Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) होते हैं। शर्त \(x^2<4\) से केवल \(-1,0,1\) तत्व सच में आते हैं, इसलिए \(A=\{-1,0,1\}\) और \(n(A)=3\)। समष्टि में कुल \(n(U)=8\) हैं, अतः \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\)। विकल्प B (4) अक्सर गलत गिनती का परिणाम है — किसी एक तत्व को छोड़ देना या शून्य को निकाल देना—इसलिए वह गलत है। परीक्षा-सूत्र: पहले सेटों के तत्व लिख लें या सीधे \(n(A')=n(U)-n(A)\) उपयोग करें। / List elements: \(U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\). The condition \(x^2<4\) holds only for \(-1,0,1\), so \(A=\{-1,0,1\}\) and \(n(A)=3\). Since \(n(U)=8\), the complement has \(n(A')=n(U)-n(A)=8-3=5\). Option B (4) is a common miscount — typically one element is mistakenly omitted (often 0 or an end-point). Exam tip: explicitly list small finite sets or use the formula \(n(A')=n(U)-n(A)\).
चूँकि \(A=\{a,c,e\}\) और \(B=\{b,c,d\}\), इसलिए \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), जो कि दिया गया यूनिवर्सल सेट \(U\) के बराबर है। किसी समुच्चय का पूरक (कॉम्प्लीमेंट) यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में उस समुच्चय को हटाने पर बचा हुआ भाग होता है: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\)। सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\{a,b,d,e\}\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(c\) को छोड़ देता है, जबकि \(A\cup B\) में \(c\) भी शामिल है। परीक्षात्मक टिप: पहले Union निकालकर जाँचें कि क्या वह यूनिवर्सल सेट के बराबर हो; अगर हाँ, तो पूरक हमेशा खाली समुच्चय होगा। / Since \(A=\{a,c,e\}\) and \(B=\{b,c,d\}\), we have \(A\cup B=\{a,b,c,d,e\}\), which equals the universal set \(U\). The complement is taken relative to \(U\): \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=U\setminus U=\emptyset\). The closest distractor \(\{a,b,d,e\}\) is incorrect because it omits \(c\), but \(c\) is present in \(A\cup B\). Exam tip: compute the union first and check whether it equals the universal set—if so, the complement is \(\emptyset\).
प्रमुख सूत्र: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). अतः \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). सार्वभौमिक समुच्चय का पूरक होगा \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), इसलिए विकल्प B सही है। नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (5) तब बन सकता है जब कोई छात्र ओवरलैप की गिनती गलत कर दे और यूनियन को 15 मान ले — जिससे 20−15 = 5 आ जाता है। परीक्सा सुझाव: प्रश्न देखते ही एक साधारण वेन आरेख बनाएं और inclusion–exclusion सूत्र लागू कर के गिनती की पुष्टि करें। / Use the inclusion–exclusion formula: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \). So \( |A \cup B| = 12 + 9 - 5 = 16 \). The complement has size \( |(A \cup B)'| = |U| - |A \cup B| = 20 - 16 = 4 \), hence option B is correct. The closest distractor C (5) typically arises from miscounting the overlap and getting the union as 15, then computing 20−15 = 5. Exam tip: draw a quick Venn diagram and apply inclusion–exclusion to avoid overlap-counting mistakes.
पूरक की परिभाषा के अनुसार \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). किसी समुच्चय का पुनः पूरक लेने पर मूल समुच्चय ही मिलता है, इसलिए \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\। विक्षेपक: विकल्प A केवल एक बार का पूरक (\(A'\)) है, विकल्प C और D स्पष्ट रूप से गलत हैं — शून्य समुच्चय या सम्पूर्ण यूनिवर्सल सेट दोनों ही \((A')'\) के रूप में सही नहीं। परीक्षात्मक सुझाव: याद रखें कि दो बार पूरक लेने से समुच्चय वापस मिल जाता है — \((A')'=A\)। / By definition \(A'=U\setminus A=\{2,4,6,8\}\). Taking the complement again returns the original set, so \((A')'=A=\{1,3,5,7\}\). Distractors: option A is the single complement \(A'\), while C (\(\emptyset\)) and D (\(U\)) are not equal to \((A')'\). Exam tip: use the double-complement law \((A')'=A\) to answer such questions quickly.
कोर सिद्धान्त: किसी सेट का पूरक (complement) उस यूनिवर्सल सेट के वे तत्व होते हैं जो मूल सेट में नहीं हैं। यहाँ \(U\) में पूर्णांक 0 से 10 तक हैं। \(A\) उनतरों में सम संख्या हैं: \{0,2,4,6,8,10\}। अतः \(A'\) वे तत्व हैं जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं — यानी विषम संख्याएँ \{1,3,5,7,9\}। निकटभ्रामक विकल्प: विकल्प C में 0 शामिल है जबकि 0 \(A\) का घटक है, इसलिए वह गलत है. परीक्षा-टिप: पूरक निकालने से पहले यूनिवर्सल सेट के सभी तत्व लिख लें और फिर दिए गए सेट के तत्व हटा दें। / Core idea: The complement of a set consists of those elements of the universal set that are not in the given set. Here \(U\) contains integers 0 through 10. \(A\) is the even subset \{0,2,4,6,8,10\}. Therefore \(A'\) is the set of elements of \(U\) not in \(A\), i.e. the odd numbers \{1,3,5,7,9\}. Closest distractor: option C wrongly includes 0, but 0 belongs to \(A\), so C is incorrect. Exam tip: always list elements of the universal set first, then remove elements belonging to the given set to get the complement.
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग सैद्धान्तिक रूप से सार्वभौमिक समुच्चय का आकार देता है, अर्थात् \(|A| + |A'| = |U|\)। यहाँ \(|U| = 15\) और \(|A'| = 6\) हैं, अतः \(|A| = 15 - 6 = 9\)। विकल्प (6) गलत है क्योंकि वह \(A'\) का आकार है, और (15) गलत है क्योंकि वह पूरे सार्वभौमिक समुच्चय का आकार है। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र \(|A| = |U| - |A'|\) याद रखें और डेटा को उसी में रखें। / A set and its complement partition the universal set, so \(|A| + |A'| = |U|\). Given \(|U|=15\) and \(|A'|=6\), we get \(|A| = 15-6 = 9\). Option 6 is incorrect because it is the size of the complement; option 15 is incorrect because it is the size of the whole universal set. Exam tip: use the identity \(|A| = |U| - |A'|\) to avoid sign mistakes.
पहले \(A\cap B\) निकालें: \(A\cap B=\{2,4\}\). प्रश्न का मतलब है इसका उपस्थानी परिशेष (complement) सतही यूनिवर्सल सेट \(U\) के सापेक्ष; अतः \((A\cap B)'=U\setminus (A\cap B)=\{1,2,3,4,5,6,7\}\setminus\{2,4\\}=\{1,3,5,6,7\}\). विकल्प D (\(\{3,5,7\}\)) निकटतम भ्रांतिदायक है क्योंकि वह \(1\) और \(6\) को छोड़ देता है जो \( (A\cap B)' \) में होने चाहिए। परीक्षा सुझाव: क्रमबद्ध तरीके से पहले जोड़ या छंटनी (यहाँ intersection) निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष complement लें। / Compute \(A\cap B\) first: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement is taken with respect to the universal set \(U\), so \((A\cap B)'=U\setminus(A\cap B)=\{1,3,5,6,7\}\). Option B (\(\{2,4\}\)) is just the intersection itself, not the complement. The closest distractor is D (\(\{3,5,7\}\)) because it omits \(1\) and \(6\) which belong in the complement. Exam tip: always evaluate intersection/union first, then apply complement relative to the given universal set.
पहला तरीका — समुच्चयों को जोड़ें: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) जिसमें 8 तत्व हैं। सार्वभौमिक समुच्चय में कुल 12 तत्व हैं, अतः पूरक में \(12-8=4\) तत्व होंगे: \(\{1,5,7,11\}\). वैकल्पिक रूप से, समावेशन–अपवर्जन से: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). नज़दीकी विकर्षक (5) तब गलत होता है जब गणना में संघ की संख्या 7 मान ली जाए — यह समान्य गणना गलती है। परीक्षा संकेत: तेज़ी से सूची बना लें या inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ ताकि गिनती में त्रुटि न हो। / Compute the union and subtract from the universal set: \(A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) has 8 elements, so its complement in \(U\) has \(12-8=4\) elements, namely \(\{1,5,7,11\}\). Using inclusion–exclusion: \(n(A)=6,\;n(B)=4,\;n(A\cap B)=2\Rightarrow n(A\cup B)=6+4-2=8\). The closest wrong option (5) would result from miscounting the union as 7. Exam tip: either list the union explicitly or use inclusion–exclusion to avoid off-by-one mistakes.
पूरक की परिभाषा है \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\)। यदि \(A=\emptyset\) है तो कोई भी तत्व \(A\) में नहीं है, अतः सभी तत्व जो \(U\) में हैं वे ही \(A'\) में होंगे। इसलिए \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\)। विकल्प A (\(\emptyset\)) गलत है क्योंकि वह शून्य तत्व वाला समुच्चय है — यह \(A\) है न कि \(A'\)। विकल्प C (\(\{\emptyset\}\)) अलग समुच्चय है जिसका एक तत्व ही है: खाली समुच्चय; यह \(U\) नहीं है। विकल्प D (\(\{0\}\)) में 0 सार्वत्रिक समुच्चय का सदस्य नहीं है, इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा सलाह: हमेशा याद रखें \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) — खाली सेट के लिए पूरा सार्वत्रिक सेट ही पूरक होता है। / By definition the complement is \(A'=U\setminus A=\{x\in U:\;x\notin A\}\). If \(A=\emptyset\), no element of \(U\) is excluded, so every element of \(U\) belongs to \(A'\). Thus \(A'=U=\{1,2,3,4,5\}\). Option A (\(\emptyset\)) is wrong because that denotes the empty set itself, not its complement. Option C (\(\{\emptyset\}\)) is the set whose single element is the empty set and is not equal to \(U\). Option D (\(\{0\}\)) is incorrect since 0 is not an element of the given universal set. Exam tip: use \(A'=\{x\in U:x\notin A\}\) to decide complements — for \(A=\emptyset\) you always get \(A'=U\).
\(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। इसलिए \(A\) में वे सभी तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A'\) में नहीं हैं। अतः \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\)। विकल्प B, \(A\) नहीं बल्कि \(A'\) है; विकल्प C में पूरक के तत्व भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: जब \(A'\) दिया हो, तो \(A\) ज्ञात करने के लिए उसे सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएँ। / \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\). Therefore, \(A\) contains the elements that belong to \(U\) but do not belong to \(A'\). Thus, \(A=U\setminus A'=\{a,b,c,d,e,f\}\setminus\{b,d,f\}=\{a,c,e\}\). Option B is \(A'\) itself, not \(A\), while option C incorrectly includes the elements of the complement as well. Exam tip: To find a set from its complement, subtract the complement from the universal set.
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) और \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\)। अतः \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C केवल \(U\setminus(A\cup B)\) है, जो \(A'\cap B'\) के बराबर होता है, संघ के नहीं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय यह अवश्य देखें कि वह किस सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष है। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Thus, \(A'=U\setminus A=\{5,6,7,8\}\) and \(B'=U\setminus B=\{1,2,7,8\}\). Therefore, \(A'\cup B'=\{1,2,5,6,7,8\}\), so option A is correct. Option C is \(U\setminus(A\cup B)\), which equals \(A'\cap B'\), not the required union. Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
समुच्चय \(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: \(A=\{4,8,12\}\)। इसलिए \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं: \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\)। विकल्प B स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प C में 4, 8 और 12 जैसे 4 के गुणज भी शामिल हैं। विकल्प D केवल विषम संख्याएँ देता है और 2, 6 तथा 10 जैसे सम संख्याओं को छोड़ देता है, जो 4 से विभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से \(A\) के तत्व हटा दें। / The elements of \(A\) are the members of \(U\) divisible by 4: \(A=\{4,8,12\}\). Hence, the complement of \(A\) with respect to \(U\) contains every element of \(U\) that is not in \(A\): \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option C incorrectly includes the multiples of 4. Option D contains only odd numbers and omits even numbers such as 2, 6, and 10, which are not divisible by 4. Exam tip: To find a complement, write the universal set first and remove all elements of the given set.
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\)। इसका पूरक, सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में शामिल नहीं हैं। इसलिए \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल दोनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष शेष तत्व चुनें। / First find the union: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\). The complement consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Hence, \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), so option A is correct. Option B, \(\{c\}\), represents the intersection \(A\cap B\), not the complement of the union. Exam tip: take the complement only with respect to the stated universal set.
समुच्चय \(A\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक उन तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{5,6,7,8,9\}\)। अब \(A'\cap B\) में \(A'\) और \(B=\{4,5,6\}\) के समान तत्व लिए जाएँगे, अतः \(A'\cap B=\{5,6\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(4\), \(A\) में है और इसलिए \(A'\) में नहीं है; विकल्प C में ऐसे तत्व हैं जो \(B\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार अवश्य बनाएँ, फिर प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). The intersection \(A'\cap B\) consists of the elements common to \(A'\) and \(B=\{4,5,6\}\), giving \(\{5,6\}\). Option B is incorrect because \(4\) belongs to \(A\), so it cannot belong to \(A'\); option C contains elements that are not in \(B\). Exam tip: take a complement relative to the stated universal set before finding an intersection.
समुच्चय \(U\) में अंग्रेज़ी के सभी 26 छोटे अक्षर हैं, जबकि \(V\) में 5 स्वर हैं। इसलिए \(V'\) में वे अक्षर होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(V\) में नहीं हैं। अतः \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\)। विकल्प A (5) समुच्चय \(V\) का आकार है और विकल्प C (26) पूरे सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) का आकार है। परीक्षा-टिप: जब \(V\subseteq U\) हो, तो पूरक के तत्वों की संख्या \(|V'|=|U|-|V|\) से निकालें। / The universal set \(U\) contains all 26 lowercase English letters, while \(V\) contains 5 vowels. Therefore, \(V'\) contains the letters that belong to \(U\) but not to \(V\). Thus, \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\). Option A (5) is the cardinality of \(V\), and option C (26) is the cardinality of the entire universal set \(U\). Exam tip: when \(V\subseteq U\), find the cardinality of the complement using \(|V'|=|U|-|V|\).
पहले दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेद निकालते हैं: \(A\cap B=\{2,4\}\), क्योंकि 2 और 4 ही दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B प्रतिच्छेद स्वयं है, जबकि विकल्प C केवल \(A'\) और विकल्प D केवल \(B'\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ; जाँच के लिए \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लगा सकते हैं। / First find the intersection: \(A\cap B=\{2,4\}\), since 2 and 4 are the only elements common to both sets. The complement is taken with respect to the universal set \(U\): \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\). Hence, option A is correct. Option B is the intersection itself, while option C is only \(A'\) and option D is only \(B'\). Exam tip: for a complement, remove the relevant set's elements from the given universal set; you can also verify the result using De Morgan's law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ x\le 20\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ पूर्ण वर्ग है}\}\), तो \(|A'|\) का मान क्या है?
यहाँ \(U=\{1,2,\ldots,20\}\) है, इसलिए \(|U|=20\)। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16\) हैं, अतः \(|A|=4\)। चूँकि \(A'\), समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, इसलिए \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\)। विकल्प B (14) गलत है, क्योंकि पूर्ण वर्गों की संख्या 4 है, 6 नहीं। परीक्षा सुझाव: पूरक समुच्चय की cardinality निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में से मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / Here, \(U=\{1,2,\ldots,20\}\), so \(|U|=20\). The perfect squares in this range are \(1,4,9,16\), giving \(|A|=4\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\). Option B (14) is incorrect because there are 4 perfect squares in the set, not 6. Exam tip: for a complement, subtract the cardinality of the given set from that of the universal set.
समुच्चय \(A\) में \(U\) के वे तत्व होंगे जिनके वर्ग 25 से छोटे हैं। \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\) क्रमशः 0, 1, 4, 9 और 16 हैं, इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। दूसरी ओर, \(5^2=25\) है और शर्त \(x^2<25\) में बराबरी शामिल नहीं है; अतः 5 भी \(A\) में नहीं है। इसलिए \(U\) के शेष तत्वों का समुच्चय \(A'=\{5,6,7,8,9\}\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 5 छूट गया है। परीक्षा-सुझाव: ‘<’ और ‘≤’ के अंतर को जाँचने के लिए सीमा वाले तत्व, यहाँ \(x=5\), का वर्ग अवश्य निकालें। / Set \(A\) contains the elements of \(U\) whose squares are less than 25. The squares of 0, 1, 2, 3 and 4 are 0, 1, 4, 9 and 16, respectively, so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). Since \(5^2=25\) and the condition is strictly \(x^2<25\), 5 is not in \(A\). Therefore, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is incorrect because it omits 5. Exam tip: when an inequality is strict, test the boundary value—in this case, \(x=5\)—to distinguish ‘<’ from ‘≤’.
समुच्चय \(U\) में \(-5,-4,\ldots,5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, इसलिए \(|U|=11\)। शर्त \(|x|\le 2\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), अतः \(|A|=5\)। चूँकि पूरक \(A'\) को \(U\) के सापेक्ष लिया गया है, \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\)। विकल्प 5 केवल \(A\) के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: पूर्णांकों की श्रेणी में दोनों अंतिम सिरों को शामिल करके गिनें। / The universal set \(U\) contains all integers from \(-5\) through \(5\), so \(|U|=11\). The condition \(|x|\le 2\) gives \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), hence \(|A|=5\). Since the complement is taken relative to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\). Option 5 is the size of \(A\), not of its complement. Exam tip: when counting an inclusive integer interval, include both endpoints.
यहाँ \\(A\\) और \\(B\\) के पूरक दिए गए हैं। दे मॉर्गन के नियम के अनुसार \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\)। पहले \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\) प्राप्त होता है। अतः सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष इसका पूरक \\(\\{3,5,6\\}\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D, \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\), दर्शाता है; यह केवल \\(A\\) है, \\(A\\cap B\\) नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक दिए होने पर \\(A\\cap B\\) निकालने के लिए सीधे \\(A'\\cup B'\\) का पूरक लेना सबसे तेज़ तरीका है। / The complements of \\(A\\) and \\(B\\) are given. By De Morgan’s law, \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\). First, \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\). Therefore, its complement with respect to the universal set \\(U\\) is \\(\\{3,5,6\\}\), so option A is correct. Option D is \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\); it represents only \\(A\\), not the intersection. Exam tip: when complements are provided, find the intersection quickly by taking the complement of the union of the given complements.
परिभाषा के अनुसार \(A'\) का अर्थ है \(A\) का पूरक (relative to \(U\)) — अर्थात वे तत्व जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसलिए \(A\) निकालने के लिए हम \(U\setminus A'\) लेते हैं: \(A=U\setminus A'=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A'\) दे रहा है, न कि \(A\)। विकल्प C तब सही होता अगर \(A'\) खाली सेट होता और विकल्प D तब सही होता अगर \(A'=U\) होता — न तो यहाँ लागू है। परीक्षा टिप: हमेशा \(A=U\setminus A'\) लिखिए और हर तत्व की सदस्यता एक‑एक जाँचीए। / By definition \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). So \(A\) is \(U\setminus A'\): \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{2,4,6\}=\{1,3,5\}\). Option B is the given complement \(A'\), not \(A\). Option C would be correct only when \(A'=\varnothing\), and option D only when \(A'=U\); neither holds here. Exam tip: compute \(U\setminus A'\) explicitly and verify membership for each element to avoid sign errors.
पहला कदम यह है कि A में कौन‑कौन से तत्व हैं। 2 के गुणज (2,4,6,8,10) और 3 के गुणज (3,6,9) का संघ लें तो \(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\) मिलता है। A का पूरक \(A'\) वह सेट है जो यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्व देता है जो A में नहीं हैं, इसलिए \(A'=\{1,5,7\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A ही है, विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें 9 शामिल है जो A में आता है, और विकल्प C गलत है क्योंकि वह 1 को छोड़ा हुआ है। परीक्षा की टिप: 1 से 10 तक की संख्या लिखकर हर संख्या पर 2 और 3 से विभाज्य होने का निशान लगाएँ — जो निशान नहीं हैं वे पूरक में होंगे। / First find A: multiples of 2 are {2,4,6,8,10} and multiples of 3 are {3,6,9}; their union gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10\}\). The complement \(A'\) (relative to \(U\)) consists of elements of \(U\) not in A, so \(A'=\{1,5,7\}\). Option B is just A, not the complement; option D is incorrect because it includes 9 (a multiple of 3); option C misses 1. Exam tip: list elements of the universal set and cross out those divisible by 2 or 3 — remaining numbers form the complement.
पहले \(n(A)=n(U)-n(A')=80-35=45\) और \(n(B)=80-42=38\)। अब \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=45+38-25=58\)। निर्देशानुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) (De Morgan), अतः \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=80-58=22\)। विकल्प (B)\,18 आम गलत परिकलन से आता है (किसी गणना में 4 कम करना), विकल्प (C)\,25 वास्तविक अभिलाभ (intersection) है न कि बाहर का भाग, और (D)\,12 साधारण अंकगणित त्रुटि है। परीक्षा-टिप: तुरंत \(n(A)=n(U)-n(A')\) और De Morgan का प्रयोग याद रखें ताकि बाह्य भाग = \(n(U)-n(A\cup B)\) से सीधे मिले। / Compute \(n(A)=n(U)-n(A')=80-35=45\) and \(n(B)=80-42=38\). Then \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=45+38-25=58\). By De Morgan \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(n(A'\cap B')=n(U)-n(A\cup B)=80-58=22\). Choice B (18) would result from a miscalculation, C (25) is the intersection size not the outside region, and D (12) is an arithmetic error. Exam tip: convert complements with \(n(A')=n(U)-n(A)\) immediately and use De Morgan to find complement regions quickly.
(A) में (10) अभाज्य हैं, (B) में (10) गुणज हैं और \(A\cap B={3}\), इसलिए \(|A\cup B|=19\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=30-19=11) नहीं, ध्यान से (30-19=11) है। / There are (10) primes in (A), (10) multiples in (B), and \(A\cap B={3}\), so \(|A\cup B|=19\). Hence (|\(A\cup B\)'|=30-19=11); always subtract from (|U|).
\(A\cap B\) में (15) के गुणज (15,30,45) हैं, इसलिए उसमें (3) अवयव हैं। अतः (|\(A\cap B\)'|=45-3=42)। / \(A\cap B\) contains multiples of (15), namely (15,30,45), so it has (3) elements. Hence (|\(A\cap B\)'|=45-3=42).
\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है, इसलिए (U) के बचे अवयव (A') होंगे। परीक्षा में पूरक हमेशा (U) के अंदर ही निकालें। / Here \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), so the remaining elements of (U) form (A'). In exams, always find complement inside (U).
(A) में (-2) शामिल नहीं और (6) शामिल है, इसलिए पूरक में (-2) आएगा पर (6) नहीं आएगा। सही उत्तर ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)) है। / (A) does not include (-2) but includes (6), so the complement includes (-2) but excludes (6). The correct answer is ((-\infty,-2]\cup\(6,\infty\)).
बड़े समुच्चय का पूरक छोटा होता है, इसलिए \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\)। इस उल्टे क्रम को याद रखना उपयोगी है। / The complement reverses inclusion, so \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\). Remember this reversal property for hard questions.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\)। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) रखने पर \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है, क्योंकि \((B')'=B\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में पूरक और संघ का प्रयोग सही क्रम में नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन नियम लगाने के बाद दोहरे पूरक को अवश्य हटाएँ। / By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Taking \(X=A\) and \(Y=B'\), we get \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), since \((B')'=B\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly handles the complement and the union. Exam tip: after applying De Morgan’s law, always simplify any double complement.
B. \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), अर्थात वे संख्याएँ जो न तो सम हैं और न 5 की गुणज हैं/\(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), the numbers that are neither even nor multiples of 5
Explanation
Simple Explanation
\(A'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो सम नहीं हैं, जबकि \(B'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो 5 की गुणज नहीं हैं। इसलिए \(A'\cap B'\) में ऐसी संख्याएँ होंगी जो दोनों शर्तें पूरी करती हैं—न सम और न 5 की गुणज। \(U\) में ये संख्याएँ \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\) हैं। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) भी होता है। परीक्षा-सूत्र: पूरक समुच्चयों का प्रतिच्छेद लेने पर मूल दोनों शर्तों का निषेध लेना होता है; इसे “neither-nor” के रूप में याद रखें। / \(A'\) contains the elements that are not even, while \(B'\) contains the elements that are not multiples of 5. Hence, \(A'\cap B'\) contains numbers satisfying both conditions: they are neither even nor multiples of 5. Within \(U\), this set is \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) as well. Exam tip: the intersection of two complements represents “neither this nor that,” not “both this and that.”
\(|A\cup B|=35+40-15=60\), इसलिए पूरक में (80-60=20) अवयव हैं। पहले संघ की संख्या निकालें। / \(|A\cup B|=35+40-15=60\), so the complement has (80-60=20) elements. Find the union count first.
पूरक समुच्चय की परिभाषा से \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) और \\(|B|=100-47=53\\)। अतः समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\)। इसलिए \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), अतः विकल्प C सही है। परीक्षा टिप: संघ के पूरक का परिमाण निकालने से पहले \\(|A|\\) और \\(|B|\\) को उनके पूरकों से ज्ञात करें। / Using the definition of a complement, \\(|A|=|U|-|A'|=100-58=42\\) and \\(|B|=100-47=53\\). By the inclusion-exclusion principle, \\(|A\\cup B|=|A|+|B|-|A\\cap B|=42+53-21=74\\). Therefore, \\(|(A\\cup B)'|=|U|-|A\\cup B|=100-74=26\\), so option C is correct. Exam tip: First find \\(|A|\\) and \\(|B|\\) from their complements, then apply inclusion-exclusion to the union.
दिया है कि \(A-B=A\cap B'\)। दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \((A-B)'=(A\cap B')'\)। डी मॉर्गन के नियम \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\) से \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय-अंतर को पहले \(A\cap B'\) के रूप में लिखकर फिर डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / Given \(A-B=A\cap B'\), taking complements on both sides gives \((A-B)'=(A\cap B')'\). By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\), so \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\). Hence, option A is correct. Exam tip: Rewrite set difference as an intersection with the complement before applying De Morgan’s laws.
(2) समुच्चय में नहीं था, इसलिए पूरक में आएगा; (7) समुच्चय में था, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / (2) was not in the set, so it is included in the complement; (7) was in the set, so it is excluded. Watch open and closed endpoints in intervals.
\(A\cap B=[1,3\)) है, इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)) होगा। पहले प्रतिच्छेद का सही अंतराल निकालें। / \(A\cap B=[1,3\)), so its complement is (\(-\infty,1\)\cup[3,\infty)). First find the correct intersection interval.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)'), इसलिए यदि यह रिक्त है तो \(A\cup B=U\)। पूरक रिक्त हो तो मूल समुच्चय सार्वत्रिक होता है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'), so if it is empty, \(A\cup B=U\). If a complement is empty, the original set is universal.
डी मॉर्गन से (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), इसलिए \(A'\cup B'=A'\cap B'\) होगा। यह तभी होता है जब (A'=B'), अर्थात (A=B)। / By De Morgan, (\(A\cap B\)'=A'\cup B'), so \(A'\cup B'=A'\cap B'\). This happens when (A'=B'), hence (A=B).
\(|A\cup B|=25+10-5=30\), इसलिए (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20)। डी मॉर्गन को गिनती से जोड़ें। / \(|A\cup B|=25+10-5=30\), so (|A'\cap B'|=|\(A\cup B\)'|=50-30=20). Connect De Morgan with counting.
(A=U-A'={a,c,e,g}) और (B'={e,f,g,h}), इसलिए \(A\cap B'={e,g}\)। दिए गए पूरक से पहले मूल समुच्चय निकालें। / (A=U-A'={a,c,e,g}) and (B'={e,f,g,h}), so \(A\cap B'={e,g}\). First recover the original set from its complement.
दोनों शर्तें बताती हैं कि (A) और (A') मिलकर (U) बनाते हैं और अलग-अलग हैं। यही पूरक की मुख्य पहचान है। / Both conditions show that (A) and (A') together form (U) and are disjoint. This is the main identity of complement.
\(A\cap B\) में (12) के गुणज (12,24,36) हैं, इसलिए (3) अवयव हैं। अतः पूरक में (40-3=37) अवयव होंगे। / \(A\cap B\) contains multiples of (12), namely (12,24,36), so it has (3) elements. Hence the complement has (40-3=37) elements.
समीकरण से \(A=\{2,3\}\) मिलता है, इसलिए पूरक \(\mathbb{R}-{2,3}\) होगा। पहले समीकरण का हल निकालें। / The equation gives \(A=\{2,3\}\), so the complement is \(\mathbb{R}-{2,3}\). Solve the equation first.
डी मॉर्गन से (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), जो ({3,5,7,11}) है। बाहरी पूरक को नियम से सरल करें। / By De Morgan, (\(A'\cup B'\)'=A\cap B), which is ({3,5,7,11}). Simplify the outer complement using the law.
दोनों पक्षों का पूरक लेने पर ((A')'=(B')'), इसलिए (A=B)। दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है। / Taking complement on both sides gives ((A')'=(B')'), so (A=B). The double complement gives the original set.
यदि \(U={1,2,\ldots,60}\), (A) (3) के गुणजों का समुच्चय है, (B) (4) के गुणजों का समुच्चय है और (C) (5) के गुणजों का समुच्चय है, तो (|\(A\cup B\cup C\)'|) कितना है?
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\)। इसलिए पूरक में (60-36=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=20+15+12-5-4-3+1=36\). So the complement has (60-36=24) elements.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (70) गणित पढ़ते हैं, (65) भौतिकी पढ़ते हैं और (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न गणित न भौतिकी पढ़ने वालों की संख्या कितनी है?
\(|M\cup P|=70+65-30=105\), इसलिए (|\(M\cup P\)'|=120-105=15)। न यह न वह का अर्थ पूरक होता है। / \(|M\cup P|=70+65-30=105\), so (|\(M\cup P\)'|=120-105=15). Neither means the complement of the union.
(9) अभाज्य नहीं है और (U) में है, इसलिए (A') में होगा। पूरक में वे अवयव आते हैं जो (U) में हों पर (A) में न हों। / (9) is not prime and belongs to (U), so it is in (A'). Complement contains elements in (U) but not in (A).
दो समुच्चयों के पूरकों का सममित अंतर मूल समुच्चयों के सममित अंतर के बराबर होता है। यहां दोनों में केवल ({1,2,5,6}) मिलेंगे। / The symmetric difference of complements equals the symmetric difference of the original sets. Here both give ({1,2,5,6}).
समुच्चय \(A\) में \(x<2\) या \(x\ge 8\) वाले सभी वास्तविक अंक हैं। अतः \(A\) के पूरक में वे अंक होंगे जो इन दोनों भागों में नहीं हैं, अर्थात \(2\le x<8\)। इसलिए \(A'=[2,8)\) है। \(2\) शामिल है क्योंकि \(2\notin A\), जबकि \(8\) शामिल नहीं है क्योंकि \(8\in A\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करते समय प्रत्येक सीमा-बिंदु को अलग से जाँचें कि वह दिए गए समुच्चय में है या नहीं। / Set \(A\) contains all real numbers for which \(x<2\) or \(x\ge 8\). Its complement therefore contains numbers that lie in neither part, namely \(2\le x<8\). Hence, \(A'=[2,8)\). The number \(2\) is included because \(2\notin A\), while \(8\) is excluded because \(8\in A\). Exam tip: When taking a complement, check each endpoint separately to determine whether it is included.
(B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) और (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), इसलिए (B=C)। (A) और (A') पूरे (U) को बांटते हैं। / (B=\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B\)) and (C=\(A\cap C\)\cup\(A'\cap C\)), so (B=C). (A) and (A') partition (U).
(A') सम संख्याएँ हैं और \(B=\{1,4,9,16,25\}\)। इनके प्रतिच्छेद में ({4,16}) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (A') is the set of even numbers and \(B=\{1,4,9,16,25\}\). Their intersection is ({4,16}), so the count is (2).
A. (2) से विभाज्य संख्याएँ/Numbers divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (2) से विभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए पूरक में (2) से विभाज्य संख्याएँ होंगी। नकारात्मक परिभाषा में पूरक लेते समय सावधान रहें। / (A) contains numbers not divisible by (2), so its complement contains numbers divisible by (2). Be careful with complements of negative descriptions.
पहली शर्त से \(A\cup B=U\) और दूसरी से दोनों असंयुक्त हैं। इसलिए (B) ठीक (A') है। / The first condition gives \(A\cup B=U\), and the second says they are disjoint. Therefore (B) is exactly (A').
दोहरा पूरक मूल समुच्चय देता है, इसलिए ((A')'=A)। यह पहचान लगभग हर पूरक प्रश्न में काम आती है। / The double complement gives the original set, so ((A')'=A). This identity is useful in many complement questions.
(20) तक (3) के (6) गुणज हैं, इसलिए (A') में (20-6=14) अवयव हैं। पूरक की संख्या के लिए कुल में से घटाएं। / There are (6) multiples of (3) up to (20), so (A') has (20-6=14) elements. For complement count, subtract from the total.
(A) में (2) से (6) तक के पूर्णांक हैं, इसलिए (A') में (2) से छोटे (U) के पूर्णांक होंगे। सार्वत्रिक सीमा को न भूलें। / (A) contains integers from (2) to (6), so (A') contains integers of (U) less than (2). Do not ignore the universal boundary.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Therefore the complement contains (30-20=10) numbers.
समुच्चय अंतर (B-A) का अर्थ है (B) में और (A) में नहीं, यानी \(B\cap A'\)। अंतर को पूरक से लिखना आसान है। / The difference (B-A) means in (B) and not in (A), that is \(B\cap A'\). Writing difference with complement is easier.
\(A\cup B=[-2,7]\), इसलिए पूरक (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)) है। पहले संघ का अंतराल सही बनाएं। / \(A\cup B=[-2,7]\), so the complement is (\(-\infty,-2\)\cup\(7,\infty\)). First form the union interval correctly.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') और \(A\cup B=(-3,6)\)। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)) है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)') and \(A\cup B=(-3,6)\). So the complement is (\(-\infty,-3]\cup[6,\infty\)).
समुच्चय \(U\) में कुल 100 अवयव हैं। 1 से 100 तक पूर्ण वर्ग संख्याएँ \(1^2,2^2,\ldots,10^2\) हैं, इसलिए \(|A|=10\)। चूँकि \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, \(|A'|=|U|-|A|=100-10=90\)। अतः सही उत्तर 90 है। परीक्षा-युक्ति: 1 से \(n\) तक पूर्ण वर्गों की संख्या \(\lfloor\sqrt n\rfloor\) होती है। / The universal set \(U\) has 100 elements. The perfect squares from 1 to 100 are \(1^2,2^2,\ldots,10^2\), so \(|A|=10\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) relative to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=100-10=90\). Therefore, the correct answer is 90. Exam tip: The number of perfect squares from 1 to \(n\) is \(\lfloor\sqrt n\rfloor\).
\(A\cap B={4}\), इसलिए उसके पूरक में (15-1=14) अवयव हैं। छोटे प्रतिच्छेद का पूरक बड़ा हो सकता है। / \(A\cap B={4}\), so its complement has (15-1=14) elements. The complement of a small intersection can be large.
पूरक में (U) के वे अवयव हैं जो (A) में नहीं हैं, इसलिए संख्या (n-r) है। यह सूत्र तभी लागू करें जब \(A\subseteq U\) हो। / The complement contains elements of (U) not in (A), so the number is (n-r). Use this formula only when \(A\subseteq U\).
(A) और (A') मिलकर पूरा (U) बनाते हैं तथा उनका साझा भाग रिक्त होता है। यह पूरक की जोड़ी पहचान है। / (A) and (A') together make the whole (U), and their common part is empty. This is the paired identity of complement.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में है। इसलिए जो अवयव \(B\) में नहीं हैं, वे \(A\) में भी नहीं होंगे; अतः \(B'\subseteq A'\)। ध्यान रखें: पूरक लेने पर समावेशन का चिह्न उलट जाता है। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) lies in \(B\). Hence, an element outside \(B\) must also be outside \(A\), so \(B'\subseteq A'\). Exam tip: taking complements reverses inclusion; write \(A\subseteq B\Rightarrow B'\subseteq A'\).
किसी समुच्चय का पूरक उसके सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव होते हैं जो उस समुच्चय में नहीं होते। इसलिए \(A=U\setminus A'\)। \(U\) से \(1,5,7,11\) हटाने पर \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B पूरक समुच्चय \(A'\) है, \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव हटाएँ। / The complement of a set contains all elements of the universal set that are not in that set. Hence, \(A=U\setminus A'\). Removing \(1,5,7,11\) from \(U\) gives \(A=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}\). Option B is the given complement \(A'\), not the set \(A\). Exam tip: Always find a complement relative to the specified universal set.
समुच्चय \(A\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(-1\) से छोटी या बराबर हैं अथवा 4 से बड़ी हैं। इसलिए इसके पूरक में \(x>-1\) और \(x\le 4\) होना चाहिए, अतः \(A'=(-1,4]\)। \(-1\) शामिल नहीं है क्योंकि वह \(A\) में है, जबकि 4 शामिल है क्योंकि \(A\) में शर्त \(x>4\) है, \(x\ge 4\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमानता के चिह्न और endpoints की inclusion को ध्यान से बदलें। / The set \(A\) contains all real numbers satisfying \(x\le -1\) or \(x>4\). Hence its complement must satisfy both \(x>-1\) and \(x\le 4\), giving \(A'=(-1,4]\). The endpoint \(-1\) is excluded because it belongs to \(A\), whereas 4 is included because the condition in \(A\) is \(x>4\), not \(x\ge 4\). Exam tip: while taking a complement, check the inequality signs and endpoint inclusion carefully.
यदि (U) में (200) विद्यार्थी हैं, (120) हिंदी लेते हैं, (90) अंग्रेजी लेते हैं और (50) दोनों लेते हैं, तो केवल कोई भी भाषा न लेने वालों की संख्या क्या है?
\(|H\cup E|=120+90-50=160\), इसलिए (|\(H\cup E\)'|=200-160=40)। neither को (\(H\cup E\)') के रूप में पढ़ें। / \(|H\cup E|=120+90-50=160\), so (|\(H\cup E\)'|=200-160=40). Read neither as (\(H\cup E\)').
\(A\cap B'=\varnothing\) का अर्थ है (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए हर (A) का अवयव (B) में है। / \(A\cap B'=\varnothing\) means no element of (A) lies outside (B). Hence every element of (A) is in (B).
\(A\cup B'=U\) का पूरक लेने पर \(A'\cap B=\varnothing\), इसलिए \(B\subseteq A\)। पूरक लेकर संबंध आसान हो जाता है। / Taking complement of \(A\cup B'=U\) gives \(A'\cap B=\varnothing\), so \(B\subseteq A\). Taking complements makes the relation easier.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,36\}\) है, \(A\), 4 के गुणजों का समुच्चय है और \(B\), 9 के गुणजों का समुच्चय है, तो \(|A'\cap B'|\) का मान क्या होगा?
समुच्चय \(A\) में 4 के 9 गुणज और समुच्चय \(B\) में 9 के 4 गुणज हैं। दोनों में समान तत्त्व केवल 36 है, क्योंकि 4 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य 36 है। इसलिए \(|A\cup B|=9+4-1=12\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), अतः \(|A'\cap B'|=36-12=24\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों के प्रतिच्छेद को पहले संघ के पूरक में बदलना गणना को सरल बनाता है। / Set \(A\) contains 9 multiples of 4, while set \(B\) contains 4 multiples of 9. Their only common element is 36, since the least common multiple of 4 and 9 is 36. Thus, \(|A\cup B|=9+4-1=12\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(|A'\cap B'|=36-12=24\). Exam tip: Convert an intersection of complements into the complement of a union before counting.
\(x^2-1\ge 0\) का हल \(x\le -1\) या \(x\ge 1\) है। इसका पूरक (-1<x<1), यानी ((-1,1)) है। / The solution of \(x^2-1\ge 0\) is \(x\le -1\) or \(x\ge 1\). Its complement is (-1<x<1), that is ((-1,1)).
(A) में (18), (B) में (8) और \(A\cap B\) में (36) के (2) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=18+8-2=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=72-24=48)। / (A) has (18) elements, (B) has (8), and \(A\cap B\) has (2) multiples of (36), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=72-24=48).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') होता है। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), इसलिए पूरक में (36-24=12) अवयव हैं। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). Since \(|A\cup B|=18+12-6=24\), the complement has (36-24=12) elements.
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,14)=42) के गुणज हैं, यानी ({42,84})। इसलिए (|\(A\cap B\)'|=84-2=82)। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,14)=42), namely ({42,84}). Therefore (|\(A\cap B\)'|=84-2=82).
\(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। (U) के बाकी पूर्णांक (A') बनाते हैं। / \(x^2-4x\le 0\Rightarrow 0\le x\le 4\), so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). The remaining integers of (U) form (A').
(A) में (-3) और (10) शामिल हैं, पर (4) और (7) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (A) includes (-3) and (10), but excludes (4) and (7). Therefore the complement is (\(-\infty,-3\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap B=[-1,2]\), इसलिए उसका पूरक (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)) है। अंतरालों में सीमा बिंदुओं पर ध्यान दें। / \(A\cap B=[-1,2]\), so its complement is (\(-\infty,-1\)\cup\(2,\infty\)). Watch the endpoints in interval questions.
c\(A\subseteq B'c\) का अर्थ है कि c(Ac) का प्रत्येक अवयव c(Bc) के पूरक में है, इसलिए c(Ac) और c(Bc) में कोई साझा अवयव नहीं हो सकता। अतः c\(A\cap B=\varnothingc\)। विकल्प B आवश्यक नहीं है, क्योंकि c(Ac) और c(Bc) दोनों अशून्य हो सकते हैं। परीक्षा-युक्ति: c\(A\subseteq B'c\) को समतुल्य रूप से c\(A\cap B=\varnothingc\) के रूप में याद रखें। / c\(A\subseteq B'c\) means that every element of c(Ac) lies in the complement of c(Bc). Hence, c(Ac) and c(Bc) have no common element, so c\(A\cap B=\varnothingc\). Option B is not necessary because both c(Ac) and c(Bc) may be non-empty. Exam tip: remember c\(A\subseteq B'c\) as equivalent to c\(A\cap B=\varnothingc\).
पूरक समुच्चय के गुण से |A|=|U|-|A'|=150-92=58 और |B|=150-76=74 । अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र द्वारा |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=58+74-31=101 । इसलिए |\(A\cup B\)'|=|U|-|A\cup B|=150-101=49 । |A\cap B| को घटाना आवश्यक है, क्योंकि साझा अवयवों की दो बार गिनती हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक समुच्चय का आकार उसके पूरक से निकालें, फिर संघ का पूरक ज्ञात करें। / Using the cardinality of a complement, |A|=|U|-|A'|=150-92=58 and |B|=150-76=74 . By the inclusion-exclusion formula, |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=58+74-31=101 . Therefore, |\(A\cup B\)'|=|U|-|A\cup B|=150-101=49 . The intersection must be subtracted because its elements are counted twice in |A|+|B| . Exam tip: first convert complement cardinalities into set cardinalities, then apply inclusion-exclusion and take the complement.
(1) से (40) तक (20) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (10) अभाज्य हैं। इसलिए विषम पर अभाज्य नहीं संख्याएँ (20-10=10) हैं। / There are (20) odd numbers from (1) to (40), and (10) of them are prime. So odd but not prime numbers are (20-10=10).
डी मॉर्गन नियम से (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B')। पूरक लेते समय \(\cap\) बदलकर \(\cup\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A'\cap B\)'=(A')'\cup B'=A\cup B'). When taking complement, \(\cap\) changes to \(\cup\).
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\)। दिया है कि \(A\cup B=U\), इसलिए \((A\cup B)'=U'=\varnothing\)। अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प D केवल \(A'\cup B'\) है, जो डी मॉर्गन के अनुसार \((A\cap B)'\) के बराबर होता है। परीक्षा टिप: संघ का पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Since \(A\cup B=U\), its complement is \(U'=\varnothing\). Therefore, the correct answer is \(\varnothing\). Option D represents \(A'\cup B'\), which is equal to \((A\cap B)'\), not generally to \((A\cup B)'\). Exam tip: when taking the complement of a union, change the union to an intersection and complement each set.
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\)। इसलिए पूरक में (90-66=24) अवयव हैं। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=45+30+18-15-9-6+3=66\). So the complement has (90-66=24) elements.
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({b,e,i}\cap{a,d,j}=\varnothing\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव होते हैं जो न पूर्ण वर्ग हैं और न (5) के गुणज। (22) इन दोनों शर्तों को पूरा करता है। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither perfect squares nor multiples of (5). (22) satisfies both conditions.
\(A-B=A\cap B'\), और यह रिक्त है तो (A) का कोई अवयव (B) के बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) है। / \(A-B=A\cap B'\), and if it is empty, no element of (A) lies outside (B). Hence \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(A\) में वे वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(x\le 1\) या \(x>9\) को संतुष्ट करती हैं। इसलिए इसके पूरक में \(x>1\) और \(x\le 9\) दोनों शर्तें होंगी। अतः \(A'=(1,9]\)। ध्यान रखें: 1 शामिल नहीं होगा, जबकि 9 शामिल होगा। / Set \(A\) contains real numbers satisfying \(x\le 1\) or \(x>9\). Therefore, its complement must satisfy both opposite conditions: \(x>1\) and \(x\le 9\). Hence, \(A'=(1,9]\). Note that 1 is excluded, while 9 is included.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार A और B के प्रतिच्छेद का पूरक, उनके पूरकों के संघ के बराबर होता है: \((A\cap B)'=A'\cup B'\)। विकल्प B में संघ के स्थान पर प्रतिच्छेद गलत है। परीक्षा में पूरक लेते समय \(\cap\) को \(\cup\) में बदलना याद रखें। / By De Morgan's law, the complement of the intersection of A and B equals the union of their complements: \((A\cap B)'=A'\cup B'\). Option B incorrectly keeps intersection. Exam tip: while taking complements, interchange \(\cap\) and \(\cup\).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,30\}\) है, \(A=\{x\in U:x\text{ 2 से विभाज्य है}\}\) और \(B=\{x\in U:x\text{ 3 से विभाज्य है}\}\), तो \(|A'\cup B'|\) का मान क्या है?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\\)। समुच्चय \(A\cap B\) में वे संख्याएँ होंगी जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य हैं, अर्थात 6 के गुणज: \(6,12,18,24,30\)। अतः \(|A\cap B|=5\) और \(|(A\cap B)'|=30-5=25\)। इसलिए सही उत्तर 25 है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लगाकर प्रतिच्छेद समुच्चय की गणना करें। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). The set \(A\cap B\) contains numbers divisible by both 2 and 3, that is, the multiples of 6: \(6,12,18,24,30\). Thus, \(|A\cap B|=5\), so \(|(A\cap B)'|=30-5=25\). Therefore, the correct answer is 25. Exam tip: For complement-union questions, first apply De Morgan’s law and then count the relevant intersection.
(0) और (10) (A) में हैं, जबकि (4) और (7) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)) है। / (0) and (10) are in (A), while (4) and (7) are not in (A). So the complement is (\(-\infty,0\)\cup[4,7]\cup\(10,\infty\)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए यह (U) नहीं हो सकता जब \(U\neq\varnothing\)। पूरक और मूल समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (8) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (12) के (4) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (8-4=4) अवयव हैं। / (B) has (8) elements, and \(A\cap B\) has (4) multiples of (12). Therefore \(A'\cap B\) has (8-4=4) elements.
(|U|=18) और (|A'|=7), इसलिए (|A|=18-7=11)। पूरक की संख्या कुल से घटाकर मिलती है। / (|U|=18) and (|A'|=7), so (|A|=18-7=11). The count of a set is obtained by subtracting its complement from the total.
\(x^2-9>0\) को \((x-3)(x+3)>0\) लिखने पर प्राप्त होता है कि \(x<-3\) या \(x>3\)। अतः \(A=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\) है। \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक \(-3\) से \(3\) तक के सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें दोनों सीमा-बिंदु भी शामिल हैं: \(A'=[-3,3]\)। विकल्प C स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प B में \(-3\) और \(3\) छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(>\) में मूल बिंदु शामिल नहीं होते; पूरक लेते समय वे शामिल हो जाते हैं। / Writing \(x^2-9>0\) as \((x-3)(x+3)>0\) gives \(x<-3\) or \(x>3\). Hence, \(A=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) contains every real number from \(-3\) to \(3\), including both boundary points: \(A'=[-3,3]\). Option C is the set \(A\) itself, while option B incorrectly excludes \(-3\) and \(3\). Exam tip: for a strict inequality \(>\), the zeroes are excluded from the original set but included in its complement.
(A-B={1,2,3}), इसलिए इसका पूरक (U-{1,2,3}) है। अतः सही समुच्चय ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}) है। / (A-B={1,2,3}), so its complement is (U-{1,2,3}). Thus the correct set is ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}).
(A') वे संख्याएँ हैं जो (7) से विभाज्य हैं। (100) तक (7) के \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (7). Up to (100), there are \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) multiples of (7).
सममित अंतर में वे अवयव हैं जो केवल एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव हैं जो दोनों में हों या दोनों में न हों, यानी (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\))। / The symmetric difference contains elements in exactly one set. Its complement contains elements in both or in neither, that is (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\)).
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। इनमें ({1,9,15,21}) नहीं बल्कि (U) में ({1,9,15}) के साथ ({? }) सोचने की गलती न करें; सही समुच्चय ({1,9,15}) और (? ) नहीं, बल्कि ({1,9,15}) केवल (3) हैं। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The correct odd non-primes in (U) are ({1,9,15}), so the count is (3).
(A) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक में (-4) नहीं और (3) शामिल होगा, अर्थात ((-4,3])। / (A) includes (-4) and excludes (3). So the complement excludes (-4) and includes (3), giving ((-4,3]).
समुच्चय के नियम के अनुसार, यदि \(X \cup Y = Y\), तो \(X \subseteq Y\) होता है। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) हैं, इसलिए \(A \subseteq B'\) सदैव सत्य है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D के लिए कोई पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: \(X \cup Y=Y\) दिखे, तो सीधे \(X\subseteq Y\) निष्कर्ष निकालें। / By the set identity, if \(X \cup Y = Y\), then \(X \subseteq Y\). Here, \(X=A\) and \(Y=B'\), so \(A \subseteq B'\) must always be true. Option B reverses the direction of inclusion, while options C and D do not follow from the given condition. Exam tip: whenever \(X \cup Y=Y\) is given, conclude immediately that \(X\subseteq Y\).
साझा (B') लेने पर (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\))। चूंकि \(A\cup A'=U\), परिणाम (B') है। / Factoring (B') gives (\(A\cap B'\)\cup\(A'\cap B'\)=B'\cap\(A\cup A'\)). Since \(A\cup A'=U\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(6,10)=30) के गुणज हैं, यानी (30,60)। इसलिए पूरक में (60-2=58) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(6,10)=30), namely (30,60). Hence the complement has (60-2=58) elements.
(B') विषम संख्याएँ हैं और (A) पूर्ण वर्गों का समुच्चय है। इनके प्रतिच्छेद में ({1,9}) आते हैं। / (B') is the set of odd numbers, and (A) is the set of perfect squares. Their intersection is ({1,9}).
प्राकृतिक संख्याओं में (1) न अभाज्य है न संयुक्त, इसलिए वह संयुक्त संख्याओं के पूरक में आएगा। (A') में (1) और सभी अभाज्य संख्याएँ होंगी। / In natural numbers, (1) is neither prime nor composite, so it belongs to the complement of composite numbers. (A') contains (1) and all prime numbers.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=(2,5)\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=(2,5)\). Therefore the complement is (\(-\infty,2]\cup[5,\infty\)).
\(A'=U\setminus A\) होता है। यदि \(A'=\varnothing\), तो \(U\) का कोई भी अवयव \(A\) से बाहर नहीं है; इसलिए \(A\) में \(U\) के सभी अवयव हैं और \(A=U\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(A=\varnothing\) होने पर उसका पूरक \(U\) होता। विकल्प C में \(A\) को वास्तविक उपसमुच्चय माना गया है, जिससे पूरक अशून्य होगा। परीक्षा-युक्ति: \(A'=\varnothing\iff A=U\), जबकि \(A'=U\iff A=\varnothing\)। / The complement is defined as \(A'=U\setminus A\). If \(A'=\varnothing\), no element of \(U\) lies outside \(A\), so \(A\) contains every element of \(U\) and hence \(A=U\). Option B is incorrect because the complement of \(\varnothing\) is \(U\). Option C incorrectly treats \(A\) as a proper subset, which would leave at least one element in the complement. Exam tip: remember \(A'=\varnothing\iff A=U\), whereas \(A'=U\iff A=\varnothing\).
(A') में (27-9=18) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (3) अवयव हैं, अतः कुल (18+3=21) है। / (A') has (27-9=18) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (3) elements, hence the total is (18+3=21).
\(n=0,1,2,3,4,5\) के लिए \(A=\{1,2,4,8,16,32\}\), इसलिए \(|A|=6\)। चूँकि पूरक समुच्चय \(A'\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है, अतः \(|A'|=|U|-|A|=32-6=26\)। परीक्षा-युक्ति: घातों से बने समुच्चय में दिए गए \(n\) के सभी मानों को अलग-अलग गिनें और दोहराव न होने की जाँच करें। / For \(n=0,1,2,3,4,5\), we get \(A=\{1,2,4,8,16,32\}\), so \(|A|=6\). Since the complement \(A'\) is taken with respect to the universal set \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=32-6=26\). Exam tip: list every allowed value of \(n\) and count the resulting distinct elements before subtracting from the size of the universal set.
क्योंकि \(C\subseteq A\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=12+8-4=16\), अतः पूरक (24-16=8) है। / Since \(C\subseteq A\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=12+8-4=16\), so the complement is (24-16=8).
\(A\cup B=(1,7)\) क्योंकि (4) दोनों ओर से जुड़ा है और (7) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)) है। / \(A\cup B=(1,7)\) because the intervals join at (4), and (7) is not included. Hence the complement is (\(-\infty,1]\cup[7,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। इनमें सबसे छोटी संख्या (1) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (2) nor (3). The smallest such number is (1).
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') हर स्थिति में सत्य है। \(A\cap B=\varnothing\) यहां अतिरिक्त जानकारी है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B') is true in all cases. The condition \(A\cap B=\varnothing\) is extra information here.
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') वे संख्याएँ हैं जो अभाज्य सूची में नहीं हैं। उनका प्रतिच्छेद ({4,6,8,10,12,14}) है। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains numbers not in the prime list. Their intersection is ({4,6,8,10,12,14}).
पहले भाग के पूरक में (0) और (2) की स्थिति बदलती है, और दूसरे भाग में (5) बाहर नहीं आएगा पर (9) आएगा। सही पूरक (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)) है। / The complement changes the endpoint status of (0), (2), (5), and (9). The correct complement is (\(-\infty,0]\cup[2,5\)\cup[9,\infty)).
(A'\cup B'=\(A\cap B\)')। यदि यह (U) है, तो \(A\cap B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). If this is (U), then the complement of \(A\cap B\) is (U), so \(A\cap B=\varnothing\).
यदि समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,55\}\) है तथा \(A=\{x\in U:x\text{ 5 से विभाज्य है}\}\) और \(B=\{x\in U:x\text{ 11 से विभाज्य है}\}\), तो \(|A'\cap B'|\) का मान क्या है?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), इसलिए पहले \(A\cup B\) के अवयवों की संख्या ज्ञात करें। \(U\) में 5 के 11 गुणज और 11 के 5 गुणज हैं। दोनों में साझा गुणज केवल 55 है, अतः \(|A\cup B|=11+5-1=15\)। इसलिए \(|A'\cap B'|=55-15=40\)। 39 या 41 जैसे विकल्प साझा गुणज को गलत तरीके से गिनने या घटाने से मिल सकते हैं। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में समावेशन-बहिष्करण सूत्र अवश्य लगाएँ। / By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so first count the elements in \(A\cup B\). There are 11 multiples of 5 and 5 multiples of 11 in \(U\). Their only common multiple is 55, so \(|A\cup B|=11+5-1=15\). Hence, \(|A'\cap B'|=55-15=40\). Values such as 39 or 41 can result from mishandling the common multiple while counting. Exam tip: use the inclusion–exclusion formula whenever two sets overlap.
(1) से (21) तक (11) विषम संख्याएँ हैं और उनमें (3,9,15,21) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में विषम अवयव (11-4=7) हैं। / From (1) to (21), there are (11) odd numbers, and (3,9,15,21) are divisible by (3). So odd elements in (A') are (11-4=7).
\(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-2) या (x>4), यानी (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(x^2-2x-8\le 0\Rightarrow -2\le x\le 4\). Its complement is (x<-2) or (x>4), that is (\(-\infty,-2\)\cup\(4,\infty\)).
एक कक्षा के (80) विद्यार्थियों में (46) क्रिकेट खेलते हैं, (38) फुटबॉल खेलते हैं और (20) दोनों खेलते हैं। कोई भी खेल न खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
\(|C\cup F|=46+38-20=64\), इसलिए न कोई खेल खेलने वाले (|\(C\cup F\)'|=80-64=16) हैं। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|C\cup F|=46+38-20=64\), so those playing neither are (|\(C\cup F\)'|=80-64=16). Read neither as the complement of the union.
A ⊆ B होने पर B के प्रत्येक तत्व में A के तत्व भी शामिल होते हैं। इसलिए जो तत्व B में नहीं है, वह A में भी नहीं हो सकता; अतः B' ⊆ A'। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय लेने पर पूरक का समावेशन उलट जाता है। / If A ⊆ B, every element of A lies in B. Hence an element outside B must also be outside A, so B' ⊆ A'. Exam tip: taking complements reverses the subset relation.
(A) में (16), (B) में (12) और \(A\cap B\) में (24) के (4) गुणज हैं, इसलिए \(|A\cup B|=24\)। अतः (|\(A\cup B\)'|=96-24=72)। / (A) has (16) elements, (B) has (12), and \(A\cap B\) has (4) multiples of (24), so \(|A\cup B|=24\). Hence (|\(A\cup B\)'|=96-24=72).
डी मॉर्गन नियम से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') है। \(A\cap B\) में (18) के (3) गुणज हैं, इसलिए \(|A'\cup B'|=54-3=51\)। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). \(A\cap B\) has (3) multiples of (18), so \(|A'\cup B'|=54-3=51\).
A. ({-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,7,8,9,10})
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\) नहीं, सही हल \(4\le x\le 5\) है, इसलिए \(A=\{4,5\}\)। दिए गए विकल्पों में (A') वही है जो (U) से (4,5) हटाकर बनता है। / \(x^2-9x+20\le 0\Rightarrow 4\le x\le 5\), so \(A=\{4,5\}\). The complement is obtained by removing (4,5) from (U).
\(A\cup B=(-6,5)\) है, क्योंकि (-6) और (5) शामिल नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)) है। / \(A\cup B=(-6,5)\), because (-6) and (5) are not included. Therefore the complement is (\(-\infty,-6]\cup[5,\infty\)).
पूरक लेने पर समावेशन उलट जाता है, इसलिए \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\)। इस उल्टे क्रम को हमेशा याद रखें। / Taking complements reverses inclusion, so \(A'\subseteq B'\Rightarrow B\subseteq A\). Always remember this reversed order.
सबसे पहले, \(|B|=|U|-|B'|=180-110=70\)। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=85+70-28=127\)। अतः \(|(A\cup B)'|=|U|-|A\cup B|=180-127=53\), इसलिए विकल्प C सही है। परीक्षा में किसी संघ का पूरक ज्ञात करने के लिए पहले संघ की कार्डिनैलिटी निकालकर उसे सार्वत्रिक समुच्चय की कार्डिनैलिटी से घटाएँ। / First, \(|B|=|U|-|B'|=180-110=70\). By the inclusion-exclusion principle, \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=85+70-28=127\). Therefore, \(|(A\cup B)'|=|U|-|A\cup B|=180-127=53\), so option C is correct. The common error is to use \(|B'|\) as \(|B|\); always find the set's cardinality from its complement before applying the union formula.
(1) से (49) तक (25) विषम संख्याएँ हैं और विषम पूर्ण वर्ग (1,9,25,49) यानी (4) हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (25-4=21) अवयव हैं। / There are (25) odd numbers from (1) to (49), and the odd perfect squares are (1,9,25,49), so there are (4). Hence \(A'\cap B\) has (25-4=21) elements.
डी मॉर्गन नियम से (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B)। पूरक लेते समय \(\cup\) बदलकर \(\cap\) होता है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B'\)'=A'\cap(B')'=A'\cap B). When taking complement, \(\cup\) changes to \(\cap\).
\(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\)। इसका पूरक (x<-8) या (x>4), यानी (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)) है। / \(|x+2|\le 6\Rightarrow -8\le x\le 4\). Its complement is (x<-8) or (x>4), that is (\(-\infty,-8\)\cup\(4,\infty\)).
\(A\cap B=U\) होने पर (A=U) और (B=U) होंगे। डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing)। / If \(A\cap B=U\), then (A=U) and (B=U). By De Morgan, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'=U'=\varnothing).
समावेशन-बहिष्करण से \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\)। इसलिए पूरक में (120-44=76) नहीं, ध्यान से सही गणना (30+20+12-10-6-4+2=44) और (120-44=76) है। / By inclusion-exclusion, \(|A\cup B\cup C|=30+20+12-10-6-4+2=44\). Hence the complement is (120-44=76).
(\(A\cup B\)'=A'\cap B') और \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\)। दिए गए पूरकों पर सीधे डी मॉर्गन लगाएं। / (\(A\cup B\)'=A'\cap B'), and \({q,s,w}\cap{p,s,u}={s}\). Apply De Morgan directly to the given complements.
\(A'\cap B'\) में वे अवयव हैं जो न (4) के गुणज हैं और न पूर्ण वर्ग हैं। (18) इन दोनों में नहीं आता। / \(A'\cap B'\) contains elements that are neither multiples of (4) nor perfect squares. (18) is in neither of them.
\(B-A=B\cap A'\) है और यह (B) के बराबर है, इसलिए (B) का कोई अवयव (A) में नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\)। / \(B-A=B\cap A'\), and if it equals (B), no element of (B) lies in (A). Hence \(A\cap B=\varnothing\).
समुच्चय \(A\) में वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो \(-4\) से छोटी या \(2\) के बराबर अथवा बड़ी हैं। इसलिए उसके पूरक में \(-4\) से \(2\) तक की संख्याएँ होंगी; \(-4\) शामिल होगा क्योंकि \(-4\not< -4\), जबकि \(2\) शामिल नहीं होगा क्योंकि \(2\ge 2\)। अतः \(A'=[-4,2)\)। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय असमिकाओं के चिह्न बदलें और समापन बिंदुओं पर समावेशन अवश्य जाँचें। / The set \(A\) contains all real numbers less than \(-4\) or greater than or equal to \(2\). Hence, its complement consists of the real numbers from \(-4\) to \(2\); \(-4\) is included because \(-4\not< -4\), whereas \(2\) is excluded because \(2\ge 2\). Therefore, \(A'=[-4,2)\). Exam tip: When finding a complement, reverse the inequality conditions and check whether each endpoint is included.
\(A\subseteq B\) से पूरक लेने पर \(B'\subseteq A'\) मिलता है। दूसरी शर्त इस निष्कर्ष के लिए आवश्यक नहीं है। / From \(A\subseteq B\), taking complements gives \(B'\subseteq A'\). The second condition is not needed for this conclusion.
समुच्चय U, चार परस्पर असंयुक्त भागों में विभाजित है: \(A\cap B\), \(A'\cap B\), \(A'\cap B'\) और \(A\cap B'\)। इसलिए इन चारों भागों की कार्डिनैलिटी का योग \(|U|\) के बराबर होगा। अतः \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\)। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: पूरक समुच्चयों से बने चारों क्षेत्रों को एक बार अवश्य जाँचें, ताकि किसी क्षेत्र को दो बार गिनने या छोड़ने की गलती न हो। / The universal set U is partitioned into four mutually disjoint regions: \(A\cap B\), \(A'\cap B\), \(A'\cap B'\), and \(A\cap B'\). Their cardinalities must add up to \(|U|\). Hence, \(|A\cap B'|=90-24-17-29=20\), so option B is correct. Exam tip: List all four disjoint Venn-diagram regions before adding or subtracting their cardinalities to avoid omitting a region.
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,\ldots,42\}\) है, \(A=\{x\in U:x\text{ 3 से विभाज्य है}\}\) और \(B=\{x\in U:x\text{ 7 से विभाज्य है}\}\) है, तो \(|A'\cup B'|\) का मान क्या है?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cup B'=(A\cap B)'\)। समुच्चय \(A\cap B\) में वे संख्याएँ होंगी जो 3 और 7 दोनों से विभाज्य हैं, अर्थात् 21 के गुणज। \(U\) में ऐसे केवल \(21\) और \(42\) हैं, इसलिए \(|A\cap B|=2\)। अतः \(|A'\cup B'|=|U|-|A\cap B|=42-2=40\)। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले \(A'\cup B'\) को \((A\cap B)'\) में बदलें। / By De Morgan’s law, \(A'\cup B'=(A\cap B)'\). The set \(A\cap B\) contains numbers divisible by both 3 and 7, that is, multiples of 21. Within \(U\), these are only \(21\) and \(42\), so \(|A\cap B|=2\). Therefore, \(|A'\cup B'|=|U|-|A\cap B|=42-2=40\). Exam tip: First rewrite a union of complements using De Morgan’s law.
(-1) (A) में नहीं है, (3) (A) में है और (8) (A) में नहीं है। इसलिए पूरक ([-1,3)\cup[8,\infty)) है। / (-1) is not in (A), (3) is in (A), and (8) is not in (A). Hence the complement is ([-1,3)\cup[8,\infty)).
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(U\neq\varnothing\) होने पर यह (U) नहीं हो सकता। मूल समुच्चय और पूरक असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (10) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (35) के (2) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (10-2=8) अवयव हैं। / (B) has (10) elements, and \(A\cap B\) has (2) multiples of (35). Therefore \(A'\cap B\) has (10-2=8) elements.
(|U|=24) और (|A'|=8), इसलिए (|A|=24-8=16)। पूरक की संख्या कुल में से घटाकर मिलती है। / (|U|=24) and (|A'|=8), so (|A|=24-8=16). The count of a set is found by subtracting its complement from the total.
पहले \(B-A\) ज्ञात करते हैं। समुच्चय \(B\) में से वे तत्व हटाने पर जो \(A\) में भी हैं, \(B-A=\{9,15,18\}\) प्राप्त होता है। अब \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक लेने पर \((B-A)'=U-\{9,15,18\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17\}\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। / First find \(B-A\). Removing from \(B\) the elements that are also in \(A\), namely 6 and 12, gives \(B-A=\{9,15,18\}\). Therefore, \((B-A)'=U-\{9,15,18\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17\}\). Hence, option A is correct. Exam tip: the complement of a set is always taken with respect to the specified universal set \(U\).
(A') वे संख्याएँ हैं जो (12) से विभाज्य हैं। (144) तक (12) के \(\frac{144}{12}=12\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (12). Up to (144), there are \(\frac{144}{12}=12\) multiples of (12).
A. अवयव दोनों में हैं या दोनों में नहीं हैं/Elements are in both sets or in neither set
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे अवयव होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव देता है जो दोनों में हों या दोनों में न हों। / \(A\triangle B\) contains elements in exactly one set. Its complement gives elements that are in both or in neither.
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। (1) से (30) तक विषम अभाज्य नहीं संख्याएँ ({1,9,15,21,25,27}) नहीं, साथ में (? ) नहीं; सही सूची ({1,9,15,21,25,27}) है, इसलिए संख्या (6) है। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The odd non-primes from (1) to (30) are ({1,9,15,21,25,27}), so the count is (6).
यदि \(x\in B'\), तो \(x\notin B\) होगा। चूँकि \(A\subseteq B\) है, इसलिए \(x\) का \(A\) में होना भी असंभव है; अतः \(x\in A'\)। इसलिए \(B'\subseteq A'\)। परीक्षा टिप: पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। / If \(x\in B'\), then \(x\notin B\). Since \(A\subseteq B\), such an \(x\) cannot belong to \(A\), so \(x\in A'\). Hence \(B'\subseteq A'\). Exam tip: taking complements reverses the direction of inclusion.
\(A'\cap B'=A'\) का अर्थ है कि \(A'\) का प्रत्येक अवयव \(B'\) में भी शामिल है। इसलिए \(A'\subseteq B'\) सदैव सत्य है। ध्यान दें कि पूरक लेने पर यह शर्त समतुल्य रूप से \(B\subseteq A\) भी देती है; इससे \(A\subseteq B\) निष्कर्षित नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(X\cap Y=X\) होने पर हमेशा \(X\subseteq Y\) होता है। / The equality \(A'\cap B'=A'\) means that every element of \(A'\) is also an element of \(B'\). Hence \(A'\subseteq B'\) is always true. On taking complements, this condition is equivalently \(B\subseteq A\), not generally \(A\subseteq B\). Exam tip: whenever \(X\cap Y=X\), conclude that \(X\subseteq Y\).
वितरण नियम से (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\))। चूंकि \(A\cap A'=\varnothing\), परिणाम (B') है। / By distributive law, (\(A\cup B'\)\cap\(A'\cup B'\)=B'\cup\(A\cap A'\)). Since \(A\cap A'=\varnothing\), the result is (B').
\(A\cap B\) में (\operatorname{lcm}(12,21)=84) के गुणज हैं, इसलिए केवल (84) आता है। अतः पूरक में (84-1=83) अवयव हैं। / \(A\cap B\) contains multiples of (\operatorname{lcm}(12,21)=84), so only (84) appears. Hence the complement has (84-1=83) elements.
\(A\cap B'\) का अर्थ है (A) में हों पर (B) में न हों। (A) से (9) हटाने पर ({1,4,16}) मिलता है। / \(A\cap B'\) means elements in (A) but not in (B). Removing (9) from (A) gives ({1,4,16}).
(A) में अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं, इसलिए (A') में ठीक अभाज्य संख्याएँ होंगी। (1) अभाज्य नहीं है, इसलिए (A') में नहीं आएगा। / (A) contains non-prime numbers, so (A') contains exactly prime numbers. (1) is not prime, so it is not in (A').
(A'\cup B'=\(A\cap B\)') और \(A\cap B=[1,4]\) है। इसलिए पूरक (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)) होगा। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'), and \(A\cap B=[1,4]\). Therefore the complement is (\(-\infty,1\)\cup\(4,\infty\)).
A. (U) सार्वत्रिक समुच्चय है/(U) is the universal set
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। इसलिए \(U'=\varnothing\) पूरक की मूल पहचान है। / The complement of the universal set is always the empty set. Thus \(U'=\varnothing\) is a basic complement identity.
(A') में (32-8=24) अवयव हैं और \(B\subseteq A\), इसलिए \(A'\cap B=\varnothing\)। (B) में (2) अवयव हैं, अतः कुल (26) है। / (A') has (32-8=24) elements and \(B\subseteq A\), so \(A'\cap B=\varnothing\). (B) has (2) elements, hence the total is (26).
यदि \\(U=\\{1,2,\\ldots,64\\}\\) तथा \\(A=\\{x:x=2^n,\\ n\\in\\mathbb{N},\\ 1\\le n\\le 6\\}\\) है, तो सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष \\(A'\\) का मानक विचलन नहीं, बल्कि उसका क्रमांक \\(|A'|\\) कितना है?
दिए गए मानों के लिए \\(n=1,2,3,4,5,6\\) होने पर \\(A=\\{2,4,8,16,32,64\\}\\) मिलता है, इसलिए \\(|A|=6\\)। सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) में कुल 64 अवयव हैं। अतः पूरक समुच्चय के लिए \\(|A'|=|U|-|A|=64-6=58\\)। परीक्षा में पहले घातों से बनने वाले अलग-अलग अवयव गिनें, फिर पूरक का सूत्र लगाएँ। / For \\(n=1,2,3,4,5,6\\), the set is \\(A=\\{2,4,8,16,32,64\\}\\), so \\(|A|=6\\). The universal set \\(U\\) contains 64 elements. Therefore, \\(|A'|=|U|-|A|=64-6=58\\). A common mistake is to count 0 or 1 in \\(A\\); neither is generated because the range starts at \\(n=1\\).
क्योंकि \(C\subseteq A\) और \(C\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B\cup C=A\cup B\)। \(|A\cup B|=18+12-6=24\), अतः पूरक (36-24=12) है। / Since \(C\subseteq A\) and \(C\subseteq B\), \(A\cup B\cup C=A\cup B\). \(|A\cup B|=18+12-6=24\), so the complement is (36-24=12).
\(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]) है, इसलिए (2) शामिल नहीं है। पूरक में (\(-\infty,-3\)), ({2}) और (\(6,\infty\)) आएंगे। / \(A\cup B=[-3,2\)\cup(2,6]), so (2) is not included. The complement contains (\(-\infty,-3\)), ({2}), and (\(6,\infty\)).
(\(A\cup B\)') में वे संख्याएँ हैं जो न (3) से और न (5) से विभाज्य हैं। (45) से नीचे ऐसी सबसे बड़ी संख्या (44) है। / (\(A\cup B\)') contains numbers divisible by neither (3) nor (5). The greatest such number below (45) is (44).
\(A\cup B=\varnothing\) से \(A=\varnothing\) और \(B=\varnothing\) हैं। इसलिए (A'=U), (B'=U), और \(A'\cap B'=U\)। / \(A\cup B=\varnothing\) gives \(A=\varnothing\) and \(B=\varnothing\). Thus (A'=U), (B'=U), and \(A'\cap B'=U\).
(A') सम संख्याएँ हैं और (B') में (B) के बाहर के अवयव हैं। दोनों में सामान्य अवयव ({4,6,10,12,14,16}) हैं। / (A') is the set of even numbers, and (B') contains elements outside (B). Their common elements are ({4,6,10,12,14,16}).
(-5) और (7) (A) में हैं, जबकि (-1) और (2) (A) में नहीं हैं। इसलिए पूरक (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)) है। / (-5) and (7) are in (A), while (-1) and (2) are not in (A). Therefore the complement is (\(-\infty,-5\)\cup[-1,2]\cup\(7,\infty\)).
(A'\cap B'=\(A\cup B\)') है। यदि यह (U) है, तो \(A\cup B\) का पूरक (U) है, इसलिए \(A\cup B=\varnothing\)। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'). If this is (U), the complement of \(A\cup B\) is (U), so \(A\cup B=\varnothing\).
\(यदि सार्वत्रिक समुच्चय 8\(U=\{1,2,\ldots,77\}\)\u00029 है, तथा 8\(A=\{x\in U:x\text{ 7 से विभाज्य है}\}\)\u00029 और 8\(B=\{x\in U:x\text{ 11 से विभाज्य है}\}\)\u00029 हैं, तो 8|A'\cap B'|\u00029 का मान क्या है\)?
समुच्चय \(A\) में 7 के गुणज हैं, इसलिए \(|A|=\lfloor77/7\rfloor=11\), और \(|B|=\lfloor77/11\rfloor=7\)। दोनों में समान तत्व केवल 77 है, अतः \(|A\cap B|=\lfloor77/\operatorname{lcm}(7,11)\rfloor=1\)। इसलिए \(|A\cup B|=11+7-1=17\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\\), अतः \(|A'\cap B'|=77-17=60\)। परीक्षा-टिप: पूरकों के प्रतिच्छेद को पहले \((A\cup B)'\) में बदलकर समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगाएँ। / The set \(A\) contains the multiples of 7, so \(|A|=\lfloor77/7\rfloor=11\), while \(|B|=\lfloor77/11\rfloor=7\). Their only common element is 77, hence \(|A\cap B|=\lfloor77/\operatorname{lcm}(7,11)\rfloor=1\). Therefore, \(|A\cup B|=11+7-1=17\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(|A'\cap B'|=77-17=60\). Exam tip: Convert an intersection of complements into the complement of a union, then apply inclusion–exclusion carefully.
(1) से (33) तक (16) सम संख्याएँ हैं और उनमें (6,12,18,24,30) (3) से विभाज्य हैं। इसलिए (A') में सम अवयव (16-5=11) हैं। / From (1) to (33), there are (16) even numbers, and (6,12,18,24,30) are divisible by (3). So even elements in (A') are (16-5=11).
\(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), इसलिए \(x^2+x-6\ge 0\) के लिए \(x\le -3\) या \(x\ge 2\)। अतः \(A=(-\infty,-3]\cup[2,\infty)\)। इसका \(\mathbb{R}\) में पूरक उन बिंदुओं का समुच्चय है जो \(A\) में शामिल नहीं हैं, अर्थात \(-3<x<2\), इसलिए \(A'=(-3,2)\)। परीक्षा में याद रखें: असमिकता में बराबरी होने पर मूल बिंदु \(A\) में शामिल होते हैं, लेकिन पूरक में नहीं। / Since \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), the inequality \(x^2+x-6\ge 0\) holds for \(x\le -3\) or \(x\ge 2\). Thus, \(A=(-\infty,-3]\cup[2,\infty)\). Its complement in \(\mathbb{R}\) contains the points not included in \(A\), namely \(-3<x<2\). Therefore, \(A'=(-3,2)\). Exam tip: when the original inequality includes equality, the boundary points belong to \(A\) and are excluded from its complement.
समुच्चय \(A'\) और \(B\) का संघफल \(B\) के बराबर है। इसका अर्थ है कि \(A'\) का प्रत्येक अवयव पहले से ही \(B\) में उपस्थित है; इसलिए \(A'\subseteq B\)। विकल्प B समावेशन की दिशा उलट देता है, जबकि विकल्प C और D इस शर्त से आवश्यक रूप से नहीं निकलते। परीक्षा-युक्ति: \(X\cup Y=Y\) हो, तो तुरंत \(X\subseteq Y\) निष्कर्षित करें। / Since the union of \(A'\) and \(B\) is exactly \(B\), every element of \(A'\) must already belong to \(B\). Hence, \(A'\subseteq B\). Option B reverses the direction of inclusion, while options C and D do not necessarily follow from the given condition. Exam tip: whenever \(X\cup Y=Y\), conclude immediately that \(X\subseteq Y\).
एक समूह में (150) विद्यार्थी हैं, (82) गणित पढ़ते हैं, (74) जीवविज्ञान पढ़ते हैं और (36) दोनों पढ़ते हैं। दोनों में से कोई भी विषय न पढ़ने वाले कितने हैं?
\(|M\cup B|=82+74-36=120\), इसलिए neither की संख्या (|\(M\cup B\)'|=150-120=30) है। neither को संघ के पूरक के रूप में पढ़ें। / \(|M\cup B|=82+74-36=120\), so the number studying neither is (|\(M\cup B\)'|=150-120=30). Read neither as the complement of the union.
हर 18 का गुणज 6 का भी गुणज होता है, इसलिए \(B\subseteq A\)। अतः \(A\cup B=A\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\)। इसलिए सही उत्तर \(A'\) है। ध्यान रखें: यदि \(B\subseteq A\), तो उसके पूरकों के लिए \(A'\subseteq B'\) होता है; इस कारण उत्तर \(B'\) नहीं है। / Every multiple of 18 is also a multiple of 6, so \(B\subseteq A\). Therefore, \(A\cup B=A\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\). Hence, the correct answer is \(A'\). Exam tip: if \(B\subseteq A\), then their complements satisfy \(A'\subseteq B'\), so \(B'\) is not the answer.
