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पहले तीन मानों के सामान्य मान के लिए (3) विकल्प हैं और बाकी दो इनपुट के लिए \(3^2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3^2=27\) फलन हैं। / There are (3) choices for the common value of the first three inputs and \(3^2\) choices for the remaining two inputs. Total functions are \(3\cdot3^2=27\).
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं होता। / At (x=2), both (y=2) and (y=-2) occur. A relation is not a function if one input has two images.
\(5-ax^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए अऋण तभी रहेगा जब \(a\le0\) हो। मूल वाले फलन में अंदर की राशि हर इनपुट पर अऋण होनी चाहिए। / The expression \(5-ax^2\) stays non-negative for all real (x) only when \(a\le0\). In a square-root function the radicand must be non-negative for every input.
मान केवल (2) और (4) से लेने हैं और दोनों मान आने चाहिए। इसलिए संख्या \(2^5-2=30\) है। / Values must be taken only from (2) and (4), and both values must occur. Hence the number is \(2^5-2=30\).
B. यह फलन है क्योंकि \(n^3-n\) हमेशा (3) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^3-n\) is always divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
(n-3-n=n(n-1)(n+1)) लगातार तीन पूर्णांकों का गुणनफल है, इसलिए (3) से विभाज्य है। सहप्रांत जांचने के लिए पूर्णांकता पर ध्यान दें। / Since (n-3-n=n(n-1)(n+1)) is the product of three consecutive integers, it is divisible by (3). For codomain checking, focus on integrality.
A. यह फलन है और परिसर ({3,4,5,6}) है/It is a function and range is ({3,4,5,6})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए (y=7-x) अद्वितीय है और दिए गए सहप्रांत में है। सीमित समुच्चय में सभी इनपुटों की छवि जांचें। / For every (x), (y=7-x) is unique and lies in the given codomain. In finite sets check the image of every input.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+3) है, पर (x=3) हटने से मान (6) नहीं मिलता। हटाए गए इनपुट का संभावित आउटपुट भी हट सकता है। / On the given domain (f(x)=x+3), but removing (x=3) removes the value (6). The output of an excluded input may also be excluded.
(f(1)<f(2)) के लिए \(\binom{4}{2}=6\) जोड़े हैं और (f(3)=f(4)) के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(6\cdot4=24\) फलन हैं। / There are \(\binom{4}{2}=6\) pairs for (f(1)<f(2)) and (4) choices for (f(3)=f(4)). Total functions are \(6\cdot4=24\).
विकल्प (C) में (0) की दो छवियां (p) और (r) हैं। फलन में हर इनपुट की छवि ठीक एक होनी चाहिए। / In option (C), (0) has two images (p) and (r). In a function each input must have exactly one image.
\(-1\le x\le3\) पर मान (4) है और सिरों (x=-2) तथा (x=4) पर मान (6) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट से परिसर जल्दी मिलता है। / For \(-1\le x\le3\), the value is (4), and at endpoints (x=-2) and (x=4), the value is (6). Breakpoints of modulus help find the range quickly.
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, और उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। फलनों की संख्या और ग्राफ के युग्मों की संख्या अलग बातें हैं। / There is one empty function from the empty domain, and its graph has no ordered pair. The number of functions and the number of graph pairs are different facts.
C. (f\(a_1\)) और (f\(a_2\)) दोनों (B) में हैं/Both (f\(a_1\)) and (f\(a_2\)) lie in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर इनपुट की छवि सहप्रांत (B) में होती है। अलग इनपुटों की छवियां समान भी हो सकती हैं। / In a function the image of every input lies in the codomain (B). Different inputs may also have the same image.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक (x) पर दो (y) आ सकते हैं। / At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+4}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए विविक्तिका \(a^2-16<0\) चाहिए। अतः (|a|<4) सही है। / The denominator must never be zero, so the discriminant must satisfy \(a^2-16<0\). Hence (|a|<4) is correct.
छह इनपुटों में से ठीक 3 इनपुट चुनने हैं जिन्हें 1 पर भेजा जाएगा; शेष 3 इनपुट स्वतः 0 पर जाएंगे। इसलिए फलनों की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। विकल्प 64 सभी संभावित फलनों की संख्या है, लेकिन उनमें 1 की छवि वाले इनपुटों की संख्या निश्चित रूप से 3 नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: जब किसी द्विआधारी फलन में ठीक \(r\) इनपुटों की छवि 1 हो, तो फलनों की संख्या \(\binom{n}{r}\) होती है। / Choose exactly 3 of the 6 inputs to map to 1; the remaining 3 inputs must map to 0. Hence, the number of functions is \(\binom{6}{3}=20\). The value 64 counts all functions from a 6-element set to a 2-element set, without fixing how many inputs map to 1. Exam tip: for a function into \(\{0,1\}\) with exactly \(r\) inputs mapping to 1, the count is \(\binom{n}{r}\).
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
नियम (x) को (6-x) पर भेजता है और दोबारा वही नियम मूल मान लौटा देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है। / The rule sends (x) to (6-x), and applying the same rule again returns the original value. Thus the inverse relation is the same function.
(x-2-4x+7=(x-2)2+3) है, इसलिए न्यूनतम मान (3) है। वर्ग पूरा करके द्विघात फलन का परिसर निकालें। / Since (x-2-4x+7=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Complete the square to find the range of a quadratic function.
(n=1) पर \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) प्राकृतिक संख्या नहीं है। \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) में हर प्राकृतिक इनपुट का मान प्राकृतिक होना चाहिए। / At (n=1), \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) is not a natural number. In \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), every natural input must have a natural value.
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं/Because (x=1) has images (2) and (4)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) के लिए (y=2) और (y=4) दोनों से अंतर विषम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते। / For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the difference odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
यदि
f:
\(\{0,1,2,3,4\}\to\{0,1,2,3,4\}\) को \(f(x)\), \(3x\) को \(5\) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है, तो इसका मान-परास क्या है?
डोमेन के लिए \(x=0,1,2,3,4\) रखने पर \(f(x)\) के मान क्रमशः \(0,3,1,4,2\) मिलते हैं। इसलिए प्राप्त मानों का समुच्चय \(\{0,1,2,3,4\}\) है, जो विकल्प A है। विकल्प D केवल कुछ सम मानों को दर्शाता है और \(1\) तथा \(3\) को छोड़ देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान-परास निकालने के लिए डोमेन के प्रत्येक अवयव का वास्तविक प्रतिचित्रण लिखें; केवल सह-डोमेन देखकर उत्तर न दें। / Substituting \(x=0,1,2,3,4\) gives the remainders \(0,3,1,4,2\), respectively. Hence the set of attained values is \(\{0,1,2,3,4\}\), so option A is correct. Option D includes only some even remainders and omits \(1\) and \(3\). Exam tip: To find the range, evaluate the function for every element of the domain; do not simply copy the codomain.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+4) है, लेकिन (x=4) हटने से मान (8) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे हुए इनपुट की छवि हट जाती है। / On the given domain (f(x)=x+4), but removing (x=4) removes the value (8). After simplification, the image of the excluded input is removed.
A. जब (1,2,3,4) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए/When each of (1,2,3,4) appears exactly once as a first component
Explanation
Simple Explanation
ठीक (4) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के हर अवयव की एक-एक छवि चाहिए। द्वितीय घटकों का संतुलन आवश्यक नहीं है। / With exactly (4) pairs, a function needs one image for each element of (A). Balance among second components is not required.
सममिति से अधिकतम \(x=\frac{9}{2}\) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}\) है। वर्गमूल योग में संतुलित बिंदु जांचें। / By symmetry the maximum occurs at \(x=\frac{9}{2}\), and the value is \(2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
कुल संबंध \(2^{|A||B|}=2^{15}\) और कुल फलन \(|B|^{|A|}=5^3\) होते हैं। दोनों सूत्रों को अलग रखें। / Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{15}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=5^3\). Keep the two formulas separate.
दिए गए इनपुटों पर मान \(-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में सीधे प्रतिस्थापन करें। / At the given inputs, the values are \(-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\). For a finite domain, substitute directly.
(x=2) दूसरे भाग में आता है, इसलिए (f(2)=22-1=3) है। खंडित फलन में सीमा चिह्न ध्यान से देखें। / The input (x=2) belongs to the second part, so (f(2)=22-1=3). In piecewise functions, read the boundary sign carefully.
\(\sqrt{2x-1}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge\frac{1}{2}\) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन के लिए हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए। / The expression \(\sqrt{2x-1}\) is real only when \(x\ge\frac{1}{2}\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
कुल \(2^5=32\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(1)=b), (f(5)=a) में \(2^3=8\) फलन हैं। अतः (32-8=24) है। / There are \(2^5=32\) total functions, and the opposite case (f(1)=b), (f(5)=a) gives \(2^3=8\) functions. Hence (32-8=24).
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (6) और परिसर \([6,\infty\)) है। / For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (6) and the range is \([6,\infty\)).
हर दिए गए (x) का वास्तविक पंचममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक मानों में एकमात्र होता है। / Each given (x) has a unique real fifth root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real values.
B. नहीं, क्योंकि \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)/No, because \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(3)=9-6+1=4) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं। / Here (f(3)=9-6+1=4), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
दिया गया संबंध \(R=\{(x,y): |x+y|=2,\ x\in\{-2,0,2\},\ y\in\{-4,-2,0,2,4\}\}\) प्रांत \(\{-2,0,2\}\) से सहप्रांत \(\{-4,-2,0,2,4\}\) में माना गया है। यह संबंध फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) की दो छवियां \(y=2\) और \(y=-2\) हैं/Because \(x=0\) has two images, \(y=2\) and \(y=-2\)
Explanation
Simple Explanation
\(x=0\) रखने पर \(|y|=2\) मिलता है, इसलिए \(y=2\) और \(y=-2\) दोनों के लिए ordered pairs संबंध में आते हैं। फलन में प्रत्येक प्रांत-तत्व की ठीक एक छवि होनी चाहिए; एक ही \(x\) की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं रहता। वास्तव में \(x=2\) के लिए \(y=0,-4\) और \(x=-2\) के लिए \(y=0,4\) भी दो-दो छवियां मिलती हैं, इसलिए B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जांच करते समय हर domain element से निकलने वाली images की संख्या देखें—ठीक एक होनी चाहिए। / Putting \(x=0\) into \(|x+y|=2\) gives \(|y|=2\), so both \(y=2\) and \(y=-2\) form ordered pairs in the relation. A function must assign exactly one image to each domain element; two images for the same \(x\) violate this condition. In fact, \(x=2\) gives \(y=0,-4\), and \(x=-2\) gives \(y=0,4\), so options B and C are also incorrect. Exam tip: to test a relation for being a function, check that every domain element has exactly one image.
(f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}), इसलिए अधिकतम (4) है और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर ((1,4]) है। / Since (f(x)=1+\frac{3}{x-2+1}), the maximum is (4) and (1) is never reached. The range is ((1,4]).
पहले इनपुट के लिए (5), फिर (4), फिर (3), फिर (2) विकल्प हैं। कुल \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\) फलन हैं। / There are (5), then (4), then (3), then (2) choices for the four inputs. Total functions are \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\).
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (4) की दो छवियां (1) और (2) होंगी। / In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (4) has two images (1) and (2).
(x=1) पहले भाग में आता है, इसलिए (f(1)=12=1) है। सीमा चिह्न से तय करें कि कौन सा नियम लगेगा। / The input (x=1) belongs to the first part, so (f(1)=12=1). Use the boundary sign to decide which rule applies.
डोमेन के लिए फलन के मान क्रमशः \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\) और \(f(5)=1\) हैं। इसलिए प्राप्त भिन्न-भिन्न मानों का समुच्चय, अर्थात् परास, \(\{1,2,3\}\) है। विकल्प D केवल बार-बार आने वाले मान \(1\) को ध्यान में रखता है और 2 तथा 3 को छोड़ देता है। परीक्षा में याद रखें कि परास, सहपरास का केवल एक उपसमुच्चय हो सकता है; दोनों हमेशा समान नहीं होते। / For the domain values, the function gives \(f(1)=3\), \(f(2)=2\), \(f(3)=1\), \(f(4)=1\), and \(f(5)=1\). Thus, the set of distinct output values, or the range, is \(\{1,2,3\}\). Option D includes only the repeated output 1 and omits 2 and 3. Exam tip: the range is the set of actual outputs, whereas the codomain may contain values that are not attained.
भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए। अतः \(|x+1|-3\ne0\), यानी \(|x+1|=3\) के मानों को छोड़ना होगा। इससे \(x+1=3\) या \(x+1=-3\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-4\)। अतः अधिकतम प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\) है। विकल्प C में \(x=-1\) को हटाया गया है, जबकि उस पर हर \(-3\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन के प्रांत के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a fraction must be non-zero. Thus, \(|x+1|-3\ne0\), so we find the values satisfying \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), giving \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the largest real domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\). Option C incorrectly excludes \(x=-1\); at that value the denominator is \(-3\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, set the denominator equal to zero to identify the excluded domain values.
कुल \(2^5=32\) फलन हैं। (0) या (1) बार (1) आने वाले (1+5=6) फलन हटाने पर (26) बचते हैं। / There are \(2^5=32\) total functions. Excluding cases with (0) or (1) occurrence of (1), namely (1+5=6), leaves (26).
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=1) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=1) is undefined
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (1) शामिल है, लेकिन \(\frac{2}{1-1}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत-अवयव पर मान होना चाहिए। / The domain includes (1), but \(\frac{2}{1-1}\) is undefined. A function needs a value for every domain element.
\((x-a)^2\ge 0\) होने के कारण \(f(x)=(x-a)^2+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है, जो \(x=a\) पर प्राप्त होता है। इसलिए परास \([b,\infty)\) है। दिए गए परास \([-2,\infty)\) से \(b=-2\) आवश्यक है, जबकि \(a\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। अतः \((5,-2)\) संभव युग्म है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे द्विघात फलन में परास का निचला सिरा स्थिरांक \(b\) होता है। / Since \((x-a)^2\ge 0\), the function \(f(x)=(x-a)^2+b\) has minimum value \(b\), attained at \(x=a\). Hence its range is \([b,\infty)\). The given range \([-2,\infty)\) requires \(b=-2\), while \(a\) may be any real number. Therefore, \((5,-2)\) is a possible pair. Exam tip: In this form of a quadratic function, the lower endpoint of the range is the constant term \(b\).
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और फलन \(3^2=9\) हैं। अतः फलन न होने वाले उपसमुच्चय (64-9=55) हैं। / There are \(2^6=64\) total subsets and \(3^2=9\) functions. Thus non-function subsets are (64-9=55).
भीतर (x-2+4x+8=(x+2)2+4) है, इसलिए न्यूनतम भीतर (4) है। अतः परिसर \([2,\infty\)) है। / Inside the root, (x-2+4x+8=(x+2)2+4), so the minimum inside is (4). Hence the range is \([2,\infty\)).
A. हर (x) के लिए (|2x-3|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|2x-3|) has exactly one value
Explanation
Simple Explanation
मापांक अभिव्यक्ति हर इनपुट को एकमात्र अऋण मान देती है। अलग इनपुटों की समान छवि फलन को नहीं रोकती। / An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. Equal images for different inputs do not stop it from being a function.
मान (f(1)=5), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=2), (f(5)=5) हैं। इसलिए परिसर ({2,3,5}) नहीं बल्कि ({2,3,5}) है। / The values are (f(1)=5), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=2), and (f(5)=5). Therefore the range is ({2,3,5}).
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=6) है। / The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=6).
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x-1}\) प्रधान अऋण वर्गमूल देता है, इसलिए हर (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं। / The expression \(\sqrt{x-1}\) gives the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
A. क्योंकि (x=1) पर दो अलग मान (4) और (2) मिलते हैं/Because at (x=1), two different values (4) and (2) occur
Explanation
Simple Explanation
(x=1) दोनों भागों में आता है और मान (4) तथा (2) अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / The input (x=1) belongs to both parts and gives different values (4) and (2). Two different outputs for one input do not define a function.
A. यह फलन है क्योंकि (x=3) पर दोनों नियम (5) देते हैं/It is a function because both rules give (5) at (x=3)
Explanation
Simple Explanation
(x=3) पर \(2\cdot3-1=5\) और (3+2=5) हैं, इसलिए कोई विरोध नहीं है। ओवरलैप तब मान्य है जब दोनों मान समान हों। / At (x=3), \(2\cdot3-1=5\) and (3+2=5), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
