यदि नियम \(f(x)=\frac{1}{|x+1|-3}\) द्वारा परिभाषित फलन का अधिकतम वास्तविक प्रांत लिया जाए, तो उसका सही प्रांत क्या होगा?

Correct Answer: A. \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\). Explanation: भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए। अतः \(|x+1|-3\ne0\), यानी \(|x+1|=3\) के मानों को छोड़ना होगा। इससे \(x+1=3\) या \(x+1=-3\) मिलता है, इसलिए \(x=2\) या \(x=-4\)। अतः अधिकतम प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\) है। विकल्प C में \(x=-1\) को हटाया गया है, जबकि उस पर हर \(-3\) होता है और फलन परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन के प्रांत के लिए हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a fraction must be non-zero. Thus, \(|x+1|-3\ne0\), so we find the values satisfying \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), giving \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the largest real domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-4,2\}\). Option C incorrectly excludes \(x=-1\); at that value the denominator is \(-3\), so the function is defined. Exam tip: for a rational function, set the denominator equal to zero to identify the excluded domain values.