100 results found for "numeric difference squares" in Class 10.
B. (11)
छोटी संख्या (x) हो तो बड़ी (x+9) है। (x-2+(x+9)2=481) से (x=11) मिलता है। / Let the smaller number be (x), so the larger is (x+9). From (x-2+(x+9)2=481), (x=11).
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A. (13)
यदि छोटी संख्या (x) है, तो बड़ी (x+4) है। (x-2+(x+4)2=250) से (x=9), इसलिए बड़ी संख्या (13) है। / If the smaller number is (x), the larger is (x+4). From (x-2+(x+4)2=250), (x=9), so the larger number is (13).
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A. (9)
यदि छोटी संख्या (x) है, तो बड़ी (x+2) है। (x-2+(x+2)2=130) से (x=7), इसलिए बड़ी संख्या (9) है। / If the smaller number is (x), the larger is (x+2). From (x-2+(x+2)2=130), (x=7), so the larger number is (9).
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If (p(x)=x-2-6x+8), which monic polynomial has the squares of its zeroes as zeroes?
A. \(x^2-20x+64\)
मूल शून्यक (2) और (4) हैं, इसलिए नए शून्यक (4) और (16) हैं। नया बहुपद \(x^2-20x+64\) है। / The original zeroes are (2) and (4), so the new zeroes are (4) and (16). The new polynomial is \(x^2-20x+64\).
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If (p(x)=x-2-8x+15), what is the sum of squares of its zeroes?
A. (34)
यदि शून्यक \(\alpha,\beta\) हैं, तो \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\)। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34)। / If the zeroes are \(\alpha,\beta\), then \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\). (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta=64-30=34).
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The sum of the squares of two consecutive positive odd numbers is (394). What is the smaller number?
B. (13)
संख्याएँ (x) और (x+2) हों तो (x-2+(x+2)2=394)। इससे (x=13) है। / If the numbers are (x) and (x+2), then (x-2+(x+2)2=394). This gives (x=13).
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C. (12)
छोटी संख्या (x) हो तो (x-2+(x+9)2=585)। इससे (x=12) मिलता है। / If the smaller number is (x), then (x-2+(x+9)2=585). This gives (x=12).
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The sum of the squares of two consecutive natural numbers is (365). Which numbers are they?
C. (13) और (14)(13) and (14)
संख्याएँ (x) और (x+1) लें। (x-2+(x+1)2=365) से (x=13) मिलता है। / Take the numbers as (x) and (x+1). From (x-2+(x+1)2=365), we get (x=13).
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B. (42)
संख्याएँ (x) और (90-x) मानें। (x-2+(90-x)2=4068) से संख्याएँ (42) और (48) मिलती हैं। / Take the numbers as (x) and (90-x). From (x-2+(90-x)2=4068), the numbers are (42) and (48).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (3044). What is the larger number?
C. (40)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=3044) से (x=38), इसलिए बड़ी संख्या (40) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=3044), (x=38), so the larger number is (40).
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The sum of squares of two consecutive odd positive numbers is (2314). What is the smaller number?
C. (33)
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी। (x-2+(x+2)2=2314) से (x=33) है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=2314), (x=33).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (1513). What is the smaller integer?
C. (27)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=1513), जिससे (x=27) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=1513), giving (x=27). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
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B. (36)
संख्याएँ (x) और (80-x) मानें। (x-2+(80-x)2=3232) से संख्याएँ (36) और (44) मिलती हैं। / Take the numbers as (x) and (80-x). From (x-2+(80-x)2=3232), the numbers are (36) and (44).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (2452). What is the larger number?
C. (36)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=2452) से (x=34), इसलिए बड़ी संख्या (36) है। / Consecutive even numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=2452), (x=34), so the larger number is (36).
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The sum of squares of two consecutive odd positive numbers is (2050). What is the smaller number?
C. (31)
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) होंगी। (x-2+(x+2)2=2050) से (x=31) है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=2050), (x=31).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (1201). What is the smaller integer?
C. (24)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=1201), जिससे (x=24) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=1201), giving (x=24). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
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B. (30)
संख्याएँ (x) और (65-x) हों तो (x-2+(65-x)2=2125) बनता है। हल से संख्याएँ (30) और (35) मिलती हैं। / If the numbers are (x) and (65-x), then (x-2+(65-x)2=2125). Solving gives (30) and (35).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (1924). What is the larger number?
C. (32)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x-2+(x+2)2=1924) से (x=30), इसलिए बड़ी संख्या (32) है। / Let the consecutive even numbers be (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1924), (x=30), so the larger number is (32).
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The sum of squares of two consecutive odd positive numbers is (1570). What is the smaller number?
C. (27)
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=1570) से (x=27) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1570), (x=27).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (841). What is the smaller integer?
C. (20)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=841), जिससे (x=20) मिलता है। लगातार संख्याओं को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=841), giving (x=20). Write consecutive numbers as (x) and (x+1).
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The sum of two numbers is (26) and the sum of their squares is (340). What is the larger number?
A. (14)
यदि एक संख्या (x) है, तो दूसरी (26-x) होगी। (x-2+(26-x)2=340) से संख्याएँ (14) और (12) हैं। / If one number is (x), the other is (26-x). From (x-2+(26-x)2=340), the numbers are (14) and (12).
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C. (25)
संख्याएँ (x) और (55-x) हों, तब (x-2+(55-x)2=1525) बनता है। हल से संख्याएँ (25) और (30) मिलती हैं। / Let the numbers be (x) and (55-x), then (x-2+(55-x)2=1525). Solving gives (25) and (30).
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The sum of squares of two consecutive even positive numbers is (1060). What is the larger number?
C. (24)
लगातार सम संख्याएँ (x) और (x+2) मानें। (x-2+(x+2)2=1060) से (x=22), इसलिए बड़ी संख्या (24) है। / Let the consecutive even numbers be (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=1060), (x=22), so the larger number is (24).
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The sum of squares of two consecutive odd positive numbers is (650). What is the smaller number?
B. (17)
लगातार विषम संख्याएँ (x) और (x+2) हैं। (x-2+(x+2)2=650) से (x=17) मिलता है। / Consecutive odd numbers are (x) and (x+2). From (x-2+(x+2)2=650), (x=17).
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The sum of squares of two consecutive positive integers is (365). What is the smaller integer?
C. (13)
छोटा पूर्णांक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=365), जिससे (x=13) मिलता है। लगातार पूर्णांकों को (x) और (x+1) लिखें। / If the smaller integer is (x), then (x-2+(x+1)2=365), giving (x=13). Write consecutive integers as (x) and (x+1).
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The sum of two numbers is (22) and the sum of their squares is (250). What is the larger number?
A. (15)
यदि एक संख्या (x) है, तो दूसरी (22-x) होगी। (x-2+(22-x)2=250) से संख्याएँ (15) और (7) हैं। / If one number is (x), the other is (22-x). From (x-2+(22-x)2=250), the numbers are (15) and (7).
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What is the sum of squares of the roots of \(6x^2+7x+2=0\)?
A. \( \frac{25}{36} \)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ (\left\(-\frac{7}{6}\right\)2-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{25}{36})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{7}{6}\right\)2-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{25}{36}).
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What is the sum of squares of the roots of \(4x^2+8x+3=0\)?
A. \( \frac{5}{2} \)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here ((-2)2-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2}).
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What is the sum of squares of the roots of \(5x^2+6x+1=0\)?
A. \( \frac{26}{25} \)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) होता है। यहाँ (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25})। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{6}{5}\right\)2-2\cdot\frac{1}{5}=\frac{26}{25}).
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What is the sum of squares of the roots of \(3x^2+8x+4=0\)?
A. \( \frac{40}{9} \)
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{8}{3}\right\)2-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{40}{9}).
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What is the sum of squares of the roots of \(2x^2+7x+3=0\)?
A. \( \frac{37}{4} \)
यदि मूल \(\alpha,\beta\) हैं, तो (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta)। यहाँ (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4})। / If the roots are \(\alpha,\beta\), then (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). Here (\left\(-\frac{7}{2}\right\)2-2\cdot\frac{3}{2}=\frac{37}{4}).
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What was the most suitable reason for placing statues of Marianne in public squares?
A. नागरिकों को राष्ट्रीय गणराज्य से जोड़नाTo connect citizens with the national republic
सार्वजनिक चौक जनता के रोजमर्रा के जीवन का हिस्सा थे। / Public squares were part of everyday civic life.
वहाँ मैरीआन की मूर्ति लोगों को राष्ट्र की याद दिलाती थी। / Marianne’s statues reminded people of the republic and nation.
दृश्य प्रतीक राष्ट्रवाद को जनसामान्य तक पहुँचाते थे। / Visual symbols helped nationalism reach ordinary citizens.
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What was the main purpose of placing national symbols in public squares?
A. लोगों को साझा राष्ट्र की याद दिलानाTo remind people of the shared nation
सार्वजनिक चौक सामान्य जनता के मिलने के स्थान थे। / Public squares were meeting places for ordinary people.
वहां रखे प्रतीक राष्ट्र की पहचान को बार-बार सामने लाते थे। / Symbols placed there repeatedly presented national identity.
इससे नागरिकों में साझा स्मृति और निष्ठा बनती थी। / This built shared memory and loyalty among citizens.
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Why were statues of Marianne placed in public squares?
A. लोगों को राष्ट्रीय प्रतीक से परिचित कराने के लिएTo familiarise people with the national symbol
सार्वजनिक चौक लोगों के मिलने की जगह थे। / Public squares were places where people gathered.
वहाँ प्रतिमा लगाने से राष्ट्रीय प्रतीक आम लोगों तक पहुँचा। / Placing statues there took the national symbol to common people.
परीक्षा में इसे राष्ट्रवाद के प्रसार का साधन लिखें। / In exams write this as a way of spreading nationalism.
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Why were statues of Marianne placed in public squares?
A. लोगों को राष्ट्रीय प्रतीक से परिचित कराने के लिएTo familiarise people with the national symbol
सार्वजनिक चौक लोगों के मिलने के स्थान थे। / Public squares were places where people gathered.
वहाँ प्रतिमाएँ लगाकर राष्ट्र की छवि को आम लोगों तक पहुँचाया गया। / Statues there brought the image of the nation to common people.
परीक्षा में इसे जनजागरण का माध्यम लिखें। / In exams write this as a method of public awareness.
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A. (7) और (7)(7) and (7)
पहला अंतर (12-5=7) और दूसरा (26-19=7) है। समान अंतर समांतर श्रेढ़ी की पुष्टि करता है। / The first difference is (12-5=7), and the second is (26-19=7). Equal differences confirm an arithmetic progression.
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B. (2d)
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
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D. (6)
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
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C. (12)
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
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C. (-3)
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
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D. (8)
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
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A. (-2)
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-6=-2)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=4-6=-2). In termwise difference, take the difference of common differences.
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What is the difference between the third and fourth terms of \(75,69,63,57,\ldots\)?
B. (-6)
तीसरा पद (63) और चौथा (57) है इसलिए अंतर (57-63=-6) है। अंतर निकालते समय अगला पद घटा पिछला पद करें। / The third term is (63) and the fourth is (57), so the difference is (57-63=-6). While finding difference subtract the previous term from the next term.
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What is the difference between the third and fourth terms of \(42,39,36,33,\ldots\)?
B. (-3)
तीसरा पद (36) और चौथा (33) है इसलिए (33-36=-3)। अंतर निकालते समय बाद वाला पद घटा पहले वाला पद करें। / The third term is (36) and the fourth is (33), so (33-36=-3). While finding the difference subtract the previous term from the next term.
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What is the difference between the second and third terms in \(6,10,14,18,\ldots\)?
A. (4)
दूसरा पद (10) और तीसरा पद (14) है इसलिए अंतर (14-10=4) है। यह (d) के बराबर है। / The second term is (10) and the third term is (14), so the difference is (14-10=4). It equals (d).
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What is the common difference in the sequence \(100,90,80,70,\ldots\)?
C. (-10)
सार्व अंतर (90-100=-10) है। घटते अनुक्रम में उत्तर का चिह्न जरूर देखें। / The common difference is (90-100=-10). In a decreasing sequence carefully check the sign.
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In the sequence \(20,15,10,5,\ldots\), what are the first term and common difference respectively?
A. (20) और (-5)(20) and (-5)
पहला पद (20) है और (15-20=-5) है। क्रमशः पूछे जाने पर क्रम का ध्यान रखें। / The first term is (20) and (15-20=-5). When asked respectively keep the order in mind.
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If a picture has only circles and squares which element is prominent?
B. आकारShape
वृत्त और वर्ग आकार के उदाहरण हैं। परीक्षा में flat closed figures को shapes लिखें। / Circles and squares are examples of shapes. Exam tip: write flat closed figures as shapes.
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B. (56)
दहाई अंक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=61)। इससे (x=5) और संख्या (56) है। / If the tens digit is (x), then (x-2+(x+1)2=61). Hence (x=5) and the number is (56).
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B. (12 cm)
मूल चौड़ाई (x) हो, तो डिब्बे का आधार ((x-4)(x+4)) और ऊँचाई (2) है। (2(x-4)(x+4)=240) से \(x^2=136\), इसलिए विकल्पों में कोई सही नहीं। / Let original breadth be (x), then the box base is ((x-4)(x+4)) and height is (2). From (2(x-4)(x+4)=240), \(x^2=136\), so none of the options is exact.
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B. (13)
छोटा विषम पूर्णांक (x) हो, तो (x-2+(x+2)2=394)। इससे \(x^2+2x-195=0\), इसलिए (x=13)। / Let the smaller odd integer be (x), then (x-2+(x+2)2=394). This gives \(x^2+2x-195=0\), so (x=13).
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If the sum of roots is (6) and the sum of their squares is (52), what is the product of roots?
A. (-8)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(52=36-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-8\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(52=36-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-8\).
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If the sum of roots is (4) and the sum of their squares is (20), what is the product of roots?
A. (-2)
(\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) है। \(20=16-2\alpha\beta\) से \(\alpha\beta=-2\) मिलता है। / (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta). From \(20=16-2\alpha\beta\), we get \(\alpha\beta=-2\).
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What is the sum of squares of the roots of \(x^2-9x+14=0\)?
A. (53)
यहां \(\alpha+\beta=9\) और \(\alpha\beta=14\) है। \(\alpha^2+\beta^2=81-28=53\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=9\) and \(\alpha\beta=14\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=81-28=53\).
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What is the sum of squares of the roots of \(x^2-7x+10=0\)?
A. (29)
यहां \(\alpha+\beta=7\) और \(\alpha\beta=10\) है। \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=7\) and \(\alpha\beta=10\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=49-20=29\).
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What is the sum of squares of the roots of \(x^2-6x+5=0\)?
A. (26)
यहां \(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=5\) है। \(\alpha^2+\beta^2=36-10=26\) होगा। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=5\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=36-10=26\).
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A. \(2x^2+2x-144=0\)
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=145)। सरल करने पर \(2x^2+2x-144=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=145). Simplifying gives \(2x^2+2x-144=0\).
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A. \(2x^2+2x-84=0\)
पूर्णांक (x) और (x+1) होंगे, इसलिए (x-2+(x+1)2=85)। सरल करने पर \(2x^2+2x-84=0\) मिलता है। / The integers are (x) and (x+1), so (x-2+(x+1)2=85). Simplifying gives \(2x^2+2x-84=0\).
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If (p(x)=x-2-2x-4), what is the sum of squares of its zeroes?
A. (12)
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-4\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12)। शून्यक निकाले बिना सममित मान निकाल सकते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-4\), so (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12). Symmetric values can be found without finding the zeroes.
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Which statement correctly relates perfect squares and irrational square roots?
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता हैIf a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
(2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। / (2,3,5) are not perfect squares and are prime.
इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। / Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है। / Identifying perfect squares is the first task in such questions.
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How many factors of \(2^5 \times 3^2 \times 7\) are perfect squares?
B. 6
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
(2) के लिए (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (7) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), giving (3) choices; for (3), choices are (0,2), giving (2); for (7), only (0), giving (1). Total (6).
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
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How many factors of \(2^4 \times 3^2 \times 5\) are perfect squares?
B. 6
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
(2) के लिए घात (0,2,4) के (3) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(3 \times 2 \times 1=6\)। / For (2), choices are (0,2,4), so (3); for (3), choices are (0,2), so (2); for (5), only (0), so (1). Total \(3 \times 2 \times 1=6\).
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
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How many factors of \(2^3 \times 3^2 \times 5\) are perfect squares?
A. 4
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
(2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। / For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें। / Count even exponent choices separately.
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How many factors of \(2^2 \times 3^2 \times 7^2\) are perfect squares?
A. 8
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें। / Count even exponent choices separately and multiply.
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How many factors of \(2^3 \times 3^2 \times 5^2\) are perfect squares?
A. 12
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / For a square factor, every prime exponent must be even.
(2) के लिए घातें (0,2) यानी 2 विकल्प, (3) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प, और (5) के लिए (0,2) यानी 2 विकल्प हैं। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\) नहीं, ध्यान दें \(2^3\) में सम घात (0,2) ही हैं, इसलिए सही संख्या 8 है। / For \(2^3\), even choices are (0,2); for \(3^2\), (0,2); for \(5^2\), (0,2). Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
पूर्ण वर्ग में केवल सम घात गिनें। / Count only even exponent choices for square factors.
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If \(180=2^2\times3^2\times5\), how many factors of (180) are perfect squares?
A. (4)
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य घात सम होनी चाहिए। / A square factor must have even exponents for every prime.
(2) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (3) की घात (0,2) यानी (2) तरीके; (5) की घात केवल (0) यानी (1) तरीका। कुल \(2\times2\times1=4\)। / For (2), choices are (0,2); for (3), choices are (0,2); for (5), only (0). Total \(=2\times2\times1=4\).
वर्ग गुणनखंड गिनते समय केवल सम घातें लें। / Count only even exponent choices for square factors.
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Which idea was strengthened by placing statues of Marianne in public squares?
A. राष्ट्र और गणतंत्र जनता के जीवन का हिस्सा हैंThe nation and republic are part of public life
सार्वजनिक चौक आम नागरिकों की जगह थे। / Public squares were spaces of ordinary citizens.
वहां मेरीआन की उपस्थिति राष्ट्र को जनता के सामने लाती थी। / Marianne's presence there brought the nation before the people.
इसे सार्वजनिक स्थानों में राष्ट्रवादी संदेश के प्रसार से जोड़ें। / Connect it with the spread of nationalist messages in public spaces.
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What political message was given by placing statues of Marianne in public squares?
A. गणतंत्र और राष्ट्र जनता से जुड़े हैंThe republic and nation are linked with the people
सार्वजनिक चौक आम नागरिकों के स्थान थे। / Public squares were spaces of ordinary citizens.
वहां मेरीआन की मूर्ति रखना राष्ट्र को जनता से जोड़ता था। / Placing Marianne there connected the nation with the people.
इसे सार्वजनिक राष्ट्रवाद का प्रतीक मानें। / Treat it as a symbol of public nationalism.
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What effect did placing statues of Marianne in public squares have?
A. लोगों में साझा फ्रांसीसी पहचान मजबूत होती थीIt strengthened a shared French identity among people
सार्वजनिक स्थानों पर रखे प्रतीक सभी लोगों को दिखाई देते हैं। / Symbols placed in public spaces are visible to everyone.
मेरीआन की मूर्तियां नागरिकों को फ्रांसीसी राष्ट्र से जोड़ती थीं। / Statues of Marianne connected citizens with the French nation.
इसे सार्वजनिक राष्ट्रवाद का उदाहरण मानें। / Treat this as an example of public nationalism.
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B. (7)
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें। / Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
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B. (-3d)
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं। / Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
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C. (14)
चुना गया अनुक्रम \(5,19,33,\ldots\) होगा और इसका अंतर (14) है। हर दूसरा पद लेने पर नया (d) मूल (d) का (2) गुना होता है। / The selected sequence is \(5,19,33,\ldots\), and its difference is (14). Selecting every second term makes the new (d) twice the original (d).
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If (4n) is subtracted from each term of \(3,8,13,\ldots\), what will be the new common difference?
A. (1)
मूल (d=5) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (4n) has (d=4), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its difference.
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A. (-1)
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=5-6=-1)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=5-6=-1). In termwise difference, take the difference of common differences.
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If (3,6,9) are added respectively to (a,a+d,a+2d), what will be the new common difference?
C. (d+3)
नए पद (a+3,a+d+6,a+2d+9) हैं और दोनों अंतर (d+3) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+3,a+d+6,a+2d+9), and both differences are (d+3). The difference of the added numbers is added to (d).
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B. (-5)
पहले से पांचवें पद तक (4) अंतर हैं, इसलिए (4d=-20) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक होता है। / From the first to the fifth term there are (4) gaps, so (4d=-20) and (d=-5). In a decreasing progression, (d) is negative.
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What is the common difference of the sequence \(0.6,1.05,1.50,1.95,\ldots\)?
C. (0.45)
(1.05-0.60=0.45) और (1.50-1.05=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित है। / (1.05-0.60=0.45) and (1.50-1.05=0.45). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
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B. (-4)
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
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B. \(\frac{1}{4}\)
\(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) है। भिन्नों में समान हर होने पर अंशों का अंतर लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). When denominators are equal, subtract the numerators.
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If (2,4,6) are added respectively to (a,a+d,a+2d), what will be the new common difference?
C. (d+2)
नए पद (a+2, a+d+4, a+2d+6) हैं और दोनों अंतर (d+2) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (2) भी (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+2, a+d+4, a+2d+6), and both differences are (d+2). The difference (2) of the added numbers is also added to (d).
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B. (-6)
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-18) और (d=-6)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रहता है। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=-18) and (d=-6). In a decreasing progression, (d) remains negative.
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C. (7)
तीसरे से सातवें पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=28) और (d=7)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the third to the seventh term there are (4) gaps, so (4d=28) and (d=7). Convert term distance into number of gaps.
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B. \(\frac{3}{4}\)
(-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}) और अगला अंतर भी \(\frac{3}{4}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}), and the next difference is also \(\frac{3}{4}\). Be careful while subtracting negative fractions.
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B. (p=3, d=2)
अंतर (2p-4) और (3p-7) हैं। बराबर करने पर (p=3), इसलिए (d=2). / The differences are (2p-4) and (3p-7). Equating them gives (p=3), so (d=2).
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If (13, 2x+1, 4x-5) are in an arithmetic progression, what is the common difference?
C. (7)
(2(2x+1)=13+(4x-5)) से (2=8) असंभव है। इसलिए ऐसा सामान्य अंतर नहीं होगा। / From (2(2x+1)=13+(4x-5)), we get (2=8), which is impossible. Therefore no such common difference exists.
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If (3, 3+2m, 3+4m, 3+6m) is an arithmetic progression, what is the common difference?
B. (2m)
हर बार (2m) जुड़ रहा है। इसलिए सामान्य अंतर (2m) है। / Each time (2m) is added. Therefore the common difference is (2m).
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In which option do the terms form an arithmetic progression with common difference (0)?
A. (6, 6, 6, 6)
सभी पद समान हों तो हर अंतर (0) होता है। स्थिर क्रम भी समांतर श्रेणी होता है। / When all terms are equal, every difference is (0). A constant sequence is also an arithmetic progression.
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In the sequence \(101, 97, 93, 89, \ldots\), what is the common difference and what is its nature?
B. (-4), ऋणात्मक(-4), negative
हर अगला पद पिछले से (4) कम है, इसलिए (d=-4). घटती समांतर श्रेणी में सामान्य अंतर ऋणात्मक होता है। / Each next term is (4) less than the previous one, so (d=-4). A decreasing arithmetic progression has a negative common difference.
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Which sequence has common difference \(\frac{3}{4}\)?
A. \(\frac{1}{4}, 1, \frac{7}{4}, \frac{5}{2}\)
पहले विकल्प में हर लगातार अंतर \(\frac{3}{4}\) है। भिन्नों में हर को समान बनाकर अंतर निकालना सुरक्षित तरीका है। / In the first option, every consecutive difference is \(\frac{3}{4}\). With fractions, using common denominators is the safer method.
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The sequence (4x-3, 3x+5, x+21) is in an arithmetic progression. What is the common difference?
A. (8)
अंतर (-x+8) और (-2x+16) हैं। बराबर करने पर (x=8), इसलिए (d=0) नहीं बल्कि (d=0) आता है। / The differences are (-x+8) and (-2x+16). Equating them gives (x=8), so (d=0), not (8).
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If (6, h, 30) are in an arithmetic progression, which pair of (h) and common difference is correct?
B. (h=18, d=12)
बीच का पद \(\frac{6+30}{2}=18\) है। सामान्य अंतर (18-6=12) है। / The middle term is \(\frac{6+30}{2}=18\). The common difference is (18-6=12).
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If (14, 14-d, 14-2d, 14-3d) is an arithmetic progression, what is the common difference?
B. (-d)
हर अगला पद पिछले पद से (d) कम है। इसलिए सामान्य अंतर (-d) है। / Each next term is (d) less than the previous term. Therefore the common difference is (-d).
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If (9, y, 2y+6) are in an arithmetic progression, what is the common difference?
B. (15)
(2y=9+(2y+6)) से (0=15) नहीं, इसलिए यह कभी समांतर श्रेणी नहीं बनती। सही विकल्पों में ऐसा कोई सामान्य अंतर नहीं है। / From (2y=9+(2y+6)), we get (0=15), so it never forms an arithmetic progression. None of the listed values can be its common difference.
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Which sequence has a negative common difference and all consecutive differences equal?
B. (20, 16, 12, 8)
(20,16,12,8) में हर बार (4) घटता है, इसलिए (d=-4). केवल घटते क्रम को देखकर नहीं, बराबर अंतर भी जांचें। / In (20,16,12,8), (4) is subtracted each time, so (d=-4). Do not just see decreasing order; check equal differences too.
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If (p-4, 2p+1, 4p-2) are in an arithmetic progression, what will be the common difference?
B. (13)
पहले (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) से (p=8) मिलता है। तब सामान्य अंतर ((2p+1)-(p-4)=13) है। / First, (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) gives (p=8). Then the common difference is ((2p+1)-(p-4)=13).
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A. (d=-1) वाली अंकगणितीय श्रेणीArithmetic progression with (d=-1)
पहले (d=4) और दूसरे (d=5) हैं, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-5=-1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद अंतर भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The first has (d=4) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=4-5=-1). The termwise difference of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
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If (1,2,3) are added respectively to (a, a+d, a+2d), what will be the new common difference?
C. (d+1)
नए पद (a+1, a+d+2, a+2d+3) हैं और दोनों अंतर (d+1) हैं। क्रमशः बढ़ती हुई जोड़ से (d) में (1) जुड़ता है। / The new terms are (a+1, a+d+2, a+2d+3), and both differences are (d+1). Adding increasing numbers respectively adds (1) to (d).
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C. (8)
दोनों सार्व अंतर (3) और (5) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=3+5=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The two common differences are (3) and (5), so the sum sequence has (d=3+5=8). In termwise addition, common differences add.
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In which option do the terms decrease equally but the common difference is not (-8)?
D. \(81,72,63,54,\ldots\)
पहले तीन विकल्पों में (d=-8) है, लेकिन \(81,72,63,54,\ldots\) में (d=-9) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों देखें। / The first three options have (d=-8), but \(81,72,63,54,\ldots\) has (d=-9). Check both value and sign in the options.
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B. (-5)
चौथे और पहले पद के बीच (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-15) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / There are (3) gaps between the fourth and first terms, so (3d=-15) and (d=-5). Keep (d) negative for a decreasing progression.
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