ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग त्रिपद में मध्य पद को \(2ab\) के रूप में पहचानें। / The total area of the square model is \(u^2+10u+25\). Here, \(25=5^2\) and \(10u=2\times u\times5\). Therefore, \(u^2+10u+25=(u+5)^2\), so the side of the square is \(u+5\). In contrast, \((u-5)^2=u^2-10u+25\), which has a negative middle term. Exam tip: identify the middle term of a perfect-square trinomial as \(2ab\).
दो (5a) पट्टियाँ मिलकर (10a) बनाती हैं। परीक्षा में कोने (25) के साथ मध्य पद न छोड़ें। / Two (5a) strips combine to make (10a). In exams, do not omit the middle term with corner (25).
B. भुजा (x) के वर्ग से भुजा (5) का वर्ग हटाकर/By removing a square of side (5) from a square of side (x)
Explanation
Simple Explanation
यह अंतर के वर्गों की दृश्य रचना है। परीक्षा में हटाए गए वर्ग के बाद बचा भाग आयत बनता है। / This is the visual construction of difference of squares. Exam tip: after removing the square, the remaining part forms a rectangle.
