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Class 11 Mathematics Expert Level 28

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\) से परिभाषित किया गया है, तो यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) का फलन क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\), why is it not a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. क्योंकि \(x=0\) पर कोई मान निर्धारित नहीं हैBecause no value is assigned at \(x=0\)

Explanation

Simple Explanation

\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) के फलन में प्रत्येक वास्तविक इनपुट के लिए ठीक एक वास्तविक आउटपुट होना चाहिए। दिए गए नियम में केवल \(x<0\) और \(x>0\) के लिए मान दिए गए हैं; \(x=0\) के लिए कोई मान नहीं है। इसलिए इसका परिभाषा-क्षेत्र पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं है। ध्यान दें कि \(x=1\) पर केवल \(1^2=1\) और \(x=-1\) पर \((-1)+2=1\) मिलता है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि परिभाषा-क्षेत्र के हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट मिल रहा है या नहीं। / A function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) must assign exactly one real output to every real input. The given rule covers only \(x<0\) and \(x>0\), so no value is assigned when \(x=0\). Hence its domain is not all of \(\mathbb{R}\). At \(x=1\), only \(1^2=1\) is applicable, and at \(x=-1\), the value is \((-1)+2=1\); therefore options B and C are incorrect. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that every input in the stated domain has exactly one output.

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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\) से परिभाषित किया गया है, तो यह \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) का फलन क्यों नहीं है? / If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x<0\\x^2,&x>0\end{cases}\), why is it not a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\)?

Correct Answer: A. क्योंकि \(x=0\) पर कोई मान निर्धारित नहीं है / Because no value is assigned at \(x=0\). Explanation: \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) के फलन में प्रत्येक वास्तविक इनपुट के लिए ठीक एक वास्तविक आउटपुट होना चाहिए। दिए गए नियम में केवल \(x<0\) और \(x>0\) के लिए मान दिए गए हैं; \(x=0\) के लिए कोई मान नहीं है। इसलिए इसका परिभाषा-क्षेत्र पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं है। ध्यान दें कि \(x=1\) पर केवल \(1^2=1\) और \(x=-1\) पर \((-1)+2=1\) मिलता है; अतः विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय देखें कि परिभाषा-क्षेत्र के हर इनपुट को ठीक एक आउटपुट मिल रहा है या नहीं। / A function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) must assign exactly one real output to every real input. The given rule covers only \(x<0\) and \(x>0\), so no value is assigned when \(x=0\). Hence its domain is not all of \(\mathbb{R}\). At \(x=1\), only \(1^2=1\) is applicable, and at \(x=-1\), the value is \((-1)+2=1\); therefore options B and C are incorrect. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that every input in the stated domain has exactly one output.