Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर 18 का गुणज 6 का भी गुणज होता है, इसलिए \(B\subseteq A\)। अतः \(A\cup B=A\)। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\)। इसलिए सही उत्तर \(A'\) है। ध्यान रखें: यदि \(B\subseteq A\), तो उसके पूरकों के लिए \(A'\subseteq B'\) होता है; इस कारण उत्तर \(B'\) नहीं है। / Every multiple of 18 is also a multiple of 6, so \(B\subseteq A\). Therefore, \(A\cup B=A\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'=A'\). Hence, the correct answer is \(A'\). Exam tip: if \(B\subseteq A\), then their complements satisfy \(A'\subseteq B'\), so \(B'\) is not the answer.
\(यदि सार्वत्रिक समुच्चय �(\(U=\{1,2,\ldots,48\}\))� है, �(\(A=\{x\in U:x\text{ 4 का गुणज है}\}\))� और �(\(B=\{x\in U:x\text{ 8 का गुणज है}\}\))� है, तो �\(A'\cap B'\)� किसके बराबर है\)?
8 का प्रत्येक गुणज 4 का भी गुणज होता है, इसलिए \(B\subseteq A\) और \(A\cup B=A\)। डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), अतः \(A'\cap B'=A'\)। परीक्षा-युक्ति: जब एक समुच्चय दूसरे का उपसमुच्चय हो, तो उनका संघ बड़ा समुच्चय होता है। / Every multiple of 8 is also a multiple of 4, so \(B\subseteq A\) and hence \(A\cup B=A\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\), so \(A'\cap B'=A'\). Exam tip: when one set is a subset of another, their union is the larger set.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \(A'\cap B'=(A\cup B)'\)। दिया है कि \(A\cup B=U\), इसलिए \((A\cup B)'=U'=\varnothing\)। अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प D केवल \(A'\cup B'\) है, जो डी मॉर्गन के अनुसार \((A\cap B)'\) के बराबर होता है। परीक्षा टिप: संघ का पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\). Since \(A\cup B=U\), its complement is \(U'=\varnothing\). Therefore, the correct answer is \(\varnothing\). Option D represents \(A'\cup B'\), which is equal to \((A\cap B)'\), not generally to \((A\cup B)'\). Exam tip: when taking the complement of a union, change the union to an intersection and complement each set.
B. \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), अर्थात वे संख्याएँ जो न तो सम हैं और न 5 की गुणज हैं/\(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\), the numbers that are neither even nor multiples of 5
Explanation
Simple Explanation
\(A'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो सम नहीं हैं, जबकि \(B'\) में वे संख्याएँ होती हैं जो 5 की गुणज नहीं हैं। इसलिए \(A'\cap B'\) में ऐसी संख्याएँ होंगी जो दोनों शर्तें पूरी करती हैं—न सम और न 5 की गुणज। \(U\) में ये संख्याएँ \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\) हैं। डी मॉर्गन के नियम से \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) भी होता है। परीक्षा-सूत्र: पूरक समुच्चयों का प्रतिच्छेद लेने पर मूल दोनों शर्तों का निषेध लेना होता है; इसे “neither-nor” के रूप में याद रखें। / \(A'\) contains the elements that are not even, while \(B'\) contains the elements that are not multiples of 5. Hence, \(A'\cap B'\) contains numbers satisfying both conditions: they are neither even nor multiples of 5. Within \(U\), this set is \(\{1,3,7,9,11,13,17,19\}\). By De Morgan’s law, \(A'\cap B'=(A\cup B)'\) as well. Exam tip: the intersection of two complements represents “neither this nor that,” not “both this and that.”
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\)। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) रखने पर \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\) प्राप्त होता है, क्योंकि \((B')'=B\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में पूरक और संघ का प्रयोग सही क्रम में नहीं हुआ है। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन नियम लगाने के बाद दोहरे पूरक को अवश्य हटाएँ। / By De Morgan’s law, \((X\cap Y)'=X'\cup Y'\). Taking \(X=A\) and \(Y=B'\), we get \((A\cap B')'=A'\cup(B')'=A'\cup B\), since \((B')'=B\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly handles the complement and the union. Exam tip: after applying De Morgan’s law, always simplify any double complement.
