A. यह सांत दशमलव है, क्योंकि सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं।/It is a terminating decimal because, in lowest form, the denominator has only 2 and 5 as prime factors.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{40}\) पहले से ही सरल रूप में है और \(40=2^3\times5\)। किसी परिमेय संख्या के सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। अतः \(\frac{13}{40}=0.325\) है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 40 में 2 और 5 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है; इसलिए दशमलव आवर्ती नहीं होगा। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले सरल रूप में लिखें, फिर हर का अभाज्य गुणनखंडन जाँचें। / \(\frac{13}{40}\) is already in lowest form, and \(40=2^3\times5\). A rational number has a terminating decimal expansion when the prime factors of its denominator in lowest form are only 2 and/or 5. Therefore, \(\frac{13}{40}=0.325\). Option B is incorrect because 40 has no prime factor other than 2 and 5, so the decimal does not recur. Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms, then factorise its denominator.
A. यह दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा, क्योंकि \(600=2^3\times3\times5^2\) में 3 गुणनखंड भी है।/The decimal expansion is non-terminating recurring because \(600=2^3\times3\times5^2\) also contains the factor 3.
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में \(p/q\) का दशमलव तभी समाप्त होता है जब \(q=2^m5^n\) हो। यहाँ \(600=2^3\times3\times5^2\) में 3 भी है, इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल रूप में जाँचें। / In lowest form, \(p/q\) terminates only when \(q=2^m5^n\). Since \(600=2^3\times3\times5^2\) contains 3, the decimal is non-terminating recurring, not irrational. Exam tip: first check whether the fraction is in lowest form.
हर \(2^2\times5^3=500\) है। इसे \(10\) की घात वाले हर में बदलने पर \(\frac{7}{500}=\frac{14}{1000}=0.014\) मिलता है। इसलिए दशमलव के बाद तीन अंक हैं और प्रसार 3 दशमलव स्थानों पर समाप्त होता है। विकल्प 2 गलत है, क्योंकि \(0.014\) में दशमलव के बाद केवल दो नहीं, बल्कि तीन अंक हैं। परीक्षा टिप: हर में केवल \(2\) और \(5\) के गुणनखंड हों, तो आवश्यक दशमलव स्थानों की संख्या उनकी घातों में बड़ी घात के बराबर होती है। / The denominator is \(2^2\times5^3=500\). Converting it to a power-of-10 denominator gives \(\frac{7}{500}=\frac{14}{1000}=0.014\). Thus, there are three digits after the decimal point, so the expansion terminates after 3 decimal places. Option 2 is incorrect because \(0.014\) has three, not two, digits after the decimal point. Exam tip: if a denominator has only factors 2 and 5, the larger of their exponents gives the required number of decimal places.
\(\frac{1}{7}=0.142857142857\ldots\) में 142857 का अंक-समूह बार-बार दोहराता है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। सांत दशमलव के लिए सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने चाहिए, जबकि यहाँ हर 7 है। असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्याओं का होता है, पर \(\frac{1}{7}\) परिमेय संख्या है। परीक्षा टिप: दशमलव का प्रकार पहचानने के लिए भिन्न को पहले सरलतम रूप में लिखकर उसके हर के गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{1}{7}=0.142857142857\ldots\), in which the block 142857 repeats indefinitely. Hence, its decimal expansion is non-terminating recurring. A decimal terminates only when, in lowest form, the denominator has prime factors 2 and 5 only; here the denominator is 7. A non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number, whereas \(\frac{1}{7}\) is rational. Exam tip: First reduce a fraction to lowest terms, then inspect the prime factors of its denominator.
A. चूँकि \(375=3\times5^3\) है और 13 से कोई कटाव नहीं होता, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{375}\) सरलतम रूप में है और \(375=3\times5^3\) है। हर में 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। परीक्षा में हर को सरल करके केवल 2 और 5 जाँचें। / \(\frac{13}{375}\) is already in lowest form, and \(375=3\times5^3\). Since the denominator also contains 3, its decimal expansion is non-terminating recurring. Exam tip: after simplification, check for only 2 and 5.
हर \(2^4\times5^2\) है। इसे \(10^4\) के रूप में बनाने के लिए अंश और हर को \(5^2\) से गुणा करते हैं: \(\frac{3\times5^2}{10^4}=\frac{75}{10000}=0.0075\)। इसलिए दशमलव के बाद 4 स्थान हैं। विकल्प 2 केवल \(5\) की घात देखने पर मिल सकता है, लेकिन \(10^4\) बनाने के लिए बड़ी घात 4 ली जाती है। परीक्षा टिप: \(2^m\times5^n\) के हर में दशमलव स्थानों की संख्या \(\max(m,n)\) होती है। / The denominator is \(2^4\times5^2\). To write it with a power of 10, multiply the numerator and denominator by \(5^2\): \(\frac{3\times5^2}{10^4}=\frac{75}{10000}=0.0075\). Hence, there are 4 digits after the decimal point. Option 2 results from considering only the power of 5, but the larger exponent, 4, is needed to form \(10^4\). Exam tip: for a denominator of the form \(2^m\times5^n\), the number of decimal places is \(\max(m,n)\).
सांत दशमलव के लिए सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने चाहिए। \(160=2^5\times5\) है, इसलिए \(\frac{21}{160}\) सांत है। परीक्षा टिप: हर में 3, 7 या 11 हो तो दशमलव सांत नहीं होता। / A rational number terminates only when its denominator in lowest form has prime factors 2 and 5 only. Since \(160=2^5\times5\), \(\frac{21}{160}\) terminates. Exam tip: a remaining factor such as 3, 7, or 11 makes the decimal non-terminating.
एक विद्यार्थी कहता है, “किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार यदि अनंत हो, तो वह संख्या अपरिमेय होती है।” निम्न में से कौन-सी संख्या उसके कथन की त्रुटि सबसे स्पष्ट दिखाती है?
\(\frac{7}{11}=0.\overline{63}\) अनंत आवर्ती दशमलव है, फिर भी दो पूर्णांकों का अनुपात होने से परिमेय है। \(\sqrt{2}\) अनावर्ती दशमलव देता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होता है। / \(\frac{7}{11}=0.\overline{63}\) is non-terminating but repeating, and it is rational because it is a ratio of integers. \(\sqrt{2}\) is non-repeating. Exam tip: every repeating decimal is rational.
A. जब q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों/When the prime factors of q are only 2 and 5
Explanation
Simple Explanation
सह-अभाज्य रूप में परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब q=2^m×5^n हो। जैसे 40=23×5 है। केवल q का सम होना पर्याप्त नहीं; परीक्षा में पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखें। / In lowest form, a rational number terminates only when q=2^m×5^n. For example, 40=23×5. Merely being even is not sufficient; in exams, first reduce the fraction to lowest terms.
एक विद्यार्थी कहता है कि यदि किसी सरलतम भिन्न के हर में 5 का गुणनखंड हो, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। निम्न में से कौन-सी भिन्न उसके कथन का खंडन करती है?
\(75=3\times5^2\) है। हर में 3 होने के कारण \(\frac{7}{75}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है। जबकि \(40=2^3\times5\) है। परीक्षा टिप: सरलतम हर में केवल 2 और 5 हों, तभी दशमलव प्रसार सांत होता है। / Since \(75=3\times5^2\), the denominator of \(\frac{7}{75}\) contains 3, so its decimal expansion is non-terminating recurring. In contrast, \(40=2^3\times5\). Exam tip: a reduced fraction terminates only when its denominator has factors 2 and/or 5 only.
A. क्योंकि सरलतम रूप में हर \(6=2\times3\) में \(3\) गुणनखंड है/Because, in simplest form, the denominator \(6=2\times3\) contains the factor \(3\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{6}\) सरलतम रूप में है और \(6=2\times3\) है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और/या \(5\) हों। यहाँ \(3\) भी गुणनखंड है, इसलिए \(\frac{5}{6}=0.8333\ldots\) असांत आवर्ती दशमलव है। हर का सम होना पर्याप्त नहीं है; उदाहरण के लिए \(6\) सम है, फिर भी इसमें \(3\) है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले सरलतम रूप में करके हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{5}{6}\) is in simplest form and \(6=2\times3\). A rational number has a terminating decimal expansion only if the prime factors of its denominator, in simplest form, are only \(2\) and/or \(5\). Since \(3\) is also a factor, \(\frac{5}{6}=0.8333\ldots\) is non-terminating recurring. An even denominator is not sufficient; although \(6\) is even, it contains the factor \(3\). Exam tip: first reduce the fraction to lowest terms and then factorise its denominator.
मान लें कि \(x=0.\overline{6}\)। आवर्ती दशमलव में 6 बार-बार दोहरता है, इसलिए \(10x=6.\overline{6}\)। घटाने पर \(10x-x=6.\overline{6}-0.\overline{6}\), अर्थात् \(9x=6\), इसलिए \(x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)। अतः सही विकल्प B है। विकल्प C \(\frac{3}{5}\) या दशमलव \(0.6\) के बराबर है, जो आवर्ती दशमलव \(0.\overline{6}\) से भिन्न है। परीक्षा-युक्ति: एक अंक के आवर्ती दशमलव \(0.\overline{a}\) को पहले \(\frac{a}{9}\) के रूप में लिखें और फिर सरल करें। / Let \(x=0.\overline{6}\). Since 6 repeats indefinitely, \(10x=6.\overline{6}\). Subtracting the original equation gives \(10x-x=6.\overline{6}-0.\overline{6}\), so \(9x=6\) and \(x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Therefore, option B is correct. Option C, \(\frac{3}{5}\), equals the terminating decimal \(0.6\), not the recurring decimal \(0.\overline{6}\). Exam tip: a one-digit recurring decimal \(0.\overline{a}\) can be written as \(\frac{a}{9}\) and then reduced.
\(\frac{13}{40}\) में हर 40 का अभाज्य गुणनखंडन \(2^3\times5\) है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार समाप्त होता है। \(\frac{7}{18}\) के हर में 3 भी है, अतः वह अनावर्ती दशमलव देगा। परीक्षा टिप: सरल रूप के हर में केवल 2 और 5 हों। / In \(\frac{13}{40}\), the denominator is \(40=2^3\times5\), so its decimal expansion terminates. The denominator of \(\frac{7}{18}\) also contains 3, so it is non-terminating recurring. Exam tip: in lowest form, only 2 and 5 may occur in the denominator.
B. असांत आवर्ती दशमलव प्रसार/Non-terminating recurring decimal expansion
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{13}{2^2\times5\times7}=\frac{13}{140}\) सरलतम रूप में है, क्योंकि 13 और 140 का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। हर \(140=2^2\times5\times7\) में 7 भी है। किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार केवल तभी सांत होता है, जब सरलतम रूप में उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों। इसलिए यह दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार अपरिमेय संख्याओं का होता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाएँ, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड जाँचें। / \(\frac{13}{2^2\times5\times7}=\frac{13}{140}\) is in lowest terms because 13 and 140 have no common factor. The denominator \(140=2^2\times5\times7\) also contains the prime factor 7. A rational number has a terminating decimal expansion only if, in lowest terms, its denominator has no prime factors other than 2 and/or 5. Therefore, this decimal expansion is non-terminating recurring. A non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number. Exam tip: reduce the fraction first, then inspect the prime factors of its denominator.
रवि कहता है कि किसी भिन्न को सरलतम रूप में लिखने पर उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो उसका दशमलव प्रसार सांत होता है। निम्नलिखित में से कौन-सी भिन्न उसके कथन का उदाहरण है?
\(\frac{21}{84}=\frac14\) और \(4=2^2\) है; इसलिए इसका दशमलव रूप \(0.25\) पर समाप्त होता है। \(\frac{7}{30}\) में 3 का गुणनखंड बचता है, इसलिए वह असांत आवर्ती है। परीक्षा में पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and \(4=2^2\); hence its decimal form terminates at \(0.25\). In \(\frac{7}{30}\), the factor 3 remains, so it is non-terminating recurring. Exam tip: simplify the fraction before checking the denominator.
C. दशमलव प्रसार आवर्ती है और \(\frac{2}{7}\) के बराबर है/The decimal expansion is recurring and equals \(\frac{2}{7}\)
Explanation
Simple Explanation
दशमलव में 285714 अंक-समूह लगातार दोहराया जा रहा है, इसलिए यह असांत आवर्ती दशमलव है। वास्तव में, \(\frac{2}{7}=0.285714285714\ldots\), अतः दोनों एक ही परिमेय संख्या को दर्शाते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि दशमलव समाप्त नहीं होता; विकल्प D गलत है क्योंकि प्रत्येक आवर्ती दशमलव परिमेय होता है। परीक्षा टिप: जो दशमलव समाप्त न हो लेकिन निश्चित अंक-समूह दोहराए, उसे आवर्ती दशमलव पहचानें। / The digit block 285714 repeats continuously, so this is a non-terminating recurring decimal. In fact, \(\frac{2}{7}=0.285714285714\ldots\), so both forms represent the same rational number. Option B is wrong because the decimal does not end, and option D is wrong because every recurring decimal is rational. Exam tip: A decimal that does not end but repeats a fixed block of digits is recurring.
हर \(2^3\times5^5\) है और 43 का 2 या 5 से कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। हर को \(10\) की घात बनाने के लिए अंश और हर को \(2^2\) से गुणा करते हैं: \(\frac{43}{2^3\times5^5}=\frac{172}{10^5}\)। इसलिए दशमलव प्रसार 5 दशमलव स्थानों पर समाप्त होगा। 8 गलत है, क्योंकि 2 और 5 की घातों को जोड़ा नहीं जाता; आवश्यक स्थानों की संख्या बड़ी घात से निर्धारित होती है। परीक्षा टिप: सरलतम रूप में हर \(2^m5^n\) हो, तो दशमलव प्रसार अधिकतम \(\max(m,n)\) स्थानों में समाप्त होता है। / The denominator is \(2^3\times5^5\), and 43 has no common factor with 2 or 5. Multiply the numerator and denominator by \(2^2\): \(\frac{43}{2^3\times5^5}=\frac{172}{10^5}\). Hence, the decimal expansion terminates after 5 decimal places. Option 8 is incorrect because the exponents are not added; the larger exponent determines the required number of places. Exam tip: for a reduced denominator of the form \(2^m5^n\), the decimal terminates in at most \(\max(m,n)\) places.
सरलतम रूप में किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार तभी सांत होता है, जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। \(120=2^3\times3\times5\) में 3 भी है, इसलिए \(\frac{17}{120}\) अनंत आवर्ती है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में जाँचें। / A rational number has a terminating decimal only when, in lowest form, its denominator has prime factors 2 and/or 5 only. Since \(120=2^3\times3\times5\) includes 3, \(\frac{17}{120}\) is non-terminating recurring. Exam tip: always check the denominator after simplification.
