A. \(5\mid a^2\) से केवल \(5\mid a\) मिलता है, \(25\mid a\) जरूरी नहीं/From \(5\mid a^2\), only \(5\mid a\) follows, \(25\mid a\) is not necessary
Step 1
Concept
By the prime rule, \(5\mid a^2\) gives \(5\mid a\).
Step 2
Why this answer is correct
So (a=5k) is correct, but (a=25k) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
Avoid making extra claims in proofs. चरण 1: अभाज्य नियम से \(5\mid a^2\) होने पर \(5\mid a\) मिलता है। चरण 2: इससे (a=5k) लिखना सही है, (a=25k) आवश्यक नहीं। चरण 3: प्रमाण में अतिरिक्त दावा करने से बचें।
C. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) का गुणज है/Because the right side is a multiple of (3)
Step 1
Concept
In \(3q^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2\) equals it, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then use the prime rule to write \(3\mid p\). चरण 1: \(3q^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(p^2\) उसी के बराबर है, इसलिए \(p^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: इसके बाद अभाज्य नियम से \(3\mid p\) लिखें।
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है/\(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(a^2=5b^2\), the right side is a multiple of (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives \(5\mid a\). चरण 1: \(a^2=5b^2\) में दायाँ पक्ष (5) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से \(5\mid a\) मिलता है।
C. \(p^2=3q^2\) देखकर सीधे (p=3q) लिख देना/Looking at \(p^2=3q^2\) and directly writing (p=3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\), not directly (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), then (p=3k).
Step 3
Exam Tip
Do not create an unsupported equality while removing squares. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है, न कि सीधे (p=3q)। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है और फिर (p=3k) लिखा जाता है। चरण 3: वर्ग हटाते समय मन से बराबरी न बना दें।
A. क्योंकि दायाँ पक्ष (3) और \(b^2\) का गुणनफल है/Because the right side is the product of (3) and \(b^2\)
Step 1
Concept
In \(3b^2\), (3) is clearly a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a^2\) equals this, \(a^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Then the prime rule gives divisibility of (a). चरण 1: \(3b^2\) में (3) स्पष्ट गुणनखंड है। चरण 2: \(a^2\) इसी के बराबर है, इसलिए \(a^2\) भी (3) का गुणज है। चरण 3: फिर अभाज्य नियम से (a) की विभाज्यता मिलती है।
A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form
Step 1
Concept
First, by the prime rule, \(5\mid x\).
Step 2
Why this answer is correct
Divisibility is written in multiple form, so (x=5m).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write these two small steps clearly. चरण 1: पहले अभाज्य नियम से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 2: विभाज्यता को गुणज रूप में लिखते हैं, इसलिए (x=5m)। चरण 3: प्रमाण में इन दोनों छोटे कदमों को मन में नहीं, उत्तर में लिखें।
So \(5\mid y^2\), and by the prime rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
Then (5) becomes common to both (x) and (y). चरण 1: (x=5n) रखने से \(y^2=5n^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(5\mid y^2\), और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) निकलता है। चरण 3: तब (x) और (y) दोनों में (5) साझा हो जाता है।
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है/\(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
Give the reason before writing such a form. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। चरण 3: कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें।
Use the prime rule to move from square to original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं।
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
By the prime rule, (q) is divisible by (3). चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है।
By the prime rule, (q) is said to be divisible by (5). चरण 1: (p=5k) रखने के बाद \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (5) से विभाज्य कहा जाता है।
D. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलेगा/From \(p^2=5q^2\), we directly get (p=5q)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) tells us divisibility of \(p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (p) is divisible by (5), but (p=5q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
In exams, writing (p=5k) is correct. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) की विभाज्यता पता चलती है। चरण 2: अभाज्य नियम से (p) (5) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=5q) नहीं मिलता। चरण 3: परीक्षा में (p=5k) लिखना सही है।
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है/If a prime divides a square, it divides the original number
Step 1
Concept
From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Hence (p=5k) is written. चरण 1: \(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसी कारण (p=5k) लिखा जाता है।
A. यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) (5) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (5), then (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
This rule is applied to (p) in the proof of \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य संख्या यदि किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) पर लगाया जाता है।
A. क्योंकि इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है/Because it proves (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Then (p) and (q) both have common factor (5). चरण 1: \(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: अभाज्य नियम से (q) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p) और (q) दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलता है।
By the prime rule, (b) is also divisible by (3). चरण 1: (a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 3: अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा।
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है/Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
This is their main common logic. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। चरण 2: दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। चरण 3: यही दोनों का मुख्य समान तर्क है।
A. \(n^2\) (5) से विभाज्य है, इसलिए (n) (5) से विभाज्य है/\(n^2\) is divisible by (5), so (n) is divisible by (5)
Step 1
Concept
In \(n^2=5k^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
So \(n^2\) is divisible by (5), and by the prime rule (n) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Apply the correct rule from square to original number. चरण 1: \(n^2=5k^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए \(n^2\) (5) से विभाज्य है और अभाज्य नियम से (n) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर सही नियम लगाएं।
