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पहले से (y=43-8x), रखने पर (2x-3(43-8x)=-5), इसलिए (x=5) और (y=3)। अतः (y)-निर्देशांक (3) है। / From the first equation, (y=43-8x). Substituting gives (2x-3(43-8x)=-5), so (x=5) and (y=3). Hence the (y)-coordinate is (3).
दूसरे से (y=4x-9), रखने पर (6x+5(4x-9)=39), इसलिए (x=3)। ग्राफ का प्रतिच्छेद यही (x)-निर्देशांक देता है। / From the second equation, (y=4x-9). Substituting gives (6x+5(4x-9)=39), so (x=3). The graph intersection gives this (x)-coordinate.
दूसरे से (y=3x-10), रखने पर (7x+2(3x-10)=31), इसलिए \(x=\frac{51}{13}\) और \(y=\frac{23}{13}\) नहीं; अतः विकल्पों में दिए सरल मान सही नहीं हैं। सही गणना को विकल्पों से मिलाना जरूरी है। / From the second equation, (y=3x-10). Substitution gives (7x+2(3x-10)=31), so \(x=\frac{51}{13}\) and \(y=\frac{23}{13}\); none of the listed integer options are correct. Matching calculation with options is necessary.
हल करने पर (x=3) और \(y=\frac{19}{5}\) मिलता है। ग्राफ का प्रतिच्छेद यही निर्देशांक देता है। / Solving gives (x=3) and \(y=\frac{19}{5}\). The graph intersection gives these coordinates.
दूसरे से (5x=7+2y) और हल करने पर (x=3), (y=4)। इसलिए प्रतिच्छेद का (y)-निर्देशांक (4) है। / From the second equation, (5x=7+2y), and solving gives (x=3), (y=4). Hence the (y)-coordinate of the intersection is (4).
पहले को (2) से और दूसरे को (3) से गुणा करने पर (4x+6y=34) और (15x-6y=12), इसलिए (19x=46) नहीं; सही हल (\(2,\frac{13}{3}\)) है। विकल्प जांच में (x=2) दोनों समीकरणों को संतुलित करता है। / Multiplying gives (4x+6y=34) and (15x-6y=12), so (19x=46) is not compatible with the options; the correct solution is (\(2,\frac{13}{3}\)). Option checking confirms (x=2).
पहले से दूसरे को घटाने पर (4x=8), इसलिए (x=2) और (y=6)। ग्राफ में इसी बिंदु का (y)-निर्देशांक (6) है। / Subtracting the second equation from the first gives (4x=8), so (x=2) and (y=6). Thus the graph point has (y)-coordinate (6).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (5x=15), इसलिए (x=3)। ग्राफ में प्रतिच्छेद का (x)-निर्देशांक यही होगा। / Adding the two equations gives (5x=15), so (x=3). This is the (x)-coordinate of the graphical intersection.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है, इसलिए निर्देशांक \( -4-\sqrt{23} \) होगा। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving left means subtracting the distance, so the coordinate is \( -4-\sqrt{23} \). Choose the sign by direction.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है, इसलिए निर्देशांक \(2-\sqrt{19}\) है। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving left means subtracting the distance, so the coordinate is \(2-\sqrt{19}\). Choose the sign by direction.
दाईं ओर जाने पर दूरी जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक \( -3+\sqrt{14} \) होगा। दिशा देखकर जोड़ या घटाव चुनें। / Moving right means adding the distance, so the coordinate is \( -3+\sqrt{14} \). Choose addition or subtraction by direction.
बाईं ओर जाने पर दूरी घटाई जाती है। इसलिए निर्देशांक \( -1-\sqrt{6} \) होगा। / Moving left means subtracting the distance. Therefore the coordinate is \( -1-\sqrt{6} \).
दाईं ओर जाने पर संख्या जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक \(1+\sqrt{6}\) होगा। दिशा देखकर चिह्न चुनें। / Moving right means addition, so the coordinate is \(1+\sqrt{6}\). Choose the sign by checking the direction.
\( \sqrt{256}=16 \) और \( \sqrt{121}=11 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{256}=16 \) and \( \sqrt{121}=11 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{196}=14 \) और \( \sqrt{81}=9 \), इसलिए अंतर (5) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{196}=14 \) and \( \sqrt{81}=9 \), so the difference is (5). Find each square root first.
\( \sqrt{49}=7 \) और \( \sqrt{16}=4 \), इसलिए योग (11) है। पहले अलग-अलग वर्गमूल निकालें। / \( \sqrt{49}=7 \) and \( \sqrt{16}=4 \), so the sum is (11). Find each square root first.
\(6<\sqrt{48}<7\), इसलिए \(-7<-\sqrt{48}<-6\)। ऋणात्मक वर्गमूल में अंतराल उल्टा लिखें। / Since \(6<\sqrt{48}<7\), \(-7<-\sqrt{48}<-6\). Write the interval carefully for negative square roots.
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-17+9}{2},0\right\)=(-4,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-13+7}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-11+5}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-9+3}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
मध्यबिंदु (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)) है। टिप: (x)-अक्ष पर मध्यबिंदु का (y)-मान (0) रहता है। / The midpoint is (\left\(\frac{-7+1}{2},0\right\)=(-3,0)). Tip: on the (x)-axis the midpoint has (y=0).
x-अक्ष पर हर बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः प्रतिच्छेदन पाने के लिए \(0 = x + 2\) करना होगा, जिससे \(x = -2\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटभ्रांत उत्तर 0 इसलिए गलत है क्योंकि \(x=0\) पर रेखा का y-मूल्य होगा (यानी y-आवरण/y-intercept = 2) — यह x-अक्ष पर छेदन नहीं देता। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर छेदन जानने के लिए हमेशा रेखा में \(y=0\) रखिये। / On the x-axis the y-coordinate is \(0\). So set \(0 = x + 2\), giving \(x = -2\). Hence the correct x-coordinate is -2. A common error is to set \(x=0\) (which gives the y-intercept y=2), but that does not give the x-axis intersection. Exam tip: to find where a line meets the x-axis, substitute \(y=0\).
चित्र तल पर ऊपर रखी वस्तु दूर का आभास दे सकती है। परीक्षा में placement को depth cue मानें। / An object placed higher on the picture plane can appear far. Exam tip: treat placement as a depth cue.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=24), इसलिए (p=12) और (q=5)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2p=24), so (p=12) and (q=5). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2p=18), इसलिए (p=9) और (q=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक दोनों समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2p=18), so (p=9) and (q=4). Coordinates of the intersection satisfy both equations together.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2a=10), इसलिए (a=5) और (b=4)। प्रतिच्छेद के निर्देशांक समीकरणों को साथ-साथ संतुष्ट करते हैं। / Adding the two equations gives (2a=10), so (a=5) and (b=4). Coordinates of an intersection satisfy both equations together.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
A. बिंदु (\left\(8,\frac{18}{5}\right\))/Point (\left\(8,\frac{18}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=8), फिर (8+5y=26) से \(y=\frac{18}{5}\)। यही दोनों रास्तों का मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (x=8), then (8+5y=26) gives \(y=\frac{18}{5}\). This is the meeting point of both paths.
A. बिंदु (\left\(7,\frac{18}{5}\right\))/Point (\left\(7,\frac{18}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=14), फिर (x=7) और (7+5y=25) से \(y=\frac{18}{5}\)। यही ग्राफीय प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (2x=14), then (x=7) and (7+5y=25) gives \(y=\frac{18}{5}\). This is the graphical intersection.
A. बिंदु (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\)) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। भिन्न निर्देशांक को ग्राफ के पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें। / (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\)) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using the graph scale.
A. बिंदु (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))/Point (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=8), फिर (8+5y=21) से \(y=\frac{13}{5}\)। यही ग्राफीय प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=8), then (8+5y=21) gives \(y=\frac{13}{5}\). This is the graphical intersection.
B. बिंदु (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))/Point (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। ग्राफ में भिन्न निर्देशांक को पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें। / (\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using scale on the graph.
A. बिंदु (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))/Point (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। फिर (x+2y=11) से \(y=\frac{7}{2}\)। / Adding the equations gives (4x=16), so (x=4). Then (x+2y=11) gives \(y=\frac{7}{2}\).
A. बिंदु (\left\(-3,10\right\))/Point (\left\(-3,10\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=-3) रखने पर (2\left\(-3\right\)+y=4), इसलिए (y=10)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान पहले से निश्चित होता है। / Putting (x=-3) gives (2\left\(-3\right\)+y=4), so (y=10). In a vertical line, the value of (x) is already fixed.
A. बिंदु (\left\(4,-3\right\))/Point (\left\(4,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=-3) रखने पर (4x-\left\(-3\right\)=19), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) निश्चित रहता है। / Putting (y=-3) gives (4x-\left\(-3\right\)=19), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
(x=-2) रखने पर (3(-2)+y=1), इसलिए (y=7)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) का मान निश्चित रहता है। / Putting (x=-2) gives (3(-2)+y=1), so (y=7). In a vertical line, the value of (x) is fixed.
( (2,-1) ) रखने पर (2(2)-(-1)=5) और (2+2(-1)=0)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Substituting ( (2,-1) ) gives (2(2)-(-1)=5) and (2+2(-1)=0). If both are true, that point is the solution.
(y=-1) रखने पर (2x-(-1)=9), इसलिए (x=4)। क्षैतिज रेखा में (y) तय रहता है। / Putting (y=-1) gives (2x-(-1)=9), so (x=4). In a horizontal line, (y) is fixed.
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (0,12) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर है। अक्ष पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,12) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying axes helps in reading graphs.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
बिंदु ( (0,8) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर स्थित है। अक्षों पर बिंदु पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,8) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying points on axes helps in graph reading.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ़ पर निम्नलिखित मान दिए गए हों: \(p(-4)=0\), \(p(0)=3\), \(p(2)=0\), \(p(5)=0\)। इनमें से कितने दिए गए \(x\)-मान बहुपद के शून्यक (zeros) हैं?
शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। यहाँ \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(5)=0\) हैं, इसलिए तीन शून्यक हैं। \(p(0)=3\) शून्य नहीं है। परीक्षात्मक टिप: ग्राफ पर शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ वक्र x-अक्ष (यानी \(y=0\)) को काटता है। / A zero is an \(x\) such that \(p(x)=0\). Here \(p(-4)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(5)=0\), so there are three zeros. \(p(0)=3\) is not a zero. Exam tip: on the graph, zeros are the x-values where the curve meets the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपद को हम p(x) मानें तो 0 वास्तविक शून्यक तभी होगा जब \(p(0)=0\)। ज्यामितीय अर्थ में यह तब होता है जब बहुपद का ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रता है। विकल्प C (ग्राफ (5,0) से गुजरना) केवल बताता है कि \(p(5)=0\) यानी 5 एक शून्यक है, परन्तु 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में x=0 रखकर तुरंत \(p(0)\) निकालें — अगर परिणाम 0 आए तो 0 शून्यक है। / If the polynomial is denoted by p(x), 0 is a real zero exactly when \(p(0)=0\). Geometrically this means the graph passes through the origin (0,0). Choice C (graph passing through (5,0)) indicates \(p(5)=0\), so 5 is a root but not 0. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial; if \(p(0)=0\) then 0 is a root.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
यदि \(p(a)=0\), तो \(x=a\) पर फलन का मान शून्य होता है, अतः बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होता है। यहाँ \(p(-2)=0\) और \(p(3)=0\) होने पर क्रमशः बिंदु \((-2,0)\) और \((3,0)\) ग्राफ पर होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह x‑समन्वय 0 मानकर y‑मूल्यों को पहले और दूसरे समन्वय के स्थान पर उल्टा डालता है; विकल्प C और D दोनों में समन्वय और मान बदल दिए गए हैं और इसलिए गलत हैं. टिप: शॉर्ट‑हैंड में याद रखें — शून्य देने वाला x‑मान पहले समन्वय में और शून्य हमेशा y‑समन्वय होता है। / If \(p(a)=0\), then at \(x=a\) the function value is zero, so the graph contains the point \((a,0)\). Given \(p(-2)=0\) and \(p(3)=0\), the corresponding points are \((-2,0)\) and \((3,0)\). Option B is the closest distractor: it mistakenly treats the zeros as y‑coordinates at \(x=0\). Options C and D swap or pair coordinates incorrectly, so they are not points where the polynomial equals zero. Exam tip: the x‑value that makes the polynomial zero is the first coordinate; the y‑coordinate is 0.
शुन्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को छेदता है, अर्थात् \(y=0\)। गणना: \(4x+12=0\) से \(4x=-12\) और इसलिए \(x=-3\)। विकल्प B (3) आम गलती है — साइन उल्टा लेना; विकल्प D (−12) तब होगा जब कोई \(4x= -144\) जैसा गलत रूप बनाये। परीक्षकीय टिप: शून्यक पाने के लिए सीधे \(y=0\) रखें और हल करें; हल करने के बाद परिक्षण के लिए मूल मान पर पुनः_SUBSTITUTE करके देखें कि \(y=0\) आता है। / The zero (root) is the x-value where the graph crosses the x-axis, so set \(y=0\). Solve: \(4x+12=0\) gives \(4x=-12\) and \(x=-3\). Option B (3) is a common sign mistake — the correct solution is negative. Option D (−12) is incorrect and results from a wrong manipulation of the equation. Exam tip: always set \(y=0\) to find the root and substitute back to verify that \(y=0\) is obtained.
हर रेखीय कारक को शून्य मानकर शून्यांक निकाले जाते हैं: \(x+7=0\) से \(x=-7\) और \(x-1=0\) से \(x=1\)। x-अक्ष पर y का मान 0 होता है, अतः बिंदु \\((-7,0)\\) और \\((1,0)\\) होंगे। विकल्प A में संकेत उल्टे हैं, विकल्प B y-अक्ष के बिंदु हैं और विकल्प D अनावश्यक अवयव दे रहा है। परीक्षा टिप: प्रत्येक कारक को 0 के बराबर रखें और प्राप्त x-मूलों के साथ y=0 लिखें। / Set each linear factor to zero: \(x+7=0\) gives \(x=-7\) and \(x-1=0\) gives \(x=1\). For x-axis intercepts y=0, so the points are (-7,0) and (1,0). Option A has the signs reversed; option B lists y-axis points; option D gives unrelated coordinates. Exam tip: equate each factor to zero to find x-zeros, then pair with y=0 for the intercepts.
x-अक्ष पर कटान बिंदु (a,0) का अर्थ है कि उस फ़ंक्शन/बहुपद का मान x=a पर शून्य है। अतः (a,0), (b,0), (c,0) से शून्यक क्रमशः a, b, c होते हैं। विकल्प A तब ही सही होगा जब a=b=c=0, जो सामान्य रूप में सत्य नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि a+0 = a आदि लिखा जा सकता है — यह सिर्फ अनावश्यक रूप है, न कि अमान्य। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए तीनों कटान बिंदु तीनों शून्य दर्शाते हैं, न कि केवल c। परीक्षा-टिप: किसी x-अक्ष कटान (α,0) से सीधे α को शून्यक समझें। / An x-intercept (a,0) means the function (or polynomial) equals zero at x=a, so the zeros are a, b and c respectively. Choice A would only be true if a=b=c=0, which need not hold. Choice C is incorrect because a+0 = a (writing it that way is valid but redundant). Choice D is wrong because all three intercepts give zeros, not only c. Exam tip: read the x-coordinate of an x-intercept (α,0) as a zero of the polynomial.
यदि \(x=7\) बहुपद \(p(x)\) का शून्यक है तो \(p(7)=0\) होगा। ग्राफ पर जहाँ क्रिया का मान (y) शून्य होता है वहीं x-अक्ष पर बिंदु आता है, अतः बिंदु \((7,0)\) अवश्य होगा। विकल्प (0,7) में x और y उलटे हैं, (7,7) में y शून्य नहीं है, और (-7,0) तब होगा जब \(x=-7\) शून्यक हो। टिप: किसी शून्यक \(r\) के लिए ग्राफ पर बिंदु \((r,0)\) ढूँढें। / If \(x=7\) is a zero of the polynomial \(p(x)\), then \(p(7)=0\). Points where the polynomial value is zero lie on the x-axis, so the graph must contain (7,0). (0,7) swaps coordinates, (7,7) has a nonzero y-value, and (-7,0) would correspond to \(x=-7\) being a root. Exam tip: for any root r, the graph meets the x-axis at (r,0).
यदि \(p(a)=0\) तो बिंदु का x-निर्देशांक \(a\) और y-निर्देशांक \(p(a)=0\) होगा, इसलिए वह बिंदु \((a,0)\) है। इसी तरह \(p(b)=0\) से बिंदु \((b,0)\) मिलेगा। इसलिए आलेख x-अक्ष को बिंदुओं \((a,0)\) और \((b,0)\) पर काटता है। भ्रमित करने वाला विकल्प \((0,a)\) और \((0,b)\) इसलिए गलत है क्योंकि वे y-अक्ष पर बिंदु हैं (x=0) और उन पर पहुँचने के लिए हमें \(p(0)=a\) या \(p(0)=b\) चाहिए होता, जो दिया नहीं है। परीक्षा-सुझाव: x-अक्ष पर मिलने वाले बिंदुओं के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखकर x के मान निकालें; यदि कोई शून्य की पुनरावृत्ति (multiplicity) सम है तो ग्राफ़ छू सकता है, विषम होने पर काटता है। / If \(p(a)=0\), the point on the graph has x-coordinate \(a\) and y-coordinate \(p(a)=0\), i.e. the point \((a,0)\). Similarly \(p(b)=0\) gives \((b,0)\). Thus the graph meets the x-axis at \((a,0)\) and \((b,0)\). The tempting option \((0,a)\) and \((0,b)\) is wrong because those are points on the y-axis (x=0) and would correspond to values like \(p(0)=a\), which is not given. Exam tip: find x-intercepts by solving \(p(x)=0\); note multiplicity — even multiplicity may cause the graph to touch the axis, odd multiplicity makes it cross.
बहुपद के शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ y=0 को काटता है (यानी x‑अक्ष के छेद)। दिए गए बिंदुओं में (1,0) और (4,0) x‑अक्ष पर हैं इसलिए शून्यक 1 और 4 हैं। (0,6) y‑अक्ष पर है (y=6), इसलिए 6 शून्यक नहीं है। निकटतम भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि उसने 6 को भी शामिल किया जो y‑मान है न कि कोई x‑मान जहाँ y=0। टिप: शून्यक खोजते समय हमेशा बिंदु का y‑मान चेक करें — केवल y=0 वाले बिंदु दें। / Zeros (roots) of a polynomial are the x‑values where the graph meets y=0 (the x‑axis). Here (1,0) and (4,0) lie on the x‑axis, so the zeros are 1 and 4. The point (0,6) is a y‑intercept (y=6), so 6 is not a zero. The closest distractor (C) is wrong because it incorrectly includes 6, which is a y‑coordinate, not an x‑coordinate with y=0. Exam tip: verify y=0 for any intercept before calling its x‑value a root.
A. यह y-अक्ष पर स्थित कटान है और इसमें y\neq0 है, इसलिए 7 शून्यक नहीं है/It is a y-axis intercept with y\neq0, so 7 is not a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (root) का अर्थ वह x‑मान है जहाँ ग्राफ का y‑मान शून्य हो यानी बिंदु का दूसरा निर्देशांक 0 होना चाहिए (उदा. (a,0)). बिंदु (0,7) में y=7 है, इसलिए यह x‑अक्ष पर नहीं है बल्कि y‑अक्ष कटान (y‑intercept) है; 7 y‑सह‑निर्देशांक है न कि शून्यक। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) गलत है क्योंकि x=0 होना शर्त नहीं है कि y वह शून्यक हो—शून्यक के लिये y=0 चाहिए। परीक्षा सुझाव: रूट देखने के लिये हमेशा बिंदु का दूसरा निर्देशांक (y) 0 है या नहीं जांचें। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, so the point must have y=0 (e.g. (a,0)). The point (0,7) has y=7, so it is a y‑axis intercept (y‑intercept), not an x‑intercept; 7 is the y‑coordinate, not a root. The closest distractor (option C) is wrong because x=0 alone does not make 7 a root—the y coordinate must be 0. Exam tip: to identify a root from a point, always check that the second coordinate equals 0.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का अर्थ है उस बिंदु का y-मान शून्य होना। इसलिए यदि आलेख x = 10 पर x-अक्ष को काटता है तो बहुपद का मान \(p(10)=0\) होगा। विकल्प (D) सबसे निकटका भ्रमक है क्योंकि \(p(-10)=0\) होने का मतलब जड़ x = -10 है, जो हमें दिया नहीं गया। विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि वे क्रमशः x = 0 पर मान और x = 10 पर मान को 10 मानते हैं, जो x-अक्ष पर कटान के अर्थ के विपरीत हैं। परीक्षा-tip: कोई भी दिए हुए x-संयोजन को बहुपद में रखकर देखें — अगर मान 0 आए तो वह x-अक्ष पर कट बिंदु है। / An intersection with the x-axis at x = 10 means the function value (y) is zero at x = 10, so \(p(10)=0\). The closest distractor is (D): \(p(-10)=0\) would mean the root is at x = -10, which is not stated. Options (B) and (C) are incorrect because they assert numeric values at x = 0 or x = 10 that contradict the x-axis intersection. Exam tip: substitute the given x-coordinate into the polynomial — if the result is 0, that x is a zero (root).
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटे/The graph cuts the x-axis at (-6, 0)
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या a का बहुपद में शून्यक होने का अर्थ है p(a)=0। यदि (-6) शून्यक है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटेगा क्योंकि उस x के लिए y का मान 0 होगा। विकल्प B का अर्थ है p(0) = -6 (x = 0 पर y = -6) — शून्य नहीं। विकल्प C में चिन्ह गलत है (+6), और विकल्प D में y = 6 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक की पहचान के लिए हमेशा देखिए कि किस x पर y = 0 होता है। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If (-6) is a zero, the graph meets the x-axis at (-6, 0) because the y-value there is 0. Option B means p(0) = -6 (y ≠ 0 at x=0). Option C has the wrong sign (+6 instead of -6). Option D gives y = 6 at x = -6, so not a root. Exam tip: zeros correspond specifically to x-intercepts (points where y = 0).
A. आलेख (3,0) से गुजरे/The graph passes through (3,0)
Explanation
Simple Explanation
यदि 3 बहुपद p(x) का शून्यक है तो p(3)=0 होगा। ग्राफ y=p(x) पर x=3 पर y का मान 0 होना चाहिए, यथा बिंदु (3,0) ग्राफ पर स्थित होगा। विकल्प B और C में y ≠ 0 है और इसलिए शून्यक नहीं बनाते; विकल्प D में y=0 सही है पर x = -3 है न कि 3। परीक्षा टिप: किसी संख्या a का शून्यक होने का मतलब है ग्राफ का x-अक्ष के साथ अंतरछेद (a,0) होना। / If 3 is a zero of the polynomial p(x), then p(3)=0. Geometrically the graph y = p(x) must pass through the x-intercept (3,0). Options B and C fail because their y-coordinate is not zero; option D has y=0 but x = -3, not 3. Exam tip: a number a is a zero iff the curve meets the x-axis at (a,0).
किसी बहुपद f(x) का शून्यक a वह मान है जहाँ f(a)=0। ग्राफ़ के संदर्भ में यह x-अक्ष पर बिंदु (a,0) के रूप में दिखता है क्योंकि y‑निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए (9,0) दिखाता है कि x=9 पर बहुपद का मान शून्य है। विकल्प (0,9), (9,9) और (0,-9) में y‑निर्देशांक शून्य नहीं है इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते। परीक्षा सुझाव: शून्यक खोजने के लिए हमेशा ऐसे बिंदु चुनें जिनका y‑coördinate 0 हो। / A zero a of a polynomial f(x) satisfies f(a)=0. On the graph this corresponds to an x‑intercept at the point (a,0), i.e. the y‑coordinate is zero. Thus (9,0) indicates the polynomial is zero at x=9. The other choices have y≠0, so they cannot represent zeros. Exam tip: look for points on the x‑axis (y=0) to identify zeros quickly.
किसी भी फलन के लिए \(y=p(x)\) मानकर देखें। \(p(-4)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-4\) हो तो \(y=0\) होता है, इसलिए क्रमबद्ध युग्म (-4, 0) ग्राफ़ पर होगा। नज़दीकी भूलभुलैया: (0, -4) में x और y उलट दिये गये हैं; (4,0) में x का मुद्रांक गलत है; (-4,-4) में y शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: हमेशा \(p(x)\) को \(y\) मानकर ordered pair लिखें: \((x, p(x))\). / Interpret the polynomial as the function \(y=p(x)\). \(p(-4)=0\) means at \(x=-4\) the value is \(y=0\), so the graph must contain the point (-4, 0). Common mistakes: (0, -4) swaps x and y; (4, 0) uses the wrong x-value; (-4, -4) gives the wrong y-value. Exam tip: write the ordered pair as (x, p(x)) to convert a root into a point on the graph.
शून्यक का अर्थ है वह x‑समन्वय जहाँ अवकलित फलन का मान \(y=0\) होता है यानी रेखा x‑अक्ष को काटती है। रेखा \(y=5-x\) के लिए \(y=0\) रखें: \(5-x=0\Rightarrow x=5\)। अतः शून्यक 5 है। निकटतम भ्रमजनक विकल्प 0 इसलिए गलत है क्योंकि यदि \(x=0\) रखें तो \(y=5\) मिलता है, न कि 0। परीक्षात्मक टिप: शून्यक पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखना और x हल करना याद रखें। / The zero (x-intercept) is the x-coordinate where the function value \(y=0\). For \(y=5-x\), set \(y=0\): \(5-x=0\Rightarrow x=5\). So the zero is 5. A common error is choosing 0 (confusing x=0 with y=0); if \(x=0\) then \(y=5\), not 0. Exam tip: to find the zero always set \(y=0\) and solve for x.
यदि किसी बिंदु का रूप (a, 0) है तो वह x-अक्ष पर एक शून्यक देता है क्योंकि y = 0 होता है। दिए गए बिंदुओं के x-निर्देशांक 0 और 3 हैं, अतः शून्यक 0 और 3 होंगे। निकटतम भ्रांत विकल्पों की जाँच: विकल्प B में 1 का कोई बिंदु नहीं दिया गया, इसलिए गलत है; विकल्प C में −3 का संकेत गलत है; विकल्प D अधूरा है क्योंकि दोनों बिंदु शून्यक देते हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी x-अक्ष पर बिंदु (a,0) हो तो तुरंत a को शून्यक मानें। / A point (a, 0) on the x-axis corresponds to a zero because the polynomial (or graph) takes value 0 at x = a. Here the x-coordinates are 0 and 3, so the zeros are 0 and 3. Why other options fail: option B includes 1 which is not given; option C has −3 which is incorrect sign; option D ignores the origin (0,0). Exam tip: For any x-intercept (a,0), record a as a root immediately to avoid sign errors.
यदि किसी बहुपद का शून्यक a है तो बहुपद a पर शून्य देता है, अर्थात् उस बिंदु पर y=0 होगा — इसलिए वह बिंदु \,\((a,0)\) होता है। शून्यक 1 और 4 के लिए कटान बिंदु \,\((1,0)\) और \,\((4,0)\) होंगे। विकल्प B गलत है क्योंकि वह y-अक्ष के उपर के बिंदु दिखाता है (x=0); C गलत है क्योंकि वहाँ y≠0 होने पर x-अक्ष पर कटान नहीं होता; D गलत है क्योंकि संकेत उल्टे दिए गए हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को हमेशा x-निर्देशांक समझें — x=a पर y=0। / If a polynomial has a zero a, the graph takes the value 0 at x=a, so the intersection point with the x-axis is (a,0). For zeros 1 and 4 the graph meets the x-axis at (1,0) and (4,0). Option B lists points on the y-axis (x=0), C lists points with y≠0 so they are not x-intercepts, and D has the wrong signs. Exam tip: a zero gives the x-coordinate of the intercept; set y=0 to find the points.
बिंदु (6, 0) का अर्थ है कि x = 6 पर y का मान 0 है। चूँकि y = p(x), इसलिए जब x = 6 होगा तो p(6) = 0। सामान्य त्रुटि: कुछ छात्र x‑निर्देशांक 6 को p(6) समझ लेते हैं — यह गलत है क्योंकि x‑मान और फलन मान अलग होते हैं। टिप: किसी भी ग्राफ़ का x‑अक्ष पर अंतर्प्रवेश हमेशा फलन का मान 0 देता है (बहुपद के शून्य या मूल)। / The point (6, 0) means that at x = 6 the function value y is 0. Since y = p(x), we have p(6) = 0. Common mistake: confusing the x-coordinate 6 with the function value p(6). Exam tip: an intersection with the x-axis always gives a function value of 0 — this corresponds to a root/zero of the polynomial.
यदि बहुपद का रूप
\(p(x)=c\) जहाँ \(c\neq0\) हो, तो उसका ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=c\) होगा जो \(x\)-अक्ष को नहीं काटती; इसलिए किसी भी \(x\) पर \(p(x)\neq0\) होगा और शून्यक संख्या शून्य होगी। निकटवर्ती भ्रम: रैखिक बहुपद (degree 1) सामान्यतः एक शून्यक देता है क्योंकि उसकी रेखा \(x\)-अक्ष को एक बिंदु पर काटती, पर यहाँ रेखा क्षैतिज और \(c\neq0\) है। विशेष मामला: यदि \(c=0\) (यानी \(p(x)=0\), शून्य बहुपद) तो हर \(x\) पर शून्य होता है — अनंत शून्यक। परीक्षा टिप: पहले बहुपद की डिग्री और स्थिर पद \(c\) की जाँच करें। / If \(p(x)=c\) with \(c\neq0\), the graph is the horizontal line \(y=c\) which does not meet the x-axis, so \(p(x)\) is never zero and there are zero roots. Common confusion: a linear (degree 1) polynomial meets the x-axis once, but a nonzero constant is degree 0 and never crosses. Special case: if \(c=0\) (the zero polynomial \(p(x)=0\)), every x is a root (infinitely many roots). Exam tip: always check the degree and the constant term first.
किसी बहुपद का x-अक्ष पर कटान बिंदु (a, 0) के रूप में दिया हो तो उस बहुपद का शून्यक वही x-निर्देशांक a होता है। यहाँ कटान (-2, 0) है, अतः शून्यक -2 है। निकटतम ग़लत विकल्प 2 इसलिए गलत है क्योंकि वह मान का चिन्ह उल्टा है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के कटान को (x,0) के रूप में लिखकर हमेशा x‑निर्देशांक लें। / If a polynomial's graph meets the x-axis at (a, 0), then a is a zero of the polynomial. Here the intersection is at (-2, 0), so the zero is -2. The closest distractor 2 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: always note the full coordinate (including the sign) and take the x-coordinate as the root.
यदि बहुपद का आलेख किसी बिंदु \((a,0)\) से गुजरता है तो उस बिंदु के x‑निर्देश पर बहुपद का मान शून्य होगा, अर्थात् \(p(a)=0\)। यहाँ बिंदु \((0,0)\) है, अतः \(p(0)=0\) और इसलिए \(x=0\) एक निश्चित शून्यक है। विकल्पों जैसे \(1\) या \(-1\) तब तक शून्यक नहीं माने जा सकते जब तक कि विशेष रूप से \(p(1)=0\) या \(p(-1)=0\) न दिया गया हो। परीक्षा-टिप: किसी दिये हुए बिंदु का x‑मान बहुपद में रखकर जांचें कि वह मान शून्य देता है या नहीं। / If a polynomial's graph passes through a point \((a,0)\), then the polynomial evaluated at that x‑value is zero, i.e. \(p(a)=0\). For the origin \((0,0)\) this gives \(p(0)=0\), so \(x=0\) is certainly a root. Numbers like 1 or -1 are not necessarily roots unless it is explicitly given that \(p(1)=0\) or \(p(-1)=0\). Exam tip: substitute the x-coordinate of the given point into the polynomial to check whether it equals zero.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मूल्य होता है जहाँ बहुपद का मान 0 होता है — यानी ग्राफ पर बिंदु \/(x,0\/)। इसलिए x = -2 शून्यक होने के लिए ग्राफ पर बिंदु \/(-2,0\/) होना चाहिए। विकल्प D में x = -2 सही है लेकिन y = 2 ≠ 0 है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। विकल्प B और C में या तो x ≠ -2 है या y ≠ 0। परीक्षा सुझाव: शून्यक पहचानते समय हमेशा जांचें कि y = 0 हो और उस बिंदु का x-मूल्य लक्ष्यित मान के बराबर हो। / A zero (root) corresponds to an x-value where the polynomial evaluates to 0, i.e., a point on the graph \/(x,0\/). For x = -2 the point must be \/(-2,0\/), so option A is correct. Option D has x = -2 but y = 2 (not zero), so it is not a root. Option B is an x-intercept at x = 2, and option C has y = -2, not y = 0. Exam tip: to find roots from a graph, locate points with y = 0; their x-coordinates are the zeros.
किसी बहुपद का शून्यक वह x मान है जहाँ ग्राफ पर y का मान शून्य होता है (यानी ग्राफ x-अक्ष को छूता है)। इसलिए जब x = 11 शून्यक है तो ग्राफ पर बिंदु \,(11,0)\, मौजूद होगा। विकल्प (0,11) में x = 0 है, (11,1) में y ≠ 0 है इसलिए वे शून्यक सिद्ध नहीं करते, और (-11,0) में y = 0 तो सही है पर x = -11 है, न कि 11। परीक्षा-सुझाव: किसी दिए x के लिए शून्यक जाँचने के लिए देखें कि ग्राफ पर बिंदु \,(x,0)\, मौजूद है या नहीं — यानी x-अक्ष पर वही x मान मौजूद होना चाहिए। / A zero of a polynomial at x = 11 means the graph has y = 0 when x = 11, i.e. the point (11,0) lies on the graph (an x-intercept at x = 11). Option (0,11) has x = 0, so it does not show x = 11 is a zero; (11,1) has x = 11 but y ≠ 0 so it is not a zero; (-11,0) has y = 0 but at x = -11, not x = 11. Exam tip: to verify a zero visually, check for the point (a,0) — the x-intercept at that x-value.
बिंदु (-8, 0) का अर्थ है कि जब x = -8 होगा तो y का मान 0 है। बहुपद का मान y ही होता है, इसलिए बहुपद x = -8 पर शून्य होगा (अर्थात् f(-8)=0)। विकल्प B (x = 8) सिर्फ साइन के विपरीत है और गलत है; विकल्प C (x = 0) केवल तब सही होता यदि बिंदु (0,0) दिया होता; विकल्प D कोई संबंधित कारण नहीं देता। परीक्षा टिप: किसी भी x-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-कोऑर्डिनेट तुरंत उस बिंदु के लिए बहुपद का शून्य बताता है। / The point (-8, 0) means y = 0 when x = -8. Since the polynomial's value is y, the polynomial is zero at x = -8 (i.e. f(-8)=0). Option B (x = 8) has the wrong sign; option C (x = 0) would be correct only for the point (0,0); option D is unrelated. Exam tip: an x-intercept (y=0) gives the root directly as the x-coordinate shown.
शून्यक वह x मान है जहाँ रेखा का y मान शून्य होता है। इसलिए \(0 = x + 9\) रखकर हल करने पर \(x = -9\) मिलता है। विकल्प A (9) गलत है क्योंकि यह साइन की उलटी गलती होगी; विकल्प C (0) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=9\) होगा, न कि 0; विकल्प D (18) किसी भी तरह से सही गणना नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी रेखा का x-अवरोध पाने के लिए हमेशा \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें। / The zero (x-intercept) is the x-value where y = 0. Setting \(0 = x + 9\) gives \(x = -9\). Option A (9) is a sign-error; option C (0) is wrong because at \(x=0\) the line gives \(y=9\), not 0; option D (18) is simply incorrect. Exam tip: to find an x-intercept, set \(y=0\) and solve for \(x\).
बिंदु \((a,0)\) ग्राफ पर होने का अर्थ है कि जब x=a होगा तो y का मान 0 होगा। बहुपद के ग्राफ पर y का मान \(p(x)\) है, अतः \(p(a)=0\)। विकल्प B (a) ग़लत है क्योंकि x का मान (a) होना यह नहीं दर्शाता कि बहुपद की मान वही होगा — y मान अलग होता है; विकल्प C और D भी स्पष्ट रूप से गलत हैं। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर आने वाले किसी भी बिंदु की y-कोऑर्डिनेट हमेशा 0 होती है, इसलिए सीधे \(p(a)=0\) देख लें। / The point \((a,0)\) on the graph means that for x=a the y-value is 0. Since the graph represents y = \(p(x)\), we have \(p(a)=0\). Option B (a) is wrong because the x-coordinate being a does not imply the function value equals a; options C and D are also incorrect. Exam tip: any x-intercept has y = 0, so substitute x = a into \(p(x)\) to get \(p(a)=0\).
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
\(p(6)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=6\) होगा तो फलन का मान \(y=p(6)\) शून्य होगा। इसलिए ग्राफ x-अक्ष (जहाँ \(y=0\)) को उस बिंदु पर काटेगा जहाँ \(x=6\), यानी \((6,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \((-6,0)\) इसलिए गलत है क्योंकि उसमें संकेत का परिवर्तन दिखता है — वहाँ तक पहुँचने के लिए हमें \(p(-6)=0\) दिया होना चाहिए, जो नहीं दिया है। परीक्षा सुझाव: किसी भी raíz के लिए यदि \(p(a)=0\) दिया हो तो तुरंत x-अक्ष पर काटाव \((a,0)\) लिखें। / \(p(6)=0\) means the function value is zero at \(x=6\), so the graph meets the x-axis (where \(y=0\)) at the point \((6,0)\). The closest distractor \((-6,0)\) is a sign error — nothing in the given information implies \(p(-6)=0\). Exam tip: whenever you are given \(p(a)=0\), the corresponding x-intercept is always \((a,0)\).
यहाँ \(p(x)\) किसी बहुपद का मान (y‑मान) दर्शाता है। \(p(-1)=0\) का अर्थ है कि जब \(x=-1\), तब \(y=0\) होगा, इसलिए ग्राफ बिंदु \((-1,0)\) से गुज़रेगा। विकल्प B \((1,0)\) उस स्थिति के लिए सही होता जब \(p(1)=0\) दिया गया होता — यह सिर्फ चिन्ह की त्रुटि है। विकल्प C और D तब सही होते जब \(p(0)=-1\) या \(p(0)=1\) होता, जो यहाँ नहीं कहा गया। परीक्षा‑टिप: किसी भी बहुपद के शून्य के लिए \(p(a)=0\) लिखें और तुरंत बिंदु \((a,0)\) पहचानें। / Here \(p(x)\) denotes the polynomial's value (the y‑coordinate). \(p(-1)=0\) means at \(x=-1\) the value is \(y=0\), so the graph passes through the point \((-1,0)\). Option B \((1,0)\) would be correct only if \(p(1)=0\) — it's a sign‑error distractor. Options C and D correspond to values at \(x=0\) and are irrelevant unless \(p(0)=-1\) or \(p(0)=1\) were given. Exam tip: whenever \(p(a)=0\), the x‑coordinate of the zero is \(a\) and the point is \((a,0)\).
A. (3) बहुपद का शून्यक है/(3) is a zero of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (3, 0) का अर्थ है कि x=3 पर y=0 है, अर्थात् बहुपद का मान शून्य होता है। इसलिए x=3 बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0) तभी शून्यक होगा यदि बिंदु (0,0) दिया होता। विकल्प C गलत है क्योंकि गुणांक बहुपद के पदों के सामने स्थित स्थिर संख्याएँ होती हैं, न कि ग्राफ के किसी बिंदु के x–समन्वय। विकल्प D गलत है क्योंकि y=0 अधिकतम मान नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: किसी भी ग्राफ का x-अवरोध (x-intercept) वही x मान देता है जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है। / The point (3, 0) means that at x = 3 the polynomial's value y = 0, so x = 3 is a root (zero) of the polynomial. Option B is incorrect because 0 would be a zero only if the point were (0, 0). Option C is wrong since a coefficient is a constant multiplying a term, not an x-coordinate of a point on the graph. Option D is wrong because y = 0 does not imply a maximum. Exam tip: zeros of a polynomial are exactly the x-values of its x-intercepts where y = 0.
