Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (r) समीकरण (p(x)=0) का मूल है/(r) is a root of (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
(p(r)=0) का अर्थ है कि (x=r) रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है। मूल जांचने के लिए प्रतिस्थापन सबसे सुरक्षित तरीका है। / (p(r)=0) means the equation is satisfied when (x=r). Substitution is the safest way to check a root.
(x=-1) रखने पर (2-5+3=0) मिलता है। ऋणात्मक मूल में चिन्हों की जांच ध्यान से करें। / Putting (x=-1) gives (2-5+3=0). Check signs carefully for a negative root.
(x=2) रखने पर (4+2k-14=0) इसलिए (k=5) है। पैरामीटर के प्रश्न में दिए मूल को सीधे रखें। / Putting (x=2) gives (4+2k-14=0), so (k=5). In parameter questions substitute the given root directly.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) होता है। यहां (a=5) और (b=-4) इसलिए योग \(\frac{4}{5}\) है। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}\). Here (a=5) and (b=-4), so the sum is \(\frac{4}{5}\).
क्योंकि (D=49>0) है इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल मिलेंगे। (D>0) होने पर मूल अलग अलग होते हैं। / Since (D=49>0), two distinct real roots will be obtained. When (D>0), the roots are different.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। इसलिए \(x^2-7x+10=0\) सही है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Therefore (x^2-7x+10=0) is correct.\)
मूलों का गुणनफल (40) है और एक मूल (5) है। इसलिए दूसरा मूल \(\frac{40}{5}=8\) है। / The product of roots is (40) and one root is (5). Therefore the other root is \(\frac{40}{5}=8\).
नए मूलों का योग (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10) है। गुणक लगे मूलों में योग पर भी वही गुणक लगता है। / The sum of new roots is (2\alpha+2\beta=2\(\alpha+\beta\)=10). When roots are multiplied by a factor, the sum is also multiplied by that factor.
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20) है। ऐसे प्रश्नों में पहचान का प्रयोग करें। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=36-16=20). Use identities in such questions.
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\) है। यहां \(\frac{-1}{-12}\) नहीं बल्कि \(-\frac{1}{12}\) क्योंकि योग (-1) और गुणनफल (-12) है। / \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\). Here the sum is (-1) and product is (-12), so the value is \(\frac{1}{12}\).
योग \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=2\) है। पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The sum is \(-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}\) and the product is \(\frac{c}{a}=2\). Identify (a), (b), and (c) first.
(x+2=0) से (x=-2) और (x-5=0) से (x=5) मिलता है। गुणनखंड का चिन्ह उलटकर मूल मिलता है। / From (x+2=0), (x=-2), and from (x-5=0), (x=5). The sign changes when finding a root from a factor.
\(x=\frac{3}{2}\) रखने पर \(\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+c=0\) इसलिए (c=3) है। भिन्न मूल में हर पद अलग निकालें। / Putting \(x=\frac{3}{2}\) gives \(\frac{9}{2}-\frac{15}{2}+c=0\), so (c=3). For fractional roots calculate each term separately.
यह (4x-2-12x+9=(2x-3)2) है। इसलिए दोनों मूल \(\frac{3}{2}\) और \(\frac{3}{2}\) बराबर हैं। / It is (4x-2-12x+9=(2x-3)2). Therefore both roots are \(\frac{3}{2}\) and \(\frac{3}{2}\), which are equal.
समीकरण \(x^2-10x+25=0\) है जो ((x-5)2=0) बनता है। इसलिए दोनों मूल (5) हैं। / The equation is \(x^2-10x+25=0\), which becomes ((x-5)2=0). Therefore both roots are (5).
A. कम से कम एक मूल (0) है/At least one root is (0)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\alpha\beta=0\) है तो \(\alpha=0\) या \(\beta=0\) होगा। गुणनफल शून्य हो तो शून्य मूल जरूर देखें। / If \(\alpha\beta=0\), then \(\alpha=0\) or \(\beta=0\). If the product is zero, always check for a zero root.
यहां \(\alpha+\beta=5\) और \(\alpha\beta=6\) है। इसलिए कुल (5+6=11) है। / Here \(\alpha+\beta=5\) and \(\alpha\beta=6\). Therefore the total is (5+6=11).
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होता है। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). Therefore the constant term is zero for a zero root.
मूलों का योग (1+4=5) है। मोनिक समीकरण में (x) का गुणांक (-(योग)=-5) होता है। \(/ The sum of roots is (1+4=5). In a monic equation the coefficient of (x) is (-(\)sum\()=-5).\)
A. वे एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं/They are reciprocals of each other
Explanation
Simple Explanation
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\) है इसलिए दोनों व्युत्क्रम मूल हैं। व्युत्क्रम मूलों का गुणनफल (1) होता है। / \(4\cdot\frac{1}{4}=1\), so the roots are reciprocals. Reciprocal roots have product (1).
(x-2-3x-18=(x-6)(x+3)) है। इसलिए मूल (6) और (-3) हैं तथा धनात्मक मूल (6) है। / (x-2-3x-18=(x-6)(x+3)). Therefore the roots are (6) and (-3), and the positive root is (6).
(D=0) होने पर दोनों मूल बराबर होते हैं। इसलिए प्रत्येक मूल \(\frac{10}{2}=5\) होगा। / When (D=0), both roots are equal. Therefore each root is \(\frac{10}{2}=5\).
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3\) है। सूत्र में (b) का चिन्ह सही रखें। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3\). Keep the sign of (b) correct in the formula.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{-3}{4}\) होता है। (c) का चिन्ह न भूलें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{-3}{4}\). Do not forget the sign of (c).
वास्तविक मूलों के लिए \(D\ge0\) चाहिए। \(4-4k\ge0\) से \(k\le1\) मिलता है। / For real roots \(D\ge0\) is required. From \(4-4k\ge0\), we get \(k\le1\).
मूल (-5) और (-2) हैं क्योंकि ((x+5)(x+2)=0)। योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक होने पर दोनों मूल ऋणात्मक होते हैं। / The roots are (-5) and (-2) because ((x+5)(x+2)=0). When the sum is negative and product is positive, both roots are negative.
A. \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{2}{3}\)/\(\frac{1}{2}\) and \(\frac{2}{3}\)
Explanation
Simple Explanation
(6x-2-7x+2=(3x-2)(2x-1)) है। इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं। / (6x-2-7x+2=(3x-2)(2x-1)). Therefore the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{1}{2}\).
मोनिक समीकरण (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0) होता है। इसलिए \(x^2+3x-10=0\) सही है। / The monic equation is (x-2-\(\alpha+\beta\)x+\alpha\beta=0). Therefore \(x^2+3x-10=0\) is correct.
यहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=5\) है। \(\alpha^2+\beta^2=36-10=26\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=5\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=36-10=26\).
(x=2) रखने पर (4a-10+2=0) इसलिए (4a=8) और (a=2)। अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न में प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=2) gives (4a-10+2=0), so (4a=8) and (a=2). Substitute in questions with an unknown coefficient.
यह ((x-7)2=0) है इसलिए दोनों मूल (7) हैं। योग (14) और गुणनफल (49) होगा। / It is ((x-7)2=0), so both roots are (7). The sum is (14) and the product is (49).
द्विघात समीकरण ax-2+bx+c=0 का भेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यदि \(D<0\), तो समीकरण के वास्तविक संख्या में कोई मूल नहीं होते; इसके स्थान पर दो संयुक्त जटिल (complex conjugate) मूल होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प C (2) तब सही होता है जब \(D>0\) — तब दो अलग वास्तविक मूल मिलते हैं। परिक्षा टिप: पहले भेदक की गणना करें; उसके साइन से तुरंत वास्तविक मूलों की संख्या पता चल जाती है (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0)। / For a quadratic ax-2+bx+c=0 the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), there are no real roots; instead the equation has two complex conjugate roots. The closest distractor C (2) would be correct only when \(D>0\), which gives two distinct real roots; when \(D=0\) there is one repeated real root. Exam tip: compute the discriminant first — its sign immediately tells you the number of real roots (D>0 → 2, D=0 → 1, D<0 → 0).
यहां \(\alpha+\beta=\frac{4}{3}\) और \(\alpha\beta=-\frac{4}{3}\) है। इसलिए \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=\frac{4}{3}\) and \(\alpha\beta=-\frac{4}{3}\). Therefore \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-1\).
