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\(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(0\) है, जो परिमेय है। इसलिए “हमेशा” वाला कथन गलत है। परीक्षा में एक प्रतिउदाहरण सार्वत्रिक कथन को खंडित कर देता है। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but they cancel to give \(0\), which is rational. Hence “always” is false. Exam tip: one counterexample is enough to disprove a universal statement.
C. यह असांत अनावर्ती दशमलव है/It is a non-terminating non-recurring decimal
Explanation
Simple Explanation
\(3\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प B का असांत आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या को दर्शाता है, जैसे \(0.333\ldots\)। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है, जब वह पूर्णांक पूर्ण वर्ग हो। / Since \(3\) is not a perfect square, \(\sqrt{3}\) is irrational. The decimal expansion of an irrational number is non-terminating and non-recurring, so option C is correct. Option B is wrong because a non-terminating recurring decimal represents a rational number, such as \(0.333\ldots\). Exam tip: The square root of a positive integer is rational only if the integer is a perfect square.
मान लें \(x+y=q\), जहाँ \(q\) परिमेय है। तब \(y=q-x\)। परिमेय में से अपरिमेय घटाने पर अपरिमेय मिलता है, इसलिए B सही है। परीक्षा-टिप: पहले समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें। / Let \(x+y=q\), where \(q\) is rational. Then \(y=q-x\). A rational number minus an irrational number is irrational, so B is necessary. Exam tip: rearrange the equation before classifying numbers.
\(\sqrt{2}\) तथा \(-\sqrt{2}\) दोनों अपरिमेय हैं, पर उनका योग \(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\) है, जो परिमेय है। अन्य युग्मों में अपरिमेय मूल वाला पद बचता है। परीक्षा टिप: विपरीत पदों को पहले पहचानें। / Both \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\) are irrational, but their sum is \(0\), which is rational. In the other pairs, an irrational radical remains. Exam tip: first look for additive inverses.
यदि परिमेय संख्या को \(r\) और अपरिमेय संख्या को \(x\) मानें, तो \(r+x\) हमेशा अपरिमेय होगा। क्योंकि यदि \(r+x\) परिमेय होता, तो \(x=(r+x)-r\) दो परिमेय संख्याओं का अंतर होने के कारण परिमेय हो जाता, जो विरोधाभास है। उदाहरण के लिए, \(3+\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए विकल्प A गलत है; योग हमेशा अपरिमेय होता है, पूर्णांक होना आवश्यक नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग या अंतर का परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। / Let \(r\) be rational and \(x\) be irrational. Then \(r+x\) must be irrational. If \(r+x\) were rational, then \(x=(r+x)-r\) would be the difference of two rational numbers and hence rational, which is a contradiction. For example, \(3+\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, option A is incorrect, and the sum is not necessarily an integer either. Exam tip: the sum or difference of a rational number and an irrational number is always irrational.
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। विकल्प B में मूलों को सीधे जोड़ने की गलती है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत मान या केवल \(\sqrt{8}\) दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले पदों को ही समान बीजीय पदों की तरह जोड़ा या घटाया जा सकता है। / \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). Option B results from incorrectly combining the numbers inside different radicals, while options C and D give an incorrect value or only \(\sqrt{8}\). Exam tip: square-root terms can be added or subtracted like algebraic terms only when their radicands are the same after simplification.
क्योंकि \(3^2=9<10<16=4^2\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। तथा \(4^2=16<17<25=5^2\), इसलिए \(4<\sqrt{17}<5\)। अतः \(4\), \(\sqrt{10}\) से बड़ा और \(\sqrt{17}\) से छोटा है। विकल्प \(3\), \(\sqrt{10}\) से भी छोटा है, जबकि \(5\) और \(6\), \(\sqrt{17}\) से बड़े हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की तुलना करने के लिए संख्या के आसपास के पूर्ण वर्गों को पहचानें। / Since \(3^2=9<10<16=4^2\), we have \(3<\sqrt{10}<4\). Also, \(4^2=16<17<25=5^2\), so \(4<\sqrt{17}<5\). Hence, \(4\) is greater than \(\sqrt{10}\) and less than \(\sqrt{17}\). Option \(3\) is less than \(\sqrt{10}\), while \(5\) and \(6\) are greater than \(\sqrt{17}\). Exam tip: locate a number between consecutive perfect squares to compare its square root.
क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। यह असांत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्ती खंड पहचानें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed digit block repeats. Its decimal is non-terminating and non-recurring; hence it is irrational. Exam tip: check for a repeating block.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=5\sqrt{3}\div\sqrt{3}=5\)। विकल्प B में वर्गमूल हटाकर सीधे 25 लिया गया है, जो गलत है। परीक्षा में पहले वर्गमूल को पूर्ण वर्ग के गुणनखंड में तोड़ना उपयोगी रहता है। / Since \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), we get \(\sqrt{75}\div\sqrt{3}=5\sqrt{3}\div\sqrt{3}=5\). Option B incorrectly treats the radicand 25 as the final value, while option C results from an incorrect subtraction of radicands. Exam tip: factor the radicand into a perfect square and another factor before simplifying.
\(2\) परिमेय है, जबकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि 3 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर योग अपरिमेय ही रहता है। अतः \(x=2+\sqrt{3}\) अपरिमेय है। पूर्णांक और प्राकृत संख्याएँ परिमेय होती हैं, इसलिए वे यहाँ सही नहीं हो सकतीं। परीक्षा टिप: परिमेय \(+\) अपरिमेय का परिणाम हमेशा अपरिमेय होता है। / \(2\) is rational, while \(\sqrt{3}\) is irrational because 3 is not a perfect square. The sum of a rational number and an irrational number is always irrational. Therefore, \(x=2+\sqrt{3}\) is irrational. Integers and natural numbers are rational, so neither can be correct here. Exam tip: rational \(+\) irrational is always irrational.
\(27=9\times3\) और \(12=4\times3\) हैं, इसलिए \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) तथा \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)। अतः \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)। \(5\sqrt{3}\) तब मिलता है जब अंतिम \(\sqrt{3}\) को घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: पहले वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालें, फिर समान surds के गुणांक जोड़ें या घटाएँ। / Since \(27=9\times3\) and \(12=4\times3\), \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\). Thus, \(3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\). The distractor \(5\sqrt{3}\) results from forgetting to subtract the final \(\sqrt{3}\). Exam tip: extract perfect-square factors first, then combine like surds by adding or subtracting their coefficients.
यहाँ \(5\) एक अशून्य परिमेय संख्या है और \(\sqrt{x}\) अपरिमेय है। अशून्य परिमेय संख्या का किसी अपरिमेय संख्या से गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। इसलिए \(5\sqrt{x}\) अपरिमेय संख्या है। पूर्णांक और शून्य दोनों परिमेय होते हैं, इसलिए वे सही नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: अपरिमेय संख्या को शून्य से गुणा करने पर ही परिणाम परिमेय हो सकता है। / Here, \(5\) is a non-zero rational number and \(\sqrt{x}\) is irrational. The product of a non-zero rational number and an irrational number is always irrational. Therefore, \(5\sqrt{x}\) is an irrational number. An integer and zero are both rational, so they cannot be the result here. Exam tip: Multiplication by zero is the exception that can make the product rational.
C. \(x=a+\sqrt{n}\), जहाँ \(a\) परिमेय है और \(n\) धनात्मक पूर्णांक है जो पूर्ण वर्ग नहीं है/\(x=a+\sqrt{n}\), where \(a\) is rational and \(n\) is a positive integer that is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग न होने पर \(\sqrt n\) अपरिमेय है। यदि \(a+\sqrt n\) परिमेय हो, तो परिमेय \(a\) घटाने पर \(\sqrt n\) परिमेय बनेगा—विरोधाभास। टिप: \(\sqrt{a^2}=|a|\) परिमेय होता है। / For nonsquare \(n\), \(\sqrt n\) is irrational. If \(a+\sqrt n\) were rational, subtracting rational \(a\) would make \(\sqrt n\) rational—a contradiction. Tip: \(\sqrt{a^2}=|a|\) is rational.
\(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) और \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\)। इसलिए \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\), अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले प्रत्येक संख्या में से पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। / \(\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}\) and \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{32}+\sqrt{18}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}\), so option B is correct. Exam tip: Factor out the largest perfect-square factor before adding surds.
B. यह सामान्य रूप से सही नियम नहीं है/It is not a generally true rule
Explanation
Simple Explanation
गैर-ऋणात्मक \(a\) और \(b\) के लिए इस समानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर बायाँ पक्ष \(a+b+2\sqrt{ab}\) तथा दायाँ पक्ष \(a+b\) देता है। अतः दोनों तभी बराबर होंगे जब \(2\sqrt{ab}=0\), अर्थात \(ab=0\)। इसलिए यह कोई सामान्य नियम नहीं है; यह केवल विशेष स्थितियों में सही है। विकल्प D ऐसी ही विशेष स्थिति बताता है, इसलिए उसे सामान्य नियम का उत्तर नहीं माना जा सकता। उदाहरण के लिए, \(\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\), जबकि \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)। परीक्षा टिप: वर्गमूलों के योग को सीधे एक वर्गमूल में न बदलें। / For non-negative \(a\) and \(b\), squaring the two sides gives \(a+b+2\sqrt{ab}\) on the left and \(a+b\) on the right. They are equal only when \(2\sqrt{ab}=0\), that is, when \(ab=0\). Hence, this is not a general rule; it works only in special cases. Option D describes one such special case, so it cannot represent the general conclusion. For example, \(\sqrt{4}+\sqrt{9}=5\), whereas \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\). Exam tip: do not directly combine a sum of square roots into one square root.
क्योंकि \(9<11<15<16\), इसलिए \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\)। दोनों वर्गमूल 3 और 4 के बीच स्थित हैं, और उनके बीच कोई अन्य पूर्ण संख्या नहीं होती। 3, \(\sqrt{11}\) से छोटा तथा 4, \(\sqrt{15}\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: वर्गमूलों की स्थिति ज्ञात करने के लिए निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(9<11<15<16\), we have \(3<\sqrt{11}<\sqrt{15}<4\). Both square roots lie between 3 and 4, and there is no other whole number between these consecutive whole numbers. Thus, 3 is smaller than \(\sqrt{11}\), while 4 is greater than \(\sqrt{15}\). Exam tip: compare with nearby perfect squares to locate square roots quickly.
\(\sqrt{121}=11\), जो परिमेय संख्या है, जबकि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है। अतः \(\sqrt{121}+\sqrt{2}=11+\sqrt{2}\) अपरिमेय संख्या है। पूर्णांक तथा प्राकृतिक संख्या परिमेय होती हैं, इसलिए विकल्प C और D सही नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, परन्तु \(2\) पूर्ण वर्ग नहीं है। / \(\sqrt{121}=11\), which is rational, while \(\sqrt{2}\) is irrational. The sum of a rational number and an irrational number is always irrational. Hence, \(\sqrt{121}+\sqrt{2}=11+\sqrt{2}\) is irrational. Integers and natural numbers are rational, so options C and D cannot be correct. Exam tip: the square root of a perfect square is an integer, but \(2\) is not a perfect square.
