A relation is reflexive when every \(a \in A\) has ((a,a)) in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) and ((2,2)) are present but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
In exams, check diagonal pairs first. चरण 1: स्ववाची संबंध में हर \(a \in A\) के लिए ((a,a)) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ ((1,1)) और ((2,2)) हैं लेकिन ((3,3)) नहीं है। चरण 3: परीक्षा में पहले विकर्ण युग्म जाँचें।
With (4) elements, there are \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The (4) diagonal pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
Use \(2^{n^2-n}\) for quick counting. चरण 1: (4) अवयवों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। चरण 2: स्ववाची होने के लिए (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: संख्या \(2^{n^2-n}\) से जल्दी मिलती है।
There are \(5^2=25\) total pairs and (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, and exactly (3) must be chosen.
Step 3
Exam Tip
Separate compulsory and optional pairs before counting. चरण 1: कुल युग्म \(5^2=25\) हैं और (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: विकर्ण के बाहर (25-5=20) युग्म हैं, जिनमें से ठीक (3) चुनने हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले अनिवार्य और वैकल्पिक युग्म अलग करें।
C. जिसमें ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s)) सभी हैं/Contains all ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s))
Step 1
Concept
In a reflexive relation, each element of the set must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For (A), all four diagonal pairs are required.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not matter, but all diagonal pairs must be present. चरण 1: स्ववाची संबंध में समुच्चय के हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: (A) के लिए चारों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। चरण 3: अतिरिक्त युग्म होने या न होने से फर्क नहीं पड़ता, विकर्ण पूरे होने चाहिए।
तीन अवयवों वाले समुच्चय पर किसी संबंध का आव्यूह \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\) है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कितनी प्रविष्टियाँ बदलनी होंगी?
To check reflexivity from a matrix, look at the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
The diagonal entries are (1,0,1), so the middle entry must be changed to (1).
Step 3
Exam Tip
Only the missing diagonal entry needs correction. चरण 1: आव्यूह से स्ववाची संबंध जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण देखें। चरण 2: विकर्ण प्रविष्टियाँ (1,0,1) हैं, इसलिए बीच वाली प्रविष्टि को (1) करना होगा। चरण 3: केवल विकर्ण की कमी बदलना पर्याप्त है।
A. \(R \cap S\) हमेशा स्ववाची होगा/\(R \cap S\) is always reflexive
Step 1
Concept
Every ((a,a)) is present in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
A pair common to both remains in \(R \cap S\), so all diagonal pairs remain.
Step 3
Exam Tip
The intersection of reflexive relations is reflexive. चरण 1: (R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो युग्म दोनों में होगा, वह \(R \cap S\) में भी होगा, इसलिए सभी विकर्ण युग्म बने रहेंगे। चरण 3: स्ववाची संबंधों का प्रतिच्छेद भी स्ववाची होता है।
A. \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा/\(R^{-1}\) is always reflexive
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, every \((a,a) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Diagonal pairs remain unchanged in the inverse relation. चरण 1: स्ववाची होने से हर \((a,a) \in R\) है। चरण 2: उल्टे संबंध में ((a,a)) का उल्टा भी ((a,a)) ही रहता है। चरण 3: उल्टा संबंध बनाते समय विकर्ण युग्म नहीं बदलते।
\(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R \cup \Delta_A\) keeps the old pairs and adds any missing diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
This gives the smallest reflexive closure. चरण 1: \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: \(R \cup \Delta_A\) में पुराने युग्म भी रहते हैं और छूटे हुए विकर्ण युग्म भी आ जाते हैं। चरण 3: स्ववाची आवरण के लिए यही सबसे छोटा सुरक्षित तरीका है।
C. (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है/(R) is reflexive because every (a+a) is even
Step 1
Concept
To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
For every (a), (a+a=2a) is even, so \((a,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
In such questions, put (b=a) first. चरण 1: स्ववाची जाँच में ((a,a)) देखें। चरण 2: हर (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए \((a,a) \in R\) है। चरण 3: इस प्रकार के प्रश्नों में (b=a) रखकर देखें।
B. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है/Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
For reflexivity, every ((a,a)) must belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.
Step 3
Exam Tip
In divisibility-type relations, the diagonal difference is always (0). चरण 1: स्ववाची होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। चरण 2: (a-a=0) होता है और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। चरण 3: विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा (0) होता है।
C. (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है/(R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
Step 1
Concept
Put (a=b) for diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Then (a+b=2a), which is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
If required diagonal pairs are missing, the relation is not reflexive. चरण 1: विकर्ण युग्म के लिए (a=b) रखें। चरण 2: तब (a+b=2a) होगा, जो हमेशा सम है, विषम नहीं। चरण 3: यदि एक भी आवश्यक विकर्ण युग्म न मिले, संबंध स्ववाची नहीं होता।
A. क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है/Because every \(a \le a\) is true
Step 1
Concept
Reflexivity checks whether each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For every number, \(a \le a\) is true, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
Be careful about the difference between (<) and \(\le\). चरण 1: स्ववाची जाँच में अपने साथ संबंध देखना होता है। चरण 2: किसी भी संख्या के लिए \(a \le a\) सत्य है, इसलिए ((a,a)) हमेशा शामिल होगा। चरण 3: (<) और \(\le\) में अंतर ध्यान से देखें।
A. क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता/Because (a<a) is never true
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The condition (a<a) is false for every (a), so no diagonal pair appears.
Step 3
Exam Tip
Strict inequality relations are usually not reflexive. चरण 1: स्ववाची होने के लिए ((a,a)) चाहिए। चरण 2: शर्त (a<a) किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं होती, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। चरण 3: कड़े असमिका वाले संबंध अक्सर स्ववाची नहीं होते।
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है/Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
Remember the difference between subset and proper subset. चरण 1: (P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। चरण 2: हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। चरण 3: उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें।
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है/It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully. चरण 1: उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। चरण 2: कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। चरण 3: \(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें।
A. स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है/Reflexive because (a) divides itself
Step 1
Concept
For reflexivity, check each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
Every non-zero number divides itself, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
Missing non-diagonal pairs do not affect reflexivity. चरण 1: स्ववाची के लिए हर ((a,a)) देखना है। चरण 2: कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए ((a,a)) शामिल होगा। चरण 3: अन्य युग्मों की कमी स्ववाचीता को नहीं रोकती।
C. नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं/No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(1,1)=1), but (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3).
Step 3
Exam Tip
If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive. चरण 1: स्ववाची के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों चाहिए। चरण 2: (\gcd(1,1)=1) है, पर (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं। चरण 3: एक भी विकर्ण युग्म छूटे तो संबंध स्ववाची नहीं रहता।
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है/Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes \(a^2=a^2\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity only needs each element to be related to itself. चरण 1: विकर्ण पर (b=a) रखें। चरण 2: तब शर्त \(a^2=a^2\) बनती है, जो हमेशा सत्य है। चरण 3: स्ववाचीता के लिए केवल अपने साथ संबंध की जाँच जरूरी है।
C. नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं/No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
Step 1
Concept
Reflexivity requires every diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((0,0)) satisfies the condition, but ((-1,-1)) and ((1,1)) do not.
Step 3
Exam Tip
Having only some diagonal pairs is not enough. चरण 1: स्ववाचीता के लिए हर विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: ((0,0)) शर्त पूरी करता है, लेकिन ((-1,-1)) और ((1,1)) शर्त पूरी नहीं करते। चरण 3: केवल कुछ विकर्ण युग्म होना पर्याप्त नहीं है।
A. स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\)/Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
Step 1
Concept
Check the condition for each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), and \(0\le 2\) is true.
Step 3
Exam Tip
Far non-diagonal pairs do not affect reflexivity. चरण 1: हर (a) के लिए ((a,a)) की शर्त देखें। चरण 2: (|a-a|=0) होता है और \(0\le 2\) सत्य है। चरण 3: दूर वाले अलग-अलग युग्म स्ववाचीता को प्रभावित नहीं करते।
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है/Not reflexive because (|a-a|=0)
Step 1
Concept
In a diagonal pair, both entries are the same.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (|a-a|=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
Conditions like (>0) often remove self-related pairs. चरण 1: विकर्ण युग्म में दोनों अवयव समान होते हैं। चरण 2: इसलिए (|a-a|=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। चरण 3: (>0) जैसी शर्तें अक्सर अपने साथ संबंध को हटा देती हैं।
A. (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है/(R) is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
Reflexivity says every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The empty set has no element, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
Remember this as a vacuous truth. चरण 1: स्ववाचीता कहती है कि हर अवयव अपने से संबंधित हो। चरण 2: रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। चरण 3: इसे रिक्त सत्यता के रूप में याद रखें।
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है/Not reflexive because no ((a,a)) is present
Step 1
Concept
A non-empty (A) has at least one element (a).
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
Distinguish an empty set from an empty relation on a non-empty set. चरण 1: अरिक्त (A) में कम से कम एक अवयव (a) होगा। चरण 2: स्ववाचीता के लिए ((a,a)) चाहिए, लेकिन रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। चरण 3: रिक्त समुच्चय और रिक्त संबंध में अंतर समझें।
\(A \times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every ((a,a)) is definitely included.
Step 3
Exam Tip
The universal relation automatically satisfies reflexivity. चरण 1: \(A \times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: इसलिए हर ((a,a)) भी उसमें अवश्य होगा। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध स्ववाचीता की शर्त अपने आप पूरी करता है।
C. वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा/It is not reflexive because no diagonal pair remains
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
In the complement \(A \times A-R\), those diagonal pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, missing diagonal pairs destroy reflexivity. चरण 1: (R) स्ववाची है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। चरण 2: पूरक \(A \times A-R\) में वे विकर्ण युग्म हट जाते हैं। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर विकर्ण न होने से स्ववाचीता टूट जाती है।
A. \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा/\(R \cup S\) is always reflexive
Step 1
Concept
All diagonal pairs are already present in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Taking a union does not remove pairs from (R); it only adds pairs from (S).
Step 3
Exam Tip
A union with a reflexive relation remains reflexive. चरण 1: (R) में सभी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। चरण 2: संघ करने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि (S) के युग्म जुड़ते हैं। चरण 3: स्ववाची संबंध के साथ संघ स्ववाचीता को बनाए रखता है।
A. \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा/\(S \circ R\) is always reflexive
Step 1
Concept
For every \(a \in A\), \((a,a) \in R\) and \((a,a) \in S\).
Step 2
Why this answer is correct
In the composition, choose the middle element as (a), so \((a,a) \in S \circ R\).
Step 3
Exam Tip
The composition of reflexive relations is reflexive. चरण 1: किसी भी \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) और \((a,a) \in S\) है। चरण 2: संयोजन में बीच का अवयव (a) ही चुन सकते हैं, इसलिए \((a,a) \in S \circ R\) होगा। चरण 3: स्ववाची संबंधों का संयोजन भी स्ववाची होता है।
Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
Thus the restricted relation is reflexive on (B). चरण 1: (B) का हर अवयव (A) में भी है। चरण 2: (R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। चरण 3: इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा।
B. (S) स्ववाची हो भी सकता है और नहीं भी/(S) may or may not be reflexive
Step 1
Concept
Since \(S\subseteq R\), some pairs of (R) may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
If any required ((a,a)) is removed, (S) is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Reflexivity is not automatically preserved in subrelations. चरण 1: (S) (R) का उपसमुच्चय है, इसलिए इसमें (R) के कुछ युग्म हट सकते हैं। चरण 2: यदि किसी आवश्यक ((a,a)) को हटा दिया गया, तो (S) स्ववाची नहीं रहेगा। चरण 3: उपसंबंध में स्ववाचीता अपने आप सुरक्षित नहीं रहती।
D. तत्समक संबंध \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)/Identity relation \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)
Step 1
Concept
Reflexivity requires all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The smallest relation keeps only those compulsory pairs and no extra pair.
Step 3
Exam Tip
Therefore the identity relation is the smallest reflexive relation. चरण 1: स्ववाचीता के लिए सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: सबसे छोटे संबंध में केवल वही अनिवार्य युग्म रखे जाते हैं, कोई अतिरिक्त युग्म नहीं। चरण 3: इसलिए तत्समक संबंध सबसे छोटा स्ववाची संबंध है।
With (3) elements, there are (9) pairs, and (3) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
Among the (6) non-diagonal pairs, ((1,2)) and ((2,3)) are also fixed.
Step 3
Exam Tip
The remaining (4) pairs are optional, so the count is \(2^4=16\). चरण 1: (3) अवयवों पर कुल (9) युग्म हैं, जिनमें (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: विकर्ण के बाहर (6) युग्म हैं, पर ((1,2)) और ((2,3)) पहले से अनिवार्य कर दिए गए हैं। चरण 3: बाकी (4) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है।
Symmetry makes each unordered off-diagonal pair either included both ways or excluded both ways.
Step 3
Exam Tip
There are \({4 \choose 2}=6\) such pairs, so the count is \(2^6=64\). चरण 1: स्ववाचीता से (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: सममिति में हर अविकर्ण जोड़ी ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ चुनी जाती है या छोड़ी जाती है। चरण 3: ऐसी \({4 \choose 2}=6\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(2^6=64\) है।
For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: no direction, one direction, or the opposite direction.
Step 3
Exam Tip
Since there are \({3 \choose 2}=3\) such pairs, the count is \(3^3=27\). चरण 1: स्ववाचीता से (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं। चरण 2: हर अलग अवयवों की जोड़ी के लिए तीन विकल्प हैं: कोई दिशा नहीं, पहली दिशा, या उल्टी दिशा। चरण 3: \({3 \choose 2}=3\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(3^3=27\) है।
D. \(\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix}\)
Step 1
Concept
For reflexivity in a matrix, all main diagonal entries must be (1).
Step 2
Why this answer is correct
Only the fourth matrix has diagonal entries (1,1,1).
Step 3
Exam Tip
Other entries do not affect the decision of reflexivity. चरण 1: आव्यूह में स्ववाचीता के लिए मुख्य विकर्ण की सभी प्रविष्टियाँ (1) होनी चाहिए। चरण 2: दिए गए विकल्पों में केवल चौथे आव्यूह का विकर्ण (1,1,1) है। चरण 3: बाकी प्रविष्टियाँ स्ववाचीता के निर्णय में बाधा नहीं बनतीं।
C. स्ववाची है क्योंकि मुख्य विकर्ण की सभी प्रविष्टियाँ (1) हैं/Reflexive because all main diagonal entries are (1)
Step 1
Concept
Reflexivity depends only on the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
Here the main diagonal is (1,1,1).
Step 3
Exam Tip
Symmetry is a separate property and is not required for reflexivity. चरण 1: स्ववाचीता के लिए केवल मुख्य विकर्ण जरूरी है। चरण 2: इस आव्यूह में मुख्य विकर्ण (1,1,1) है। चरण 3: सममित होना स्ववाचीता की अलग शर्त नहीं है।
Reflexivity requires every main diagonal entry to be (1).
Step 2
Why this answer is correct
If one diagonal entry is (0), one ((a,a)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Having many off-diagonal pairs does not make a relation reflexive. चरण 1: स्ववाचीता में हर मुख्य विकर्ण प्रविष्टि (1) चाहिए। चरण 2: एक भी विकर्ण प्रविष्टि (0) होने से कोई ((a,a)) छूट गया। चरण 3: बहुत सारे अविकर्ण युग्म होने से स्ववाचीता पूरी नहीं होती।
B. हर तुल्यता संबंध स्ववाची होता है/Every equivalence relation is reflexive
Step 1
Concept
An equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore every equivalence relation is necessarily reflexive.
Step 3
Exam Tip
But a merely reflexive relation need not be an equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध के लिए स्ववाची, सममित और संक्रामी तीनों गुण चाहिए। चरण 2: इसलिए हर तुल्यता संबंध स्ववाची अवश्य होगा। चरण 3: लेकिन केवल स्ववाची होने से संबंध तुल्यता नहीं बन जाता।
For every (x), (f(x)=f(x)) is true, so \((x,x) \in R\).
Step 3
Exam Tip
The function need not be one-one for this property. चरण 1: स्ववाची जाँच में (x=y) रखें। चरण 2: हर (x) के लिए (f(x)=f(x)) सत्य है, इसलिए \((x,x) \in R\) होगा। चरण 3: फलन का एकैकी होना यहाँ जरूरी नहीं है।
C. स्ववाची नहीं है क्योंकि (f(x)<f(x)) असत्य है/Not reflexive because (f(x)<f(x)) is false
Step 1
Concept
For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes (f(x)<f(x)), which is never true.
Step 3
Exam Tip
Relations defined by strict inequality are not reflexive. चरण 1: अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। चरण 2: शर्त (f(x)<f(x)) बनेगी, जो कभी सत्य नहीं होती। चरण 3: कड़ी असमिका से बने संबंधों में स्ववाचीता नहीं मिलती।
The function need not be increasing or decreasing for this. चरण 1: स्ववाचीता के लिए (x=y) रखें। चरण 2: (f(x)\le f(x)) हर (x) के लिए सत्य है। चरण 3: यहाँ फलन का बढ़ना या घटना जरूरी नहीं है।
B. स्ववाची है क्योंकि \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)/Reflexive because \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
On the diagonal, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
(x-x=0), and (0) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Even on real numbers, the self-difference is always (0). चरण 1: विकर्ण पर (y=x) रखें। चरण 2: (x-x=0) और (0) पूर्णांक है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं पर भी अपने साथ अंतर (0) ही रहता है।
A. हाँ, क्योंकि (x<x+1) हर (x) के लिए सत्य है/Yes, because (x<x+1) is true for every (x)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes (x<x+1), which is true for every real (x).
Step 3
Exam Tip
Substitute carefully instead of assuming it becomes (x<x). चरण 1: स्ववाचीता में (y=x) रखना होता है। चरण 2: शर्त (x<x+1) बनती है, जो हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। चरण 3: शर्त को सही ढंग से बदलकर देखें, केवल (x<x) न मान लें।
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-x=0) है/Not reflexive because (x-x=0)
Step 1
Concept
For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
Then (x-y=x-x=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
A positive-difference condition prevents reflexivity. चरण 1: अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। चरण 2: तब (x-y=x-x=0) होगा, जो (0) से बड़ा नहीं है। चरण 3: धनात्मक अंतर वाली शर्त स्ववाचीता को रोकती है।
A. स्ववाची है क्योंकि \(a \equiv a \pmod{3}\)/Reflexive because \(a \equiv a \pmod{3}\)
Step 1
Concept
Compare each element with itself in congruence.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0), and (0) is divisible by (3), so \(a \equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
Congruence relations are generally reflexive. चरण 1: सर्वांगसमता में अपने साथ तुलना करें। चरण 2: (a-a=0) और (0) (3) से विभाज्य है, इसलिए \(a \equiv a \pmod{3}\) है। चरण 3: सर्वांगसमता वाले संबंध सामान्यतः स्ववाची होते हैं।
(0+0=0) is divisible by (3), but (1+1=2) and (2+2=4) are not.
Step 3
Exam Tip
Therefore ((1,1)) and ((2,2)) must be added. चरण 1: विकर्ण युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) जाँचें। चरण 2: (0+0=0) विभाज्य है, पर (1+1=2) और (2+2=4) (3) से विभाज्य नहीं हैं। चरण 3: इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) जोड़ने होंगे।
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें/Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
For union questions, check the combined diagonal list. चरण 1: प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। चरण 2: संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। चरण 3: संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें।
Each \(R_i\) is reflexive, so every ((a,a)) belongs to every \(R_i\).
Step 2
Why this answer is correct
A pair present in all relations remains in their intersection.
Step 3
Exam Tip
This works for both finite and infinite families. चरण 1: हर \(R_i\) स्ववाची है, इसलिए हर ((a,a)) सभी \(R_i\) में है। चरण 2: जो युग्म सभी संबंधों में है, वह उनके प्रतिच्छेद में भी रहेगा। चरण 3: यह बात सीमित और असीम दोनों परिवारों के लिए सही है।
To be non-reflexive, at least one diagonal pair must be missing.
Step 3
Exam Tip
The remaining (15) pairs can be present, and the relation will still not be reflexive. चरण 1: चार अवयवों पर कुल \(4^2=16\) युग्म हैं। चरण 2: स्ववाची न होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म गायब होना चाहिए। चरण 3: बाकी सभी (15) युग्म रखे जा सकते हैं, फिर भी संबंध स्ववाची नहीं होगा।
A reflexive relation must contain one diagonal pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
For (n) elements, there are (n) such diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
In the minimum case, only these (n) pairs are included. चरण 1: स्ववाची संबंध में हर अवयव के लिए एक विकर्ण युग्म अनिवार्य है। चरण 2: (n) अवयवों के लिए ऐसे (n) विकर्ण युग्म होंगे। चरण 3: न्यूनतम स्थिति में केवल ये (n) युग्म रखे जाते हैं।
(R) is reflexive exactly when all these diagonal pairs are included in (R).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\Delta_A \subseteq R\) is the concise equivalent condition for reflexivity. चरण 1: \(\Delta_A\) में सभी ((a,a)) विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: (R) स्ववाची तभी है जब ये सभी विकर्ण युग्म (R) में शामिल हों। चरण 3: इसलिए \(\Delta_A \subseteq R\) स्ववाचीता की छोटी और सटीक शर्त है।
