(f^{-1}(23)) means the value of (x) for which (f(x)=23).
Step 2
Why this answer is correct
From (4x+7=23), we get (4x=16), so (x=4).
Step 3
Exam Tip
To find an inverse value, equate the original function to the given value and solve. चरण 1: (f^{-1}(23)) का अर्थ है वह (x), जिसके लिए (f(x)=23)। चरण 2: (4x+7=23) से (4x=16), इसलिए (x=4)। चरण 3: प्रतिलोम मान निकालते समय मूल फलन को दिए गए मान के बराबर रखकर हल करें।
Now (x-2-2x-3-\(x^2-4x\)=2x-3). चरण 1: (f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)) लिखें। चरण 2: सरल करने पर \(x^2-2x-3\) मिलता है। चरण 3: अब (x-2-2x-3-\(x^2-4x\)=2x-3) होगा।
Removing (x=-4), all other real numbers remain in the domain. चरण 1: फलन में हर (x+4) है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x+4\ne0\)। चरण 3: (x=-4) को हटाकर सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त में रहेंगी।
The minimum value is (2), so the range is \([2,\infty\)). चरण 1: (x-2-6x+11=(x-3)2+2) लिखें। चरण 2: ((x-3)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge2)। चरण 3: न्यूनतम मान (2) है, इसलिए परास \([2,\infty\)) है।
A. दोनों सामान्यतः समान नहीं हैं/They are generally not equal
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2-1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2+1).
Step 3
Exam Tip
The expressions are generally different, so order matters in composition. चरण 1: (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)2-1)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2-1\)=x-2+1)। चरण 3: दोनों व्यंजक सामान्यतः अलग हैं, इसलिए संयुक्त फलन में क्रम का ध्यान रखें।
(9x-4) gives different outputs for different (x), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y+4}{9}\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real (y) is an image, so the function is onto. चरण 1: (9x-4) अलग-अलग (x) पर अलग-अलग मान देता है, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y+4}{9}\) लिया जा सकता है। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है।
A. यह न एक-एकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(0)=2) and (f(-2)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(x-2+2x+2=(x+1)2+1), so the range is \([1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
With codomain (R), (0) is not an image, so the function is not onto either. चरण 1: (f(0)=2) और (f(-2)=2), इसलिए फलन एक-एकी नहीं है। चरण 2: (x-2+2x+2=(x+1)2+1), इसलिए परास \([1,\infty\)) है। चरण 3: सहप्रान्त (R) होने पर (0) छवि नहीं बनता, इसलिए फलन आच्छादक भी नहीं है।
For different (x), (x+1) is different, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), (x=y-1), which lies in the domain \([-1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Hence the function is onto as well. चरण 1: अलग-अलग (x) के लिए (x+1) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (x=y-1), जो प्रान्त \([-1,\infty\)) में है। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक भी है।
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
For every \(y\ge2\), \(x=\sqrt{y-2}\) or \(x=-\sqrt{y-2}\) can be chosen, so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=3), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Reading the codomain correctly is very important while checking onto. चरण 1: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) या \(x=-\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है, इसलिए आच्छादक है। चरण 2: (f(1)=f(-1)=3), इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: सहप्रान्त को सही पढ़ना आच्छादकता जाँचने में बहुत जरूरी है।
The expression inside the square root, (3x-12), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
From \(3x-12\ge0\), we get \(x\ge4\).
Step 3
Exam Tip
At (x=4), the value is (0), so (4) is included. चरण 1: वर्गमूल के अंदर (3x-12) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(3x-12\ge0\) से \(x\ge4\) मिलता है। चरण 3: (x=4) पर मान (0) है, इसलिए (4) शामिल होगा।
But this square root is in the denominator, so it cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
Thus (5-x>0), meaning (x<5), so the domain is (\(-\infty,5\)). चरण 1: वर्गमूल के लिए \(5-x\ge0\) चाहिए। चरण 2: लेकिन यह वर्गमूल हर में है, इसलिए शून्य नहीं हो सकता। चरण 3: अतः (5-x>0), यानी (x<5), इसलिए प्रान्त (\(-\infty,5\)) है।
The denominator cannot be zero, so \(x\ne2\) and \(x\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
Even if (x+2) cancels, (x=-2) is not valid in the original function. चरण 1: हर (x-2-4=(x-2)(x+2)) है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\ne2\) और \(x\ne-2\)। चरण 3: ऊपर (x+2) कट सकता है, फिर भी मूल फलन में (x=-2) मान्य नहीं है।
Hence (x=8) or (x=2), so the preimage is ({2,8}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए (|x-5|=3) हल करें। चरण 2: इससे (x-5=3) या (x-5=-3) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=8) या (x=2), अतः पूर्वछवि ({2,8}) है।
The images of (1,2,3) are distinct, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(z) is in the codomain but is not an image.
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (1,2,3) की छवियाँ अलग-अलग हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (z) सहप्रान्त में है पर किसी की छवि नहीं है। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
There are two non-onto functions, where all elements go only to (a) or only to (b).
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (32-2=30). चरण 1: कुल फलन \(2^5=32\) होंगे। चरण 2: आच्छादक न होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (a) या केवल (b) पर जाते हैं। चरण 3: इसलिए आच्छादक फलन (32-2=30) होंगे।
In a one-one function, the three inputs must have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The first input has (6) choices, the second has (5), and the third has (4).
Step 3
Exam Tip
Total one-one functions are \(6\cdot5\cdot4=120\). चरण 1: एक-एकी फलन में तीनों आगतों की छवियाँ अलग होंगी। चरण 2: पहले आगत के लिए (6), दूसरे के लिए (5), तीसरे के लिए (4) विकल्प हैं। चरण 3: कुल \(6\cdot5\cdot4=120\) एक-एकी फलन होंगे।
A. नहीं, क्योंकि प्रान्त में सहप्रान्त से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (2) elements and the codomain has (4) elements.
Step 3
Exam Tip
Two inputs cannot cover four different codomain elements, so no onto function exists. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रान्त में (2) अवयव हैं और सहप्रान्त में (4) अवयव हैं। चरण 3: दो आगत चार अलग अवयवों को पूरा नहीं ढक सकते, इसलिए आच्छादक फलन नहीं बनेगा।
For a cubic function, the real cube root can be taken directly. चरण 1: (f^{-1}(4)) के लिए \(x^3-4=4\) हल करें। चरण 2: \(x^3=8\), इसलिए (x=2)। चरण 3: घन फलन में वास्तविक घनमूल सीधे लिया जा सकता है।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5}). चरण 1: \(y=\frac{5x+1}{2}\) लिखें। चरण 2: (2y=5x+1), इसलिए \(x=\frac{2y-1}{5}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{2x-1}{5})।
A. क्योंकि यह एक-एकी नहीं है/Because it is not one-one
Step 1
Concept
For an inverse function to exist, the original function must be one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) and (f(6)=0), while \(0\ne6\).
Step 3
Exam Tip
Since one image has two preimages, the inverse is not a well-defined function. चरण 1: प्रतिलोम फलन के लिए मूल फलन का एक-एकी होना जरूरी है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(6)=0), जबकि \(0\ne6\)। चरण 3: एक ही छवि की दो पूर्वछवियाँ होने से प्रतिलोम फलन स्पष्ट नहीं बनता।
Hence (x=2) or (x=-10), so the preimage is ({-10,2}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए (|x+4|=6) हल करें। चरण 2: इससे (x+4=6) या (x+4=-6) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=2) या (x=-10), अतः पूर्वछवि ({-10,2}) है।
The minimum value is (4), attained at (x=4). चरण 1: (x-2-8x+20=(x-4)2+4) लिखें। चरण 2: ((x-4)2\ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। चरण 3: न्यूनतम मान (4) है, जो (x=4) पर मिलता है।
Therefore the least value is (4), and the range is \([4,\infty\)). चरण 1: फलन को ((x-4)2+4) के रूप में लिखें। चरण 2: वर्ग का मान हमेशा (0) या उससे अधिक होता है। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा मान (4) है और परास \([4,\infty\)) है।
A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है/No, it has no real solution
Step 1
Concept
Assume \(\frac{3x}{x+2}=3\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (3x=3x+6), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
Therefore (3) is not in the range of this function. चरण 1: \(\frac{3x}{x+2}=3\) मानें। चरण 2: इससे (3x=3x+6) मिलता है, जो असंभव है। चरण 3: इसलिए (3) इस फलन के परास में नहीं आता।
From (y(x+2)=3x), we get \(x=\frac{-2y}{y-3}\), if \(y\ne3\).
Step 3
Exam Tip
Hence every real (y) is possible except (3). चरण 1: \(y=\frac{3x}{x+2}\) लिखें। चरण 2: (y(x+2)=3x) से \(x=\frac{-2y}{y-3}\), यदि \(y\ne3\)। चरण 3: इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (3) नहीं।
If \(g\circ f\) is onto, every element of the final codomain is an image.
Step 2
Why this answer is correct
That final image is produced through (g).
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) reaches every element of its codomain, so (g) is onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादक होने पर अंतिम सहप्रान्त का हर अवयव छवि बनता है। चरण 2: वह छवि (g) के द्वारा ही मिलती है। चरण 3: इसलिए (g) भी अपने सहप्रान्त के हर अवयव तक पहुँचता है, अतः (g) आच्छादक है।
Applying (g) first and then (f) brings the original value back.
Step 3
Exam Tip
Therefore (\(f\circ g\)(x)=x). चरण 1: प्रतिलोम फलन एक-दूसरे की क्रिया को उलट देते हैं। चरण 2: पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। चरण 3: इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)।
If (k=0), then (f(x)=8) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
A constant function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Therefore the linear function is one-one when \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो (f(x)=8) स्थिर फलन बन जाएगा। चरण 2: स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। चरण 3: इसलिए रैखिक फलन के एक-एकी होने के लिए \(k\ne0\) चाहिए।
Therefore onto requires \(k\ne0\). चरण 1: यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (6) रहेगा। चरण 2: तब परास केवल ({6}) होगा, पूरा (R) नहीं। चरण 3: इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए।
Putting (y=1) gives an impossible statement, so (1) is not in the range. चरण 1: \(y=\frac{x-3}{x+1}\) लिखें। चरण 2: (y(x+1)=x-3) से (x(y-1)=-3-y) मिलता है। चरण 3: (y=1) रखने पर असंभव स्थिति बनती है, इसलिए (1) परास में नहीं है।
Solving gives \(x=\frac{-3-y}{y-1}\), if \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Hence all real values except (1) are in the range. चरण 1: \(y=\frac{x-3}{x+1}\) मानें। चरण 2: हल करने पर \(x=\frac{-3-y}{y-1}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। चरण 3: इसलिए (1) को छोड़कर सभी वास्तविक मान परास में आते हैं।
The squares of the given elements are (16,1,0,1,16).
Step 2
Why this answer is correct
Repeated values are written only once in the range.
Step 3
Exam Tip
The range is ({0,1,16}), so it has (3) elements. चरण 1: दिए गए अवयवों के वर्ग (16,1,0,1,16) हैं। चरण 2: परास में दोहराए हुए मान एक बार लिखे जाते हैं। चरण 3: परास ({0,1,16}) है, इसलिए (3) अवयव हैं।
All three elements (a,b,c) appear as images, so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
Both (2) and (3) map to (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
While deciding the type, check both the range and repeated images. चरण 1: (a,b,c) तीनों छवि के रूप में मिलते हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। चरण 2: (2) और (3) दोनों (b) पर जाते हैं, इसलिए एक-एकी नहीं है। चरण 3: फलन की प्रकृति तय करते समय परास और दोहराई हुई छवियाँ दोनों देखें।
(g(f(x))=\sqrt{\(x^2-9\)+9}=\sqrt{x-2}). चरण 1: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))) है। चरण 2: (g) में (x) के स्थान पर \(x^2-9\) रखें। चरण 3: (g(f(x))=\sqrt{\(x^2-9\)+9}=\sqrt{x-2})।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7}). चरण 1: \(y=x^3-7\) लिखें। चरण 2: \(x^3=y+7\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{y+7}\)। चरण 3: (y) को (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+7})।
Since the domain is \([0,\infty\)), only (3) is valid. चरण 1: (f^{-1}(14)) के लिए \(x^2+5=14\) हल करें। चरण 2: \(x^2=9\), इसलिए (x=3) या (x=-3)। चरण 3: प्रान्त \([0,\infty\)) है, इसलिए केवल (3) मान्य है।
Hence (x=4) or (x=-4), so the preimage is ({-4,4}). चरण 1: पूर्वछवि के लिए \(x^2-4=12\) हल करें। चरण 2: इससे \(x^2=16\) मिलता है। चरण 3: इसलिए (x=4) या (x=-4), अतः पूर्वछवि ({-4,4}) है।
At (x=5), (f(5)=2), so it is not zero. चरण 1: (f(x)=x-2-7x+12=(x-3)(x-4))। चरण 2: (x=3) और (x=4) पर गुणनफल शून्य होगा। चरण 3: (x=5) पर (f(5)=2), इसलिए वह शून्य नहीं है।
At (x=-3), the minimum value (2) is obtained, so the range is \([2,\infty\)). चरण 1: \(|x+3|\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए। चरण 2: इसलिए \(|x+3|+2\ge2\)। चरण 3: (x=-3) पर न्यूनतम मान (2) मिलता है, अतः परास \([2,\infty\)) है।
A. क्योंकि (1) इसकी छवि नहीं हो सकता/Because (1) cannot be its image
Step 1
Concept
The value of (|x+3|+2) is always at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain (R) contains (1), but it cannot be the image of any (x).
Step 3
Exam Tip
Therefore the function is not onto. चरण 1: (|x+3|+2) का मान हमेशा (2) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रान्त (R) में (1) है, लेकिन वह किसी (x) की छवि नहीं बन सकता। चरण 3: इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
In a bijective function, every element is matched exactly one-to-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the domain and codomain have the same number of elements.
Step 3
Exam Tip
Since (A) has (9) elements, (B) also has (9). चरण 1: उभयैक फलन में हर अवयव का ठीक एक-एक मिलान होता है। चरण 2: इसलिए प्रान्त और सहप्रान्त में अवयवों की संख्या समान होती है। चरण 3: (A) में (9) अवयव हैं, अतः (B) में भी (9) होंगे।
This means (f) and (g) completely undo each other's action.
Step 3
Exam Tip
Therefore (g) is the inverse of (f), so \(g=f^{-1}\). चरण 1: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन दे रहे हैं। चरण 2: इसका अर्थ है कि (f) और (g) एक-दूसरे की क्रिया को पूरी तरह उलटते हैं। चरण 3: इसलिए (g), (f) का प्रतिलोम है और \(g=f^{-1}\) होगा।
First, for (f(x)=\sqrt{x+1}), we need \(x+1\ge0\), so \(x\ge-1\).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}), so the denominator must not be zero.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x+1}=2\) gives (x=3), hence the domain is \([-1,\infty\)-{3}). चरण 1: पहले (f(x)=\sqrt{x+1}) के लिए \(x+1\ge0\), इसलिए \(x\ge-1\)। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}-2}) होगा, इसलिए हर शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{x+1}=2\) से (x=3), अतः प्रान्त \([-1,\infty\)-{3}) है।
