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A. यह सांत दशमलव है, क्योंकि सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं।/It is a terminating decimal because, in lowest form, the denominator has only 2 and 5 as prime factors.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{40}\) पहले से ही सरल रूप में है और \(40=2^3\times5\)। किसी परिमेय संख्या के सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। अतः \(\frac{13}{40}=0.325\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 40 में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है; इसलिए दशमलव आवर्ती नहीं होगा। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें, फिर हर का अभाज्य गुणनखंडन जाँचें। / \(\frac{13}{40}\) is already in lowest form, and \(40=2^3\times5\). A rational number has a terminating decimal expansion when the prime factors of its denominator in lowest form are only 2 and/or 5. Therefore, \(\frac{13}{40}=0.325\). Option B is incorrect because 40 has no prime factor other than 2 and 5, so the decimal does not recur. Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms, then factorise its denominator.
\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में एक प्रतिउदाहरण सार्वत्रिक कथन को खंडित कर देता है। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but they cancel to give \(0\), which is rational. Hence “always” is false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.
A. यह दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा, क्योंकि \(600=2^3\times3\times5^2\) में 3 गुणनखंड भी है।/The decimal expansion is non-terminating recurring because \(600=2^3\times3\times5^2\) also contains the factor 3.
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में \(p/q\) का दशमलव तभी समाप्त होता है जब \(q=2^m5^n\) हो। यहाँ \(600=2^3\times3\times5^2\) में 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में जाँचें। / In lowest form, \(p/q\) terminates only when \(q=2^m5^n\). Since \(600=2^3\times3\times5^2\) contains 3, the decimal is non-terminating recurring, not irrational. Exam tip: first check whether the fraction is in lowest form.
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4\)। चूँकि \(4=\frac{4}{1}\), इसलिए यह परिमेय संख्या है। \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}\) अलग-अलग अपरिमेय हैं, पर दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता। \(4\) ऋणात्मक या अवास्तविक भी नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के गुणन में पहले मूलांकों का गुणन करके पूर्ण वर्ग खोजें। / \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}=\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4\). Since \(4=\frac{4}{1}\), it is a rational number. Although \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}\) are individually irrational, the product of two irrational numbers is not always irrational. Also, \(4\) is neither negative nor non-real. Exam tip: When multiplying square roots, multiply the radicands first and look for a perfect square.
C. यह असांत अनावर्ती दशमलव है/It is a non-terminating non-recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
\(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B का असांत आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या को दर्शाता है, जैसे \(0.333\ldots\)। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है, जब वह पूर्णांक पूर्ण वर्ग हो। / Since \(3\) is not a perfect square, \(\sqrt{3}\) is irrational. The decimal expansion of an irrational number is non-terminating and non-recurring, so option C is correct. Option B is wrong because a non-terminating recurring decimal represents a rational number, such as \(0.333\ldots\). Exam tip: The square root of a positive integer is rational only if the integer is a perfect square.
हर \(2^2\times5^3=500\) है। इसे \(10\) की घात वाले हर में बदलने पर \(\frac{7}{500}=\frac{14}{1000}=0.014\) मिलता है। इसलिए दशमलव के बाद तीन अंक हैं और प्रसार 3 दशमलव स्थानों पर समाप्त होता है। विकल्प 2 गलत है, क्योंकि \(0.014\) में दशमलव के बाद केवल दो नहीं, बल्कि तीन अंक हैं। परीक्षा टिप: हर में केवल \(2\) और \(5\) के गुणनखंड हों, तो आवश्यक दशमलव स्थानों की संख्या उनकी घातों में बड़ी घात के बराबर होती है। / The denominator is \(2^2\times5^3=500\). Converting it to a power-of-10 denominator gives \(\frac{7}{500}=\frac{14}{1000}=0.014\). Thus, there are three digits after the decimal point, so the expansion terminates after 3 decimal places. Option 2 is incorrect because \(0.014\) has three, not two, digits after the decimal point. Exam tip: if a denominator has only factors 2 and 5, the larger of their exponents gives the required number of decimal places.
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\)। इसलिए \(\sqrt{5}+\sqrt{20}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)। विकल्प C केवल \(\sqrt{20}\) का सरल रूप है और इसमें प्रारम्भिक \(\sqrt{5}\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: समान करणी पदों के गुणांकों को जोड़ें, जैसे \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\)। / \(\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{5}+\sqrt{20}=\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\). Option C is only the simplified form of \(\sqrt{20}\) and omits the original \(\sqrt{5}\). Exam tip: add the coefficients of like surd terms, using \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\).
\(\frac{9}{4}\) दो पूर्णांकों 9 और 4 के अनुपात के रूप में है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। इसका मान 2.25 है, जो पूर्णांक नहीं है। \(-4\) और \(\sqrt{16}=4\) पूर्णांक हैं, जबकि \(\sqrt{7}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: जिस संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ \(p,q\) पूर्णांक तथा \(q\ne0\) हो, वह परिमेय होती है; फिर जाँचें कि उसका मान पूर्णांक है या नहीं। / \(\frac{9}{4}\) is the ratio of two integers, 9 and 4, so it is rational. Its value is 2.25, which is not an integer. Both \(-4\) and \(\sqrt{16}=4\) are integers, whereas \(\sqrt{7}\) is irrational. Exam tip: first check whether a number can be written as \(\frac{p}{q}\), where \(p,q\) are integers and \(q\ne0\), then check whether its value is an integer.
\(\frac{1}{7}=0.142857142857\ldots\) में 142857 का अंक-समूह बार-बार दोहराता है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। सांत दशमलव के लिए सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने चाहिए, जबकि यहाँ हर 7 है। असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्याओं का होता है, पर \(\frac{1}{7}\) परिमेय संख्या है। परीक्षा टिप: दशमलव का प्रकार पहचानने के लिए भिन्न को पहले सरलतम रूप में लिखकर उसके हर के गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{1}{7}=0.142857142857\ldots\), in which the block 142857 repeats indefinitely. Hence, its decimal expansion is non-terminating recurring. A decimal terminates only when, in lowest form, the denominator has prime factors 2 and 5 only; here the denominator is 7. A non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number, whereas \(\frac{1}{7}\) is rational. Exam tip: First reduce a fraction to lowest terms, then inspect the prime factors of its denominator.
A. चूँकि \(375=3\times5^3\) है और 13 से कोई कटाव नहीं होता, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{375}\) सरलतम रूप में है और \(375=3\times5^3\) है। हर में 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में हर को सरल करके केवल 2 और 5 जाँचें। / \(\frac{13}{375}\) is already in lowest form, and \(375=3\times5^3\). Since the denominator also contains 3, its decimal expansion is non-terminating recurring. Exam tip: after simplification, check for only 2 and 5.
B. हर अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है/Every irrational number is a real number
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं। इसलिए हर अपरिमेय संख्या वास्तविक है। / Real numbers include both rational and irrational numbers. Therefore every irrational number is real.
मान लें \(x+y=q\), जहाँ \(q\) परिमेय है। तब \(y=q-x\)। परिमेय में से अपरिमेय घटाने पर अपरिमेय मिलता है, इसलिए B सही है। परीक्षा-टिप: पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें। / Let \(x+y=q\), where \(q\) is rational. Then \(y=q-x\). A rational number minus an irrational number is irrational, so B is necessary. Exam tip: rearrange the equation before classifying numbers.
हर \(2^4\times5^2\) है। इसे \(10^4\) के रूप में बनाने के लिए अंश और हर को \(5^2\) से गुणा करते हैं: \(\frac{3\times5^2}{10^4}=\frac{75}{10000}=0.0075\)। इसलिए दशमलव के बाद 4 स्थान हैं। विकल्प 2 केवल \(5\) की घात देखने पर मिल सकता है, लेकिन \(10^4\) बनाने के लिए बड़ी घात 4 ली जाती है। परीक्षा टिप: \(2^m\times5^n\) के हर में दशमलव स्थानों की संख्या \(\max(m,n)\) होती है। / The denominator is \(2^4\times5^2\). To write it with a power of 10, multiply the numerator and denominator by \(5^2\): \(\frac{3\times5^2}{10^4}=\frac{75}{10000}=0.0075\). Hence, there are 4 digits after the decimal point. Option 2 results from considering only the power of 5, but the larger exponent, 4, is needed to form \(10^4\). Exam tip: for a denominator of the form \(2^m\times5^n\), the number of decimal places is \(\max(m,n)\).
\(\sqrt{2}\) तथा \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) है, जो परिमेय है। अन्य युग्मों में अपरिमेय मूल वाला पद बचता है। परीक्षा टिप: विपरीत पदों को पहले पहचानें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. In the other pairs, an irrational radical remains. Exam tip: first look for additive inverses.
यदि परिमेय संख्या को \(r\) और अपरिमेय संख्या को \(x\) मानें, तो \(r+x\) हमेशा अपरिमेय होगा। क्योंकि यदि \(r+x\) परिमेय होता, तो \(x=(r+x)-r\) दो परिमेय संख्याओं का अंतर होने के कारण परिमेय हो जाता, जो विरोधाभास है। उदाहरण के लिए, \(3+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए विकल्प A गलत है; योग हमेशा अपरिमेय होता है, पूर्णांक होना आवश्यक नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग या अंतर का परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। / Let \(r\) be rational and \(x\) be irrational. Then \(r+x\) must be irrational. If \(r+x\) were rational, then \(x=(r+x)-r\) would be the difference of two rational numbers and hence rational, which is a contradiction. For example, \(3+\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, option A is incorrect, and the sum is not necessarily an integer either. Exam tip: the sum or difference of a rational number and an irrational number is always irrational.
सांत दशमलव के लिए सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने चाहिए। \(160=2^5\times5\) है, इसलिए \(\frac{21}{160}\) सांत है। परीक्षा टिप: हर में 3, 7 या 11 हो तो दशमलव सांत नहीं होता। / A rational number terminates only when its denominator in lowest form has prime factors 2 and 5 only. Since \(160=2^5\times5\), \(\frac{21}{160}\) terminates. Exam tip: a remaining factor such as 3, 7, or 11 makes the decimal non-terminating.
\(0.\overline{37}=0.373737\ldots\) एक आवर्ती दशमलव है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। इसे \(\frac{37}{99}\) के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें अंश और हर पूर्णांक हैं तथा हर शून्य नहीं है। इसके विपरीत, \(\sqrt{11}\) और \(\sqrt{13}\) गैर-पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल हैं, इसलिए अपरिमेय हैं; \(\pi\) भी अपरिमेय है। परीक्षा टिप: प्रत्येक समाप्त दशमलव और आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / \(0.\overline{37}=0.373737\ldots\) is a recurring decimal, so it is a rational number. It can be written as \(\frac{37}{99}\), where both numerator and denominator are integers and the denominator is non-zero. In contrast, \(\sqrt{11}\) and \(\sqrt{13}\) are square roots of non-perfect squares and are irrational; \(\pi\) is also irrational. Exam tip: every terminating or recurring decimal is rational.
एक विद्यार्थी कहता है, “किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार यदि अनंत हो, तो वह संख्या अपरिमेय होती है।” निम्न में से कौन-सी संख्या उसके कथन की त्रुटि सबसे स्पष्ट दिखाती है?
\(\frac{7}{11}=0.\overline{63}\) अनंत आवर्ती दशमलव है, फिर भी दो पूर्णांकों का अनुपात होने से परिमेय है। \(\sqrt{2}\) अनावर्ती दशमलव देता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / \(\frac{7}{11}=0.\overline{63}\) is non-terminating but repeating, and it is rational because it is a ratio of integers. \(\sqrt{2}\) is non-repeating. Exam tip: every repeating decimal is rational.
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। यदि \(r+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से परिमेय \(r\) घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय हो जाता, जो असंभव है। परीक्षा टिप: परिमेय ± अपरिमेय हमेशा अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{2}\) is irrational. If \(r+\sqrt{2}\) were rational, subtracting the rational number \(r\) would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible. Exam tip: rational ± irrational is always irrational.
A. जब q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों/When the prime factors of q are only 2 and 5
Explanation
Simple Explanation
सह-अभाज्य रूप में परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब q=2^m×5^n हो। जैसे 40=23×5 है। केवल q का सम होना पर्याप्त नहीं; परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखें। / In lowest form, a rational number terminates only when q=2^m×5^n. For example, 40=23×5. Merely being even is not sufficient; in exams, first reduce the fraction to lowest terms.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि किसी सरलतम भिन्न के हर में 5 का गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। निम्न में से कौन-सी भिन्न उसके कथन का खंडन करती है?
\(75=3\times5^2\) है। हर में 3 होने के कारण \(\frac{7}{75}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। जबकि \(40=2^3\times5\) है। परीक्षा टिप: सरलतम हर में केवल 2 और 5 हों, तभी दशमलव प्रसार सांत होता है। / Since \(75=3\times5^2\), the denominator of \(\frac{7}{75}\) contains 3, so its decimal expansion is non-terminating recurring. In contrast, \(40=2^3\times5\). Exam tip: a reduced fraction terminates only when its denominator has factors 2 and/or 5 only.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। विकल्प B में मूलों को सीधे जोड़ने की गलती है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत मान या केवल \(\sqrt{8}\) दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले पदों को ही समान बीजीय पदों की तरह जोड़ा या घटाया जा सकता है। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Option B results from incorrectly combining the numbers inside different radicals, while options C and D give an incorrect value or only \(\sqrt{8}\). Exam tip: square-root terms can be added or subtracted like algebraic terms only when their radicands are the same after simplification.
A. क्योंकि सरलतम रूप में हर \(6=2\times3\) में \(3\) गुणनखंड है/Because, in simplest form, the denominator \(6=2\times3\) contains the factor \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{6}\) सरलतम रूप में है और \(6=2\times3\) है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और/या \(5\) हों। यहाँ \(3\) भी गुणनखंड है, इसलिए \(\frac{5}{6}=0.8333\ldots\) असांत आवर्ती दशमलव है। हर का सम होना पर्याप्त नहीं है; उदाहरण के लिए \(6\) सम है, फिर भी इसमें \(3\) है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में करके हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{5}{6}\) is in simplest form and \(6=2\times3\). A rational number has a terminating decimal expansion only if the prime factors of its denominator, in simplest form, are only \(2\) and/or \(5\). Since \(3\) is also a factor, \(\frac{5}{6}=0.8333\ldots\) is non-terminating recurring. An even denominator is not sufficient; although \(6\) is even, it contains the factor \(3\). Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms and then factorise its denominator.
क्योंकि \(3^2=9<10<16=4^2\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। तथा \(4^2=16<17<25=5^2\), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। अतः \(4\), \(\sqrt{10}\) से बड़ा और \(\sqrt{17}\) से छोटा है। विकल्प \(3\), \(\sqrt{10}\) से भी छोटा है, जबकि \(5\) और \(6\), \(\sqrt{17}\) से बड़े हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना करने के लिए संख्या के आसपास के पूर्ण वर्गों को पहचानें। / Since \(3^2=9<10<16=4^2\), we have \(3<\sqrt{10}<4\). Also, \(4^2=16<17<25=5^2\), so \(4<\sqrt{17}<5\). Hence, \(4\) is greater than \(\sqrt{10}\) and less than \(\sqrt{17}\). Option \(3\) is less than \(\sqrt{10}\), while \(5\) and \(6\) are greater than \(\sqrt{17}\). Exam tip: locate a number between consecutive perfect squares to compare its square root.
क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। यह असांत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड पहचानें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed digit block repeats. Its decimal is non-terminating and non-recurring; hence it is irrational. Exam tip: check for a repeating block.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=5\sqrt{3}\div\sqrt{3}=5\)। विकल्प B में वर्गमूल हटाकर सीधे 25 लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा में पहले वर्गमूल को पूर्ण वर्ग के गुणनखंड में तोड़ना उपयोगी रहता है। / Since \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), we get \(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=5\sqrt{3}\div\sqrt{3}=5\). Option B incorrectly treats the radicand 25 as the final value, while option C results from an incorrect subtraction of radicands. Exam tip: factor the radicand into a perfect square and another factor before simplifying.
मान लें कि \(x=0.\overline{6}\)। आवर्ती दशमलव में 6 बार-बार दोहरता है, इसलिए \(10x=6.\overline{6}\)। घटाने पर \(10x-x=6.\overline{6}-0.\overline{6}\), अर्थात् \(9x=6\), इसलिए \(x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प C \(\frac{3}{5}\) या दशमलव \(0.6\) के बराबर है, जो आवर्ती दशमलव \(0.\overline{6}\) से भिन्न है। परीक्षा-युक्ति: एक अंक के आवर्ती दशमलव \(0.\overline{a}\) को पहले \(\frac{a}{9}\) के रूप में लिखें और फिर सरल करें। / Let \(x=0.\overline{6}\). Since 6 repeats indefinitely, \(10x=6.\overline{6}\). Subtracting the original equation gives \(10x-x=6.\overline{6}-0.\overline{6}\), so \(9x=6\) and \(x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Therefore, option B is correct. Option C, \(\frac{3}{5}\), equals the terminating decimal \(0.6\), not the recurring decimal \(0.\overline{6}\). Exam tip: a one-digit recurring decimal \(0.\overline{a}\) can be written as \(\frac{a}{9}\) and then reduced.
\(\frac{13}{40}\) में हर 40 का अभाज्य गुणनखंडन \(2^3\times5\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार समाप्त होता है। \(\frac{7}{18}\) के हर में 3 भी है, अतः वह अनावर्ती दशमलव देगा। परीक्षा टिप: सरल रूप के हर में केवल 2 और 5 हों। / In \(\frac{13}{40}\), the denominator is \(40=2^3\times5\), so its decimal expansion terminates. The denominator of \(\frac{7}{18}\) also contains 3, so it is non-terminating recurring. Exam tip: in lowest form, only 2 and 5 may occur in the denominator.
\(2\) परिमेय है, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि 3 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर योग अपरिमेय ही रहता है। अतः \(x=2+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। पूर्णांक और प्राकृत संख्याएँ परिमेय होती हैं, इसलिए वे यहाँ सही नहीं हो सकतीं। परीक्षा टिप: परिमेय \(+\) अपरिमेय का परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। / \(2\) is rational, while \(\sqrt{3}\) is irrational because 3 is not a perfect square. The sum of a rational number and an irrational number is always irrational. Therefore, \(x=2+\sqrt{3}\) is irrational. Integers and natural numbers are rational, so neither can be correct here. Exam tip: rational \(+\) irrational is always irrational.
B. असांत आवर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{2^2\times5\times7}=\frac{13}{140}\) सरलतम रूप में है, क्योंकि 13 और 140 का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। हर \(140=2^2\times5\times7\) में 7 भी है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार केवल तभी सांत होता है, जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों। इसलिए यह दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्याओं का होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाएँ, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{13}{2^2\times5\times7}=\frac{13}{140}\) is in lowest terms because 13 and 140 have no common factor. The denominator \(140=2^2\times5\times7\) also contains the prime factor 7. A rational number has a terminating decimal expansion only if, in lowest terms, its denominator has no prime factors other than 2 and/or 5. Therefore, this decimal expansion is non-terminating recurring. A non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number. Exam tip: reduce the fraction first, then inspect the prime factors of its denominator.
रवि कहता है कि किसी भिन्न को सरलतम रूप में लिखने पर उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। निम्नलिखित में से कौन-सी भिन्न उसके कथन का उदाहरण है?
\(\frac{21}{84}=\frac14\) और \(4=2^2\) है; इसलिए इसका दशमलव रूप \(0.25\) पर समाप्त होता है। \(\frac{7}{30}\) में 3 का गुणनखंड बचता है, इसलिए वह असांत आवर्ती है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and \(4=2^2\); hence its decimal form terminates at \(0.25\). In \(\frac{7}{30}\), the factor 3 remains, so it is non-terminating recurring. Exam tip: simplify the fraction before checking the denominator.
दशमलव में (27) बार-बार दोहर रहा है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव है। हर आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। / The block (27) repeats in the decimal, so it is recurring. Every recurring decimal is rational.
\(27=9\times3\) और \(12=4\times3\) हैं, इसलिए \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अतः \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)। \(5\sqrt{3}\) तब मिलता है जब अंतिम \(\sqrt{3}\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें, फिर समान surds के गुणांक जोड़ें या घटाएँ। / Since \(27=9\times3\) and \(12=4\times3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Thus, \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\). The distractor \(5\sqrt{3}\) results from forgetting to subtract the final \(\sqrt{3}\). Exam tip: extract perfect-square factors first, then combine like surds by adding or subtracting their coefficients.
यहाँ \(5\) एक अशून्य परिमेय संख्या है और \(\sqrt{x}\) अपरिमेय है। अशून्य परिमेय संख्या का किसी अपरिमेय संख्या से गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। इसलिए \(5\sqrt{x}\) अपरिमेय संख्या है। पूर्णांक और शून्य दोनों परिमेय होते हैं, इसलिए वे सही नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्या को शून्य से गुणा करने पर ही परिणाम परिमेय हो सकता है। / Here, \(5\) is a non-zero rational number and \(\sqrt{x}\) is irrational. The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational. Therefore, \(5\sqrt{x}\) is an irrational number. An integer and zero are both rational, so they cannot be the result here. Exam tip: Multiplication by zero is the exception that can make the product rational.
\(\sqrt{7}\) अपरिमेय है क्योंकि 7 पूर्ण वर्ग नहीं है। इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है, पर यह एक वास्तविक संख्या है, इसलिए संख्या रेखा पर इसका एक बिंदु होता है। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग न होने पर उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{7}\) is irrational because 7 is not a perfect square. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, but it is a real number, so it has a unique point on the number line. Exam tip: the square root of a non-perfect square is irrational.
C. \(x=a+\sqrt{n}\), जहाँ \(a\) परिमेय है और \(n\) धनात्मक पूर्णांक है जो पूर्ण वर्ग नहीं है/\(x=a+\sqrt{n}\), where \(a\) is rational and \(n\) is a positive integer that is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग न होने पर \(\sqrt n\) अपरिमेय है। यदि \(a+\sqrt n\) परिमेय हो, तो परिमेय \(a\) घटाने पर \(\sqrt n\) परिमेय बनेगा—विरोधाभास। टिप: \(\sqrt{a^2}=|a|\) परिमेय होता है। / For nonsquare \(n\), \(\sqrt n\) is irrational. If \(a+\sqrt n\) were rational, subtracting rational \(a\) would make \(\sqrt n\) rational—a contradiction. Tip: \(\sqrt{a^2}=|a|\) is rational.
C. दशमलव प्रसार आवर्ती है और \(\frac{2}{7}\) के बराबर है/The decimal expansion is recurring and equals \(\frac{2}{7}\)
Explanation
Simple Explanation
दशमलव में 285714 अंक-समूह लगातार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव है। वास्तव में, \(\frac{2}{7}=0.285714285714\ldots\), अतः दोनों एक ही परिमेय संख्या को दर्शाते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव समाप्त नहीं होता; विकल्प D गलत है क्योंकि प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा टिप: जो दशमलव समाप्त न हो लेकिन निश्चित अंक-समूह दोहराए, उसे आवर्ती दशमलव पहचानें। / The digit block 285714 repeats continuously, so this is a non-terminating recurring decimal. In fact, \(\frac{2}{7}=0.285714285714\ldots\), so both forms represent the same rational number. Option B is wrong because the decimal does not end, and option D is wrong because every recurring decimal is rational. Exam tip: A decimal that does not end but repeats a fixed block of digits is recurring.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\), अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या में से पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\), so option B is correct. Exam tip: Factor out the largest perfect-square factor before adding surds.
चूँकि \(3^2=9\) और \(4^2=16\) हैं, तथा \(9<10<16\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। अतः सही विकल्प \(\sqrt{10}\) है। \(\sqrt{8}<3\), जबकि \(\sqrt{17}\) और \(\sqrt{20}\), दोनों 4 से बड़े हैं। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके अंदर की संख्या को निकटवर्ती पूर्ण वर्गों से तुलना करें। / Since \(3^2=9\) and \(4^2=16\), and \(9<10<16\), we get \(3<\sqrt{10}<4\). Hence, \(\sqrt{10}\) is the correct option. \(\sqrt{8}<3\), while both \(\sqrt{17}\) and \(\sqrt{20}\) are greater than 4. Exam tip: locate a square root by comparing the number inside it with nearby perfect squares.
B. यह सामान्य रूप से सही नियम नहीं है/It is not a generally true rule
Explanation
Simple Explanation
गैर-ऋणात्मक \(a\) और \(b\) के लिए इस समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर बायाँ पक्ष \(a+b+2\sqrt{ab}\) तथा दायाँ पक्ष \(a+b\) देता है। अतः दोनों तभी बराबर होंगे जब \(2\sqrt{ab}=0\), अर्थात \(ab=0\)। इसलिए यह कोई सामान्य नियम नहीं है; यह केवल विशेष स्थितियों में सही है। विकल्प D ऐसी ही विशेष स्थिति बताता है, इसलिए उसे सामान्य नियम का उत्तर नहीं माना जा सकता। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\), जबकि \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के योग को सीधे एक वर्गमूल में न बदलें। / For non-negative \(a\) and \(b\), squaring the two sides gives \(a+b+2\sqrt{ab}\) on the left and \(a+b\) on the right. They are equal only when \(2\sqrt{ab}=0\), that is, when \(ab=0\). Hence, this is not a general rule; it works only in special cases. Option D describes one such special case, so it cannot represent the general conclusion. For example, \(\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\), whereas \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\). Exam tip: do not directly combine a sum of square roots into one square root.
परिमेय संख्या की परिभाषा के अनुसार उसे \(\frac{m}{n}\) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \(m\) और \(n\) दोनों पूर्णांक होते हैं तथा \(n\ne0\) होता है। इसलिए सही विकल्प पूर्णांक है। केवल प्राकृतिक संख्याएँ कहना गलत है, क्योंकि \(m\) शून्य या ऋणात्मक भी हो सकता है; जैसे \(-\frac{3}{5}\)। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या में अंश और हर पूर्णांक होते हैं, लेकिन हर शून्य नहीं हो सकता। / By definition, a rational number is written as \(\frac{m}{n}\), where both \(m\) and \(n\) are integers and \(n\ne0\). Therefore, integers is the correct option. “Natural numbers only” is incorrect because \(m\) can be zero or negative, as in \(-\frac{3}{5}\). Exam tip: in a rational number, the numerator and denominator are integers, but the denominator must not be zero.
क्योंकि \(9<11<15<16\), इसलिए \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\)। दोनों वर्गमूल 3 और 4 के बीच स्थित हैं, और उनके बीच कोई अन्य पूर्ण संख्या नहीं होती। 3, \(\sqrt{11}\) से छोटा तथा 4, \(\sqrt{15}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की स्थिति ज्ञात करने के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(9<11<15<16\), we have \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\). Both square roots lie between 3 and 4, and there is no other whole number between these consecutive whole numbers. Thus, 3 is smaller than \(\sqrt{11}\), while 4 is greater than \(\sqrt{15}\). Exam tip: compare with nearby perfect squares to locate square roots quickly.
C. कोई पूर्ण संख्या नहीं है/There is no whole number between them
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(3^2=9<11<15<16=4^2\), इसलिए \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\)। दोनों वर्गमूल 3 और 4 के बीच हैं, और उनके बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं होती। 3 तथा 4 स्वयं वर्गमूलों के बीच नहीं हैं; इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की स्थिति जानने के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(3^2=9<11<15<16=4^2\), we get \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\). Both square roots lie between 3 and 4, and there is no whole number between them. Neither 3 nor 4 lies between the two square roots, so option C is correct. Exam tip: compare nearby perfect squares to locate square roots quickly.
हर को परिमेय बनाने के लिए अंश और हर को संयुग्मी \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) से गुणा करते हैं। तब हर \((\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=7-5=2\) हो जाता है। अतः प्राप्त व्यंजक \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\) है। विकल्प C में 2 से भाग देना छूट गया है। परीक्षा टिप: दो वर्गमूलों के योग वाले हर के लिए उसके अंतर वाले संयुग्मी का प्रयोग करें। / To rationalise the denominator, multiply the numerator and denominator by the conjugate \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\). The denominator becomes \((\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=7-5=2\). Therefore, the result is \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\). Option C omits division by 2. Exam tip: for a denominator that is a sum of two surds, use the conjugate with a minus sign.
हर \(2^3\times5^5\) है और 43 का 2 या 5 से कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। हर को \(10\) की घात बनाने के लिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करते हैं: \(\frac{43}{2^3\times5^5}=\frac{172}{10^5}\)। इसलिए दशमलव प्रसार 5 दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा। 8 गलत है, क्योंकि 2 और 5 की घातों को जोड़ा नहीं जाता; आवश्यक स्थानों की संख्या बड़ी घात से निर्धारित होती है। परीक्षा टिप: सरलतम रूप में हर \(2^m5^n\) हो, तो दशमलव प्रसार अधिकतम \(\max(m,n)\) स्थानों में समाप्त होता है। / The denominator is \(2^3\times5^5\), and 43 has no common factor with 2 or 5. Multiply the numerator and denominator by \(2^2\): \(\frac{43}{2^3\times5^5}=\frac{172}{10^5}\). Hence, the decimal expansion terminates after 5 decimal places. Option 8 is incorrect because the exponents are not added; the larger exponent determines the required number of places. Exam tip: for a reduced denominator of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates in at most \(\max(m,n)\) places.
क्योंकि \(80<81=9^2\) और वर्गमूल फलन धनात्मक संख्याओं के लिए बढ़ता हुआ है, इसलिए \(\sqrt{80}<\sqrt{81}=9\)। अतः विकल्प C सही है। विकल्प B निकट प्रतीत हो सकता है, पर \(\sqrt{80}\), \(\sqrt{81}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना के लिए संबंधित संख्याओं को निकटतम पूर्ण वर्गों से मिलाएँ। / Since \(80<81=9^2\), and the square-root function increases for non-negative numbers, \(\sqrt{80}<\sqrt{81}=9\). Hence, option C is correct. Option B may look close, but \(\sqrt{80}\) is not equal to \(\sqrt{81}\). Exam tip: compare square roots by comparing the numbers with nearby perfect squares.
सरलतम रूप में किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। \(120=2^3\times3\times5\) में 3 भी है, इसलिए \(\frac{17}{120}\) अनंत आवर्ती है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में जाँचें। / A rational number has a terminating decimal only when, in lowest form, its denominator has prime factors 2 and/or 5 only. Since \(120=2^3\times3\times5\) includes 3, \(\frac{17}{120}\) is non-terminating recurring. Exam tip: always check the denominator after simplification.
C. इनके बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं है/There is no whole number between them
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(4^2=16<18<19<25=5^2\), इसलिए \(4<\sqrt{18}<\sqrt{19}<5\)। दोनों वर्गमूल 4 और 5 के बीच हैं, तथा 4 और 5 के बीच कोई पूर्ण संख्या नहीं होती। इसलिए इनके बीच भी कोई पूर्ण संख्या नहीं है और विकल्प C सही है। विकल्प A और B गलत हैं, क्योंकि 4, \(\sqrt{18}\) से छोटा है तथा 5, \(\sqrt{19}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का स्थान ज्ञात करने के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(4^2=16<18<19<25=5^2\), we have \(4<\sqrt{18}<\sqrt{19}<5\). Both square roots lie between 4 and 5, and there is no whole number strictly between 4 and 5. Hence, no whole number lies between the two square roots, so option C is correct. Options A and B are incorrect because 4 is less than \(\sqrt{18}\), while 5 is greater than \(\sqrt{19}\). Exam tip: use the nearest perfect squares to locate square roots on the number line.
\(\sqrt{121}=11\), जो परिमेय संख्या है, जबकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है। अतः \(\sqrt{121}+\sqrt{2}=11+\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्या है। पूर्णांक तथा प्राकृतिक संख्या परिमेय होती हैं, इसलिए विकल्प C और D सही नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, परन्तु \(2\) पूर्ण वर्ग नहीं है। / \(\sqrt{121}=11\), which is rational, while \(\sqrt{2}\) is irrational. The sum of a rational number and an irrational number is always irrational. Hence, \(\sqrt{121}+\sqrt{2}=11+\sqrt{2}\) is irrational. Integers and natural numbers are rational, so options C and D cannot be correct. Exam tip: the square root of a perfect square is an integer, but \(2\) is not a perfect square.
C. उनका गुणनफल परिमेय हो सकता है/Their product can be rational
Explanation
Simple Explanation
दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है। उदाहरणतः \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), जो परिमेय है। इसलिए “हमेशा अपरिमेय” गलत है। परीक्षा में प्रति-उदाहरण से ऐसे कथन जाँचें। / The product of two irrational numbers can be rational. For example, \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\), and 2 is rational. Hence, “always irrational” is false. Exam tip: test universal claims using a counterexample.
