A. हाँ क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है/Yes because \((a,a) \in R\) for every \(a \in A\)
Step 1
Concept
A relation is reflexive if ((a,a)) is present for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (a+a=2a), which is always even, so every required diagonal pair is in (R).
Step 3
Exam Tip
In exams, check diagonal pairs first. चरण 1: परावर्ती होने के लिए हर \(a \in A\) पर ((a,a)) होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (a+a=2a) हमेशा सम होता है इसलिए \((a,a) \in R\) हर तत्व के लिए है। चरण 3: परीक्षा में पहले केवल विकर्ण युग्मों की जाँच करें।
A reflexive relation must contain ((a,a)) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
Since (a-a=0), and (0) is not odd, no diagonal pair belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
For conditions involving (a-b), put (a=b) first. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। चरण 2: (a-a=0) होता है और (0) विषम नहीं है इसलिए कोई भी ((a,a)) इस संबंध में नहीं आएगा। चरण 3: जब शर्त में (a-b) हो तो (a=b) रखकर तुरंत जाँच करें।
Every number divides itself, so all these diagonal pairs already belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
When minimum additions are asked, first check the existing diagonal pairs. चरण 1: परावर्ती होने के लिए ((2,2),(3,3),(5,5),(7,7)) चाहिए। चरण 2: हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है इसलिए ये चारों युग्म पहले से संबंध में हैं। चरण 3: न्यूनतम जोड़ पूछे तो पहले देखें कि विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं या नहीं।
So no diagonal pair is present, and all four diagonal pairs must be added.
Step 3
Exam Tip
To make a relation reflexive, only missing diagonal pairs are compulsory. चरण 1: (a<b) में कभी (a=a) नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए संबंध में कोई भी ((a,a)) नहीं है और चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। चरण 3: परावर्ती बनाने में केवल विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं।
The required diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The relation already has ((1,1)) and ((2,2)), but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Do not get distracted by other pairs; check only ((a,a)) pairs. चरण 1: (A) के लिए जरूरी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं लेकिन ((3,3)) नहीं है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में बाकी युग्मों से भ्रमित न हों, केवल ((a,a)) देखें।
A. हाँ क्योंकि \(a+a\geq 2a\) हर (a) के लिए सत्य है/Yes because \(a+a\geq 2a\) is true for every (a)
Step 1
Concept
For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
The condition becomes \(a+a\geq 2a\), or \(2a\geq 2a\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
In inequality relations, carefully test the equality case. चरण 1: परावर्ती जाँच में (b=a) रखिए। चरण 2: तब शर्त \(a+a\geq 2a\) बनती है, अर्थात \(2a\geq 2a\), जो हमेशा सत्य है। चरण 3: असमानता वाले संबंधों में बराबरी की स्थिति ध्यान से देखें।
Since (0<1) is true, every diagonal pair is in the relation.
Step 3
Exam Tip
In modulus-based relations, equal elements usually make the expression (0). चरण 1: ((a,a)) के लिए (|a-a|=0) होता है। चरण 2: (0<1) सत्य है इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। चरण 3: मापांक वाले प्रश्न में समान तत्व रखने पर मान प्रायः (0) आता है।
A. परावर्ती है और केवल विकर्ण युग्म रखता है/Reflexive and contains only diagonal pairs
Step 1
Concept
\(|a-b|\leq 0\) is possible only when (|a-b|=0).
Step 2
Why this answer is correct
This means (a=b), so all and only diagonal pairs occur.
Step 3
Exam Tip
A modulus condition with \(\leq 0\) is essentially an equality condition. चरण 1: \(|a-b|\leq 0\) तभी संभव है जब (|a-b|=0)। चरण 2: इसका अर्थ (a=b) है, इसलिए सारे और केवल विकर्ण युग्म मिलते हैं। चरण 3: \(\leq 0\) वाली मापांक शर्त को बराबरी की शर्त समझें।
The condition becomes \(a^2=a^2\), true for every \(a \in A\).
Step 3
Exam Tip
If substituting equal entries makes both sides identical, the relation is reflexive. चरण 1: परावर्ती जाँच में ((a,a)) रखें। चरण 2: तब \(a^2=a^2\) मिलेगा, जो हर \(a \in A\) के लिए सत्य है। चरण 3: समानता वाली शर्त में दोनों ओर समान अभिव्यक्ति बने तो संबंध परावर्ती होता है।
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) है/Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
Reflexivity does not require only (a=b) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Each self-pair ((a,a)) satisfies \(a^2=a^2\).
Step 3
Exam Tip
Extra pairs may exist, but no diagonal pair may be missing. चरण 1: परावर्तीता के लिए यह जरूरी नहीं कि केवल (a=b) वाले युग्म हों। चरण 2: हर तत्व के साथ उसका अपना युग्म ((a,a)) शर्त \(a^2=a^2\) पूरी करता है। चरण 3: अतिरिक्त युग्म हो सकते हैं, पर विकर्ण युग्म छूटने नहीं चाहिए।
In strict inequalities, diagonal pairs often fail. चरण 1: ((a,a)) रखने पर शर्त (a+a>2a) बनती है। चरण 2: यह (2a>2a) है, जो कभी सत्य नहीं होता। चरण 3: कड़ी असमानता में बराबरी वाला युग्म अक्सर असफल होता है।
A. क्योंकि \(a\leq a\) हर (a) के लिए सत्य है/Because \(a\leq a\) is true for every (a)
Step 1
Concept
Reflexivity needs every element to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
The symbol \(\leq\) allows equality, so \(a\leq a\) is true.
Step 3
Exam Tip
The difference between \(\leq\) and (<) is very important in exams. चरण 1: परावर्तीता में हर तत्व का अपने आप से संबंध होना चाहिए। चरण 2: \(\leq\) में बराबरी स्वीकार होती है, इसलिए \(a\leq a\) सत्य है। चरण 3: \(\leq\) और (<) का अंतर परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है।
Since (A) has 4 elements, four diagonal pairs must be added.
Step 3
Exam Tip
If a relation contains unequal pairs, add all equal self-pairs for reflexivity. चरण 1: \(a\neq b\) में ((a,a)) कभी शामिल नहीं होगा। चरण 2: (A) में 4 तत्व हैं, इसलिए चार विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) जोड़ने होंगे। चरण 3: यदि संबंध सभी असमान युग्म रखता है तो परावर्ती बनाने के लिए सभी समान युग्म जोड़ें।
A. हर (a) के लिए (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है/For every (a), (a+a=2a), which is divisible by (2)
Step 1
Concept
To test reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a), which is divisible by (2) for every integer (a).
Step 3
Exam Tip
Both even and odd numbers give an even sum with themselves. चरण 1: परावर्तीता में (b=a) रखकर देखें। चरण 2: (a+a=2a) हर पूर्णांक (a) के लिए (2) से विभाज्य है। चरण 3: सम और विषम दोनों का स्वयं से योग सम होता है।
B. (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि \((1,1)\notin R\)/(R) is not reflexive because \((1,1)\notin R\)
Step 1
Concept
Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,1)), (1+1=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive. चरण 1: परावर्तीता में सभी ((a,a)) चाहिए। चरण 2: ((1,1)) के लिए (1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। चरण 3: एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध परावर्ती नहीं होता।
For ((a,a)), (a+a=2a), and if (a) is divisible by (3), then (2a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Always connect the nature of the set with the condition. चरण 1: (A) का हर तत्व (3) से विभाज्य है। चरण 2: ((a,a)) के लिए (a+a=2a), और (a) यदि (3) से विभाज्य है तो (2a) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: समुच्चय की प्रकृति शर्त के साथ मिलाकर देखें।
Therefore \(a \equiv a \pmod{2}\) is true for every (a), so all diagonal pairs are present.
Step 3
Exam Tip
Congruence-based equality relations are usually reflexive. चरण 1: हर संख्या का स्वयं से शेष समान होता है। चरण 2: इसलिए हर (a) के लिए \(a \equiv a \pmod{2}\) सत्य है और ((a,a)) संबंध में है। चरण 3: समानता वाले अवशेष संबंध सामान्यतः परावर्ती होते हैं।
The condition becomes \(a \equiv a+1 \pmod{2}\), which means \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), false.
Step 3
Exam Tip
Such shifted congruence conditions often fail for self-pairs. चरण 1: परावर्ती जाँच के लिए (b=a) रखें। चरण 2: शर्त \(a \equiv a+1 \pmod{2}\) बनेगी, जिसका अर्थ है \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), यह असत्य है। चरण 3: ऐसी शर्त में स्वयं से संबंध अक्सर नहीं बनता।
A. क्योंकि (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है/Because (a-a=0), which is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a \equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
For ((a,a)), (a-a=0), and (0) is divisible by every positive integer.
Step 3
Exam Tip
In congruence relations, self-comparison is always true. चरण 1: \(a \equiv b \pmod{3}\) का अर्थ (a-b) का (3) से विभाज्य होना है। चरण 2: ((a,a)) पर (a-a=0), और (0) हर धन पूर्णांक से विभाज्य माना जाता है। चरण 3: अवशेष संबंध में स्वयं से तुलना हमेशा सत्य होती है।
B. नहीं क्योंकि ((3,3)) और ((4,4)) नहीं हैं/No because ((3,3)) and ((4,4)) are missing
Step 1
Concept
Check the condition on all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For ((3,3)), \(6\leq 5\) is false, and for ((4,4)), \(8\leq 5\) is false.
Step 3
Exam Tip
Some diagonal pairs are not enough; all must be present. चरण 1: सभी विकर्ण युग्मों पर शर्त जाँचें। चरण 2: ((3,3)) के लिए \(6\leq 5\) असत्य है और ((4,4)) के लिए \(8\leq 5\) असत्य है। चरण 3: कुछ विकर्ण युग्म मिलना काफी नहीं, सभी मिलने चाहिए।
Their sums are (2,4,6), all less than or equal to (6).
Step 3
Exam Tip
In bounded sum conditions, check the largest element with itself. चरण 1: (A) के विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। चरण 2: इनके योग क्रमशः (2,4,6) हैं और सभी (6) से कम या बराबर हैं। चरण 3: सीमा वाली शर्त में सबसे बड़े तत्व का स्वयं से योग जरूर जाँचें।
B. नहीं क्योंकि \((1,1)\notin R\)/No because \((1,1)\notin R\)
Step 1
Concept
Reflexivity requires even the smallest element to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,1)), (1+1=2), which is less than (4).
Step 3
Exam Tip
One failed diagonal pair makes the relation non-reflexive. चरण 1: परावर्ती होने के लिए सबसे छोटे तत्व का भी स्वयं से संबंध चाहिए। चरण 2: ((1,1)) के लिए (1+1=2), जो (4) से कम है। चरण 3: एक असफल विकर्ण युग्म पूरा संबंध अपारावर्ती बना देता है।
The smallest element is (2), and (2+2=4), so all larger elements also satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
In such questions, the smallest diagonal pair can decide reflexivity. चरण 1: ((a,a)) के लिए (a+a=2a) होगा। चरण 2: (A) का सबसे छोटा तत्व (2) है और (2+2=4), इसलिए बाकी सभी के लिए भी शर्त पूरी होगी। चरण 3: ऐसे प्रश्न में सबसे छोटे तत्व का विकर्ण युग्म निर्णायक हो सकता है।
The condition becomes \(a^2\geq a^2\), true for every (a).
Step 3
Exam Tip
If equality is allowed in an inequality, diagonal pairs often satisfy it. चरण 1: ((a,a)) रखने पर \(ab=a^2\) हो जाता है। चरण 2: शर्त \(a^2\geq a^2\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। चरण 3: जब असमानता में बराबरी संभव हो, तो विकर्ण युग्म छूटते नहीं हैं।
The condition becomes \(a^2>a^2\), which is never true.
Step 3
Exam Tip
A strict (>) comparison with itself fails. चरण 1: परावर्ती जाँच में (b=a) रखें। चरण 2: तब शर्त \(a^2>a^2\) बनती है, जो कभी सत्य नहीं है। चरण 3: कड़े (>) में अपने-आप से तुलना असफल हो सकती है।
This is \(2a^2\geq 2a^2\), true for every element.
Step 3
Exam Tip
Also, (a-2+b-2-2ab=(a-b)2), which is never negative. चरण 1: ((a,a)) रखने पर \(a^2+a^2\geq 2a^2\) बनता है। चरण 2: यह \(2a^2\geq 2a^2\) है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। चरण 3: पहचान (a-2+b-2-2ab=(a-b)2) भी बताती है कि शर्त कभी ऋणात्मक नहीं होती।
((a-b)2>0) means \(a\neq b\), so the relation is not reflexive. चरण 1: ((a,a)) के लिए ((a-a)2=0) होता है। चरण 2: (0>0) असत्य है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। चरण 3: ((a-b)2>0) का अर्थ है \(a\neq b\), इसलिए यह परावर्ती नहीं है।
For ((a,a)), the value is (0), and \(0\geq 0\) is true.
Step 3
Exam Tip
In relations involving non-negative squares, check diagonal pairs carefully. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: ((a,a)) पर मान (0) आता है, और \(0\geq 0\) सत्य है। चरण 3: वर्ग की गैर-ऋणात्मकता से जुड़े संबंधों में विकर्ण युग्म अवश्य जाँचें।
Since every \(a \in A\) is non-zero, \(\frac{a}{a}=1\) is true.
Step 3
Exam Tip
In fraction-based relations, also check that the denominator is not zero. चरण 1: परावर्ती जाँच में (b=a) रखें। चरण 2: हर \(a \in A\) शून्य नहीं है, इसलिए \(\frac{a}{a}=1\) सत्य है। चरण 3: भिन्न वाले संबंधों में हर तत्व के शून्य न होने की बात भी देखें।
B. नहीं क्योंकि ((0,0)) परिभाषित नहीं है/No because ((0,0)) is not defined
Step 1
Concept
Reflexivity needs ((0,0)), ((1,1)), and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{0}{0}\) is undefined, so ((0,0)) cannot belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
With sets containing zero, read division conditions carefully. चरण 1: परावर्तीता के लिए ((0,0)), ((1,1)), ((2,2)) सभी चाहिए। चरण 2: \(\frac{0}{0}\) परिभाषित नहीं है, इसलिए ((0,0)) संबंध में नहीं आ सकता। चरण 3: शून्य वाले समुच्चय में विभाजन शर्त को सावधानी से पढ़ें।
A. क्योंकि हर (a) अपने-आप को विभाजित करता है/Because every (a) divides itself
Step 1
Concept
Test the condition on ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
For every (a), both \(a\mid a\) and \(a\mid a\) are true.
Step 3
Exam Tip
A number divides itself, provided it is non-zero. चरण 1: परावर्तीता में ((a,a)) पर शर्त जाँचें। चरण 2: हर (a) के लिए \(a\mid a\) और \(a\mid a\) दोनों सत्य हैं। चरण 3: विभाज्यता में स्वयं से विभाजन हमेशा वैध होता है, यदि \(a\neq 0\) हो।
Since (1) is an integer, every diagonal pair is included.
Step 3
Exam Tip
In quotient conditions, dividing a non-zero element by itself gives (1). चरण 1: ((a,a)) रखने पर \(\frac{a}{a}=1\) मिलता है। चरण 2: (1) पूर्णांक है, इसलिए हर विकर्ण युग्म शामिल है। चरण 3: भागफल वाले प्रश्न में स्वयं से भाग देने पर (1) आता है, यदि हर तत्व शून्य न हो।
A. क्योंकि हर संख्या की सम-विषम प्रकृति स्वयं जैसी होती है/Because every number has the same parity as itself
Step 1
Concept
In ((a,a)), both entries are the same number.
Step 2
Why this answer is correct
A number has the same parity as itself, so every diagonal pair belongs.
Step 3
Exam Tip
Relations based on the same property are usually reflexive. चरण 1: ((a,a)) में दोनों स्थानों पर वही संख्या है। चरण 2: कोई संख्या स्वयं के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती है, इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। चरण 3: समान गुण पर आधारित संबंध में स्वयं से तुलना प्रायः सत्य होती है।
A number cannot have parity opposite to itself, so no diagonal pair belongs.
Step 3
Exam Tip
Relations based on opposite properties are not reflexive. चरण 1: ((a,a)) में दोनों संख्याएँ एक ही होती हैं। चरण 2: एक संख्या स्वयं के विपरीत सम-विषम प्रकृति की नहीं हो सकती। इसलिए कोई विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। चरण 3: विपरीत गुण वाले संबंध परावर्ती नहीं होते।
Reflexivity requires the presence of all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((1,1),(2,2),(3,3)) are all present, so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not destroy reflexivity. चरण 1: परावर्तीता के लिए केवल सभी विकर्ण युग्मों की उपस्थिति जरूरी है। चरण 2: यहाँ ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 3: अतिरिक्त युग्म परावर्तीता को खराब नहीं करते।
The relation has ((1,1),(2,2),(3,3)), but not ((4,4)).
Step 3
Exam Tip
For minimum addition, add only the missing diagonal pair. चरण 1: (A) के लिए चार विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, पर ((4,4)) नहीं है। चरण 3: न्यूनतम जोड़ में केवल छूटा हुआ विकर्ण युग्म जोड़ें।
A reflexive relation on an (n)-element set needs all (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here only (n-1) diagonal pairs are present, so one element is not related to itself.
Step 3
Exam Tip
Missing even one diagonal pair destroys reflexivity. चरण 1: (n) तत्वों वाले समुच्चय पर परावर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: यहाँ केवल (n-1) विकर्ण युग्म हैं, मतलब एक तत्व का स्वयं से संबंध नहीं है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म भी छूटे तो परावर्तीता समाप्त हो जाती है।
A reflexive relation must contain one diagonal pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
For 5 elements, the minimum number of required pairs is 5.
Step 3
Exam Tip
For minimum count, count only compulsory diagonal pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए एक विकर्ण युग्म जरूरी है। चरण 2: 5 तत्वों के लिए न्यूनतम युग्म ((a,a)) प्रकार के 5 होंगे। चरण 3: न्यूनतम संख्या पूछी जाए तो केवल अनिवार्य विकर्ण युग्म गिनें।
A reflexive relation must include 4 diagonal pairs, so the remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
If (m) pairs are optional, the number of choices is \(2^m\). चरण 1: कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध में 4 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए शेष (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 3: स्वतंत्र युग्मों की संख्या (m) हो तो संबंधों की संख्या \(2^m\) होती है।
The (n) diagonal pairs are compulsory for reflexivity.
Step 3
Exam Tip
The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\). चरण 1: कुल युग्म \(n^2\) होते हैं। चरण 2: (n) विकर्ण युग्म परावर्तीता के लिए निश्चित रूप से लेने होंगे। चरण 3: शेष \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) होगी।
Non-reflexive relations are (512-64=448). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9=512\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। चरण 3: परावर्ती नहीं संबंध (512-64=448) होंगे।
To have exactly 5 pairs, choose 2 more from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{6}{2}=15\), so none of the listed numerical choices is correct. चरण 1: परावर्तीता के कारण 3 विकर्ण युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए शेष 2 युग्म गैर-विकर्ण 6 युग्मों में से चुनने होंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{6}{2}=15\) नहीं, ध्यान दें विकल्पों में सही गणना होनी चाहिए; यहाँ सही मान 15 होता है।
Since exactly 5 pairs are needed, choose 2 additional pairs from \(3^2-3=6\) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number is \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: 3 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए 2 अतिरिक्त युग्म गैर-विकर्ण \(3^2-3=6\) युग्मों में से चुनेंगे। चरण 3: इसलिए संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है।
To have exactly 6 pairs, choose 2 extra pairs from (16-4=12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number is \(\binom{12}{2}=66\). चरण 1: 4 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 6 युग्म चाहिए, इसलिए 2 अतिरिक्त युग्म गैर-विकर्ण (16-4=12) युग्मों में से चुनेंगे। चरण 3: संख्या \(\binom{12}{2}=66\) होगी।
Reflexivity only requires diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
All other pairs may also be included, so the maximum case is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
A 4-element set has \(4^2=16\) ordered pairs. चरण 1: परावर्तीता केवल यह कहती है कि विकर्ण युग्म होने चाहिए। चरण 2: बाकी सभी युग्म भी जोड़े जा सकते हैं, इसलिए अधिकतम संबंध सार्वत्रिक संबंध होगा। चरण 3: 4 तत्वों पर कुल \(4^2=16\) युग्म होते हैं।
\(A\times A\) contains all pairs, but ((2,2)) has been removed.
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity requires ((2,2)) as well.
Step 3
Exam Tip
Removing even one diagonal pair from the universal relation destroys reflexivity. चरण 1: \(A\times A\) में सभी युग्म होते हैं, पर ((2,2)) हटाया गया है। चरण 2: परावर्तीता के लिए ((2,2)) भी अनिवार्य था। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध से एक विकर्ण युग्म हटाने पर संबंध परावर्ती नहीं रहता।
The removed pairs ((1,2)) and ((3,4)) are not diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
Removing non-diagonal pairs does not affect reflexivity. चरण 1: \(A\times A\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: हटाए गए युग्म ((1,2)) और ((3,4)) हैं, जो विकर्ण युग्म नहीं हैं। चरण 3: गैर-विकर्ण युग्म हटाने से परावर्तीता पर असर नहीं पड़ता।
The identity relation contains each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
All three diagonal pairs of (A) are present in (I).
Step 3
Exam Tip
The identity relation is the smallest reflexive relation on a set. चरण 1: पहचान संबंध में हर तत्व का अपने-आप से युग्म होता है। चरण 2: (A) के सभी तीन विकर्ण युग्म (I) में मौजूद हैं। चरण 3: पहचान संबंध हर समुच्चय पर परावर्ती संबंध का सबसे छोटा रूप है।
Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is not reflexive on a non-empty set. चरण 1: अशून्य समुच्चय में कम से कम एक तत्व (a) होता है। चरण 2: परावर्तीता के लिए ((a,a)) चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। चरण 3: रिक्त संबंध अशून्य समुच्चय पर परावर्ती नहीं होता।
A. यह परावर्ती है क्योंकि जाँचने के लिए कोई तत्व नहीं है/It is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
Reflexivity says that for every \(a \in A\), \((a,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
When \(A=\phi\), there is no element (a) for which the condition can fail.
Step 3
Exam Tip
On the empty set, the condition is treated as true by vacuous truth. चरण 1: परावर्तीता कहती है कि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a)\in R\) हो। चरण 2: जब \(A=\phi\) है, तो ऐसा कोई (a) नहीं है जिसके लिए शर्त टूटे। चरण 3: खाली समुच्चय पर यह शर्त रिक्त सत्यता के कारण पूरी मानी जाती है।
