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(f(1)=f(2)) के लिए (3) विकल्प और (f(3)\ne f(4)) के लिए \(3\cdot2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3\cdot2=18\) हैं। / There are (3) choices for (f(1)=f(2)) and \(3\cdot2\) choices for (f(3)\ne f(4)). Total is \(3\cdot3\cdot2=18\).
संबंध \(R=\{(x,y):y^2=x+1,\ x\in X,\ y\in Y\}\), जहाँ \(X=\{0,3,8\}\) और \(Y=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\), को \(X\) से \(Y\) में माना गया है। सही निष्कर्ष क्या है?
B. यह फलन नहीं है, क्योंकि \(0\) की दो छवियां हैं/It is not a function because \(0\) has two images
Explanation
Simple Explanation
\(x=0\) रखने पर \(y^2=1\), इसलिए \(y=1\) और \(y=-1\) दोनों प्राप्त होते हैं। अतः संबंध में \((0,1)\) और \((0,-1)\) दोनों सम्मिलित हैं। किसी फलन में प्रत्येक अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए; इसलिए यह फलन नहीं है। इसी प्रकार \(x=3\) के लिए \(y=\pm2\) और \(x=8\) के लिए \(y=\pm3\) मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को फलन जाँचने के लिए देखें कि डोमेन के किसी भी एक अवयव से दो अलग-अलग मान संबद्ध तो नहीं हैं। / For \(x=0\), the equation gives \(y^2=1\), so both \(y=1\) and \(y=-1\) are obtained. Thus, the relation contains both \((0,1)\) and \((0,-1)\). A function must assign exactly one image to each element of its domain, so this relation is not a function. Likewise, \(x=3\) gives \(y=\pm2\), and \(x=8\) gives \(y=\pm3\). Exam tip: to test a relation for being a function, check whether any one domain element is paired with two different elements of the codomain.
\(ax^2+4\) सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए अऋण तभी रहता है जब \(a\ge0\) हो। मूल वाले फलन में भीतर की राशि अऋण चाहिए। / The expression \(ax^2+4\) stays non-negative for all \(x\in\mathbb{R}\) only when \(a\ge0\). In square-root functions the radicand must be non-negative.
परास ठीक \(\{1,2\}\) होने के लिए प्रत्येक फलन का मान केवल 1 या 2 होना चाहिए और 1 तथा 2 दोनों कम-से-कम एक बार आने चाहिए। 4 अवयवों वाले \(A\) से \(\{1,2\}\) में कुल \(2^4=16\) फलन बनते हैं। इनमें दो स्थिर फलन—सभी अवयवों का मान 1 या सभी का मान 2—वांछित नहीं हैं। अतः फलनों की संख्या \(2^4-2=14\) है। परीक्षा-युक्ति: किसी दो-तत्वीय समुच्चय पर onto फलनों की संख्या \(2^n-2\) होती है। / For the range to be exactly \(\{1,2\}\), every element of \(A\) must map to either 1 or 2, and both values must occur at least once. There are \(2^4=16\) functions from the four-element set \(A\) to \(\{1,2\}\). The two constant functions, mapping every element to 1 or every element to 2, must be excluded. Therefore, the required number is \(2^4-2=14\). Exam tip: the number of onto functions from an \(n\)-element set to a two-element set is \(2^n-2\).
B. यह फलन है क्योंकि (n(n+1)) हमेशा सम होता है/It is a function because (n(n+1)) is always even
Explanation
Simple Explanation
लगातार दो पूर्णांकों (n) और (n+1) में से एक सम होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\) है। / Among consecutive integers (n) and (n+1), one is even. So \(\frac{n(n+1)}{2}\in\mathbb{Z}\).
A. यह फलन है और परिसर ({1,2,3,6}) है/It is a function and range is ({1,2,3,6})
Explanation
Simple Explanation
हर (x) के लिए \(y=\frac{6}{x}\) अद्वितीय है और दिए गए समुच्चय में है। सीमित समुच्चय में प्रत्येक इनपुट की छवि अलग से जांचें। / For each (x), \(y=\frac{6}{x}\) is unique and lies in the given set. In finite sets check the image of every input separately.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+2) है लेकिन (x=2) हटने से मान (4) नहीं मिलता। हटे हुए बिंदु का प्रभाव परिसर पर देखें। / On the given domain (f(x)=x+2), but removing (x=2) removes the value (4). Check how a removed point affects the range.
\(f(1),f(2),f(3)\) को \(B\) के तीनों अवयवों में सख्ती से बढ़ते क्रम में होना चाहिए। इसलिए एकमात्र संभव क्रम \((0,1,2)\) है, अर्थात \(f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2\)। अतः केवल 1 फलन बनता है। परीक्षा-युक्ति: तीन अवयवों वाले समुच्चय से तीन अलग-अलग मानों का सख्त बढ़ता क्रम माँगा जाए, तो क्रम स्वतः निर्धारित हो जाता है। / The values \(f(1),f(2),f(3)\) must be in strictly increasing order and must belong to \(B\). Since \(B\) has exactly the three elements \(0,1,2\), the only possible ordered triple is \((0,1,2)\). Thus \(f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2\), giving exactly one function. Exam tip: when all elements of a three-element codomain must appear in strictly increasing order, their assignment is forced.
विकल्प (C) में (3) की दो छवियां (a) और (c) हैं। फलन के लिए पूर्णता के साथ अद्वितीयता भी जरूरी है। / In option (C), (3) has two images (a) and (c). A function requires both existence and uniqueness.
\(x\in[1,3]\) पर मान (2) है और (x=-1) पर अधिकतम (4) मिलता है। खंडों में मापांक खोलकर परिसर निकालें। / For \(x\in[1,3]\), the value is (2), and the maximum (4) occurs at (x=-1). Open moduli in intervals to find range.
रिक्त प्रांत से रिक्त सहप्रांत में भी एक खाली फलन होता है। इसे सूत्र \(0^0=1\) की फलन-संदर्भ व्याख्या से याद रखें। / From an empty domain to an empty codomain, there is one empty function. Remember this as the function-context meaning of \(0^0=1\).
A. हर \(a\in A\) के लिए ठीक एक \(b\in B\) है जिससे \((a,b)\in f\)/For every \(a\in A\), exactly one \(b\in B\) satisfies \((a,b)\in f\)
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है जिसमें प्रत्येक इनपुट की ठीक एक छवि होती है। सहप्रांत के हर अवयव का उपयोग होना जरूरी नहीं है। / A function is a special relation where each input has exactly one image. It is not necessary to use every element of the codomain.
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=1) और (y=-1) दोनों संभव हैं। वृत्त जैसे संबंध अक्सर फलन-परीक्षा में अद्वितीयता तोड़ते हैं। / At (x=0), both (y=1) and (y=-1) are possible. Circle-like relations often break uniqueness in function tests.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+1}) से परिभाषित करना हो तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
हर कभी शून्य न हो, इसके लिए द्विघात \(x^2+ax+1\) की विविक्तिका \(a^2-4<0\) चाहिए। इसलिए (|a|<2) है। / The denominator must never be zero, so the discriminant of \(x^2+ax+1\) must satisfy \(a^2-4<0\). Hence (|a|<2).
क्योंकि प्रत्येक �f(i)� का मान केवल 0 या 1 हो सकता है, इसलिए योग 2 होने का अर्थ है कि पाँचों मानों में ठीक दो मान 1 और शेष तीन मान 0 हों। इन दो स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या �\binom{5}{2}=10� है। अतः सही उत्तर 10 है। 32 सभी संभावित फलनों की संख्या है, लेकिन उनमें योग 2 वाले फलन ही गिने जाने हैं। परीक्षा-युक्ति: जब द्विमान मानों का योग दिया हो, तो योग को 1 के मानों की संख्या के रूप में समझें। / Each �f(i)� can only be 0 or 1, so a sum of 2 means that exactly two of the five function values are 1 and the other three are 0. The two positions containing 1 can be chosen in �\binom{5}{2}=10� ways. Hence, the correct answer is 10. Although 32 is the total number of functions from �A� to �B�, only those with sum 2 are required. Exam tip: For binary function values, interpret the sum as the number of inputs assigned the value 1.
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Explanation
Simple Explanation
यह फलन प्रत्येक मान को अद्वितीय रूप से बदलता है और फिर वही नियम वापस देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी फलन है। / This function pairs values uniquely and the same rule reverses them. Hence the inverse relation is also a function.
(x-2+2x+5=(x+1)2+4) है, इसलिए न्यूनतम मान (4) है। वर्ग पूरा करना परिसर के लिए उपयोगी है। / Since (x-2+2x+5=(x+1)2+4), the minimum value is (4). Completing the square is useful for range.
हर \(n\in\mathbb{N}\) के लिए \(n^2+n+1\) प्राकृतिक संख्या है। अन्य नियम सभी प्राकृतिक (n) पर प्राकृतिक मान नहीं देते। / For every \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2+n+1\) is a natural number. The other rules do not give natural values for all natural (n).
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (1) और (3) हैं/Because (x=1) has images (1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) पर (y=1) और (y=3) दोनों से योग सम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते। / For (x=1), both (y=1) and (y=3) make the sum even. Multiple outputs for one input do not define a function.
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x-1) है और (x=-1) हटने से मान (-2) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे इनपुट का आउटपुट हटाएं। / On the given domain (f(x)=x-1), and removing (x=-1) removes the value (-2). After simplification remove the output of the excluded input.
A. जब हर प्रथम घटक (1,2,3) ठीक एक बार आए/When each first component (1,2,3) appears exactly once
Explanation
Simple Explanation
ठीक (3) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के तीनों अवयवों की एक-एक छवि होनी चाहिए। द्वितीय घटकों का दोहराव मान्य है। / With exactly (3) pairs, a function needs one image for each of the three elements of (A). Repetition of second components is allowed.
सममिति से अधिकतम (x=2) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{2}\) है। ऐसे प्रश्नों में संतुलित बिंदु जांचें। / By symmetry the maximum occurs at (x=2) and equals \(2\sqrt{2}\). In such questions check the balanced point.
संबंधों की संख्या \(2^{|A||B|}=2^8=256\) और फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) है। दोनों सूत्र अलग याद रखें। / The number of relations is \(2^{|A||B|}=2^8=256\), and the number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). Remember the two formulas separately.
दिए गए इनपुटों पर मान \(0,2,\frac{3}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में प्रत्यक्ष मान निकालना सबसे तेज तरीका है। / At the given inputs the values are \(0,2,\frac{3}{2}\). For a finite domain, direct substitution is the fastest method.
A. यह फलन है और (f(1)=1)/It is a function and (f(1)=1)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) केवल दूसरे भाग में आता है और (f(1)=2\cdot1-1=1) है। खंडित फलन में सीमा चिह्न सावधानी से पढ़ें। / The point (x=1) belongs only to the second part, and (f(1)=2\cdot1-1=1). Read boundary symbols carefully in piecewise functions.
\(\sqrt{x-5}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge5\) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन के लिए हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए। / The expression \(\sqrt{x-5}\) is real only when \(x\ge5\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
कुल \(2^4=16\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(1)=b) तथा (f(2)=a) में \(2^2=4\) फलन हैं। इसलिए (16-4=12) है। / There are \(2^4=16\) total functions, and the opposite case (f(1)=b) and (f(2)=a) gives \(2^2=4\) functions. Hence (16-4=12).
\(0\le x\le2\) पर मान (2) है और बाहर जाने पर मान बढ़ता है। न्यूनतम (2) होने से परिसर \([2,\infty\)) है। / For \(0\le x\le2\), the value is (2), and it increases outside this interval. Since the minimum is (2), the range is \([2,\infty\)).
हर दिए गए (x) का एकमात्र वास्तविक घनमूल दिए गए (Y) में है। घनमूल संबंध यहां अद्वितीय छवि देता है। / Each given (x) has a unique real cube root in the given (Y). The cube-root relation gives a unique image here.
C. यह फलन नहीं है क्योंकि \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)/It is not a function because \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-16+5=5) है जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मान जांचना जरूरी है। / Here (f(4)=16-16+5=5), which is not in the codomain. For a finite domain, checking all values is necessary.
B. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=1) और (y=3) दोनों मिलते हैं। फलन में हर इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट होना चाहिए। / At (x=2), both (y=1) and (y=3) occur. A function must have only one output for each input.
मान \(1-\frac{1}{x^2+2}\) है, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / The value is \(1-\frac{1}{x^2+2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is never attained. The range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
पहले इनपुट के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं। कुल \(4\cdot3\cdot2=24\) हैं। / There are (4) choices for the first input, (3) for the second, and (2) for the third. Total is \(4\cdot3\cdot2=24\).
यदि \(f:\{1,2,3,4,5,6\}\to\{0,1\}\) इस प्रकार परिभाषित है कि \(3\) से विभाज्य \(n\) के लिए \(f(n)=0\) और अन्यथा \(f(n)=1\), तो \(f^{-1}(\{0\})\) क्या है?
\(f^{-1}(\{0\})\) उन सभी डोमेन अवयवों का समुच्चय है जिनका प्रतिचित्र \(0\) है। दिए गए डोमेन में \(3\) से विभाज्य संख्याएँ केवल \(3\) और \(6\) हैं, इसलिए \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\)। विकल्प A उन संख्याओं का समुच्चय है जो \(3\) से विभाज्य नहीं हैं, जबकि विकल्प C और D में सह-डोमेन के अवयवों को इनपुट के साथ मिला दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: पूर्वप्रतिबिम्ब \(f^{-1}(\{a\})\) निकालने के लिए डोमेन के उन सभी अवयवों को चुनें जिनके फलन-मान \(a\) हों। / \(f^{-1}(\{0\})\) is the set of all elements in the domain whose image is \(0\). Among the given domain elements, only \(3\) and \(6\) are divisible by \(3\), so \(f^{-1}(\{0\})=\{3,6\}\). Option A contains the inputs that are not divisible by \(3\), while options C and D incorrectly mix codomain and domain elements. Exam tip: To find \(f^{-1}(\{a\})\), select every domain element whose function value is \(a\).
विकल्प (B) फलन है, पर उल्टे संबंध में (1) की छवियां (0) और (1) होंगी। इसलिए \(R^{-1}\) फलन नहीं है। / Option (B) is a function, but in the inverse relation (1) has images (0) and (1). Hence \(R^{-1}\) is not a function.
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\) से परिभाषित किया गया है, तो यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) का फलन क्यों नहीं है?
A. क्योंकि \(x=0\) पर कोई मान निर्धारित नहीं है/Because no value is assigned at \(x=0\)
Explanation
Simple Explanation
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) के फलन में प्रत्येक वास्तविक इनपुट के लिए ठीक एक वास्तविक आउटपुट होना चाहिए। दिए गए नियम में केवल \(x<0\) और \(x>0\) के लिए मान दिए गए हैं; \(x=0\) के लिए कोई मान नहीं है। इसलिए इसका परिभाषा-क्षेत्र पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं है। ध्यान दें कि \(x=1\) पर केवल \(1^2=1\) और \(x=-1\) पर \((-1)+2=1\) मिलता है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि परिभाषा-क्षेत्र के हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट मिल रहा है या नहीं। / A function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) must assign exactly one real output to every real input. The given rule covers only \(x<0\) and \(x>0\), so no value is assigned when \(x=0\). Hence its domain is not all of \(\mathbb{R}\). At \(x=1\), only \(1^2=1\) is applicable, and at \(x=-1\), the value is \((-1)+2=1\); therefore options B and C are incorrect. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that every input in the stated domain has exactly one output.
हर शून्य न हो, इसलिए \(|x|-2\ne0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। मापांक वाले हर में दोनों चिन्ह जांचें। / The denominator must be non-zero, so \(|x|-2\ne0\) and \(x\ne\pm2\). In modulus denominators check both signs.
कुल \(2^4=16\) फलन हैं और केवल सभी मान (0) वाला (1) फलन हटेगा। इसलिए (15) फलन हैं। / There are \(2^4=16\) total functions, and only the all-zero function is excluded. Hence there are (15) functions.
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=0) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=0) is undefined
Explanation
Simple Explanation
प्रांत में (0) शामिल है लेकिन \(\frac{1}{0}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान चाहिए। / The domain includes (0), but \(\frac{1}{0}\) is undefined. A function needs a value at every element of its domain.
((x-a)2+b) का न्यूनतम मान (b) होता है। परिसर \([3,\infty\)) के लिए (b=3) चाहिए और (a) कोई भी हो सकता है। / The minimum value of ((x-a)2+b) is (b). For range \([3,\infty\)), we need (b=3), while (a) may be any real value.
कुल उपसमुच्चय \(2^6=64\) हैं और फलन \(2^3=8\) हैं। इसलिए फलन नहीं होने वाले उपसमुच्चय (64-8=56) हैं। / There are \(2^6=64\) total subsets and \(2^3=8\) functions. Hence non-function subsets are (64-8=56).
भीतर (x-2-6x+10=(x-3)2+1) है, इसलिए न्यूनतम भीतर (1) है। अतः परिसर \([1,\infty\)) है। / Inside the root, (x-2-6x+10=(x-3)2+1), so the minimum inside is (1). Thus the range is \([1,\infty\)).
A. हर (x) के लिए (|x-2|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|x-2|) has exactly one value
Explanation
Simple Explanation
मापांक का मान प्रत्येक इनपुट के लिए अद्वितीय होता है। अलग इनपुटों की समान छवि फलन को नहीं रोकती। / The absolute value gives a unique value for each input. Equal images for different inputs do not prevent a function.
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए ordered pairs की संख्या (|A|=3) है। / The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of ordered pairs is (|A|=3).
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Explanation
Simple Explanation
यहां \(\sqrt{x}\) से प्रधान अऋण वर्गमूल लिया गया है, इसलिए हर (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं। / Here \(\sqrt{x}\) means the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
A. क्योंकि (x=2) पर दोनों नियम लागू होकर अलग मान देते हैं/Because at (x=2), both rules apply and give different values
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर पहला मान (3) और दूसरा मान (3) नहीं बल्कि \(2^2-1=3\) है, इसलिए यह वास्तव में फलन है / At (x=2), the first value is (3) and the second value is also \(2^2-1=3\), so it is actually a function / Both pieces give the same value (3) at (x=2), so the rule is a valid function. Overlap is allowed only when the assigned values agree.
A. क्योंकि (x=2) पर दो अलग मान (3) और (4) मिलते हैं/Because at (x=2), two different values (3) and (4) occur
Explanation
Simple Explanation
(x=2) दोनों भागों में आता है और मान अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / The input (x=2) belongs to both parts and gives different values. Two different outputs for one input do not define a function.
